Información de probabilidade

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ESTUDIO DE CONCEPTOS PROBABILÌSTISCOS
1. ALGO DE HISTORIA Y RELEVANCIA DE LA TERORÌA DE LA PROBABILIDAD
1.1. Algo de historia
La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise
Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar, es
decir la probabilidad tuvo su origen en los juegos de azar.
Mas tarde, Jacob Bernoulli (1654 – 1705), Abraham de Moivre (1667 – 1754), el
reverendo Thomas Bayes (1702 – 1771) y Joseph Lagrange ( 1736 – 1813),
desarrollaron técnicas y fórmulas para el cálculo de probabilidad.
En el siglo XIX, Pierre Simón, marqués (1749 – 1827), unificó y compiló la primera
teoría general de probabilidad
1.2. Relevancia de la Probabilidad
El ser humano constantemente toma decisiones, sean de carácter personal o en el
ámbito laboral, donde muchas de estas están sujetas a incertidumbres, es decir no
se tiene la certeza de que ocurrirá o no ocurrirá tal o cual suceso de su interés, sin
embargo debe tomarse la decisión de actuar o no actuar, de realizar o no realizar
determinada acción, actividad, evento, previsión, etc. Lógicamente previo a la toma
de decisión debe realizar un análisis a profundidad de los diferentes aspectos que
están en el entorno del objeto de estudio y que directa o indirectamente influyen en el
mismo.
Realizado esto, la toma decisión está sujeta a una medida entre 0 y 1 inclusive,
medida que se relaciona con la teoría de probabilidades, que señala que el suceso o
evento tiene una alta, media o nula posibilidad de que el suceso o evento ocurra o no
ocurra.
A fin de consolidar este criterio, consideremos el caso de una persona que toma la
decisión de salir de su casa, con o sin paraguas, hace un análisis del entorno, mira
las nubes, si estas están muy obscuras considera que hay una probabilidad de lluvia,
si desea poner un valor puede decir que la probabilidad de lluvia es 0,9; decisión, sale
con paraguas.
En la actualidad la teoría de la probabilidad se usa ampliamente en áreas como, la
física, la estadística, la matemática, y en estudios de investigaciones sociales, donde
las variables son aleatorias; por lo tanto, se puede señalar que la probabilidad es una
rama de la matemática que estudia, analiza y determina experimentos aleatorios,
(los resultados de un experimento no dependen de la voluntad del hombre sino de la
suerte o del azar)

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Ejemplo: en el lanzamiento de una moneda no cargada, el resultado de que sea cruz
o sello no depende de la voluntad de quien lanza la moneda, depende del azar
Hay que notar que la probabilidad está relacionada con eventos que sucederán en el
futuro, por lo que la probabilidad se desarrolla por el deseo del hombre de conocer
con certeza lo que sucederá en el futuro.
Estos antecedentes, entre otros existentes, determinan la relevancia del estudio de la
teoría de probabilidades.
2. CONCEPTOS BASICOS
2.1. Probabilidad.- Es la medida de la posibilidad de que ocurra un suceso en el
futuro;
Al decir medida, se refiere a que se le atribuye un número (valor) al suceso
observado, este número se asigna en una escala de 0 a 1, incluido el 0 y el 1, esto
es: 0 ≤ p ≤ 1.
2.2. Interpretaciones de probabilidad según su valor
0 ---------- 0,5 ---------- 1
 Si el valor de la probabilidad es cero, significa que es difícil o improbable que el
suceso ocurra
 Si el valor de la probabilidad es uno, significa que es casi seguro que el suceso
ocurra
 Si el valor de la probabilidad es 0,5 significa que el suceso puede o no ocurrir
 Valores cercanos a cero es más improbable de que ocurra el suceso
 Valores cercanos a uno es más probable de que ocurra el suceso
2.3. Formas de expresar la probabilidad.- Las probabilidades se expresan como un
número decimal o fracción (0,7; 7/10)
Ejemplos:
SUCESO PROBABILIDAD
Que el periodo lectivo, abril - agosto de 2015, concluya en junio de
2015
0
Que apruebe el semestre 0,7
Que la clase de estadística concluya a las 09H00 (programada de
07H00 a 09H00)
1
Al lanzar una moneda, esta caiga en cara 1/2

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2.4. Terminología básica en el estudio de probabilidades
En la teoría de la probabilidad con frecuencia se usa los términos, experimento y
evento
Evento.- Es uno o más de los posibles resultados de hacer lago; así tenemos que en
el lanzamiento de una moneda si cae cruz es un evento y si cae cara es otro evento.
La actividad que origina uno de dichos eventos se conoce como experimento.
Experimento. Es el procedimiento que genera valores bien definidos, o también es la
acción de medir u observar algo.
Ejemplo:
EXPERIMENTO RESULTADOS POSIBLES
DEL EXPERIMENTO
EVENTO
Lanzar una moneda Cara, sello Cara
Inspeccionar un objeto
fabricado
Defectuoso, no defectuoso Defectuoso
Ventas por teléfono Compra, no compra No compra
Lanzar un dado 1,2,3,4,5,6, 3
Jugar un partido de futbol Ganar, perder, empatar Empate
Espacio muestral.- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento
Ejemplo: En el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral es: S={cara, cruz}
Punto muestral.- Son cada uno de los elementos del espacio muestral
Eventos mutuamente excluyentes.- Se dice que los eventos son mutuamente
excluyentes si uno y solo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo o en otras
palabras la ocurrencia de un evento implica que otro no puede darse al mismo tiempo
Ejemplo: el lanzamiento de una moneda tiene dos eventos posibles, cara y cruz, si
cayó cara no puede al mismo tiempo salir cruz o viceversa, entonces se dice que los
eventos son mutuamente excluyentes.
Colectivamente exaustivo.- Cuando una lista incluye todos los eventos que pueden
resultad de un experimento se dice que la lista es colectivamente exhaustiva, en el
lanzamiento de la moneda la lista cara y cruz es colectivamente exhaustiva.
3. TRES TIPOS DE PROBABILIDAD
Existen tres maneras básicas de clasificar la probabilidad
 El planteamiento clásico
 El planteamiento de frecuencia relativa
 El planteamiento subjetivo

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3.1. Planteamiento clásico
El planteamiento clásico define la probabilidad como:
Probabilidad de un evento=
𝑵ù𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔
𝑵ù𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
Ejemplo.
En el Lanzamiento de un dado, se desea que salga el 4
Datos
 Número de resultados favorables = 1
 Número de resultados posibles= 6
Probabilidad del evento
P =
1
6
La probabilidad clásica también se le conoce como probabilidad a priori, debido a que
nuestras conclusiones se basan en un razonamiento lógico antes de realizar el
experimento, por cuanto los eventos son previsibles; siendo estos los casos cuando
se trata de monedas, dado y barajas.
Por ejemplo
Antes de realizar el lanzamiento de un dado se sabe que la probabilidad de que caiga
tres es 1/6
Antes de realizar el lanzamiento de una moneda se sabe que la probabilidad de caiga
cara es 1/2
La probabilidad de que en una extracción de la baraja la probabilidad de que salga un
as es 4/52
En todos estos ejemplos hemos podido señalar la probabilidad sin realizar el
experimento, por esta razón la probabilidad clásica se conoce como probabilidad a
priori.
3.2. Planteamiento de frecuencia relativa
Define la probabilidad de un evento, relacionando datos que ya ocurrieron en el
pasado, o con el total de datos observados, los datos del pasado son parte del
conjunto de datos observados, o también relacionando una cantidad de datos
(muestra) con el total observado (población), la muestra se obtiene de la misma
población
Probabilidad de un evento=
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒊𝒆𝒐𝒏 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒂𝒔𝒂𝒅𝒐
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔

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Ejemplo:
Supóngase que se desea determinar si los graduados de la Carrera de Contabilidad y
Auditoría, están realizando actividades conforme su preparación. Para el efecto se
realiza una encuesta a 840 graduados, de los cuales 375 no están desempeñando las
funciones conforme su perfil profesional, se desea saber: ¿Cuál es la probabilidad de
que el próximo encuestado esté realizando actividades distintas a la de su formación?
Análisis: los 840 encuestados son la población y los 375 son la muestra, observe que
los 375 se obtiene de los 840
Datos:
Total de encuestados u observados = 840
Total de graduados con actividades distintas a las de su formación = 375
Probabilidad del evento =
𝟑𝟕𝟓
𝟖𝟒𝟎
= 0,45
Significa: la probabilidad de que el próximo encuestado no esté realizando actividades
conforme su preparación es 0,45
3.3. Planteamiento subjetivo
Es la probabilidad asignada por una persona que conoce el asunto, basado en los
datos que dispone, es decir es la probabilidad otorgada por una persona con alguna
experiencia en el tema que se trata.
Por ejemplo: Una persona que conoce estadísticamente, los triunfos, derrotas y
empates que ha tenido la selección de futbol del Ecuador, dirá que la probabilidad de
que el Ecuador gane en el próximo encuentro es 0,90
4. ALGUNAS REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD
Se refiere a la regla de la suma y regla de la multiplicación, son aplicables en los casos
en los que se tiene dos o más eventos. Como por ejemplo el evento A y el evento B.
4.1. Reglas de la suma
Se aplica cuando se desea obtener la probabilidad de ocurrencia del evento A o del
evento B o de ambos, observe el símbolo “o” este corresponde a la regla de la suma
Tiene dos formas
a) cuando los eventos son mutuamente excluyentes,
b) cuando los eventos no son mutuamente excluyentes

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4.1.1. Cuando los eventos son mutuamente excluyentes
Se usa la fórmula
P(A o B) = P(A) + P(B)
Ejemplo: se realiza una apuesta de $ 100,00, mediante el lanzamiento de un dado no
cargado, yo gano la apuesta si el dado cae en 2 o 4, deseo saber ¿Cuál es
probabilidad que tengo para ganar?
Sea A el evento que salga 2 y sea B el evento que salga 4, entonces:
La probabilidad de que salga A es 1/6
La probabilidad de que salga B es 1/6
Entonces la probabilidad de que salga el 2 o el 4 en un lanzamiento del dado es:
P(A o B) = P(A) + P(B) → P(A o B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.= 0,33 = 33%
El 33% significa que si lanzo el dado 100 veces, en 33 de estos lanzamientos
posiblemente salga el 2 o el 4
4.1.2. Cuando los eventos no son mutuamente excluyentes
Para estos casos se hace referencia al concepto de probabilidad conjunta, y es la
probabilidad de que el evento A y el evento B ocurran simultáneamente.
Se hace uso de la fórmula
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Ejemplo: se realiza una apuesta de $ 100,00, mediante la extracción de una baraja de
un total de 52 cartas; yo gano la apuesta si en una extracción la carta seleccionada es
una “J” o una carta de corazones negros, deseo saber ¿Cuál es la probabilidad que
tengo para ganar?
Sea A el evento que salga “J” y sea B el evento que la carta seleccionada sea de
corazones negros, entonces:
La probabilidad de que salga A es 4/52 (en las 52 cartas hay 4 jotas, cada J
corresponde a una figura)
La probabilidad de que salga B es 13/52 (cada figura tiene 13 cartas)
Y, la probabilidad de que salga A y B es 1/52 (una de esas Jotas es también de
corazones negros, es decir es J y de corazones negros, en términos probabilísticos
este evento corresponde a una probabilidad conjunta) como la regla del juego es que
yo gano si la carta seleccionada es J o de corazones negros, pero si sale J y de
corazones negros pierdo la apuesta, entonces esta probabilidad conjunto resto de las
demás probabilidades.
Por consiguiente la probabilidad de que la carta seleccionada sea J o de corazones
negros es:

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P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
P(A o B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 0,31 = 31%
El 31% significa que si se realiza 100 extracciones, en 31 de esas extracciones
posiblemente la carta seleccionada sea J o de corazones negros
4.2. Reglas de la multiplicación
Se aplica cuando se desea obtener la probabilidad de ocurrencia del evento A y del
evento B, observe el símbolo “y” este corresponde a la regla de la multiplicación.
Tiene dos formas
c) cuando los eventos son independientes
d) cuando los eventos no son independientes
4.2.1. Cuando los eventos son independientes
Concepto: dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de un evento no
afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento,
Ejemplo: en dos lanzamientos de una moneda, si en el primer lanzamiento la moneda
cae cara, esta caída no asegura que en el segundo lanzamiento también caiga cara.
Se usa la fórmula
P(A y B) = P(A) * P(B)
Ejemplo: se realiza una apuesta de $ 100,00, mediante dos lanzamientos de una
moneda, yo gano la apuesta si en el primer y segundo lanzamiento la moneda cae en
cara, deseo saber ¿Cuál es probabilidad que tengo para ganar?
Sea A el evento que salga cara en el primer lanzamiento y sea B el evento que salga
cara en el segundo lanzamiento, entonces:
La probabilidad de que salga A es 1/2
La probabilidad de que salga B es 1/2
Entonces la probabilidad de que salga cara y cara en los dos lanzamientos es:
P(A y B) = P(A) * P(B)
P(A y B) = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%
El 25% significa que de todos los resultados posibles del experimento el 25% de
estos corresponde a la condición dada, como este experimento tiene 4 resultados
posibles,(cara - cara; cara - sello; sello - cara; sello - sello) observe que en uno de los
cuatro resultados (cara –cara) se cumple la condición; ojo, no se olvide, de que
estamos en probabilidades es decir posibilidades, si bien es cierto en este juego
conoce de antemano la probabilidad de ganar, esto no le da la certeza de que va a
ganar, como puede ganar o como puede perder.

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4.2.2. Cuando los eventos no son independientes
Para estos casos se hace referencia al concepto de probabilidad condicional y es
la probabilidad de ocurrencia de un evento dado que otro ya ha ocurrido y se conoce
su probabilidad, es decir la probabilidad de un evento se ve influida por la ocurrencia
de otro evento relacionado.
Se hace uso de la fórmula
P(A y B) = P(A) * P(B/A)
El símbolo “/” se lee “dado que”
Ejemplo:
Se tiene una urna con 15 bolas; 10 de color negro y 5 cinco de color blanco
Se realiza una apuesta de $ 100,00, con la siguiente condición, se debe realizar dos
extracciones, sin reposición, yo gano la apuesta si en cada extracción saco una bola
de color negro, deseo saber ¿Cuál es probabilidad que tengo para ganar?
Sea A el evento que en la primera extracción saco una bola de color negro y sea B el
evento de que en la segunda extracción también saco una bola de color negro,
entonces:
La probabilidad de que salga A en la primera extracción es 10/15 (se tiene 10 bolos
negras de un total de 15 que están en la urna)
La probabilidad de que salga B en la segunda extracción es 9/14 (Como ya salió una
bola negra, en la urna quedan 9 bolas de color negro, como en total eran 15 bolas y
salió una, quedan en la urna 14 bolas, en términos probabilísticos se dice, la
probabilidad de que en la segunda extracción salga una bola de color negro es 9/14
dado que en la primera extracción ya salió una bola negra)
Por consiguiente la probabilidad de que en las dos extracciones las bolas que se
obtenga sean de color negro es:
P(A y B) = P(A) * P(B/A)
P(A y B) = 10/15 * 9/14 = 90/210 = 3/7= 0,43 = 43%
El 43% significa que si realizo 100 veces dos extracciones, en 43 de estas veces,
posiblemente salga en las dos extracciones bolas de color negro
5. REGLAS DE CONTEO
Son útiles para conocer el total de resultados posibles de un experimento, cuando este
no se puede determinar por simple inspección
Existen tres reglas
 Regla de la multiplicación o por etapas
 Combinaciones

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 Permutaciones
5.1. Regla de la multiplicación o por etapas
Si un experimento tiene varias etapas y la primera etapa tiene n1 resultados posibles;
la etapa dos tiene n2 resultados posibles; la etapa tres tiene n3 resultados posibles; el
total de resultados posibles del experimento se obtiene multiplicando n1 x n2 x n3
Ejemplo:
Deseo saber de cuantas formas puedo combinar 2 ternos (café, negro) y 2 corbatas
(azul, roja) que poseo en mi armario
Sean:
Etapas resultados posibles (cantidad)
Ternos 2
Corbatas 2
Total de resultados posibles: 2 x 2 = 4 resultados posibles o formas de combinar los
ternos con las corbatas
5.1.1. Diagrama de árbol
Es una gráfica de puntos y líneas, en la que se señala los resultados posibles de un
evento, y el total de ellos, las líneas suele denominarse ramas.
Ejemplo
RESULTADOS
CORBATAS Terno café corbata azul
TERNOS azul
café roja
Terno café corbata roja
Terno negro corbata azul
negro azul
roja Terno negro corbata roja
TOTAL RESULTADOS 4

10. 10
5.2. Combinaciones
Es útil cuando se tiene un grupo de elementos “n” y se toma una parte de ellos “r” y
se quiere determinar cuántas ordenaciones o resultados posibles se pueden hacer de
estos “n” elementos tomando “r” a la vez
En este tipo de ordenaciones no importa o no interesa la ubicación de cada elemento,
por lo que si uno de los elementos del grupo es A y el otro B, las formas AB y BA son
iguales; no interesa si A está a la izquierda de B o si está a la derecha de B por lo
que AB = BA
La fórmula que se utiliza es
nCr =
𝑛ǃ
𝑟ǃ(𝑛−𝑟)ǃ
Donde:
C = símbolo que representa combinación
n= la cantidad total de elementos que conforman el grupo
r= la cantidad de elementos que se toman del grupo para combinar
nCr = combinación de n elementos tomados r a la vez
Explicación de 𝒏ǃ
se lee “ene” factorial, representa la multiplicación de todos los números comprendidos
entre n hasta 1, en sentido descendente o desde 1 hasta n en sentido ascendente
En forma simbólica
𝑛ǃ = n(n-1)(n-2)(n-3)…(2)(1)
Ejemplo
7ǃ = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Se sabe que 0ǃ = 1
Ejemplo de combinaciones
Sean las letras A,B,C,D,E,F,G se desea formar palabras (no importa si no tiene
sentido) de tres letras, es decir cuántas formas o resultados posibles se obtiene de las
7 letras tomando 3 a la vez.
Aplicando la formula se obtiene:
nCr =
𝑛ǃ
𝑟ǃ(𝑛−𝑟)ǃ

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nCr =
7ǃ
3ǃ(7−3)ǃ
= nCr =
7ǃ
3ǃ(4)ǃ
= nCr =
7 𝑥 6 𝑥 5 𝑥 4ǃ
3ǃ(4)ǃ
= nCr =
7 𝑥 6 𝑥 5
3ǃ
nCr =
7 𝑥 6 𝑥 5
3 𝑥 2 𝑥 1
= nCr = 7 x 5 = 35
Esto es: de las 7 letras se pueden formar 35 combinaciones o palabras tomando tres a
la vez
Ahora cabe la pregunta
¿Cuáles son esas palabras?
ABC ABD ABE ABF ABG ACD ACE ACF ACG ADE ADF ADG
AEF AEG AFG BCD BCE BCF BCG BDE BDF BDG BEF BEG
BFG CDE CDF CDG CEF CEG CFG DEF DEG DFG EFG
Observe, ABC se presenta una sola vez, no hay otras combinaciones en las que
tanto A como B o como C se ubiquen en diferente lugar, como por ejemplo BAC o
BCA o CAB o CBA; todas estas ordenaciones son iguales a ABC, al respecto se
señaló que en este tipo de ordenaciones (combinaciones) no interesa la ubicación de
las letras
5.3. Permutaciones
Es útil cuando se tiene un grupo de elementos “n” y se toma una parte de ellos “r” y
se quiere determinar cuántas ordenaciones o resultados posibles se pueden hacer de
estos “n” elementos tomando “r” a la vez
En este tipo de ordenaciones si importa o si interesa la ubicación de cada elemento,
por lo que si uno de los elementos del grupo es A y el otro B, las formas AB y BA no
son iguales; por cuanto en la primera forma A está a la izquierda de B y en la segunda
forma A está a la derecha de B por lo que AB ≠ BA
La fórmula que se utiliza es
nPr =
𝑛ǃ
(𝑛−𝑟)ǃ
Donde:
P = símbolo que representa permutación
n= la cantidad total de elementos que conforman el grupo
r= la cantidad de elementos que se toman del grupo para combinar
nPr = permutación de n elementos tomados r a la vez

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Ejemplo
Sean las letras A,B,C,D,E,F,G se desea formar palabras (no importa si no tiene
sentido) de tres letras, es decir cuántas permutaciones o resultados posibles se
obtiene de las 7 letras tomando 3 a la vez.
Aplicando la formula se obtiene:
nPr =
𝑛ǃ
(𝑛−𝑟)ǃ
nPr =
7ǃ
(7−3)ǃ
= nPr =
7ǃ
(4)ǃ
= nCr =
7 𝑥 6 𝑥 5 𝑥 4ǃ
4ǃ
= nPr = 7 x 6 X 5 = 210
Esto es: de las 7 letras se pueden formar 210 permutaciones o palabras
tomando tres a la vez
¿Cuáles son esas palabras?
ABC ABD ABE ABF ABG ACB ACD ACE ACF ACG ADB ADC
ADE ADF ADG AEB AEC AED AEF AEG AFB AFC AFD AFE
AFG AGB AGC AGD AGE AGF
Observe, ABC tiene otra combinación similar porque tanto A como B o como C se
ubican en diferente lugar, esto es la forma ACB; Al respecto se señaló que en este
tipo de ordenaciones (permutaciones) si interesa la ubicación de las letras por lo que
ABC ≠ ACB
La lista de palabras antes señaladas es tan solo una parte de las 210 formas.
Procedimiento para formar el total de permutaciones
1. Por medio de la formula respectiva se determina el total de permutaciones que
debe obtenerse de n objetos tomados r a la vez, en el presente ejemplo son 210
permutaciones
2. Este valor (210) se divide para el total de elementos que forma el grupo, como son
en total 7 letras se divide 210 para 7 obteniendo como resultado 30
3. Este número (30) me indica que cada letra debo escribir 30 veces ya sea en
sentido horizontal o vertical, de esta forma se tendrá 7 filas o columnas, cada fila o
columna corresponde a cada letra, las columnas deben estar separadas entre si a
fin de dar lugar a las demás letras que faltan.
4. Como ya se escribió la primera letra, me quedan 6 letras en el grupo
5. Como cada fila o columna tiene 30 veces la letra, divido 30 para 6 que corresponde
al total de letras que quedaron, obteniendo como resultado 5
6. Este número (5) indica que se escribe en cada fila o columna junto a la primera letra
5 veces cada letra de las 6 que quedaron, se aconseja escribir las letras en orden

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alfabético, esto es si la primera letra es A la segunda será B,
B,B,B,B,C,C,C,C,C,D,D,D,D,D,E,E,E,E,E,F,F,F,F,F,G,G,G,G,G
7. Como ya se escribió la segunda letra me quedan 5 letras en el grupo
8. Como en cada columna la segunda letra se repite 5 veces, se divide este número
para 5 que corresponde al total de letras que quedaron, obteniendo como resultado
1
9. Este número (1) indica que debo escribir en cada fila o columna junto a la segunda
letra, una vez cada letra de las 5 que quedaron, se aconseja escribir la tercera
letra en orden alfabético, observando que letras son las que ya están escritas para
no repetir, esto es si la primera y segunda letra son AB AB AB AB AB
10. AC AC AC AC AC … la tercera letra que va en las formas AB es C, D,
E,F,G quedando las formas. ABC ABD ABE ABF ABG en las formas AC faltan
las letras B, D, E,F,G escribiendo estas las formas quedan: ACB ACD ACE ACF
ACG
Este procedimiento se repite en cada columna o en cada fila, al final se tiene 210
permutaciones de n letras tomadas r a la vez.
6. TEOREMA DE BAYES
Se usa para actualizar la medida de probabilidad de un evento cuando se adquiere
información adicional de otro evento relacionado con el primero.
Suponga que se tiene un evento A cuya probabilidad es P(A). si se observa nueva
información y vemos que ha ocurrido un evento relacionado, representado por B, se
aprovecha esta información para calcular una nueva probabilidad del evento A. esta
nueva probabilidad del evento A se llama Probabilidad condicional y se escribe
como P(A/B) se lee, la probabilidad de A dado B
6.1. Probabilidad a priori.- Son estimaciones iniciales para un evento especifico en
particular
6.2. Probabilidad a posteriori.- Es la probabilidad actualizada de las estimaciones
iniciales, esto con base en fuentes como una muestra, una información o la prueba
de un producto que nos dan información adicional sobre el evento especifico o
particular objeto de estudio.
Fórmula del teorema de Bayes
P(A1/M) =
𝑃(𝐴₁)𝑃( 𝑀/𝐴₁)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑀/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
El significado de las letras se da a conocer mediante el siguiente problema

14. 14
Ejemplo:
Suponga que una empresa manufacturera recibe embarques de partes(piezas), de dos
proveedores distintos. Sea A1 el evento de que una parte provenga del proveedor 1 y
A2 el evento de que una parte provenga del proveedor 2.
Actualmente, 65% de las partes que compra la empresa provienen del proveedor 1 y
35% restante del proveedor 2. En consecuencia si se selecciona una parte al azar,
diríamos que la probabilidad de que la pieza sea del proveedor 1 es P(A1) = 0,65 o
que sea del proveedor 2 es P(A2) = 0,35.
La calidad de las partes varía según su origen. Los datos históricos sugieren que el
desempeño en términos de calidad de los dos proveedores es el siguiente:
Porcentaje Porcentaje
de piezas buenas de piezas malas
Proveedor 1 98 2
Proveedor 2 95 5
Suponga que las partes de los dos proveedores se usan en el proceso de manufactura
y que una maquina se descompone al tratar de procesar una parte defectuosa. Dada
la información de que una parte es mala, ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del
proveedor 1 y cual la del proveedor 2?
A. Datos del problema
Simbología
1. De los proveedores
A1 = Proveedor 1
A2 = Proveedor 2
De la calidad de las partes
B = buenas
M = malas
2. Probabilidad a priori o inicial
Probabilidad a priori de que las partes vengan del proveedor 1 es: P(A1) = 0,65
Probabilidad a priori de que las partes vengan del proveedor 2 es: P(A2) = 0,35
3. Probabilidad condicional

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1. Probabilidad de que las partes sean buenas dado que vienen del proveedor 1 es:
P(B/A1) = 0,98
2. Probabilidad de que las partes sean malas dado que vienen del proveedor 1 es:
P(M/A1) = 0,02
3. Probabilidad de que las partes sean buenas dado que vienen del proveedor 2 es:
P(B/A2) = 0,95
4. Probabilidad de que las partes sean malas dado que vienen del proveedor 2 es:
P(M/A1) = 0,05
B. Diagrama de árbol
Esta problema es de dos etapas: etapa 1 corresponde a los proveedores y la etapa 2 a
la condición buenas o malas
RESULTADO EXPERIMENTAL
ETAPA 2
ETAPA 1 (CONDICION) (A1 B)
(PROVEEDOR) B
A1 M (A1 M)
A2 (A2B)
B
M (A2M

16. 16
Insertando las probabilidades respectivas y calculando la probabilidad conjunta se
tiene:
ETAPA 1 ETAPA 2 PROBABILIDAD DEL RESULTADO (probabilidad conjunta)
PROVEEDOR) (CONDICION)
P(B/A1) P(A1 y B) = P(A1 )P(B/A1) = 0,65 X 0,98 = 0,6370
0,98
P(A1) P(M/A1)
0,02 P(A1 y M) = P(A1 )P(M/A1) = 0,65 X 0,02 = 0,0130
0,65
0,35
P( A2) P(B/A2) P(A2 y B) = P(A2 )P(B/A2) = 0,35 X 0,95 = 0,3325
0,95
P(M/A2)
0,05 P(A2 y B) = P(A2 )P(M/A2) = 0,35 X 0,05 = 0,0175
Estos resultados no son los esperados, estos corresponden a los siguientes
enunciados
1. La probabilidad de que la pieza venga del proveedor 1 y sea buena es: 0,6370
2. La probabilidad de que la pieza venga del proveedor 1 y sea mala es: 0,0130
3. La probabilidad de que la pieza venga del proveedor 2 y sea buena es: 0,3325
4. La probabilidad de que la pieza venga del proveedor 2 y sea mala es: 0,0175
Además hay que tomar en cuenta que símbolo de la probabilidad condicional en cada
caso es de la forma P(B/A) o P(M/A) que se lee la probabilidad de B o M dado A.
Siguiendo con el problema este tiene una pregunta ¿Cuál es la probabilidad de que
provenga del proveedor 1 y cual la del proveedor 2? Es esta se desea saber ¿Cuál es
la probabilidad de que la pieza defectuosa provenga del proveedor 1 y cual la del
proveedor 2. En símbolos se pide P(A1/M) o P(A2 /M), dando lectura esta simbología
será: la probabilidad de que la pieza sea del proveedor uno dado que esta es mala es
igual a: ?
O, la probabilidad de que la pieza sea del proveedor dos dado que esta es mala es
igual a: ?
Ligeramente se podría decir que la probabilidad que venga del proveedor 1 es 0,65 y
que la probabilidad de que venga del proveedor 2 es 0,35; recuerde que estas son
probabilidades a priori es decir son probabilidades subjetivas. Suponga que no se
tiene registro de las partes por proveedor, todas las partes se juntan al momento de
almacenar, por lo que no se puede señalar probabilidad alguna relacionada con los
proveedores.

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Al respecto debe determinar (actualizar) las probabilidades dadas a priori, (dado que
ha sucedido otro evento relacionado, esto es una maquina se averió por el uso de una
parte defectuosa). Recuerde no se conoce si corresponde al proveedor 1 o al
proveedor 2; tampoco se podrá conocer con certeza, se desea saber la intensidad de
la probabilidad que relacione a los proveedores. Se desea conocer las nuevas
probabilidades (probabilidades e posteriori), esto es la probabilidad de que provenga
del proveedor 1 dado que la parte es defectuosa, y la probabilidad de que provenga
del proveedor 2 dado que la parte es defectuosa.
Aplicando las fórmulas respectivas se tiene los siguientes resultados:
P(A1/M) =
𝑃(𝐴₁)𝑃( 𝑀/𝐴₁)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑀/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
Al sustituir los valores del ejemplo, la probabilidad posterior del proveedor A1 Será:
P(A1/M) =
𝑃(𝐴₁)𝑃( 𝑀/𝐴₁)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑀/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
P(A1/M) =
(0,65)( 0,02)
(0,65)(0,02) +(0,35)(0,005)
=
0,0130
(0,0130) +(0,0175)
=
0,0130
0,0305
= 0,4262
Este valor señala que la probabilidad posteriori de que la pieza defectuosa provenga
del proveedor 1 es 0,4265, es menor que la probabilidad inicial.
Si se calcula la probabilidad posteriori del proveedor 2 se tiene:
P(A2/M) =
𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑀/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝑀/𝐴₂)
P(A1/M) =
(0,35)( 0,05)
(0,65)(0,02) +(0,35)(0,005)
=
0,0175
(0,0130) +(0,0175)
=
0,0175
0,0305
= 0,5738
Este valor señala que la probabilidad posterior de que la pieza defectuosa provenga
del proveedor 2 es 0,5738, es mayor que la probabilidad inicial
Comparando las nuevas probabilidades se puede señalar que la pieza defectuosa
posiblemente proviene del proveedor 2
Nota: El teorema de Bayes se usa en eventos mutuamente excluyentes.

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Ejercicio de refuerzo
Un equipo de beisbol juega 70% de sus partidos por la noche y 30% durante el día. El equipo
gana 50% de sus juegos nocturnos y 90% de los juegos diurnos. De acuerdo con el diario del
día de hoy, ganó ayer. ¿Cuál es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado por la
noche?
DATOS
Sean
A1 = El juego en la noche
A2 = El juego en el día
G = El equipo gana
S= El equipo pierde
Probabilidad a priori
La probabilidad a priori de que el equipo juega en la noche es: P(A1) = 0,70
La probabilidad a priori de que el equipo juega en el día es P(A2) = 0,30
Probabilidades condicionales
La probabilidad de que el equipo gana dado que juega en la noche es: P(G/A1) = 0,5
La probabilidad de que el equipo gana dado que juega en el día es: P(G/A2) = 0,9
Árbol de probabilidades
ETAPA 1 ETAPA 2 PROBABILIDAD DEL RESULTADO
(juegos) (CONDICION)
P(G/A1) P(A1 y G) = P(A1 )P(G/A1) = 0,70 X 0,50 = 0,35
0,5
P(A1) P(S/A1)
0,5 P(A1 y S) = P(A1 )P(S/A1) = 0,70 X 0,5 = 0,35
0,70
0,30
P( A2) P(G/A2) P(A2 y G) = P(A2 )P(G/A2) = 0,30 X 0,90 = 0,27
0,90
P(G/A2)
0,10 P(A2 y S) = P(A2 )P(S/A2) = 0,30 X 0,10 = 0,03

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Lectura delas probabilidades conjuntas
1. La probabilidad de que el equipo juegue en la noche y gane es 0,35
2. La probabilidad de que el equipo juegue en la noche y pierda es 0,35
3. La probabilidad de que el equipo juegue en día y gane es 0,27
4. La probabilidad de que el equipo juegue en el día y pierda es 0,35
Caculo de la probabilidad a posteriori
Se quiere saber cuál es la probabilidad de que el juego se haya realizado en la noche dado que
este se ha ganado.
Entonces en símbolos será: P(A1/G)
P(A1/G) =
𝑃(𝐴₁)𝑃( 𝐺/𝐴₁)
𝑃(𝐴₁)𝑃(𝐺/𝐴₁) +𝑃(𝐴₂)𝑃( 𝐺/𝐴₂)
P(A1/G) =
0,35
0,35+0,27
= P(A1/G) =
0,35
0,35+0,27
= P(A1/G) =
0,35
0,62
= 0,5645
Método tabular
Eventos
(Ai)
Probabilidades
a priori de
P(Ai)
Probabilidades
condicionales
P(G/Ai)
Probabilidad
conjunta
P(Ai y B)
Probabilidades
posteriores
P(Ai /G)
A1 0,7 0,5 0,7 x 0,5 = 0,35 0,35/0,62 = 0,5645
A2 0,3 0,9 0,3 x 0,9 = 0,27 0,27/0,62 = 0,4355
P(G) 0,62 1,00
Ejercicio de tarea:
1. Sea: P(A1) = 0,60; P(A2) = 0,40; P(B1/A1) = 0,05; Y P(B1/A2) = 0,10: Utilice el teorema de
Bayes para determinar P(A1/B1)
2. Sea: P(A1) = 0,20; P(A2) = 0,40; P(A3)= 0,40; P(B1/A1) = 0,25; P(B1/A2) = 0,05; y
P(B1/A3) = 0,10 : Utilice el teorema de Bayes para determinar P(A3/B1)
3. Un profesor ha estado enseñando Estadística por muchos años. Sabe que 80% de los
estudiantes completan los problemas asignados. Determinó que de los alumnos que
hacen las tareas, 90% aprobaron el curso. De aquellos estudiantes que no realizan las
tareas 60% aprobarán. Julio Tuquinga tomó Estadística el último semestre con el profesor
y tuvo calificación aprobatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que si haya hecho las tareas?
4. El departamento de crédito de una negociación comercial, informó que 30% de sus ventas
son en efectivo, 30% se pagan con cheques en el momento de la adquisición y 40% son a

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crédito. Se tiene que 20% de las compras son en efectivo, 90% en cheques y 60% de las
compras a crédito son por más de $ 50,00 ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado en
efectivo?
5. Una empresa tiene 4 proveedores de materia prima, en la siguiente tabla se muestra las
cantidades adquiridas a cada proveedor y el porcentaje de materia prima defectuosa que
cada uno proporciona.
Proveedor
Porcentaje
adquirido
Porcentaje
defectuoso
Esperanza Yuqui 30 2,5
Domènica Barreno 20 1,75
Lisbeth Càceres 25 3
Iván Orden 25 1
El material empleado esta mañana resultó defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se
haya adquirido de la proveedora Domènica Barreno?
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Además de la Estadística de Levin Rubin grupo 4:7 pag. 163-164 realizar los ejercicios del
4:44 al 4:51