estadistica

1. 1
Estadística II
INTRODUCCIÓN A LA
PROBABILIDAD

2. La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que
ocurra un evento. Por tanto, las probabilidades son una medida del
grado de incertidumbre asociado con cada uno de los eventos
previamente enunciados. Si cuenta con las probabilidades, tiene la
capacidad de determinar la posibilidad de ocurrencia que tiene cada
evento.
Introducción
Los valores de probabilidad se encuentran en una escala de 0 a 1.
Los valores cercanos a 0 indican que las posibilidades de que ocurra
un evento son muy pocas. Los cercanos a 1 indican que es casi
seguro que ocurra un evento. Otras probabilidades entre cero y uno
representan distintos grados de posibilidad de que ocurra un
evento. Por ejemplo, si considera el evento “que llueva mañana”, se
entiende que si el pronóstico del tiempo dice “la probabilidad de
que llueva es cercana a cero”, implica que casi no hay posibilidades
de que llueva. En cambio, si informan que la probabilidad de que
llueva es 0.90, sabe que es muy posible que llueva. La probabilidad
de 0.50 indica que es igual de posible que llueva como que no
llueva

3. La probabilidad constituye parte importante de nuestra vida
cotidiana. En la toma de decisiones personales y administrativas,
nos enfrentamos a la incertidumbre y utilizamos la teoría de la
probabilidad, admitamos o no el uso de algo tan complejo. Cuando
escuchamos una predicción de 70% de posibilidades de lluvia,
cambiamos nuestros planes de salir de día de campo y nos
quedamos en casa. Cuando jugamos al TINKA hacemos algunas
estimaciones de probabilidad antes de intentar una jugada
arriesgada. Los administradores que se encargan de inventarios de
ropa de moda preguntarse sobre las posibilidades de que las ventas
alcancen o excedan un cierto nivel.
Introducción

4. TRES TIPOS DE PROBABILIDAD
Existen tres maneras básicas de clasificar la
probabilidad; éstas representan planteamientos
conceptuales bastante diferentes para el estudio de la
teoría de probabilidad. De hecho, los expertos no se
ponen de acuerdo sobre cuál planteamiento es el más
apropiado. Empecemos definiendo.
1. El planteamiento clásico.
2. El planteamiento de frecuencia relativa.
3. El planteamiento subjetivo.

5. 1.- PROBABILIDAD
CLÁSICA:
El planteamiento clásico define la probabilidad de que un evento
ocurra como:
De acuerdo con el enfoque clásico de la probabilidad, si N (A)
resultados elementales posibles son favorables en el evento A, y
existe N (S ) posibles resultados en el espacio muestral y todos
los resultados elementales son igualmente probables y
mutuamente excluyentes; entonces, la probabilidad de que
ocurra el evento A es.
Obsérvese que el enfoque clásico de la probabilidad se basa en
la suposición de que cada uno de los resultados es igualmente
probable. Ésta es una manera bastante complicada de definir
algo
que nos puede parecer intuitivamente obvio.

6. Ejemplos del lanzamiento de la moneda y de los dados de una
manera simbólica. Primero plantearemos la pregunta ¿cuál es la
probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento?
EJEMPLOS:

7. En un mazo de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48
cartas de otro tipo, la probabilidad de obtener un as (A ) en una
sola extracción es:
EJEMPLOS:
A la probabilidad clásica, también se le conoce como probabilidad a
priori, debido a que si empleamos ejemplos ordenados como monedas
no alteradas, dados no cargados y mazos de barajas normales,
entonces podemos establecer la respuesta de antemano (a priori) sin
necesidad de lanzar una moneda, un dado o tomar una carta. No
tenemos que efectuar experimentos para poder llegar a conclusiones
sobre las monedas, los dados no cargados y las barajas normales. En
lugar de experimentos, podemos basar nuestras conclusiones en un
razonamiento lógico antes de realizar el experimento.

8. 2.- EL PLANTEAMIENTO DE FRECUENCIA RELATIVA:
Se determina la probabilidad con base en la proporción
de veces que ocurre un resultado favorable en un
determinado número de observaciones o experimentos.
No hay implícita ninguna suposición previa de igualdad
de probabilidades. Debido a que para determinar los
valores de probabilidad se requiere de la observación y
de la recopilación de datos, a este enfoque se le
denomina también enfoque empírico. La probabilidad de
que ocurra un evento A, de acuerdo con el enfoque de
frecuencia relativa es .

9. En la actualidad, a este planteamiento se le llama frecuencia
relativa de presentación de un evento y define la
probabilidad como:
1. La frecuencia relativa observada de un evento
durante un gran número de intentos o;
2. la fracción de veces que un evento se presenta a la
larga, cuando las condiciones son estables.
Este método utiliza la frecuencia relativa de las
presentaciones pasadas de un evento como probabilidad.
Determinamos qué tan frecuentemente ha sucedido algo en
el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad
de que suceda de nuevo en el futuro. Veamos un ejemplo:
Por ello, la probabilidad de
ocurrencia es:

10. 10
EJEMPLO 1.- Antes de incluir la cobertura para ciertos
tipos de problemas dentales en pólizas de seguros médicos
para adultos con empleo, una compañía de seguros desea
determinar la probabilidad de ocurrencia de esa clase de
problemas, para que pueda fijarse la prima de seguros de
acuerdo con esas cifras. Por ello, un especialista en
estadística recopila datos para 10 000 adultos que se
encuentran en las categorías de edad apropiadas y
encuentra que 100 de ellos han experimentado el
problema dental especifico durante el año anterior.
EJEMPLOS:

11. EJEMPLO 2.- Si en 1 000 lanzamientos de una moneda se
obtienen 529 caras, la frecuencia relativa con la que se
obtienen caras es ?
Si en otros 1 000 lanzamientos se obtienen 493 caras, la
frecuencia relativa en los 2 000 lanzamientos es ?
De acuerdo con la definición estadística, cada vez se estaría
más cerca de un número que representa la probabilidad de que
caiga cara en un lanzamiento de una sola moneda. Según los
resultados presentados, este número sería 0.5 a una cifra
significativa. Para obtener más cifras significativas se necesitan
más observaciones.
EJEMPLOS:
𝑷 𝑨 =
𝟓𝟐𝟗
𝟏 𝟎𝟎𝟎
=.529
Si en 1 000
𝑷 𝑨 =
𝟓𝟐𝟗+𝟒𝟗𝟑
𝟐 𝟎𝟎𝟎
= 0.511
En 2 000

12. 3.- EL PLANTEAMIENTO SUBJETIVO:
Es particularmente apropiado cuando sólo existe una
probabilidad de que el evento ocurra, y se da el caso
de que ocurra o no esa única vez. De acuerdo con el
enfoque subjetivo, la probabilidad de un evento es el
grado de confianza que una persona tiene en que el
evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene
disponible. Debido a que el valor de la probabilidad es
un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina
también enfoque personalista.
En general podemos definir la asignación de
probabilidad subjetiva se dan con más frecuencia
cuando los eventos se presentan sólo una vez o un
número muy reducido de veces.

13. EJEMPLO 1. Debido a los impuestos y a los posibles usos
alternativos de sus fondos, un inversionista ha determinado
que la compra de terrenos vale la pena sólo si existe una
probabilidad de cuando menos 0.90 de que el terreno
obtenga plusvalía por 50% o más en los próximos 4 años. Al
evaluar un determinado terreno, el inversionista estudia los
cambios en los precios en el área en años recientes,
considera los niveles corrientes de precios, estudia el estado
corriente y futuro probable de los proyectos de desarrollo
inmobiliarios y revisa las estadísticas referentes al desarrollo
económico del área geográfica global. Con base en esta
revisión, concluye que existe una probabilidad de
aproximadamente 0.75% de que se dé la plusvalía que
requiere. Como esta probabilidad es menor que la mínima
que requiere, (0.90), no debe llevarse a cabo la inversión.
EJEMPLOS:

14. Probabilidad de lluvia: Un anciano de 70 años dice que es
muy probable que llueva simplemente observando algunos
comportamientos de la naturaleza, a pesar de que el día no
parezca nublado el anciano está convencido que lloverá,
aspectos como el comportamiento de las aves volando hacia
algún lado o el sonido inusual de algunos anfibios le
convencen de que hoy lloverá.
EJEMPLO 2.
EJEMPLO 3.
Probabilidad de ser contratado: Un joven creyente fue a una
entrevista de trabajo donde se encontró que habían otras 30
personas aplicando al mismo puesto, a simple vista la
probabilidad de ser contratado es muy baja, pero el joven con
confianza piensa que el trabajo será suyo.

15. ❑ Se llama espacio muestral S a un conjunto matemático
donde cada elemento representa un resultado posible
(concreto) de un experimento.
ESPACIO MUESTRAL
❑ Es una lista de todos los posibles resultados del
experimento a considerar (que se denota con la letra S
mayúscula). Cuando se usa este método, el espacio
muestral debe contener puntos muestrales igualmente
probables.
POR EJEMPLO:
➢ El espacio muestral para la rodadura de un dado es;
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
➢ El espacio muestral de lanzar una moneda S = {c,s}

16. 16
FINITOS
Por ejemplo, en el experimento de lanzar un
dado y observar el número que sale
S ={v/v = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
ESPACIO MUESTRAL
CONTINUOS
Por ejemplo, en el experimento de
seleccionar al azar un estudiante y
registrar su gasto en libros:
S ={g/g > 0}
DISCRETOS
INFINITOS
Por ejemplo, en el experimento de observar
una casilla de peaje y contar el número de
vehículos que pasan por hora
S ={v/v = 0, 1, 2, 3, ….}
Espacio Muestral: clasificación
Piense en otros experimentos aleatorios, describa el espacio muestral
asociado y clasifíquelo.

17. 17
S
S
S
S

18. 18
Ejercicios de autoevaluación
EJERCICIO N°1.- El representante sindical B. Marcos, tiene
como anteproyecto un conjunto de demandas salariales y de
prestaciones que debe presentar a la dirección. Para tener una
idea del apoyo de los trabajadores al paquete hizo un sondeo
aleatorio en los dos grupos más grandes de trabajadores de la
planta, los maquinistas (M) y los inspectores (I). El
representante entrevistó a 30 de cada grupo con los siguientes
resultados.

19. 19
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un maquinista
seleccionado al azar del grupo sondeado dé un apoyo
moderado al paquete?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un inspector seleccionado
al azar del grupo sondeado esté indeciso respecto al
paquete?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador (maquinista
o inspector) seleccionado al azar del grupo sondeado dé un
apoyo fuerte o moderado al paquete

20. Gerardo Heckmann – FCE, UNC
20
SOLUCION AL EJERCIO DE AUTO EVALUACIÓN

21. ◼ Evento es un sub conjunto del espacio muestral (denotado
con una letra mayúscula distinta de S; usualmente se usa A
para el primer evento). Por tanto, la probabilidad de un
evento A, se lee P(A), es la razón del numero de puntos
que satisfacen la definición de evento A, n(A), al número de
puntos muestrales en todo el espacio muestral, n(S).
EVENTO
• Un evento es cualquier recopilación (subconjunto) de
resultados contenidos en el espacio muestral S. Un evento
es simple si consiste en exactamente un resultado y
compuesto si consiste en más de un resultado.
Se utilizarán letras A, B, C,.... para denotar los eventos, salvo en
el caso del mismo “S” (llamado evento cierto) y del subconjunto
que no contiene ningún resultado posible (conjunto vacío),
denotado por “∅”.

22. 22
Un evento de “S”, puede ser “observar una semilla cualquiera
sana y las otras no”. Este evento esta constituido por los
siguientes puntos muestrales:
A = {+ - - , - + - , - - +}
B = {+ - - , - + - , - - +}
C = {+ - - , - + - , - - +}
OPERACIONES CON SUCESOS.-
Para definir ‘algo’ que mida la aleatoriedad que dentro de sí
llevan los sucesos de un experimento aleatorio es necesario
construir una estructura matemática. Para ello se definen
ciertas operaciones con los sucesos.

23. 23

24. Mariana Gonzalez– FCE, UNC
24

25. Eventos
25
Llamamos evento o suceso a cada resultado de un
experimento aleatorio, es decir, cada elemento del espacio
muestral.
Un evento es simple si está compuesto por un solo
elemento de S o Ω.
Un evento es compuesto cuando se define como la
combinación de dos o más resultados del experimento
aleatorio.
Un evento es imposible si está vinculado al conjunto vacío.
Un evento es cierto si involucra todos los resultados del
espacio muestral.

26. Eventos
26
Si se realizan dos tiradas de la moneda, habíamos dicho que
el espacio muestral sera:
S ={(c,c) (c,x) (x,c) (x,x)}
A partir del mismo podemos definir muchos eventos:
Evento Conjunto Clasificación
Aparecen dos caras A={(c,c)} Evento simple
Aparece una cara B={(c,x) (x,c)} Evento compuesto
No sale ni cara ni cruz C=∅ Evento imposible
Sale cara o cruz D=Ω Evento cierto
Piense en otros eventos a partir de este experimento y clasifíquelos.

27. 27
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos eventos A y B se dicen mutuamente excluyentes
cuando no tienen elementos en común.
Ejemplo: Dados los siguientes eventos
Ω={2,3,4,5,6}; A = {3}; B={2,4}; C={2,4,5,6}
• Los eventos A y B son mutuamente excluyentes
• Los eventos A y C son mutuamente excluyentes
• Los eventos B y C no son mutuamente excluyentes
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
CLASE 4:

28. Familia de eventos
28
Llamamos familia de eventos (A) a la colección que
incluye a todos los eventos simples del espacio muestral y a
todos los eventos compuestos que es posible formar con
ellos. El número de elementos de A puede determinarse
como 2s siendo s = # Ω
En el experimento de tirar la moneda una vez sólo hay
dos resultados posibles:
S ={c,x}
#A = 22=4
A = {∅, c, x, (c,x)}

29. Propiedades de una
familia de eventos
◼ El conjunto vacío y el universal pertenecen a A.
∅ ∈ A
Ω ∈ A
◼ Si A es un evento, el complemento de A también lo será.
𝑆𝑖 𝐴 ∈ A ⇒ 𝐴´ ∈ A
◼ Si A y B son eventos, la intersección de ellos también lo será.
𝑆𝑖 𝐴 𝑦 𝐵 ∈ A ⇒ 𝐴 ∩ 𝐵 ∈ A
◼ Si A y B son eventos, la unión de ellos también lo será.
𝑆𝑖 𝐴 𝑦 𝐵 ∈ A ⇒ 𝐴 ∪ 𝐵 ∈ A
29

30. Propiedades de una
familia de eventos
Generalizando las últimas dos propiedades a un
número n de eventos:
ሩ
𝑖=1
𝑛
𝐴𝑖 ∈ A
ራ
𝑖=1
𝑛
𝐴𝑖 ∈ A
30

31. Probabilidad
31
A cada evento le corresponde una medida de probabilidad.
La probabilidad es un número entre cero y uno asociado a la
posibilidad de que ocurra un suceso.
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
siendo 0 cuando estamos seguros de que no va a ocurrir y 1
cuando estamos seguros de que sí va a ocurrir.

32. Enfoques para determinar
probabilidades
32
Hay tres enfoques para asignar probabilidades a los eventos:
Enfoque clásico
Enfoque frecuencial
Enfoque subjetivo

33. Enfoque clásico
Para aplicar este enfoque son necesarias dos
condiciones:
◼ conocer todos los resultados de Ω
◼ que todos esos resultados sean igualmente posibles
En consecuencia:
33
P(A) = Casos favorables al evento
Casos posibles de Ω

34. Enfoque clásico
Ejemplo: considere el experimento de arrojar un dado.
En este caso, los resultados que forman el espacio muestral son:
Ω={1,2,3,4,5,6}
Si el dado está balanceado, la probabilidad de cada uno de los
resultados es 1/6.
Con este enfoque también podemos calcular otras probabilidades:
34
Evento Conjunto Probabilidad
Aparece un nro. impar A={1,3,5} P(A) =3/6
Aparece un seis B={6} P(B) =1/6
Aparece un nro. menor a 9 C={1,2,3,4,5,6} P(C)=1
Aparece un nro. mayor a 8 D=∅ P(D) =0
Clasifique los eventos A, B, C y D.

35. Enfoque frecuencial
Cuando las condiciones definidas para aplicar el
enfoque anterior no pueden satisfacerse, puede
utilizarse este método para estimar las probabilidades.
35
Cuando el número de veces que se repite un experimento es
grande, la frecuencia relativa se estabiliza alrededor de un valor
que se asemeja a su probabilidad.
𝑃 𝐴 = lim
𝑛→∞
𝑚
𝑛
Donde m es el nro. de veces que se presentó el resultado A y n
es el nro. de veces que se repitió el experimento.

36. Enfoque frecuencial
Ejemplo: una empresa desea conocer la probabilidad de
que un pieza adquirida a su proveedor venga con fallas.
No es posible aplicar el enfoque clásico ya que los dos
resultados posibles (defectuoso/no defectuoso) no son
igualmente probables.
Revisando los registros de las últimas compras encontró lo
siguiente:
36
Condición ni
Defectuoso (D) 5
No defectuoso (ND) 95
Total 100
P(D) = 5 /100

37. Enfoque subjetivo
◼ Varía según la persona que esté analizando el
problema, quien estimará la probabilidad de un evento
según su criterio y la información con que cuente.
◼ No tiene rigor científico.
◼ Prácticamente no se utiliza por las limitaciones que
posee.
Ejemplos:
- La probabilidad de que el alumno x promocione la materia es de 0,70.
- La probabilidad de que nuestro país acuerde con acreedores externos es
de 0,20.
37

38. Enfoques para determinar
probabilidades
38
Indique en cada uno de estos casos el enfoque utilizado para
determinar las probabilidades, justificando su respuesta.
▪ De una muestra aleatoria de 400 empleados de una empresa se obtuvo que 80
de ellos habían pedido licencia por enfermedad por lo menos una vez en el
último año. En base a estos datos se determinó que la probabilidad de que un
empleado pida licencia por enfermedad es 80/400.
▪El gerente de compras de una empresa estima que la probabilidad de que un
pedido llegue a tiempo es de 0,80.
▪La probabilidad de que salga el 3 en esta ruleta se calculó como 1/8.

39. Axiomas o leyes básicas de
probabilidad
A partir del espacio muestral Ω y de la familia de eventos A puede
definirse una función real P que hace corresponder a cada
elemento de A un número comprendido entre cero y uno.
𝑃: A → [0,1]
1) Si tenemos un evento 𝐴 ∈ A , existe una probabilidad P(A)
comprendida entre 0 y 1 que se asocia a dicho evento.
𝐴 ∈ A ⇒ 𝑃 𝐴 ∈ [0,1]
2) La probabilidad del espacio probabilístico es igual a 1.
𝑃 Ω = 1
39

40. Axiomas o leyes básicas de
probabilidad
3) Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, la
probabilidad de su unión es igual a la suma de las probabilidades
de cada uno de ellos.
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
40
Generalizando este axioma a un número n de eventos
mutuamente excluyentes:
𝑃 ራ
𝑖=1
𝑛
𝐴𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑃 𝐴𝑖 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅
Este axioma se conoce como Regla especial de la adición.

41. 41
A partir de los axiomas anteriores podemos deducir
algunos teoremas importantes para el cálculo de
probabilidades
1) La probabilidad del complemento de A es igual a 1 menos la
probabilidad de A.
𝑃 𝐴´ = 1 − 𝑃(𝐴)
Se desprende de los axiomas 2 y 3.
2) La probabilidad del conjunto vacío es igual a cero.
𝑃 ∅ = 0
Teoremas de probabilidad

42. Teoremas de probabilidad
3) Si A y B son eventos no mutuamente excluyentes, la
probabilidad de la unión entre A y B es menor que la suma de las
probabilidades .
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 < 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
42
Si los eventos no son mutuamente excluyentes significa que tienen
resultados en común, o sea que están en ambos eventos
simultáneamente. Si no restamos una vez la probabilidad asociada a
dichos resultados estaríamos duplicando su presencia en la unión.
Este teorema se conoce como regla general de la adición.

43. Axiomas y teoremas de
probabilidad
Debe estudiar las demostraciones de
estos teoremas, que están en la
bibliografía obligatoria (material didáctico
de Estadística I a distancia).
43

44. Regla de la adición
Resumiendo:
𝑃 𝐴 𝑜 𝐵 = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
Sí No
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
44
¿los eventos A y B son mutuamente excluyentes?

45. 45
Ejemplo de aplicación
Dados los siguientes eventos:
Ω={2,3,4,5,6}; A = {3}; B={2,4}; C={2,4,5,6}
Calcule:
a) 𝑃 𝐴
b) 𝑃 𝐵
c) 𝑃 𝐶
d) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵
e) 𝑃 𝐵 ∪ 𝐶
a) P(A) = 1/5 = 0,20
b) P(B) = 2/5 = 0,40
c) P(C) = 4/5 = 0,80
d) P(AB) = P(A) + P(B)
= 0,20 + 0,40 = 0,60
e) P(BC) = P(B) + P(C) – P(BC)
= 0,40 + 0,80 – 0,40 = 0,80

46. Otro ejemplo de aplicación
Los establecimientos agropecuarios de la Provincia de Córdoba han
sido clasificados de acuerdo a sus niveles de producción y de acuerdo
a la zona geográfica donde se encuentran ubicados. Los resultados se
muestran en la siguiente tabla:
46
Zona
Nivel de
pcción.
Zona A
(A)
Zona B
(B)
Zona C
(C)
Total
Alto (D) 69 47 23 139
Mediano (E) 40 25 80 145
Bajo (F) 38 32 36 106
Total 147 104 139 390

47. Otro ejemplo de aplicación
En base a la tabla calcule:
47
a) 𝑃 𝐴
b) 𝑃 𝐸
c) 𝑃 𝐴 ∩ 𝐸
d) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐸
e) 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
f) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵
Solución:
a) 𝑃 𝐴 =
147
390
= 0,377 𝑝𝑟𝑜𝑏. 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
b) 𝑃 𝐸 =
145
390
= 0,372 𝑝𝑟𝑜𝑏. 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
c) 𝑃 𝐴 ∩ 𝐸 =
40
390
= 0,103 𝑝𝑟𝑜𝑏. 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎
d) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐸 =
147
390
+
145
390
−
40
390
= 0,646
e) 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
0
390
= 0
f) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =
147
390
+
104
390
= 0,644

48. Probabilidad condicional
Hay casos en los que tenemos dos eventos que no son
mutuamente excluyentes y donde conocemos de antemano que se
ha producido uno de ellos y nos interesa la probabilidad de que se
verifique el otro evento.
Esto corresponde al concepto de probabilidad condicional.
Si denotamos A al evento condicionado y B al evento condicionante
(evento que ya se ha verificado), la probabilidad condicional se
simboliza P(A/B) y se define:
𝑃 Τ
𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
48

49. 49
En el ejercicio de los establecimientos, si se selecciona
un establecimiento al azar y se conoce que es de la
zona A ¿cuál es la probabilidad de que tenga
un nivel de producción bajo?
Definamos:
A: el establecimiento seleccionado es de la zona A
F: el establecimiento seleccionado tiene un nivel de producción
bajo
𝐴 ∩ 𝐹 es de la zona A y tiene un nivel de producción bajo.
Probabilidad condicional- Ejemplo
𝑃 𝐴 =
147
390
𝑃 𝐹 =
106
390
𝑃 𝐴 ∩ 𝐹 =
38
390

50. Probabilidad condicional- Ejemplo
◼ Entonces:
𝑃( ൗ
𝐹 𝐴) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐹)
𝑃(𝐴)
=
Τ
38 390
Τ
147 390
= 0,259
50
Al calcular probabilidades condicionales
trabajamos en un espacio muestral reducido.
Verifique que la probabilidad calculada coincide con la
frecuencia relativa por columnas calculadas en el Capítulo I.

51. Tablas bidimensionales o de
contingencia
51
Zona
Nivel de
pcción.
Zona A Zona B Zona C Total
Alto 46,9 45,2 16,5 35,6
Mediano 27,2 24,0 57,6 37,2
Bajo 25,9 30,8 25,9 27,2
Total 100,0 100,0 100,0 100,0
Porcentajes por columna nij / n.j

52. Probabilidad conjunta
Hemos visto que:
𝑃 Τ
𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
Despejando:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃( Τ
𝐴 𝐵). 𝑃(𝐵)
Con un razonamiento similar puede expresarse:
𝑃 Τ
𝐵 𝐴 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃( Τ
𝐵 𝐴). 𝑃(𝐴)
52
(1)
(2)

53. Probabilidad conjunta
53
(1)
(2)
Como los primeros miembros de (1) y (2) son iguales
puede escribirse:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃( Τ
𝐴 𝐵). 𝑃(𝐵) = 𝑃( Τ
𝐵 𝐴). 𝑃(𝐴)
Entonces:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃( Τ
𝐴 𝐵). 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃( Τ
𝐵 𝐴). 𝑃(𝐴)
Esto se conoce como regla general de la multiplicación.

54. Probabilidad conjunta-Ejemplo
En una empresa se sabe que el 5% de los artículos son fabricados
por la máquina A. A su vez, la proporción de defectuosos de esta
máquina es de 0,25. Si se selecciona un artículo al azar, ¿cuál es la
probabilidad que sea defectuoso y fabricado por la máquina A?
54
P(A) = 0,05 A= {el artículo ha sido fabricado por la máquina A}
P(D/A) = 0,25 D={el artículo es defectuoso}
Entonces:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐷) = 𝑃( Τ
𝐷 𝐴). 𝑃(𝐴)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐷 = 0,25 . 0,05 = 0,0125
Existe una probabilidad de 1,25% que sea defectuoso y fabricado por la
máquina A

55. Independencia de eventos
55
Dos eventos son independientes si la aparición de
uno de ellos no altera la probabilidad de aparición del
otro. Caso contrario serán dependientes.
Ejemplo:
Si tiramos dos monedas al aire, el resultado de cada una
de ellas (cara o cruz) no está afectado por el resultado de
la otra (cara o cruz). El resultado de la segunda moneda
no depende del resultado de la primera.
Son eventos independientes.

56. Independencia de eventos
56
Por lo tanto, A y B son independientes si:
𝑃( Τ
𝐴 𝐵) = 𝑃(𝐴)
𝑃( Τ
𝐵 𝐴) = 𝑃(𝐵)
Las expresiones anteriores indican que el evento A no está
condicionado por B y viceversa.
En forma equivalente: dos eventos son independientes si la
probabilidad conjunta es igual al producto de las probabilidades
simples:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃 𝐴 . 𝑃(𝐵)
Esto se conoce como regla especial de la multiplicación.

57. 57
Independencia de eventos
Ejemplo:
Si tiramos dos monedas al aire, ¿cuál es la
probabilidad de que en ambas tiradas el resultado
sea cara?
𝑃 𝐶 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐶 . 𝑃 𝐶
𝑃 𝐶 ∩ 𝐶 =
1
2
.
1
2
=
1
4

58. Otro ejemplo
¿Son independientes los eventos A y D?
58
Zona
Nivel de pcción.
Zona A
(A)
Zona B
(B)
Zona C
(C)
Total
Alto (D) 69 47 23 139
Mediano (E) 40 25 80 145
Bajo (F) 38 32 36 106
Total 147 104 139 390
Como no se verifica la igualdad
concluimos que los eventos A y
D no son independientes.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐷 = 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐷
𝑃 𝐴 ∩ 𝐷 =
69
390
= 0,177
𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐷 =
147
390
.
139
390
= 0,134

59. Regla de la multiplicación
Resumiendo:
𝑃 𝐴 𝑦 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
59
Si No
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃(𝐵)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 Τ
𝐴 𝐵 . 𝑃 𝐵
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 Τ
𝐵 𝐴 . 𝑃 𝐴
¿los eventos A y B son independientes?

60. Si los eventos A y B son independientes, también lo son
sus complementos y se demuestra que:
De igual manera se demuestra que:
60
Independencia de eventos
Para demostrarlo aplique las leyes de De Morgan
𝑃 𝐴´ ∩ 𝐵´ = 𝑃 𝐴´ . 𝑃(𝐵´)
𝑃 𝐴´ ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴´ . 𝑃(𝐵)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵´ = 𝑃 𝐴 . 𝑃(𝐵´)

61. Teorema de Bayes
Sean A1 , A2 ,…, An eventos mutuamente excluyentes cuya unión es
igual a Ω, con probabilidades conocidas:
𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛 = Ω 𝑐𝑜𝑛 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ 𝑦 𝑃 𝐴𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑠 ∀ 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
Si B es un evento de Ω, cuyas probabilidades condicionales P(B/Ai)
son conocidas, se pueden encontrar las probabilidades conjuntas:
𝑃 𝐵 ∩ 𝐴𝑖 = 𝑃 𝐵/𝐴𝑖 . 𝑃 𝐴𝑖
61


62. Teorema de Bayes
¿Cuál es la probabilidad total del evento B?
𝑃 𝐵 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑃 𝐵 ∩ 𝐴𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑃 𝐵/𝐴𝑖 . 𝑃 𝐴𝑖
62
Esto se conoce como Regla de la Probabilidad Total y nos
permite obtener la siguiente probabilidad condicional:
𝑃 𝐴𝑖/𝐵 =
𝑃 𝐵 ∩ 𝐴𝑖
𝑃 𝐵
=
𝑃 𝐵/𝐴𝑖 . 𝑃 𝐴𝑖
σ𝑖=1
𝑛
𝑃 𝐵/𝐴𝑖 . 𝑃 𝐴𝑖
Esta fórmula, llamada Teorema de Bayes, se aplica en
situaciones en las que podemos pensar los eventos Ai como
posibles causas del evento B.

63. Ejemplo
Cuatro máquinas la X20, la X21, la X22 y la X23
producen el 0,30; 0,25; 0,15 y 0,30 respectivamente
del total de productos de una industria. La porción de
defectuosos es 0,02; 0,03; 0,05 y 0,07 para cada
máquina.
a) Si se selecciona un producto al azar, ¿cuál es la
probabilidad que sea defectuoso?
b) Si se selecciona un artículo y es defectuoso, ¿cuál es la
probabilidad que haya sido producido por la máquina
X21?
63

64. Ejemplo
Datos
P(D /X20)=0,02
P(X20)=0,30 P(D´/X20)=0,98
P(D /X21)=0,03
P(X21)=0,25 P(D´/X21)=0,97
P(D /X22)=0,05
P(X22)=0,15 P(D´/X22)=0,95
P(D /X23)=0,07
P(X23)=0,30 P(D´/X23)=0,93
64

65. Ejemplo
a) Si se selecciona un producto al azar, ¿cuál es la
probabilidad que sea defectuoso?
Aplicando la Regla de la Probabilidad Total:
P(D)=P(DX20)+P(DX21)+P(DX22)+P(DX23)
=P(D/X20).P(X20)+P(D/X21).P(X21)+P(D/X22).P(X22)+P(D/X23).P(X23)
=0,02 . 0,30 + 0,03 . 0,25 + 0,05 . 0,15 + 0,07 . 0,30
= 0,042
65

66. Ejemplo
b) Si se selecciona un artículo y es defectuoso, ¿cuál es la
probabilidad que haya sido producido por la máquina
X21?
Aplicando el Teorema de Bayes:
𝑃 Τ
𝑋21 𝐷 =
𝑃 𝐷𝑋21
𝑃 𝐷
=
𝑃 Τ
𝐷 𝑋21 . 𝑃(𝑋21)
σ𝑖=0
3
𝑃 𝐷/𝑋2𝑖 . 𝑃 𝑋2𝑖
=
0,03 . 0,25
0,042
= 0,1785
66