conceptos de probabilidad

1. TEORÍA DE
PROBABILIDADES
Profesor:
Ing. EDWIN DURÁN BLANDÓN

2. ¿El por qué de la Probabilidad?
El estudio de fenómenos de diversa naturaleza permite
clasificar éstos en dos grandes grupos:
a) Fenómenos determinísticos: aquellos en los cuales una
misma acción produce siempre el mismo efecto.
b) Fenómenos probabilísticos o aleatorios: aquellos en los
cuales no siempre puede predecirse con certeza el resultado
de una misma acción.

3. Probabilidad y juegos de azar
 La probabilidad matemática
tiene sus orígenes en los
juegos de azar (dados /cartas).
Problemas
a. Contabilizar el Nº de posibles
resultados de lanzar variasveces
un dado.
b. Distribuir gananciasantesdel fin
de juego. (reparto de apuestas)

4. Precursores
 Richard de Fournival (1200-1250)
 Luca Pacioli (1445-1517)
 Girolamo Cardano (1501-1576)
 Niccolo Tartaglia (1499-1557)
 Galileo Galilei (1564-1642)

5. El concepto de probabilidad
 En la antigüedad se lo asocia con el concepto
de incertidumbre, en el sentido de falta de
certeza.
 En el siglo XVII se encuentra un antecedente
del término (“aprobable”) para referirse a
acciones o decisiones que las personas
sensatas harían.
 En el siglo XVIII ya se lo utiliza para referirse a
la toma de decisiones bajo condiciones de
incerteza.
 También aparece la noción lógica de
probabilidad vinculada a la descripción de

6. Filosofía de la probabilidad
¿Qué es la probabilidad?
Objetivistas Subjetivistas Logicistas
propiedad de eventos propiedad de creencias propiedad de enunciados

7. Conceptos de Probabilidad
Un experimento es un proceso que lleva a la ocurrencia de una y sólo una
de varias observaciones posibles. Por lo tanto, un experimento tiene dos o
más resultados posibles y no sabemos cual va a ocurrir.
El resultado es la consecuencia de un experimento en particular. Por
ejemplo, en el experimento de lanzar una moneda al aire hay dos
resultados posibles: sello o águila y no sabemos cual es resultado que
vamos a obtener.
El evento es un conjunto de uno o más resultados de un experimento.
Un ejemplo que nos permite explicar mejor las definiciones anteriores es el
siguiente:
En el experimento de lanzar un dado, el número de resultados posibles
es seis, pero existen muchos eventos posibles (observar un número par,
observar un número mayor que 4, observar un número 3 o menor, etc).

8. Espacio Muestral (S)
Es el conjunto no vacío formado por todos los resultados
posibles y razonables de un experimento aleatorio.
Clasificación
a) Finito: cuando el espacio muestral es un conjunto de
eventos numerable.
b) Infinito: cuando el espacio muestral es un conjunto
eventos no numerable.

9. Ejemplos
EXPERIMENTO ALEATORIO ESPACIO MUESTRAL
a) Analizar 5 solicitudes de crédito y
registrar el número de las que
resultaron aprobadas.
S= {0,1,2,3,4,5}
b) Analizar solicitudes de crédito hasta
que por primera vez se obtenga una
solicitud aprobada.
S= {a, ra, rra,rrra,…,rrrrrrrrrra}
a: aprobada, r: rechazada
c) Observar durante 1 h una taquilla de
cierta agencia bancaria y registrar el
número de personas que realizan por lo
menos una operación.
S= {0,1,2,3,4,5,…,n}
n: total de personas
d) Hacer un pedido para reponer
inventario y registrar el tiempo (en
días) que tardamos en recibirlo.
S={t: t € N}

10. Una primera interpretación
objetiva: La concepción clásica.
¿Quiénes aportaron al desarrollo de esta
concepción?
 Blaise Pascal. (1623-1662)
 Jacobo Bernoulli (1654-1705)
 Thomas Bayes (1702-1761)
 Pierre Simon de Laplace. (1749-1827)

11. La interpretación clásica de la
probabilidad.
Probabilidad
P(A)= Número de casos
favorables
Número de casos
posibles
Caso posible= Equiprobable
Supone Hip. simetría y homogeneidad
 La probabilidad
de que en la
tirada de un
dado resulte el 2
es 1/6.

12. Problemas de la interpretación
clásica.
 El término “igualmente posible” debe ser
definido de manera tal que no suponga el
término probabilidad.
 Si aplicamos esta interpretación para
situaciones donde el número de casos
posibles es infinito, entonces la probabilidad
de cada evento o conjunto de eventos finitos
es siempre 0.

13. 2ºinterpretación objetivista:
Enfoque frecuencialista.
¿Quiénes defendieron este enfoque?
 Ronald Ficher. (1890- 1962)
On the mathematical foundations of theoretical statistics (1922)
 Richard Von Mises (1883-1953)
Probability, Statistic and Truth (1939)
 Hans Reichenbach. (1891-1953)
The Theory of Probability (1949)

14. La interpretación frecuencial
Probabilidad
Numero de instancias positivas
Número de casos observados
 La probabilidad es definida
como el límite de la frecuencia
relativa en una serie infinita.
 Ley de los grandes números.
Sobre 100 tiradas de un dado
salió 22 veces el número 5.
P (5) = 22/100 = 0,22
Frecuencia absoluta E= 22
Frecuencia relativa E= 0,22






 N
N
AP A
N
lim)(

15. Aspectos a tener en cuenta bajo la
interpretación frecuencia relativa
 La probabilidad obtenida de
esta manera es únicamente
una estimación del valor real.
 Cuanto mayor sea el numero
de experimentos, tanto mejor
será la estimación de la
probabilidad.
 La probabilidad es propia de
solo un conjunto de
condiciones idénticas a
aquellas en las que se
obtuvieron los datos, o sea, la
validez de emplear esta
definición depende de que las
condiciones en que se realizo
el experimento sean repetidas
 Dificultad para aplicarla
a casos aislados.
 Dificultad para
especificar cuando una
clase de referencia es
adecuada. (cantidad /
cualidad)
 Problema de la
repetibilidad- (¿cómo
identificamos que se
trata siempre del mismo

16. Por ejemplo, el primero de febrero de 2003 explotó el
transbordador espacial Columbia, siendo el segundo
desastre en 113 misiones espaciales de la NASA. Con
base en esta información, podríamos decir que la
probabilidad de que una misión futura se realice con
éxito es de 111/113, o sea, de 0.98.
La probabilidad de que un evento suceda se determina al
observar en que fracción de tiempo sucedieron eventos
similares en el pasado.
Interpretación frecuencia relativa

17. Se elaboró la siguiente tabla con los 5946 empleados de cierta
institución financiera, según su nivel de ingreso:
NIVEL DE INGRESO (Bs.)
NÚMERO DE
EMPLEADOS
PORCENTAJE
Menos de 500.000 2136 36,0
500.000-999.999 1548 26,0
1.000.000-1.499.999 1202 20,2
1.500.000-1.999.999 648 10,9
2.000.000 o más 412 6,9
Total 5946 100,0
¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso de un empleado sea
menor de 500.000? 0.36= 36%

18. La intepretación subjetivista.
¿Quiénes defendieron este enfoque?
 Frank Ramsey. (1903-1930)
Fundamentos de las matemáticas (1931)
 Bruno de Finetti (1906-1985)
Sul significato soggettivo della probabilitá. (1931)
 Leonard Savage. (1917-1971)

19. La probabilidad subjetiva es la posibilidad de que suceda
un evento en particular que asigna un individuo con base en
la información disponible. Esto curre cuando existe poca o
ninguna experiencia anterior o información sobre la cual
basar la probabilidad, por eso se llega a ella en forma
subjetiva.
Por ejemplo, el profesor de probabilidad y estadística
puede estimar la probabilidad de que un alumno obtenga
una calificación de 10 basándose en la entrega oportuna de
tareas, la eficiencia en las mismas, la participación en clase
y la entrega mostrada durante el curso.

20. ¿Cuándo usamos la
probabilidad subjetiva?
Asignamos probabilidad a eventos tales como:
 Que X persona se enferme.
 Que durante Enero haya muchas lluvias.
 Que un automóvil sufra desperfectos.
 Que Z se destaque en su profesión.
 Que un atleta gane una medalla de oro.
o La probabilidad de estos eventos no depende del
tratamiento matemático ni de la noción de experimentos
repetibles.

21. La interpretación subjetivista.
 Las probabilidades
no son parte del
mundo externo sino
entidades mentales.
Probabilidad = Grado
de creencia.
A B
Elije A -------- Prob. Subj. A > B
Elije B --------- Prob. Subj. B > A
A o B indiferentemente
Prob. Subj = ½

22. ¿Cómo determinar la probabilidad
subjetiva?
Apuesta
1
Apuesta
2
Apuesta
3
Lotería
Pcia.
Bs.As
1000 $ 0 $ 0 $
Lotería
Nacional 0 $ 1000 $ 0 $
Lotería de
Córdoba. 0 $ 0 $ 1000 $
Apuest
a 1
Apuest
a 2
Apuest
a 3
Lotería
Bs As.
1000 $ 0 $ 0 $
Lotería
Nacional 0 $ 1250 $ 0 $
Lotería
de
Córdoba
0 $ 0 $ $ 1500
Caso 1: El apostador es
indiferente ante las tres
apuestas
Caso 2: El apostador es
indiferente ante las tres
apuestas
Pr (1) = Pr (2) = Pr (3)
Pr (1) > Pr (2) > Pr (3)

23. El lenguaje de la probabilidad
Probabilidad de eventos
 ¿Cuál es la probabilidad
de que se produzca un
evento A?
0 ≥ P (A) ≤ 1
No ocurrencia Ocurrencia
Probabilidad de enunciados
 ¿Cuál es la probabilidad de
que el enunciado B sea
verdadero?
0 ≥ P (B) ≤ 1
Falso verdadero
Estadísticos Lógicos

24. La teoría de la probabilidad
 La teoría de la probabilidad es una teoría
matemática axiomatizada, sobre la cual existe un
amplio consenso.
 La formulación usual de la teoría de la
probabilidad se hace en el lenguaje de la teoría
de conjuntos.
 El dominio de la teoría es un conjunto no vacío de
elementos cualesquiera, habitualmente
simbolizado como .
 La probabilidad es una función que asigna
números reales a los subconjuntos de .

25. Los axiomas de Kolmogorov (1903-
1987)
 Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha
definido un ∆ de subconjuntos de Ω y una función P que asigna
valores reales a los miembros de ∆, a los que denominamos
"sucesos", se dice que P es una probabilidad sobre (Ω,∆) si se
cumplen los siguientes tres axiomas.
Primer axioma
 La probabilidad de un suceso es un número real mayor o igual que
0.
P (A) ≥ 0
 Segundo axioma
La probabilidad del total, , es igual a 1.
P (Ω) = 1
 Tercer axioma
Si dos sucesos A y B, son mutuamente excluyentes o
independientes, entonces:
 P (A o B) = P (A) + P (B)

26. Teorema 1
Si A es el conjunto vacio entonces su probabilidad es cero.
Es decir, P(ɸ)=0
Teorema 2
Si A es un evento y A su complemento, entonces,
P(A’)= 1- P(A)
Teorema 3
Sean A y B dos sucesos mutuamente No Excluyentes de un
espacio muestral (S), entonces,
P (A o B) = P (A) + P (B) –P(AnB)
0)( P

27. Probabilidad condicional
Se denomina así a la probabilidad de que ocurra
el evento A dado que ha ocurrido el evento B.
Pr ( A|B) = Pr (A ∩ B)
Pr (A)
Cuando dos sucesos A y B son independientes
se cumple que Pr (A|B)= P (A)

28. Un ejemplo
fármaco Placebo Total
Mejora 500 300 800
No cambia 300 250 550
Empeora 60 180 240
Total 860 730 1590
Pr (mejora) = 800 / 1590 = 0,503
Pr (Mejora | fármaco) = 500 / 860 = 0,581

29. Ejemplos de Probabilidad
Ejercicios de aplicación.
1. En cada uno de los siguientes casos, indique si se utilizó la probabilidad
clásica, empírica o subjetiva.
a) Un jugador de basquetbol comete 30 de 50 faltas. La probabilidad de que
cometa la siguiente falta es de 0.6.
b) Se forma un comité de estudiantes con siete miembros para estudiar los
problemas del ambiente. ¿cuál es la probabilidad de que cualquiera de
los siete sea elegido vocero del equipo?
c) Si compras uno de los 5 millones de boletos vendidos para un sorteo
especial de la Lotería Nacional. ¿cuál es la probabilidad de que ganes el
premio mayor?
d) La probabilidad de que ocurra un terremoto en el norte de california
durante los próximos 10 años es de 0.80 .

30. Ejemplos de Probabilidad
Reglas para calcular probabilidades.
1. Regla general de la adición.
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Para la expresión P(A o B), el conectivo o sugiere que puede ocurrir A o
puede ocurrir B. Esto también incluye la posibilidad de que ocurran A y B.
Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir
los dos eventos al mismo tiempo) la probabilidad conjunta P(A y B) es 0.
Ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de que una carta elegida de una baraja
estándar sea un rey o un corazón?
P(A) = 4/52 P(B) = 13/52 P(A y B) = 1/52
P(A o B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 0.3077

31. Ejemplo
Reglas para calcular probabilidades.
2. Regla del complemento.
P(Ac) = 1 – P(A)
Se utiliza para determinar la probabilidad de que un evento ocurra restando a
1 la probabilidad de que el evento no ocurra. Donde A y Ac son
mutuamente excluyentes.
Ejemplo: Una máquina automática llena bolsas de plástico con una mezcla de
frijoles, brócoli y otras verduras. Debido a la variación en el tamaño de
los frijoles y otras verduras, se hizo una revisión de 4,000 paquetes
obteniendo los siguientes resultados:
Peso Evento No. De paquetes
Menos peso
Satisfactorio
Más peso
A
B
C
100
3600
300

32. Ejemplo
Reglas para calcular probabilidades.
2. Regla del complemento.
a) ¿cuál es la probabilidad de que un paquete esté pasado de peso o le
falte peso?
b) Use la regla del complemento para mostrar que la probabilidad de una
bolsa satisfactoria es de 0.900.

33. Ejemplo
Reglas para calcular probabilidades.
3. Regla general de la multiplicación.
P(A n B) = P(A)*P(B/A)
Donde la P(B/A) se conoce como probabilidad condicional, esto es, la
probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A, lo cual aplica cuando
los dos eventos no son independientes entre sí. Si no hay un efecto de
un evento sobre el otro la regla se simplifica a:
P(A n B) = P(A)*P(B)
Ejemplo: Suponga que hay 10 rollos de película en una caja y se sabe que
tres están defectuosos.
a) ¿cuál es la probabilidad de que los dos primeros rollos seleccionados
sean defectuosos?
P(A n B) = 3/10 P(B/A) = 2/9
P(A n B) = (3/10)(2/9) = 6/90 = 0.07

34. Ejemplo
Reglas para calcular probabilidades.
3. Regla general de la multiplicación.
b) ¿cuál es la probabilidad de que los tres primeros rollos seleccionados
sean defectuosos?

35. Ejemplo
Tablas de contingencias.
Tabla que se utiliza para clasificar las observaciones de las muestras de
acuerdo con dos o más características que se pueden identificar. Es una
tabulación cruzada que resume al mismo tiempo dos variables de interés
y su relación.
Ejemplo: Una encuesta realizada en 150 personas acerca del número de
películas que vieron la semana anterior a la entrevista arrojó los
siguientes resultados:
Películas vistas
Género
TotalHombres Mujeres
0
1
2 o más
Total
20
40
10
70
40
30
10
80
60
70
20
150

36. Ejemplo
Tablas de contingencias.
Ejercicio: Tomando en cuenta la tabla anterior, encuentre:
a) La probabilidad de que las personas entrevistadas no hayan visto
ninguna película la semana anterior.
P(0) = 60/150 = 0.400
b) La probabilidad de que una de las personas entrevistadas que no hayan
visto ninguna película la semana anterior sea mujer.
P(M/0) = 40/60 = 0.6666
c) La probabilidad de que la persona entrevistada no haya visto ninguna
película y sea mujer .
P(0 y M) = P(0)*P(M/0) = (60/150)(40/60) = 0.2666

37. Ejemplo
Diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una gráfica que resulta útil para organizar los cálculos
que comprenden varias etapas. Cada segmento en el árbol es una etapa
del problema. Las ramas de un diagrama de árbol se ponderan por
medio de probabilidades. Por ejemplo, el lanzar una moneda al aire tres
veces se representaría por medio del siguiente diagrama de árbol.
Inicio
águila
águila
águila
sello
sello
águila
sello
sello
águila
águila
sello
sello
águila
sello
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
1/8 = 0.125
1/8 = 0.125
1/8 = 0.125
1/8 = 0.125
1/8 = 0.125
1/8 = 0.125
1/8 = 0.125
1/8 = 0.125

38. Ejemplo
Ejercicios:
1. Cada uno de los vendedores de una compañía obtiene una calificación
de superior al promedio, promedio o inferior al promedio en cuanto a su
habilidad para las ventas. Cada uno obtiene también una calificación por
su potencial para avanzar: aceptable, bueno o excelente. Los resultados
se muestran en la siguiente tabla:
a) ¿Cómo se llama esta tabla?
b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un vendedor que sea superior al
promedio y con excelente potencial?
c) Elabore un diagrama de árbol mostrando todas las probabilidades.
Habilidades para la
venta
Potencial para avanzar
Aceptable Bueno Excelente
Inferior al promedio 16 12 22
Promedio 45 60 45
Superior al promedio 93 72 135

39. Ejemplo
Ejercicios:
2. Se entrevistó a algunos consumidores sobre el número relativo de visitas
a un supermercado (a menudo, en forma ocasional y nunca) y si la
tienda tenía una ubicación conveniente (sí y no). Los resultados se
muestran en la siguiente tabla:
a) ¿Cómo se llama esta tabla?
b) ¿La frecuencia de las visitas y la conveniencia son independientes? ¿por
qué? Interprete su conclusión.
c) Elabore un diagrama de árbol y determine las probabilidades conjuntas.
visitas
Conveniente
Sí No
Con frecuencia 60 20
Ocasional 25 35
Nunca 5 50