1. 3.- Tenemos un tablero cuadriculado de tamaño 8x8 del que se han eliminado dos
esquinas opuestas.
Queremos recubrir el tablero utilizando fichas de
dominó de modo que cada ficha cubra 2 cuadrículas.
Encuentra la combinación o bien demuestra que no es
posible.
¿Qué ocurre con otros tamaños de tablero?
Solución:
1.- Parece lógico empezar considerando el número de cuadrículas que tenemos en nuestro
en nuestro tablero y ver si son pares o impares, ya que como queremos dividirlo en grupos
de 2 cuadrículas, el tablero deberá tener un número par de cuadrículas.
En el caso de nuestro tablero que tiene un tamaño de 8x8 cuadrículas, tenemos:
En nuestro caso podríamos seguir resolviendo el problema, pero respondiendo a la
segunda pregunta que propone el problema, tendríamos que tener muy en cuenta el
tamaño del lado del tablero y comprobar que no es impar.
2.- Distribuimos las fichas de dómino a lo largo del tablero, para ello, las disponemos en
filas o columnas por todo el tablero, como ejemplo se proponen estos 2 casos:
3.- Si nos damos cuenta, y generalizando al resto de casos que no han quedado
representados, siempre quedan 2 cuadrículas desemparejadas, para intentar dar solución
a esta cuestión podemos pintar el tablero como un tablero de ajedrez, alternando

2. cuadrículas de 2 colores. Repitiendo los patrones de distribución de los 2 ejemplos
anteriores y utilizando un tablero con las cuadrículas ya pintadas, obtendríamos lo
siguiente:
Si nos damos cuenta, las 2 cuadrículas que han quedado destapadas, son ambas del
mismo color, blancas, el color contrario al de las cuadrículas que retiramos al principio del
problema. Las cuadrículas que retiramos al principio tenían como condición ser opuestas,
si nos fijamos en la distribución del tablero, al ser opuestas son también del mismo color.
Cada ficha de dominó tapa 2 cuadrículas adyacentes o de diferente color, en
nuestro caso blanca y negra, así que al retirar 2 cuadrículas negras, hemos dejado a otras 2
cuadrículas blancas desemparejadas.
4.- Por extensión no se podría llevar a cabo con ningún otro tamaño de tablero.
5.- A continuación nos podríamos formular la siguiente pregunta, ¿hay algún tipo de pieza,
no necesariamente de dominó, la cual nos permitiera cubrir todo el tablero, habiéndole
quietado previamente 2 esquinas opuestas?
6.- Al quitar las 2 esquinas opuestas, nos quedan:
Color A:
Color B:
Donde l es el número de cuadrículas en cada lado del tablero

3. Al ser la diferencia entre un color y otro de 2, tendríamos que separar el tablero en
2 cuerpos iguales, quedándonos 2 partes con un número impar de cuadrículas y una
diferencia de número de cuadriculas de cada color de solo 1 unidad. Aquí se nos presenta
un problema auxiliar. ¿Qué número de lados debe tener la ficha buscada y qué cantidad de
estas necesitamos para cubrir un tablero con un número de cuadrículas impares?
7.- Pues la única multiplicación cuyo resultado es un número impar, es la de un número
impar, con otro número impar.
En nuestro caso, al dividir el tablero en 2 partes iguales, hemos obtenido 2 partes
de 31 cuadrículas, así que el siguiente paso sería descomponer el número de cuadrículas
de cada parte del tablero en sus factores primos y observar que 2 números impares,
multiplicados nos dan como el resultado nuestro número de cuadriculas.
Nosotros hemos tenido la mala suerte de que el número que tenemos que
descomponer en números primos, ya es primo de por sí, así que las 2 opciones que
tenemos son o bien usar 31 fichas de 1 cuadrícula ó 1 ficha de 31 cuadrículas, resultado
bastante deducible a priori y carente de ningún merito.
8.- Resumiendo, en el tablero del enunciado solo nos quedarían las siguientes
posibilidades:
Nº de cuadrículas de cada pieza Nº de piezas
62 1
31 2
1 62
2 31
La opción de 31 piezas de 2 cuadrículas cada una la hemos descartado por los motivos
descritos entre los apartados 1.- Y 5.-.