1. La proporción áurea
àÉrase una vez en Grecia…
Si hubo en pueblo en la Antigüedad obsesionado por la belleza, ese fue, sin lugar a
dudas, el griego. Las ciudades-estado raramente paraban de combatir entre sí, y no era
muy extraño que las alianzas entre unas y otras mudaran dependiendo de si el viento
soplaba más fuerte desde Atenas o desde Esparta. En verdad, pocas cosas unían real-
mente a todos los habitantes de la convulsa Hélade. Una de ellas eran las Olimpiadas
–que suponían una de esas raras ocasiones de paz–, y otra era la apreciación de lo bello,
en su sentido más amplio: la belleza del cuerpo humano, la de la naturaleza, la de la
arquitectura, la escultura u otras formas de arte… Por eso, no es de extrañar que los
griegos adoptaran como suyo algo que ya conocían los antiguos egipcios, según verifi-
có el gran matemático Herodoto. Éste se dio cuenta de que había una proporción deter-
minada entre elementos que definían las facetas de las pirámides y que, en dicha pro-
porción, quizá pudiera estar oculto el secreto de su perfecta armonía y su increíble
belleza. Me refiero a la proporción áurea, también llamada sección o razón áurea, o
divina proporción; nombre este último que se atribuye a Leonardo da Vinci, estereoti-
po, como pocos, de genio artístico renacentista.
Ángel Gutiérrez
AUTORES CIENTÍFICO TÉCNICOS Y ACADÉMICOS
77
Figura 1. La altura y la inclinación de las facetas de las pirámides
de Egipto guardan una proporción áurea (Fuente:
http://local.wasp.uwa.edu.au)

2. àPero, ¿qué es la proporción
áurea?
Alguien, probablemente un sabio egipcio de hace
cinco mil años, se planteó el modo de dividir un seg-
mento, AB, en dos partes, una mayor, AC, y otra
menor, CB, de manera que la proporción entre la
parte mayor y la menor fuera idéntica a la existente
entre el segmento completo y la parte mayor en que
éste queda dividido ( ). A esa proporción es
a lo que se le llama proporción áurea, y su valor es un
número irracional, 1.618033988749895…, designa-
do por la letra griega Fi (Φ).
Se supone que al valor de la propor-
ción áurea se le denominó Fi porque la misma
fue objetivo de intensos estudios por parte del
célebre escultor griego Fidias.
Crear un segmento áureo
No tengo la menor idea de cómo ese hipotético
sabio egipcio logró dividir un segmento conforme a la
proporción áurea, pero voy a mostrarle un modo sen-
cillo de hacerlo usted mismo con un segmento cual-
quiera, siguiendo estos sencillos pasos:
Figura 2. Proceso de división de un segmento que cum-
pla la proporción áurea (Fuente: http://www.matemati-
cas.net)
(A) Trace el segmento AB y determine su punto
medio, M.
(B) Sobre la perpendicular por el punto B, lleve la
distancia MB, para obtener el punto D. Luego,
una los puntos A y D mediante una línea.
(C) Con centro en D, trace un arco de radio MB.
Su punto de intersección con el segmento AD
nos dará el punto E.
(D) Por último, trace un arco de radio AE con cen-
tro en A, y marque su intersección con el seg-
mento original AB, obteniendo de ese modo
el punto C, que divide al segmento AB confor-
me a la proporción áurea.
Crear un rectángulo áureo
Un rectángulo áureo es aquel cuyos lados se
encuentran en proporción áurea. Así, dado un rectán-
gulo de vértices AFGD, donde AF es el lado largo y
FG el corto, para que sea áureo debe cumplirse que
= Φ (número áureo).
La construcción de un rectángulo de estas carac-
terísticas es muy sencilla. Los pasos a dar son los
siguientes:
Figura 3. Obtención de un rectángulo áureo (Fuente:
http://www.matematicas.net)
(A) Dibuje un cuadrado (en la Figura 3, sus vérti-
ces son ABCD).
(B) Halle el punto medio del lado AB del cuadra-
do, para obtener el punto E.
(C) Con centro en ese punto E, y radio EC, trace
un arco que debe intersecar a la prolongación
del lado AB. De ese modo, obtendrá el punto
F, uno de los nuevos vértices del rectángulo
áureo.
(D) Complete dicho rectángulo, de vértices AFGD
y cuyos lados serán AF (lado largo) y AD
(lado corto).
Una propiedad interesante de los rectángulos
áureos es que, a partir de uno cualquiera de ellos, es
posible obtener otro, simplemente “desdoblando” el
lado largo del rectángulo para crear el lado largo de
un nuevo rectángulo, cuya longitud será la suma de
los dos lados del rectángulo original (Ver la Figura 4).
NOTA:
ACTAACTALa proporción áurea
78

3. àLa enigmática serie de Fibonacci
Leonardo Fibonacci fue quizá el más destacado
matemático de la Europa de los siglos doce y trece. A
él se debe, por ejemplo, la decisiva implantación en
nuestro continente del sistema numérico árabe, que
aún hoy en día utilizamos.
La célebre serie numérica que lleva su nombre no
fue, en realidad, descubierta por él, sino que se atri-
buye a sabios hindúes, que hablan de ella no en
ensayos matemáticos, como sería de esperar, sino,
curiosamente, en tratados gramaticales sobre el idio-
ma sánscrito.
Figura 5. La serie numérica de Fibonacci aparece en el
bestseller Código Da Vinci (Fuente: http://www.experien-
ceplus.co)
En cualquier caso, sí fue el matemático italiano
Fibonacci el primer occidental en recoger esos cono-
cimientos y estudiarlos en profundidad. De ahí la
razón del nombre con el que se conoce a la sucesión
numérica. El primer término de la misma es un cero;
el segundo, es un 1; y, de ahí en adelante, cada nuevo
término se forma por la suma de los dos anteriores.
Por tanto, los diez primeros términos de la serie de
Fibonacci son:
0
1
1 (0 +1)
2 (1 + 1)
3 (1 + 2)
5 (2 + 3)
8 (3 + 5)
13 (5 +8)
21 (8 + 13)
34 (13 + 21)
…
Al ver lo anterior, no resulta nada obvio que exis-
ta una relación entre la serie de Fibonacci y la propor-
ción áurea, pero así es. Probemos a dividir cada tér-
mino por el anterior, y veamos qué ocurre:
= (Bueno, olvidemos este…)
= 1
= 2
= 1.5
= 1.66666…
= 1.6
= 1.6250
= 1.61538…
= 1.61904…
¿Todavía no lo ve? Aceleremos entonces un poco
las cosas y dividamos directamente dos términos más
avanzados de la serie de Fibonacci, del mismo modo
que hemos hecho con los diez primeros. Tomemos,
por ejemplo, los términos cuarenta y treinta y nueve:
La
proporción
áurea
79
Figura 4. “Desdoblando” rectángulos áureos
(Fuente: http://oblivion.net)

4. = 1.618033988749895…
El valor obtenido es el Φ de la proporción áurea
con una precisión absoluta en los primeros quince
decimales. Como puede verse, por tanto, es posible
obtener el valor Fi a partir de la serie de Fibonacci
con diferentes grados precisión, que serán tanto
mayores cuanto más avancemos en la serie.
De hecho, acabo de darme cuenta de que el ape-
llido Fibonacci empieza por Fi. Una casualidad más…
à¿Una proporción realmente
divina?
Diversos estudios han demostrado que ninguna
otra proporción nos parece tan armónica, hermosa y
perfecta como la proporción áurea. No es de extrañar
por ello que aparezca en múltiples aspectos de la cul-
tura humana, como veremos un poco más adelante.
La cuestión es si esta impresión favorable que la
proporción áurea provoca en la inmensa mayoría de
los humanos, es o no casual. En principio podría ser
ese el caso. El apego a la proporción podría tratarse
sólo de una cuestión puramente estética circunstan-
cial o pasajera. Sin embargo, existen ejemplos muy
sorprendentes que apuntan hacia lo contrario…
La proporción áurea en las figuras
geométricas
Siempre se ha dicho que las matemáticas son un
idioma universal. Esa una de las razones por las que
el “lenguaje matemático” se utiliza con asiduidad en
la elaboración de mensajes para eventuales civiliza-
ciones extraterrestres, que nada comprenderían de
ninguno de los idiomas humanos.
Ese aspecto universal de las matemáticas, tan
comúnmente admitido, es lo que vuelve curioso el
hecho de que la proporción áurea aparezca una y
otra vez en la geometría. De ello tenía plena conscien-
cia el sabio Johannes Kepler, que consideraba a la
proporción áurea uno de los dos grandes tesoros, una
joya preciosa, de esta rama de las matemáticas (el
otro tesoro era, según Kepler, el teorema de Pitágo-
ras).
Veamos diversos ejemplos de construcciones geo-
métricas básicas en las que F surge “como por arte de
magia”:
TRIÁNGULO INSCRITO EN UN CÍRCULO
Figura 6. Proporción áurea en una construcción de un
triángulo y un círculo (Fuente: http://goldennumber.net)
(A) La base es un triángulo equilátero inscrito en
un círculo.
(B) Se hallan los puntos medios de dos lados cua-
lesquiera del triángulo (en la Figura 6, son los
puntos A y B).
(C) Uniendo esos dos puntos, A y B, y prolongan-
do este segmento hacia cualquiera de los
lados hasta intersecar con el círculo, obtendre-
mos el punto G.
(D) Se verifica que la proporción entre el segmen-
to AB y el BG (o GA, dado el caso) es la pro-
porción áurea, Fi.
CUADRADO INSCRITO EN UN SEMICÍRCULO
Figura 7. Proporción áurea en una construcción de un
cuadrado y un círculo (Fuente: http://goldennumber.net)
(A) La figura origen es ahora un cuadrado, de
base AB, inscrito en un semicírculo.
(B) Prolongando el segmento AB hacia un lado o
el otro, obtendremos el punto G de intersec-
ción con el círculo.
(C) Se cumple que la proporción entre la base del
cuadrado y el segmento BG (o GA) es Fi.
ACTAACTALa proporción áurea
80

5. La
proporción
áurea
81
PRENTÁGONO INSCRITO EN UN CÍRCULO
Figura 8. Proporción áurea en una construcción de un
pentágono y un círculo (Fuente:
http://goldennumber.net)
(A) Ahora tenemos un pentágono regular inscrito
en un círculo.
(B) De la unión de tres vértices cualesquiera del
pentágono, obtendremos los puntos A, B y G.
(C) Es posible comprobar que la proporción entre
los segmentos AB y BG es, una vez más, Fi.
Con un pentágono regular hay otro modo más
sencillo incluso que el analizado para obtener la pro-
porción áurea. Basta con dividir su diagonal entre el
lado.
Figura 9. Proporción áurea en un pentágono regular
(Fuente: http://centros5.pntic.mec.es)
Los anteriores, son sólo algunos ejemplos, ya que
la proporción áurea se manifiesta en muchas otras
formaciones geométricas. Un caso especialmente lla-
mativo es el de la construcción de una espiral logarít-
mica a partir de triángulos o cuadrados en proporción
áurea, que dejo para un poco más adelante (luego
verá el porqué).
Presencia en la Naturaleza
Los más escépticos pueden argumentar que, a
pesar de ese carácter universal de las matemáticas,
éstas son, en última instancia, una creación humana
y que, por ello, podría existir alguna causa en cierto
modo artificiosa para la presencia de la proporción
áurea en construcciones geométricas.
Pues bien, esos escépticos tendrán más dificulta-
des en explicar la presencia de Fi que parece verificar-
se en la Naturaleza. Algunos ejemplos de ello son:
n La proporción entre ciertas combinaciones de
distancias y periodos orbitales de los planetas
del Sistema Solar (en el que se incluyen al
recién “degradado” Plutón), muestra una gran
proximidad con la proporción áurea.
n La proporción entre elementos del rostro y del
cuerpo humanos, tanto consigo mismos como
de unos con otros, es muy próxima a la propor-
ción áurea. No debe ser por ello casual que el
patrón de belleza por excelencia, el Hombre de
Vitruvio ideado por Leonardo Da Vinci, esté
conforme también con esa proporción.
Figura 10. El Hombre de Vitruvio (Fuente:
http://www.bunkahle.com)
En la página http://www.beautyanaly-
sis.com que, por desgracia está sólo en inglés,
hay un interesante y vistoso estudio sobre los
patrones de belleza que han existido a lo largo
del tiempo. La conclusión a la que llega dicho
estudio es, en pocas palabras, que la belleza NO
es subjetiva, sino que sigue, y siempre ha segui-
do, unas normas rigurosas, que tienen una rela-
ción inequívoca con la proporción áurea.
Algunas teorías (estas, ya demasiado elucubra-
tivas, en mi opinión) incluso ligan con Fi el
NOTA:

6. hecho de que tengamos cinco extremidades en
el cuerpo (las dos piernas, los dos brazos y la
cabeza). Y eso porque Fi puede obtenerse a
partir de operaciones hechas exclusivamente
con el número 5: Φ= 50.5 x 0.5 + 0.5
Otras teorías, también quizá algo fantasiosas,
ligan a Fi con la temperatura corporal de varios
seres vivos, incluido el ser humano, o con el
ritmo cardíaco idóneo.
Lo que sí parece más demostrado es que ciertas
dimensiones de la conocida estructura helicoi-
dal del ADN, guardan entre sí una proporción
muy similar a la áurea.
n Además de los seres humanos, los rasgos y pro-
porciones corporales de otros muchos seres
vivos se acercan a la proporción áurea en
mayor o menor medida (más, en los ejemplares
que se consideran más perfectos, y menos en
los que no lo son tanto). Pueden encontrarse
ejemplos de ello en el mundo animal (en mamí-
feros, aves, peces, insectos, etc.) y también en el
vegetal. Un ejemplo de este segundo tipo es el
girasol, cuyo centro está siempre formado por
55 espirales orientadas en el sentido de las agu-
jas del reloj, a las que se superponen o bien 34
u 89 espirales en sentido contrario. No deja de
ser curioso que 34, 55 y 89 son tres valores con-
secutivos de la serie de Fibonacci.
Relaciones similares con Fi o con la serie de
Fibonacci pueden encontrarse en los patrones
ideales de crecimiento de colonias de insectos,
en la forma de las piñas o en el modo en que
crecen y se extienden las ramas de los árboles.
Uno de los casos más llamativos en estas rela-
ciones es el de un pequeño molusco llamado
Nautilus. Entre en la dirección web
http://www.vashti.net/mceinc/Unfold0.HTM. En
ella, en la parte inferior izquierda del cuadro con
el título “Unfolding the Golden Rectangle”, se
muestra un pequeño cuadrado. Pulse el enlace
NEXT para que se muestre el rectángulo áureo
creado a partir de él. Luego, vaya pulsando
NEXT sucesivamente para que se creen nuevos
rectángulos áureos, unos a partir de los otros,
conforme a esa propiedad peculiar a la que ya
nos referimos antes. Los extremos de las diago-
nales de esos rectángulos nos permiten dibujar
una espiral logarítmica, que en la animación de
la página web se muestra en amarillo.
Una vez que se complete la animación, compare
la espiral resultante con la concha real del peque-
ño molusco Nautilus (ver Figuras 12 y 13).
ACTAACTALa proporción áurea
82
Figura 11. La estructura de los girasoles muestra coincidencias sig-
nificativas con la serie de Fibonacci (Fuente:
http://en.wikipedia.org)
Figura 12. Espiral logarítmica obtenida a partir de rectángulos
áureos (Fuente: http://www.vashti.net/mceinc/Unfold0.HTM)
Figura 13. Concha de un Nautilus (Fuente:
http://www.paleobase.com)

7. La espiral logarítmica anterior puede
obtenerse también a partir de un “remolino” de
triángulos áureos, en vez de uno de rectángulos.
Para más detalles, vea la página, en inglés:
http://jwilson.coe.uga.edu/EMT669/Student.Fol-
ders/Frietag.Mark/Homepage/Goldenratio/gol-
denratio.html
Presencia en las actividades humanas
La proporción áurea y la serie de Fibonacci están
mucho más presentes en lo que nos rodea, e incluso
en nuestra vida cotidiana, de lo que podría parecer.
Un ejemplo típico es su utilización en obras arquitec-
tónicas. Quizá el caso más conocido de este uso sea
el Partenón de Atenas. En efecto, varios de sus ele-
mentos arquitectónicos guardan proporciones muy
cercanas a la áurea.
Por curioso que parezca, el Partenón
está deformado. Y lo está intencionadamente. Su
creador, el genial Fidias –que, por cierto, quería
destruir el templo porque consideraba que le
“había salido” horroroso– introdujo esa deforma-
ción en el diseño, para compensar un efecto
óptico que hacía parecer curvas estructuras que
en realidad eran rectas. De no ser por esa defor-
mación intencionada, es probable que la conver-
gencia del insigne edificio con la proporción
áurea fuera todavía mayor.
La proporción áurea también está presente en
multitud de obras artísticas de diversos tipos:
Pintura. Obras de Miguel Ángel, Durero o
Leonardo da Vinci.
Música. Composiciones de Beethoven, Mozart,
Bach, Satie, Bartók, Schubert o Debussy. Es más,
muchos instrumentos musicales, como los violi-
nes, están construidos siguiendo la proporción
áurea, según recomendaba el propio Stradivarius.
Literatura. En obras como La Eneida, del poeta
Virgilio.
Si quiere escuchar una pequeña pieza
musical compuesta basándose en la serie de
Fibonacci, entre en la página
http://www.it.rit.edu/~jab/Fibo98, vaya hasta el
final de la misma, y pulse el enlace Here PGA-1
now!.
La proporción áurea también se utiliza en la
fabricación de sobres postales, sellos, billetes,
documentos de identificación, e incluso para
determinar el comportamiento de los mercados
bursátiles.
Está, pues, completamente integrada en nuestro
mundo. Sólo falta saber si es o no algo casual…
àUna hermosa curiosidad
Consideremos la proporción aritmética más sim-
ple de todas, que es aquella que resulta de ir añadien-
do consecutivamente la unidad a una variable x. La
ecuación de esta proporción sería, por tanto: y= x +
1, cuya representación gráfica es la que se muestra en
la Figura 15.
Consideremos ahora la proporción geométrica
más básica, cuya forma es y= x2. Su representación
gráfica es la que muestra la Figura 16.
NOTA:
NOTA:
NOTA:
La
proporción
áurea
83
Figura 14. Rectángulos áureos en la fachada del Partenón (Fuente:
http://commons.wikimedia.org)
Figura 15. Representación de la función y=x + 1, que es
una proporción aritmética simple
(Fuente: http://www.vashti.net/mceinc/golden.htm)

8. ACTAACTALa proporción áurea
84
Estas dos proporciones, la aritmética y la geomé-
trica, sólo se cortan dos puntos. O dicho de otro
modo, sólo hay dos valores de la variable x para los
que ambas proporciones tienen exactamente el
mismo valor. Sólo en esos dos casos, la proporción es
aritmética y geométrica al mismo tiempo. ¿Se imagi-
na qué valor debe tener x para que eso ocurra?
Pues precisamente Fi, la proporción áurea. Pero
he dicho que hay dos valores de x válidos. Si el otro
valor no tuviera nada que ver con Fi, la divina pro-
porción ya no parecería tan divina… Lo que ocurre
es que no es así: el otro valor de x que satisface a la
vez ambas proporciones es el inverso de Fi.
Bien, puede que, realmente, no sea casual que el
Universo prefiera la proporción áurea …
Figura 16. Representación de la función y= x2, que es una
proporción geométrica simple
(Fuente: http://www.vashti.net/mceinc/golden.htm)
Figura 17. Representación de los puntos de intersección de
las funciones de proporciones aritmética y geométrica
(Fuente: http://www.vashti.net/mceinc/golden.htm)