geometria analitica

1. EJERCICIOS DE REPASO.
EJERCICIO 1.
Si dos vérticesde untriánguloequiláterosonlospintosA(-3,-2) yB(1,2),encuentrael tercervértice.
Nuestraincógnita: ),( cc yxc
ACBCAB ddd  por ser untriángulorectángulo.
   22
ABABAB yyxxd     22
BCBCBC yyxxd     22
ACACAC yyxxd 
   22
2231 ABd    22
21  CCBC yxd    22
23  CCAC yxd
442
ABd
    423
22
 CCAC yxd
    421
22
 CCBC yxd
        1623423
2222
 CCCC yxyx (I)
        1621421
2222
 CCCC yxyx (II)
Igualando(I) y(II):
    
22
23 CC yx    22
21  CC yx
1296 22
 CCCC xxxx
88 Cx
1Cx
Sustituyendoeste valoren(I):
    16231
22
 Cy
  1624
2
 Cy
  122
2
Cy
122 Cy
232 Cy
RESPUESTA:
Coordenadasdel tercervértice:  232;1)232;1(  yc
EJERCICIO 2.
Si la longituddel ladode uncuadradoes 6 y tiene susladosparalelosal losejesde coordenadasysucentroen el
origenentonces ¿Cuálessonlascoordenadasde susvértices?
Como estamosrefiriéndonosauncuadrado: todas lasdistanciasentre susvérticessoniguales.
Si nombramosAB al lado superiordel cuadrado,yrecordamosque esparaleloal eje “x”,tenemos:

2.    22
ABABAB yyxxd 
0
 2
ABAB xxd 
6 ABAB xxd
Comoel centro del cuadradose encuentraenel origen,entoncesel puntomediode este ladotendrálas
siguientescoordenadas:  MM yP ;0 ;porlotanto resulta:
0
2

 BA xx
Obtenemosel siguiente sistemade ecuaciones:
6 AB xx (I) Sustituyendoel valorde 3Bx en(I):
0
2

 BA xx
3Ax





0
6
AB
AB
xx
xx
62 Bx
3Bx
Si graficamosel planteamientodel ejercicio,nosresultamásfácil determinar susolución:
y
A 3 B
-3 3 x
C -3 D
RERSPUESTA:
)3;3(
)3;3(
)3;3(
)3;3(



D
C
B
A
EJERCICIO 3.
Si el extremode unsegmentoesel puntoA( 5,3) y el puntomediode dichosegmentoesB( 6,1). ¿Cuál esel otro
extremodel segmento?
Nuestraincógnita: ),( cc yxc ,el otro extremodel segmento.
Como B esel puntomediodel segmento: 




 
2
;
2
CACA
M
yyxx
P  1;6MP

3. 6
2
5

 Cx
1
2
3

 Cy
125  Cx 23  Cy
7Cx 1Cy
RESPUESTA:
Coordenadasdel otroextremo: )1,7( c
EJERCICIO 4.
Encuentrala ecuacióndel lugargeométricode lospuntosP(x,y) talesque ladiferenciade loscuadradosde sus
distanciasados puntosA (-2,-1) yB ( 0,3) esigual a 16.
16),(),( 22
 BpdistAPdist
   22
12  yxdPA    22
30  yxdPB
     
016482
16961242
16312
2222
2222



yx
yyxyyxx
yxyx
02082  yx
EJERCICIO 5.
Dado el triánguloconvérticesA(-3,7),B(-7,-5) yC(5,1) encuentralaecuaciónde larecta que es perpendicularala
recta que une lospuntosmediosde losladosABy BC y que pasa por el puntomediode AC.





 
2
;
2
: BABA
AB
yyxx
PM 




 
2
;
2
: CBCB
BC
yyxx
PM 




 
2
;
2
: CACA
AC
yyxx
PM





 
2
57
;
2
73
:ABPM 




 
2
15
;
2
57
:BCPM 




 
2
17
;
2
53
:ACPM
 1;5: ABPM  2;1: BCPM  4;1:ACPM
Ecuaciónde larecta que une los puntosmediosanteriores:
 1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 



 5
51
12
1 


 xy
4
15
4
3
1  xy 0
4
11
4
3
 xy
01143  yx

4. Recta perpendicularalarecta anterior:
Pendientede larectaanterior:
4
3
m , por lotanto larecta perpendiculartendrápendiente:
3
4
m
Recordarrectas perpendiculares: 121 mm
Comola recta buscadatiene
3
4
m ypasa por el punto( 1, 4 ):
 11 xxmyy 
 1
3
4
4  xy
0
3
4
4
3
4
 xy
0834  yx
RESPUESTA: 0834  yx
EJERCICIO 6.
Los ladosde un triánguloestánsobre lasrectas11x – 3y – 1 = 0; 7x + 4y + 23 = 0 y 2x – 3y + 19 = 0. Encuentrasus
vérticesyla longitudde suslados.
Vértice A:





02347
01311
yx
yx
Vértice B:





01932
01311
yx
yx
Vértice C:





01932
02347
yx
yx
3/2347
4/1311


yx
yx
1/1932
1311


yx
yx
4/1932
3/2347


yx
yx
691221
41244


yx
yx
1932
1311


yx
yx
76128
691221


yx
yx
6565 x 209 x 14529 x
1x 9/20x 5x
1311
13)1(11


y
y
9
211
3
193
9
20
2







y
y
93
193)5(2


y
y
4y
27
211
y 3y
A ( -1,-4) B ( 20/9, 211/27) C ( -5, 3)

5.    22
ABABAB yyxxd 
729
101761
81
841
27
319
9
29
4
27
211
1
9
20
2222
























ABd
25.12ABd
   22
BCBCBC yyxxd 
729
24649
81
4225
27
130
9
65
3
27
211
5
9
20
2222
























BCd
27.9BCd
   22
ACACAC yyxxd 
    6549164315
22
ACd
06.8ACd
EJERCICIO 7.
Dadas lasrectas 8x – 6y + 6 = 0 y 24x – 7y – 20 = 0 encuentralaecuaciónde larecta bisectrizdel ánguloagudo.
La bisectrizpasaporel puntode intercepciónentre ambasrectasysu pendienteseráigual ala tangente del
ánguloformadopor lasuma del ánguloque formalarecta 8x - 6y + 6 = 0( que esel ángulomenorde las dos
rectas) y la mitaddel ánguloagudoentre lasdosrectas dadas.
Ánguloagudoentre lasdosrectas dadas:
12
12
1
tan
mm
mm



m₂: esla pendientede larectaque forma el mayorángulocon el eje x ( 24x – 7y – 20 = 0)
7
24
2 m
m₁: esla pendiente de larectaque formael menorángulocon el eje x
3
4
1 m







117
44
3
4
7
24
1
3
4
7
24
1
tan
12
12
mm
mm
  61.20
Pendientede labisectriz:
Bm tan 2/1  B
3
4
arctan1   13.531
 44.5431.1013.53B
5
7
4.144.54tan m

6. Puntode intercepciónentre lasrectasdadas:





020724
0668
yx
yx
6
11
38
68 





x
20724
3/668


yx
yx
44
81
x
20724
181824


yx
yx
3811 y
11
38
y
Ecuaciónde labisectrizconociendoque pasaporel puntoanteriorytiene pendiente iguala7/5.
 11 xxmyy 







44
81
5
7
11
38
xy
220
567
5
7
11
38
 xy 0
220
193
5
7
 xy
0193220308  yx
EJERCICIO 8.
Encuentrala ecuaciónde la rectaque pasa por el puntodonde se cortan las rectas4x + 9y + 7 = 0 y x – 6y – 23 = 0
y el puntoP ( 2, 7).
Puntodonde se cortan lasrectas:





4/236
794
yx
yx
23)3(6 x
92244
794


yx
yx
5x
9933 y
3y
Recta que pasa porlos puntosP( 2, 7) y ( 5, -3):
 1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 



 5
52
37
3 


 xy
3
50
3
10
3  xy 0
3
41
3
10
 xy
041310  yx

7. EJERCICIO 9.
Demuestraque lalongitudde cualquierladodel triángulocuyosvérticessonA ( 5, -2) B ( 2, -2) y C ( 5, -6) es
menorque la sumade los otrosdos.
   22
ABABAB yyxxd 
   22
2225 ABd
3ABd
   22
BCBCBC yyxxd 
   22
6255 BCd
4BCd
   22
ACACAC yyxxd 
   22
6252 ACd
5ACd
ABd < BCd + ACd BCd < ABd + ACd ACd < ABd + BCd
3 < 4 + 5 4 < 3 + 5 5 < 3 + 4
3 < 9 4 < 8 5 < 7
EJERCICIO 10.
Encuentrala ecuación de la rectaque es paralelaala recta determinadaporlospuntosA ( -3, -5) y B ( 2, -2) y que
pasa por el puntoC (-3,0).
Recta que pasa porlos puntosA y B:
 1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 



 3
52
52
5 


 xy
7
9
7
3
5  xy 0
7
26
7
3
 xy
02673  yx
La rectaparalelaa la anteriortiene lamismapendiente:
7
3
m
Recta que tiene pendiente
7
3
m ypasapor el puntoP ( -3, 0 ):
 11 xxmyy 
 3
7
3
0  xy
7
9
7
3
 xy 0
7
9
7
3
 xy
0973  yx

8. EJERCICIO 11.
Dibujalaregión que se encuentraarribade larecta 2x – 9y + 5 = 0, debajode larecta 2x – y + 10 = 0, debajode la
recta 2x – y + 10 = 0 y debajode larecta 2x + 7y – 22 = 0. Escribe las desigualdadesque describenlaregión.
y
10
3
3
1
-5 2 11 x
EJERCICIO 12.
Encuentrala ecuaciónde la rectaque pasa por el puntodonde se cortan las rectas x + 4y = 0 y x - 3y – 7 = 0 y
que tiene pendiente - 6.
Puntodonde se cortan lasrectas x + 4y = 0 y x – 3y – 7 = 0





1/73
04
yx
yx
x + 3 = 7-------------- x =4
73
04


yx
yx
7y
1y
Recta que pasa porel punto ( 4, -1) y tiene pendiente m=-6.
 11 xxmyy 
 461  xy
2461  xy
0236  yx

9. EJERCICIO 13.
Encuentrala distanciaentre lasrectas5x - 3y + 6 = 0 y 5x - 3y – 24 = 0.
Las rectas anterioressonparalelas,dadoque tienenlamismapendiente.Porlotantodeterminamosunpunto
cualquierade unade las rectasy calculamosluegoladistanciade ese puntoa laotra recta.
En la primerarecta,un puntopertenecientealamismasería ( 0, 2 )
Distanciadel puntoanteriorala segundarecta:
  22
00
2,
BA
CByAx
lPd



 
   
5
6
30
35
242305
,
22
2 


lPd
RESPUESTA: La distanciaentre lasrectases de 5 unidades.
EJERCICIO 14.
Encuentrala distanciaentre larecta 5x - 8y + 16 = 0 y el punto P ( 5,-2 ).
  22
00
,
BA
CByAx
lPd



 
   
89
8957
89
89
89
57
89
161625
85
162855
,
22





lPd
 
89
8957
, lPd
EJERCICIO 15.
Dado el triangulocon vértice A (1,7),B (-3,0) y C (6,-2),encuentraladistanciade cada uno de losvérticesal lado
opuestodel triangulo.
Lado AB Lado AC Lado BC
 1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 


  1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 


  1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 



 1
13
70
7 


 xy  1
16
72
7 


 xy  3
36
02
0 


 xy
 1
4
7
7  xy  1
5
9
7 

 xy  3
3
2


 xy
02147  yx 04459  yx 0632  yx
Distanciadel ladoABal vértice C:
22
00
BA
CByAx
d



   
65
6571
65
21842
47
212467
22






d
65
6571
Distanciadel ladoACal vértice B:

10. 22
00
BA
CByAx
d



   
106
10671
106
4427
59
440539
22






d
65
6571
Distanciadel ladoBC al vértice A:
22
00
BA
CByAx
d



   
13
1329
13
6212
32
67312
22






EJERCICIO 16.
Considerael triangulo convérticesA ( 0,4), B (-2,0) y C ( 2,0), encuentralostresángulos del triángulo. ¿Esun
triánguloisósceles?
Lado AB Lado BC Lado AC
 1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 


  1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 


  1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 



 0
02
40
4 


 xy  0
02
40
4 


 xy  2
22
0
0 

 xy
xy 24  xy 24  0y
042  yx 042  yx 0y
Ánguloagudoentre losladosABy BC:
12
12
1
tan
mm
mm



   3
4
41
4
221
22
tan 






 13.53
Ánguloagudoentre losladosABy AC:
12
12
1
tan
mm
mm



2
1
02
tan 


 435.63
Ánguloagudoentre losladosACy BC:
12
12
1
tan
mm
mm



2
1
20
tan 


 435.63
RESPUESTA: El triánguloesisósceles,tienedosángulosiguales.

11. EJERCICIO 17.
Prueba que las rectas2x + y – 11 = 0 y 4x + 2y – 3 = 0 son paralelasyencuentraladistancia entre ellas.
mtan
La pendiente de unarectaesigual a la tangente del ángulode inclinaciónrespectoal eje “x” , en este caso ambas
rectas tienen la misma pendiente, ( -2) por lo tanto tienen el mismo ángulo de inclinación y serán paralelas.
De igual forma dos rectas son paralelas si la distancia entre ellas se mantienen constante. A continuación
determinamos la distancia entre dos puntos diferentes pertenecientes a la primera recta
Distanciasentre lasrectasdadas:
En laprimerarecta,un puntoperteneciente alamismasería ( 0, 11 )
Distanciadel puntoanteriorala segundarecta:
  22
00
2,
BA
CByAx
lPd



 
   
10
519
20
538
20
19
24
311204
,
22
2 


lPd
d
10
519
En la primerarecta,otro puntoperteneciente alamismasería( 1, 9 )
  22
00
2,
BA
CByAx
lPd



 
   
10
519
20
538
20
19
24
39214
,
22
2 


lPd
d
10
519
Por lotanto quedademostradoque al novariar ladistancialasrectas sonparalelas.
EJERCICIO 18.
SeanA (-2,6),B (1,6) y C (-2,3) losvérticesde untrianguloisósceles. Pruebaque el puntoP(-1,4) estásobre la
recta que une a B y a C. Pruebaque lasuma de las distanciasde Pa losladosdel trianguloesigual a ladistanciade
C a la recta AB.
Recta que une a B y C:
 1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 



 1
12
63
6 


 xy
 16  xy
05  yx
Sustituyendolascoordenadasdel puntoenlaecuación:
000541 
Por lotanto el puntopertenece a larecta.

12. Recta AB:Como enlospuntosdadosla coordenada“y” permanece constante,laecuaciónde larectaque pasa
por esospuntosserá:
06 y
Distanciade C a larecta AB:
  22
00
2,
BA
CByAx
lPd



  3
1
63
, 2 

lPd
d 3
Recta que une a A y C: Comoen lospuntosdadosla coordenada“x”permanece constante,laecuaciónde larecta
que pasa por esospuntosserá:
02 x
Distanciade P a la recta AB:
1d 2
Distanciade P a la recta AC:
2d 1
1d dd  32
EJERCICIO 19.
Repite el problema18,peroahora con P (0,5) ¿Podríasencontrar otropunto para el cual se obtengael mismo
resultado?
Recta que une a B y C:
05  yx
Sustituyendolascoordenadasdel puntoenlaecuación:
000550 
Por lotanto el puntopertenece alarecta
Recta AB:
06 y
Distanciade P a la recta AB:
1d 1
Recta AC:
02 x
Distanciade P a la recta AC:
22 d
1d dd  32
Todos lospuntossobre larecta BC cumplenque lasuma de susdistanciasa lasrectas AB y ACes igual a 3.
Ejemplo:P( 1/2; 11/2)

13. 05
2
11
2
1

Distanciade P a la recta AB:
1d
2
1
Distanciade P a la recta AC:
2
5
2 d
1d dd  32
EJERCICIO 20.
Encuentrala ecuaciónde la rectaque cumplaque el áreadel paralelogramoformadoporlasrectasx – y – 2 = 0,
3x - 3y – 1 = 0 y el eje Xsea 2. Recuerdaque el área del paralelogramose obtiene multiplicandolabase porla
altura.La soluciónno esúnica.
l₁:x – y– 2 = 0 l₂:3x - 3y – 1 = 0
Las rectas anterioressonparalelas,tienenlamismapendientem= 1.
Ecuaciónrecta que coincide conel eje “x”: y = 0
Vértice A: Vértice B:





0
133
y
yx





0
2
y
yx
013 x 2x
3
1
x 0y
0y
DistanciaAB:
   22
ABABAB yyxxd 
 
3
5
3
1
2
2
2






 ABAB xxd
Áreadel paralelogramo:
HdA AB 
La alturaH del paralelogramoesladistanciaque separaa larecta CD, que forma el cuarto ladodel paralelogramo
y esparalelaal eje x,por lotanto la ecuaciónde esarecta tienen lasformas:y– H = 0 y + H = 0
5
6
3/5
2

ABd
A
H
RESPUESTA:
0
5
6
y 0
5
6
y