Este documento presenta varios ejemplos de demostraciones mediante inducción matemática. Explica los pasos para probar una proposición por inducción, que incluyen probarla para n=1, asumirla válida para n=k e intentar probarla para n=k+1. Luego, resuelve 8 ejemplos aplicando estos pasos para probar diferentes fórmulas matemáticas.

1. Reflexiones Matemática Nagua, Rep. Dom.
Reflexiones Matemática Prof. Joel Amauris Gelabert S.
829-292-9484.
Inducción matemática.
La inducción matemática:
Es un procedimiento o método de demostración que se utiliza para probar y/o demostrar que algunas operaciones o proposiciones se verifican para cualquier número natural, es decir, ( n N).
Principio de inducción matemática
Si una propiedad p se cumple para un número natural k cualquiera, también se cumplirá para su sucesor k+1 y por consiguiente se cumplirá para cualquier número natural.
Pasos para probar una proposición por inducción matemática
1.- Se prueba la proposición dada para n=1
2.- Se prueba para n=k, lo cual se acepta como verdadero por ser la hipótesis de la inducción.
3.- Si la propiedad se cumple para n=1 y para n=k, entonces se prueba para n=k+1.
Ejemplo 1.
Pruebe por inducción matemática que 3+7+11+………..+4n-1= n (2n+1)
Solución:
Para n=1
4(1)-1=1[2(1)+1]
4-1=1(3)
3=3
Para n=k
3+7+11+……..+4k-1=k (2k+1) hipótesis
Para n=k+1
3+7+11+……. +4k-1 +4(k+1)-1=k+1[2(k+1) +1]
k (2k+1)+4k+4-1=k+1(2k+2+1)
2k2+k+4k+3=2k2+2k+k+2k+2+1
2k2+5k+3=2k2+5k+3 L.Q.Q.D.

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Ejemplo 2.
Pruebe por inducción que n N se cumple que 3+5+7+………+ (2n+1)=n(n+2)
Solución:
Probamos que se cumple para n=1
2(1)+1=1(1+2)
3=3
Si se cumple para n=1, entonces debe cumplirse para n=k
3+5+7+…………+2k+1=k (k+2) hipótesis
Probamos para n=k+1
3+5+7+………..+2k+1+ 2(k+1) +1= (k+1) [(k+1) +2]
Como: 3+5+7+………..+2k+1 es igual a k (k+2) entonces:
k (k+2) +2k+2+1= (k+1)(k+3)
k2 +2k+2k+3= k2+3k+k+3
k2+4k+3= k2+4k+3 L.Q.Q.D.
Ejemplo 3
Probar por inducción matemática que: 1+3+5+……….+2n-1=n2 se cumple para cualquier numero natural.
Solución:
Probamos la propiedad para n=1
2(1)-1= (1)2
2-1=1
1=1.
Probamos ahora para n=k
1+3+5+………..2k-1=k2 hipótesis
Se hace n=k+1 y se prueba la propiedad
1+3+5+……….+2k-1 + 2(k+1)-1= (k+1)2
Como: 1+3+5+……….+2k-1 = k2 tendremos que:
k2+2k+2-1=k2+2(k) (1)+ (1)2 Se desarrolla el cuadrado del binomio (k+1)2
k2+2k+1=k2+2k+1 L.Q.Q.D.

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Ejemplo 4.
Pruebe por inducción que 5+9+13+…………+4n+1=n (2n+3) se cumple para cualquier numero natural.
Solución:
Para n=1
4(1)+1=1[(2(1)+3]
4+1= 1(5)
5=5
Para n=k
5+9+13+………..+4k+1=k (2k+3) hipótesis inductiva
Para n=k+1
5+9+13+………+4k+1 + 4(k+1)+1= (k+1) [2(k+1)+3]
k (2k+3)+4k+4+1=(k+1)(2k+2+3)
2k2+3k+4k+5=k2+2k+3k+2k+2+3
2k2+7k+5= k2+7k+5 L.Q.Q.D.
Ejemplo 5.
Pruebe aplicando el método de inducción matemática que 1.2+2.3+3.4+……..+n(n+1)= se cumple para cualquier numero natural.
Solución:
Paso 1.
Se hace la prueba para n=1
1(1+1)=
1(2)=
2=
2=2
Paso 2.
Ahora se hace n=k
1.2+2.3+3.4+……..+k (k+1)= hipótesis inductiva

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Paso 3.
Se hace n=k+1
1.2+2.3+3.4+……..+k (k+1) + (k+1) (k+1+1) =
La parte subrayada se sustituye por por lo que:
+ (k+1) (k+2) =
Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo.
=
Extrayendo (k+1) (k+2) como factor común del lado izquierdo, nos queda que:
= L.Q.Q.D.
Ejemplo 6.
Pruebe por inducción matemática que
1.3+2.4+3.5+………..+n(n+2)= se cumple para cualquier numero natural.
Solución:
Paso 1.
Verificamos si la proposición se cumple para n=1
1(1+2)=
1(3)=
3=
3=3
Paso 2.
Al cumplirse para n=1, ahora se sustituye por n=k
1.3+2.4+3.5+………..+k (k+2)= hipótesis
Paso 3.
Se sustituye a n por k+1
1.3+2.4+3.5+………..+k (k+2) + (k+1) (k+1+2) =
La parte subrayada se sustituye por la expresión:

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Por tanto:
+ (k+1) (k+1+2) =
+ (k+1) (k+3) =
Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo.
=
Del lado izquierdo se extrae (k+1) como factor común
=
Se multiplica k (2k+7) y 6(k+3)
=
=
Se toma el trinomio 2k2+13k+18 y lo factorizamos.
Este trinomio tiene la forma ax2+bx+c, por lo que:
2(2k2)+2(13k)+2(18)
(2k)2+13(2k)+36
Haciendo a=2k, se tiene que:
a2+13a+36
(a+9)(a+4), pero como a=2k
(k+2)(2k+9)
Sustituyo estos factores en el lugar del trinomio 2k2+13k+18
=
= L.Q.Q.D.

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Ejemplo 7.
Pruebe aplicando el método de inducción que 0.1+1.2+……+(n-1)n = se cumple para cualquier numero natural.
Solución:
Paso 1.
Se sustituye n por 1.
(1-1)(1)=
(0)(1) =
0 =
0 = 0
Paso 2.
Se sustituye a n por k.
0.1+1.2+…….+ (k-1) k = hipótesis inductiva.
Paso 3.
Se sustituye n por k+1
0.1+1.2+……. + (k-1) k + (k+1-1) (k+1) =
La parte subrayada se sustituye por
+k (k+1) =
Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo.
=
Se extrae k (k+1) como factor común
=
Simplificando nos queda:
= L.Q.Q.D.

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Ejemplo 8.
Pruebe por inducción matemática que
+ +…….+ = se cumple n N.
Solución:
Paso 1
Se sustituye n por 1
=
=
=
Paso 2
Se sustituye n por k
+ +…….+ = hipótesis inductiva
Paso 3.
Se sustituye n por k+1
+ +……+ + =
La parte de la elipse se sustituye por
+ =
+ =
Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo.
=
Se extrae (4k+1) como factor común y simplificamos.
=

8. Reflexiones Matemática Nagua, Rep. Dom.
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=
Se multiplica k por (4k+5)
=
Factorizamos el trinomio 4k2+5k+1
Como tiene la forma ax2+bx+c, se procede del siguiente modo.
4(4k2)+4(5k)+4(1)
(4k)2+5(4k)+4
Hacemos a=4k
a2+5a+4
(a+4)(a+1)
Y como a=4k,
Entonces:
(k+1)(4k+1)
= simplificamos eliminando (4k+1)
= L.Q.Q.D.

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Ejercicios propuestos.
Pruebe por el método de inducción matemática que las siguientes proposiciones se cumplen para cualquier número natural.
1.- 12+22+32+………..+n2 =
2.- 13+23+33+…………+n3 =
3.- 12+32+52+…………+(2n-1)2 =
4.- + +………….+ =
5.- 2+6+10+…………..+ (4n-2)= 2n2
Sustituye a n por cualquier número natural y pruebe que An es divisible por b.
1.- An=22n -1 b=3
2.- An=n (2n2-3n+1) b=6
3.- An=n3+5n b=6
4.- An=n5-n b=5
5.- An = 4n -1 b=3