INDUCCIÓN MATEMÁTICA, breve resumen

1. Escuela Militar de Ingeniería
ALGEBRA I
ING. ENRIQUE BUSTAMANTE BERRIOS
PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar
proposiciones que dependen de una variable que toma una infinidad de valores
Enteros.
https://youtu.be/yEfz3ZsX02s
Sea P una propiedad definida en los números naturales (enteros positivos) .
Si 1 satisface esa propiedad y además si a partir de cualquier natural n que
satisface esa propiedad se llega a que n + 1 , también la satisface, entonces
cada número natural la satisface.
Para probar que una propiedad P se cumple en los números naturales, usando
el principio de inducción matemática, se siguen los siguientes pasos:
1. Se comprueba para n = 1 ( Comprobación ) .
2. Se asume que se cumple para n = k ( Hipótesis de inducción).
3. Se predice que se cumple para n = k + 1 ( Tesis ) .
4. Se demuestra que si se cumple para n = k , entonces se cumple
para n = k + 1 ( Demostración ) .
Observación: En algunos casos la propiedad se cumple a partir de un cierto
natural m. Dada esa situación, en el primer paso se comprueba
para n = m ( Vea el ejemplo 3) .
Demuestre por inducción matemática que:
Si n es un entero positivo, entonces n ( n + 1 ) es divisible por 2:
1) Sea n = 1 , entonces n ( n + 1 ) = 2 ( Verdadero )
2) Hipótesis inductiva: k ( k + 1 ) es divisible por 2
3) Tesis: ( k + 1 ) ( k + 2 ) es divisible por 2
4) Demostración:
5) ( k + 1 ) ( k + 2 ) = k ( k + 1 ) + 2 ( k + 1 )
6) k ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Hipótesis )

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7) 2 ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Entero par )
8) Por lo tanto ( k + 1 ) ( k + 2 ) es divisible por 2
Demuestre por inducción matemática que:
2 ) Si n es un entero positivo, entonces 3 2 n + 7 es divisible por 8 .
a ) Sea n = 1 , entonces 3 2 n + 7 = 16 ( Verdadero )
b ) Hipótesis inductiva: 3 2 k + 7 es divisible por 8
c ) Tesis: 3 2 ( k + 1 ) + 7 es divisible por 8
d ) Demostración:
3 2 k + 7 es divisible por 8 ( Hipótesis )
9 ( 3 2 k + 7 ) es divisible por 8
3 2 k + 2 + 63 es divisible por 8
3 2 ( k + 1 ) + 63 – 56 es divisible por 8
Por lo tanto 3 2 ( k + 1 ) + 7 es divisible por 8
EJEMPLO
Pruebe que todo numero natural n es: