1. Se define la integral de línea de un campo escalar como una suma de Riemann tomada a lo largo de una curva. Esta suma se aproxima como la suma de los valores de la función en cada subarco de la curva, multiplicados por la longitud de dicho subarco.
2. La integral de línea puede calcularse respecto a la longitud de arco de la curva o respecto a las variables paramétricas de la curva.
3. Se presentan ejemplos numéricos de cálculo de integrales de línea para diferentes funciones y curvas dadas paramétric
This document provides an overview of mechanics of solids unit 2, which covers stresses in beams, deflection of beams, and torsion. It discusses key topics like pure bending, normal and shear stresses in beams, composite beams, deflection equations, and combined bending and torsion. The main assumptions and theories of simple bending are explained, including the relationship between bending moment and stress, neutral axis, and modulus of rupture. Beams of uniform strength and varying width/depth are also covered.
El documento describe las propiedades mecánicas de los materiales como la resistencia, rigidez, elasticidad y plasticidad. Explica que la deformación se define como el cambio de forma de un cuerpo debido a una fuerza aplicada, y que el esfuerzo se define como la intensidad de fuerzas internas que resisten un cambio de forma. También resume la ley de Hooke y cómo se relaciona el esfuerzo y la deformación en un diagrama de esfuerzo-deformación.
Este documento trata sobre cargas distribuidas continuamente a lo largo de líneas y cómo determinar la fuerza y el momento resultantes de dichas cargas. Explica que la fuerza de una carga distribuida en un elemento dx de longitud se calcula como w dx y que la fuerza total es la integral de la curva de carga w respecto a x. Luego presenta un ejemplo de calcular las reacciones en los apoyos de una viga sometida a una carga triangular distribuida.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de elasticidad y deformación de materiales. Introduce la elasticidad, la relación entre cuerpos elásticos e inelásticos, y los diagramas de esfuerzo-deformación. Explica la ley de Hooke, los tipos de deformación, y define conceptos clave como esfuerzo, deformación, límite elástico y resistencia a la rotura. Además, introduce los módulos de elasticidad como una medida cuantitativa de la elasticidad de un material.
Este documento presenta ejercicios resueltos de física sobre temas como conversiones de unidades, operaciones con números en notación científica, cambios de unidades, vectores, materia y energía, y calor, con el objetivo de que los estudiantes revisen los conceptos aprendidos. Incluye la solución detallada de varios problemas y preguntas sobre estos temas.
El documento presenta información sobre campos magnéticos. Define el campo magnético B y discute cómo se puede determinar la dirección de las fuerzas sobre cargas en movimiento utilizando las reglas de la mano derecha y izquierda. También explica que una carga que se mueve perpendicular a un campo B experimentará una fuerza centrípeta y describie dispositivos como el selector de velocidad y el espectrómetro de masa que usan esta interacción entre cargas y campos magnéticos.
Este documento presenta los diferentes estados de la materia, incluyendo sólidos, líquidos, gases, plasma, condensados de Bose-Einstein y condensados fermiónicos. También describe la estructura atómica y define conceptos como densidad, peso específico y presión. Finalmente, explica experimentos como el de Torricelli para medir la presión atmosférica.
This document defines and classifies different types of waves. It discusses mechanical waves, which require a medium, and electromagnetic waves, which do not. It also defines key wave properties like amplitude, wavelength, frequency, velocity, and how they are related through the wave equation. An example problem calculates wavelength given sound velocity and frequency.
This document provides an overview of mechanics of solids unit 2, which covers stresses in beams, deflection of beams, and torsion. It discusses key topics like pure bending, normal and shear stresses in beams, composite beams, deflection equations, and combined bending and torsion. The main assumptions and theories of simple bending are explained, including the relationship between bending moment and stress, neutral axis, and modulus of rupture. Beams of uniform strength and varying width/depth are also covered.
El documento describe las propiedades mecánicas de los materiales como la resistencia, rigidez, elasticidad y plasticidad. Explica que la deformación se define como el cambio de forma de un cuerpo debido a una fuerza aplicada, y que el esfuerzo se define como la intensidad de fuerzas internas que resisten un cambio de forma. También resume la ley de Hooke y cómo se relaciona el esfuerzo y la deformación en un diagrama de esfuerzo-deformación.
Este documento trata sobre cargas distribuidas continuamente a lo largo de líneas y cómo determinar la fuerza y el momento resultantes de dichas cargas. Explica que la fuerza de una carga distribuida en un elemento dx de longitud se calcula como w dx y que la fuerza total es la integral de la curva de carga w respecto a x. Luego presenta un ejemplo de calcular las reacciones en los apoyos de una viga sometida a una carga triangular distribuida.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de elasticidad y deformación de materiales. Introduce la elasticidad, la relación entre cuerpos elásticos e inelásticos, y los diagramas de esfuerzo-deformación. Explica la ley de Hooke, los tipos de deformación, y define conceptos clave como esfuerzo, deformación, límite elástico y resistencia a la rotura. Además, introduce los módulos de elasticidad como una medida cuantitativa de la elasticidad de un material.
Este documento presenta ejercicios resueltos de física sobre temas como conversiones de unidades, operaciones con números en notación científica, cambios de unidades, vectores, materia y energía, y calor, con el objetivo de que los estudiantes revisen los conceptos aprendidos. Incluye la solución detallada de varios problemas y preguntas sobre estos temas.
El documento presenta información sobre campos magnéticos. Define el campo magnético B y discute cómo se puede determinar la dirección de las fuerzas sobre cargas en movimiento utilizando las reglas de la mano derecha y izquierda. También explica que una carga que se mueve perpendicular a un campo B experimentará una fuerza centrípeta y describie dispositivos como el selector de velocidad y el espectrómetro de masa que usan esta interacción entre cargas y campos magnéticos.
Este documento presenta los diferentes estados de la materia, incluyendo sólidos, líquidos, gases, plasma, condensados de Bose-Einstein y condensados fermiónicos. También describe la estructura atómica y define conceptos como densidad, peso específico y presión. Finalmente, explica experimentos como el de Torricelli para medir la presión atmosférica.
This document defines and classifies different types of waves. It discusses mechanical waves, which require a medium, and electromagnetic waves, which do not. It also defines key wave properties like amplitude, wavelength, frequency, velocity, and how they are related through the wave equation. An example problem calculates wavelength given sound velocity and frequency.
Problemas seleccionado: Física para la ciencia de la vida David Jou y otros, Física para las ciencias de la vida, Alan Cromer, Física Holliday. Elaborado por Javier Hernández Muñante
Esta práctica evaluó el comportamiento a flexión de dos probetas de madera de diferentes tipos sometidas a una carga creciente. Se midieron las dimensiones de las probetas de guayacán blanco y saman y se determinaron sus propiedades como área e inercia. Las probetas se colocaron en una máquina de ensayos universal programada para aumentar gradualmente la carga. Se registró la carga máxima antes de la falla de cada probeta y el ángulo de falla. Los resultados incluyeron tablas con los datos de las probet
Este documento presenta el movimiento de proyectiles. Explica que un proyectil se mueve bajo la influencia de la gravedad y que su movimiento puede descomponerse en componentes horizontales y verticales. Proporciona ecuaciones para calcular la posición, velocidad, tiempo y otros parámetros del movimiento de proyectiles dados la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar estas ecuaciones para resolver problemas de movimiento de proyectiles.
*elasticity, elastic limit, stress, strain, and ultimate strength.
*Write and apply formulas for calculating Young’s modulus, shear modulus, and bulk modulus.
*types of stress
*longitudinal stress and strain
*elastic limit
*modulus of elasticity
*Solve problems involving each of the parameters in the above objectives.
El documento define conceptos clave de trabajo, energía y potencia. Explica que el trabajo realizado por una fuerza es igual al cambio en la energía cinética de un objeto. Introduce la energía potencial asociada a fuerzas conservativas como la gravedad. Finalmente, establece que la suma de la energía cinética y potencial de un sistema se conserva, definida como su energía mecánica total.
Este documento presenta los conceptos de equilibrio rotacional y traslacional. Explica que para que un objeto esté en equilibrio, la suma de todas las fuerzas y la suma de todos los momentos de torsión sobre el objeto deben ser cero. Proporciona ejemplos como un puente y una rueda para ilustrar estos conceptos y presenta las condiciones matemáticas para el equilibrio traslacional y rotacional.
Este documento presenta una introducción a la mecánica de fluidos, vibraciones y termodinámica. Está dividido en varias secciones que cubren temas como hidrostática, hidrodinámica, oscilaciones, movimiento ondulatorio y más. Incluye numerosos ejemplos y ilustraciones para explicar los conceptos físicos fundamentales. El documento fue escrito por Terenzio Soldovieri C. de la Universidad del Zulia en Venezuela y se encuentra actualmente en edición y revisión.
El documento describe las propiedades del torque o momento de fuerza que se produce cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo rígido, causando una rotación. También explica que los imanes producen un campo magnético que puede medirse y representarse con líneas de fuerza, y que las cargas eléctricas en movimiento dentro de un campo magnético experimentan una fuerza magnética perpendicular a su velocidad y al campo. Finalmente, señala que las corrientes eléctricas también generan campos magnéticos medibles.
Este documento presenta conceptos fundamentales de elasticidad como la ley de Hooke, el módulo de Young, la flexión y el coeficiente de Poisson. Incluye 18 problemas de aplicación sobre estos temas, como determinar la constante elástica de un muelle, calcular la deformación de una barra sometida a fuerza o hallar la energía necesaria para estirar una barra de acero.
El documento explica cómo utilizar el círculo de Mohr-Land para calcular los momentos de segundo orden con respecto a cualquier par de ejes, determinar los ejes principales de inercia de una sección y hallar el eje conjugado de inercia de cualquier eje baricéntrico. Se traza el círculo de Mohr-Land a partir de los momentos de inercia de la sección y se definen los ejes principales como aquellos cuya tangente pasa por el polo del círculo.
Este documento resume conceptos clave sobre trabajo, potencia, energía mecánica y térmica. Explica definiciones como trabajo, potencia y diferentes formas de energía. También describe máquinas simples como la palanca, polea y tornillo, y cómo transmiten fuerzas. Finalmente, cubre temas de calor, temperatura y cómo la energía térmica se puede convertir en otras formas a través de máquinas como la máquina de vapor.
El documento trata sobre esfuerzo y deformación. Explica que el esfuerzo es la relación entre fuerza y área y que la deformación unitaria describe la deformación relativa de materiales bajo fuerzas aplicadas. Luego describe los diferentes tipos de deformaciones como la deformación axial basada en la ley de Hooke y las deformaciones de los materiales que pueden ser elásticas, plásticas o viscosas.
Este documento explica los conceptos básicos de los capacitores y la capacitancia. Define la capacitancia como la relación entre la carga almacenada y la diferencia de potencial en un capacitor. Explica que la capacitancia depende directamente del área de las placas y de la permitividad del material dieléctrico, e inversamente de la distancia entre las placas. También presenta fórmulas para calcular la capacitancia.
Este documento presenta conceptos sobre la conservación de la cantidad de movimiento y diferentes tipos de choques entre objetos, incluyendo choques elásticos e inelásticos. Explica la diferencia entre choques elásticos e inelásticos, y cómo aplicar la conservación de la cantidad de movimiento y la energía para calcular velocidades antes y después de un choque. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos.
El documento explica el concepto de momento de una fuerza con respecto a un eje. Define el momento como la proyección del vector momento de una fuerza a lo largo de un eje, y presenta una fórmula para calcularlo directamente a partir de la fuerza y la posición del punto de aplicación. También cubre cómo calcular el momento cuando el eje no pasa por el origen. Finalmente, ilustra los conceptos con un ejemplo numérico.
El documento explica los conceptos fundamentales sobre la distribución de esfuerzos en vigas curvas sometidas a flexión. Describe que el eje neutro y el eje centroidal no coinciden en vigas curvas, dando lugar a una variación hiperbólica de los esfuerzos en lugar de lineal. Además, presenta fórmulas para calcular el radio del eje neutro y los esfuerzos máximos en las fibras interna y externa.
Este documento describe los tres estados de la materia (sólido, líquido y gas) y sus propiedades. También explica conceptos clave como presión, densidad, coeficiente de compresibilidad y cómo varía la presión dentro de un fluido. Finalmente, presenta el principio de Pascal y cómo se aplica en una prensa hidráulica para amplificar fuerzas.
This document discusses concepts related to circular motion including arc length, angular velocity, and linear velocity. It defines arc length as the portion of a circle measured in linear units, which can be calculated using the formula L=Rθ where L is arc length, R is radius, and θ is the central angle in radians. Angular velocity is defined as the angle turned per unit of time and its formula is presented. Linear velocity is the speed an object moves along a circular path, which is equal to the product of angular velocity and radius. Several example problems are worked through applying these concepts and formulas.
Presentacion de trabajo, energia y potenciajose cruz
El documento explica conceptos fundamentales sobre el trabajo mecánico en física. Define el trabajo como la transferencia de energía cuando una fuerza vence la resistencia y causa un desplazamiento. Explica que el trabajo es igual al producto de la fuerza por la distancia recorrida, y que su unidad en el SI es el joule. Presenta ejemplos numéricos para calcular el trabajo realizado por diferentes fuerzas en diversas situaciones.
Este documento describe un experimento realizado para hallar el momento de inercia de un disco y un anillo mediante el uso de instrumentos como una mesa rotatoria, un disco, un anillo y una balanza. Se midieron las dimensiones y masas de los objetos, y se tomaron tiempos para caídas y paradas de rotación. Con estos datos se calcularon la energía perdida por fricción y los momentos de inercia teóricos y experimentales, encontrando errores pequeños. El propósito fue determinar experimentalmente el momento de inercia y verificarlos con
Un HTPC o Media Center es un ordenador diseñado para estar conectado al televisor y ofrecer entretenimiento multimedia como música, películas, fotos y videojuegos. Para montar un Media Center se necesita una placa base, procesador, memoria RAM, disco duro, tarjeta de video, tarjeta de sonido, unidad DVD/BD, software y sistema operativo. Un barebones es un PC más pequeño y portátil diseñado también para multimedia, pero a diferencia del Media Center no requiere arrancar un sistema operativo.
Problemas seleccionado: Física para la ciencia de la vida David Jou y otros, Física para las ciencias de la vida, Alan Cromer, Física Holliday. Elaborado por Javier Hernández Muñante
Esta práctica evaluó el comportamiento a flexión de dos probetas de madera de diferentes tipos sometidas a una carga creciente. Se midieron las dimensiones de las probetas de guayacán blanco y saman y se determinaron sus propiedades como área e inercia. Las probetas se colocaron en una máquina de ensayos universal programada para aumentar gradualmente la carga. Se registró la carga máxima antes de la falla de cada probeta y el ángulo de falla. Los resultados incluyeron tablas con los datos de las probet
Este documento presenta el movimiento de proyectiles. Explica que un proyectil se mueve bajo la influencia de la gravedad y que su movimiento puede descomponerse en componentes horizontales y verticales. Proporciona ecuaciones para calcular la posición, velocidad, tiempo y otros parámetros del movimiento de proyectiles dados la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar estas ecuaciones para resolver problemas de movimiento de proyectiles.
*elasticity, elastic limit, stress, strain, and ultimate strength.
*Write and apply formulas for calculating Young’s modulus, shear modulus, and bulk modulus.
*types of stress
*longitudinal stress and strain
*elastic limit
*modulus of elasticity
*Solve problems involving each of the parameters in the above objectives.
El documento define conceptos clave de trabajo, energía y potencia. Explica que el trabajo realizado por una fuerza es igual al cambio en la energía cinética de un objeto. Introduce la energía potencial asociada a fuerzas conservativas como la gravedad. Finalmente, establece que la suma de la energía cinética y potencial de un sistema se conserva, definida como su energía mecánica total.
Este documento presenta los conceptos de equilibrio rotacional y traslacional. Explica que para que un objeto esté en equilibrio, la suma de todas las fuerzas y la suma de todos los momentos de torsión sobre el objeto deben ser cero. Proporciona ejemplos como un puente y una rueda para ilustrar estos conceptos y presenta las condiciones matemáticas para el equilibrio traslacional y rotacional.
Este documento presenta una introducción a la mecánica de fluidos, vibraciones y termodinámica. Está dividido en varias secciones que cubren temas como hidrostática, hidrodinámica, oscilaciones, movimiento ondulatorio y más. Incluye numerosos ejemplos y ilustraciones para explicar los conceptos físicos fundamentales. El documento fue escrito por Terenzio Soldovieri C. de la Universidad del Zulia en Venezuela y se encuentra actualmente en edición y revisión.
El documento describe las propiedades del torque o momento de fuerza que se produce cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo rígido, causando una rotación. También explica que los imanes producen un campo magnético que puede medirse y representarse con líneas de fuerza, y que las cargas eléctricas en movimiento dentro de un campo magnético experimentan una fuerza magnética perpendicular a su velocidad y al campo. Finalmente, señala que las corrientes eléctricas también generan campos magnéticos medibles.
Este documento presenta conceptos fundamentales de elasticidad como la ley de Hooke, el módulo de Young, la flexión y el coeficiente de Poisson. Incluye 18 problemas de aplicación sobre estos temas, como determinar la constante elástica de un muelle, calcular la deformación de una barra sometida a fuerza o hallar la energía necesaria para estirar una barra de acero.
El documento explica cómo utilizar el círculo de Mohr-Land para calcular los momentos de segundo orden con respecto a cualquier par de ejes, determinar los ejes principales de inercia de una sección y hallar el eje conjugado de inercia de cualquier eje baricéntrico. Se traza el círculo de Mohr-Land a partir de los momentos de inercia de la sección y se definen los ejes principales como aquellos cuya tangente pasa por el polo del círculo.
Este documento resume conceptos clave sobre trabajo, potencia, energía mecánica y térmica. Explica definiciones como trabajo, potencia y diferentes formas de energía. También describe máquinas simples como la palanca, polea y tornillo, y cómo transmiten fuerzas. Finalmente, cubre temas de calor, temperatura y cómo la energía térmica se puede convertir en otras formas a través de máquinas como la máquina de vapor.
El documento trata sobre esfuerzo y deformación. Explica que el esfuerzo es la relación entre fuerza y área y que la deformación unitaria describe la deformación relativa de materiales bajo fuerzas aplicadas. Luego describe los diferentes tipos de deformaciones como la deformación axial basada en la ley de Hooke y las deformaciones de los materiales que pueden ser elásticas, plásticas o viscosas.
Este documento explica los conceptos básicos de los capacitores y la capacitancia. Define la capacitancia como la relación entre la carga almacenada y la diferencia de potencial en un capacitor. Explica que la capacitancia depende directamente del área de las placas y de la permitividad del material dieléctrico, e inversamente de la distancia entre las placas. También presenta fórmulas para calcular la capacitancia.
Este documento presenta conceptos sobre la conservación de la cantidad de movimiento y diferentes tipos de choques entre objetos, incluyendo choques elásticos e inelásticos. Explica la diferencia entre choques elásticos e inelásticos, y cómo aplicar la conservación de la cantidad de movimiento y la energía para calcular velocidades antes y después de un choque. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos.
El documento explica el concepto de momento de una fuerza con respecto a un eje. Define el momento como la proyección del vector momento de una fuerza a lo largo de un eje, y presenta una fórmula para calcularlo directamente a partir de la fuerza y la posición del punto de aplicación. También cubre cómo calcular el momento cuando el eje no pasa por el origen. Finalmente, ilustra los conceptos con un ejemplo numérico.
El documento explica los conceptos fundamentales sobre la distribución de esfuerzos en vigas curvas sometidas a flexión. Describe que el eje neutro y el eje centroidal no coinciden en vigas curvas, dando lugar a una variación hiperbólica de los esfuerzos en lugar de lineal. Además, presenta fórmulas para calcular el radio del eje neutro y los esfuerzos máximos en las fibras interna y externa.
Este documento describe los tres estados de la materia (sólido, líquido y gas) y sus propiedades. También explica conceptos clave como presión, densidad, coeficiente de compresibilidad y cómo varía la presión dentro de un fluido. Finalmente, presenta el principio de Pascal y cómo se aplica en una prensa hidráulica para amplificar fuerzas.
This document discusses concepts related to circular motion including arc length, angular velocity, and linear velocity. It defines arc length as the portion of a circle measured in linear units, which can be calculated using the formula L=Rθ where L is arc length, R is radius, and θ is the central angle in radians. Angular velocity is defined as the angle turned per unit of time and its formula is presented. Linear velocity is the speed an object moves along a circular path, which is equal to the product of angular velocity and radius. Several example problems are worked through applying these concepts and formulas.
Presentacion de trabajo, energia y potenciajose cruz
El documento explica conceptos fundamentales sobre el trabajo mecánico en física. Define el trabajo como la transferencia de energía cuando una fuerza vence la resistencia y causa un desplazamiento. Explica que el trabajo es igual al producto de la fuerza por la distancia recorrida, y que su unidad en el SI es el joule. Presenta ejemplos numéricos para calcular el trabajo realizado por diferentes fuerzas en diversas situaciones.
Este documento describe un experimento realizado para hallar el momento de inercia de un disco y un anillo mediante el uso de instrumentos como una mesa rotatoria, un disco, un anillo y una balanza. Se midieron las dimensiones y masas de los objetos, y se tomaron tiempos para caídas y paradas de rotación. Con estos datos se calcularon la energía perdida por fricción y los momentos de inercia teóricos y experimentales, encontrando errores pequeños. El propósito fue determinar experimentalmente el momento de inercia y verificarlos con
Un HTPC o Media Center es un ordenador diseñado para estar conectado al televisor y ofrecer entretenimiento multimedia como música, películas, fotos y videojuegos. Para montar un Media Center se necesita una placa base, procesador, memoria RAM, disco duro, tarjeta de video, tarjeta de sonido, unidad DVD/BD, software y sistema operativo. Un barebones es un PC más pequeño y portátil diseñado también para multimedia, pero a diferencia del Media Center no requiere arrancar un sistema operativo.
Mr. Beng Chuan LIM has over 12 years of experience in physical security planning, design, and project management. He holds a Honors Degree in Engineering (Electrical) with a specialization in wireless communications. Throughout his career, he has delivered diverse security assignments for government, commercial, and industrial sectors, ensuring compliance with various standards. Currently he is the Manager of Surveillance and Security Systems at Changi Airport Group, where he oversees projects to expand the airport's security infrastructure.
This document contains the resume of Dindo Capariño Gallardo applying for a hospitality or food industry position. It outlines his contact details, objectives, skills and qualifications including experience in housekeeping and food & beverages. His employment history includes positions as a room service waiter at Intercontinental Hotel Manila from 2013-2014 and as a server at CherryBlossomsHotel from 2010-2013. He provides details of his educational background and references.
Ronnie Miller has over 20 years of experience in executive management roles in operations, call centers, and retail branches for financial institutions. He currently serves as Vice President of Operations for Southeast Financial Credit Union, where he has implemented strategic initiatives that have increased revenue, customer service ratings, loan growth, and checking account growth. Prior to his current role, he held Vice President of Operations roles at SunTrust Bank and management roles at First Tennessee Bank and Fleet Finance, overseeing operations, collections, credit analysis, and lending.
El documento describe los diferentes tipos de mantenimiento preventivo, incluido el mantenimiento programado, predictivo y de oportunidad. Explica que el mantenimiento preventivo en informática implica revisar el hardware y software de una computadora para garantizar un funcionamiento confiable y la integridad de los datos. También detalla algunos componentes clave de hardware como la caja de la CPU, los cables de datos, el microprocesador y la tarjeta gráfica que deben revisarse como parte del mantenimiento preventivo.
Este documento presenta una introducción sobre los archivos, definiéndolos como centros de información valiosa para las organizaciones. Luego resume las principales normas que rigen los archivos en Perú, incluyendo la Constitución, el Decreto Ley N° 19414, el Decreto Supremo N° 022-75-ED y la Ley N° 28296 sobre el Patrimonio Cultural de la Nación. Estas normas establecen los lineamientos para la protección, conservación y acceso a los documentos de archivo públicos y privados que son parte del patrimonio documental
"Campo Laboral de un Internacionalista en México"vanehm77
El documento describe el campo laboral de un internacionalista en México. Explica que la carrera de Relaciones Internacionales es muy demandada a nivel nacional y ofrece una amplia gama de opciones laborales en sectores como ONG, el sector privado, el público y el autoempleo debido a su naturaleza multidisciplinaria. También señala que aunque actualmente la demanda principal ha sido satisfecha, la carrera sigue siendo útil para una variedad de áreas gracias a su apertura. Finalmente, concluye que Relaciones Internacional
Este documento explica qué es un firewall y cómo puede ayudar a proteger un equipo. Un firewall es software o hardware que revisa la información de Internet entrante y bloquea o permite el paso al equipo para protegerlo de virus y hackers. El documento también proporciona instrucciones sobre cómo asegurarse de que el firewall de Windows esté activado y recomienda mantenerlo activado en todas las ubicaciones de red para bloquear conexiones entrantes no autorizadas. Además, señala que los firewalls incorporados en los enrutadores también pueden of
CONTAMINACIÓN DE RÍOS Y MARES-SLIDESHAREFernanda Vara
Los ríos y océanos de la Tierra están gravemente deteriorados debido a la contaminación, sobreexplotación de recursos y presión de la actividad humana. La basura marina, especialmente los plásticos, es uno de los mayores problemas y contamina las aguas costeras de países como Francia, España e Italia. El deterioro de la calidad del agua en los mares tiene repercusiones como la pérdida de biodiversidad acuática, efectos nocivos en las especies marinas y perjuicios a la pesca.
El documento define algoritmo y tipos de algoritmos y lenguajes algorítmicos. Explica la metodología para resolver problemas usando computadoras que incluye definir el problema, analizarlo, diseñar el algoritmo, codificarlo, probarlo y depurarlo, documentarlo y darle mantenimiento. También describe constantes, variables y clasificaciones de variables, y técnicas como diagramas de flujo y pseudocódigo para formular algoritmos. Finalmente, explica estructuras algorítmicas secuenciales, condicionales y cíclicas.
Este documento introduce conceptos sobre integrales de línea y de trayectoria. Define curvas, campos escalares y vectoriales. Explica cómo calcular la integral de trayectoria de un campo escalar a lo largo de una curva, así como la integral de línea de un campo vectorial, la cual mide el trabajo realizado por una fuerza a lo largo de una curva. Proporciona un ejemplo del cálculo de ambos tipos de integrales.
1) El documento introduce las curvas parametrizadas y sus propiedades, incluyendo ejemplos.
2) Explica las integrales de línea de campos escalares a lo largo de curvas parametrizadas, con ejemplos como calcular masas.
3) Extiende el concepto a integrales de línea de campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales.
Este documento describe cómo calcular la longitud de una curva. Explica que para una función derivable y(x), la longitud se aproxima como la suma de las longitudes de los segmentos de una poligonal que aproxima la curva, y que esta suma converge a la integral de la raíz cuadrada de 1 más la derivada al cuadrado. Luego generaliza este método a curvas paramétricas, definiendo la longitud como la integral de la norma del vector tangente. Finalmente, ilustra estos conceptos con ejemplos como la astroide y la cicloide.
1) Las integrales de línea representan la integral de una función a lo largo de una curva. Se definen como el límite de sumas de la función multiplicada por incrementos de longitud cuando la partición tiende a cero.
2) Pueden usarse para calcular la masa de un objeto, su centro de gravedad y su momento de inercia.
3) La integral de línea alrededor de una curva cerrada en el plano es igual al área de la región delimitada por la curva, con signo negativo si se recorre en sentido antihorario.
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre integrales de línea. Explica cómo calcular la longitud de una curva dividiéndola en segmentos pequeños y aproximando la suma. Define la integral de línea de un campo escalar a lo largo de una curva parametrizada y muestra que el valor no depende de la parametrización. Finalmente, introduce la noción de campo vectorial e integral de línea para este tipo de campos.
integral de linea , integral de superficie y aplicaciones (2).pdfOSCONEYRALEIBNIZ
El documento presenta una introducción a la integral de línea. Define la integral de línea como la integral de una función continua a lo largo de una curva paramétrica suave con respecto a la longitud de arco. Explica cómo la integral de línea puede usarse para calcular la masa, el centro de gravedad y otros conceptos mecánicos. También introduce la relación entre la integral de línea y el trabajo realizado por un campo de fuerzas al mover una partícula a lo largo de una trayectoria.
Este documento presenta varios temas relacionados con ecuaciones paramétricas y cálculo. Explica cómo encontrar la pendiente de una curva dada por ecuaciones paramétricas usando la derivada. También describe cómo calcular la longitud de arco de una curva paramétrica y el área de una superficie de revolución usando integrales. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento trata sobre cálculo vectorial. Explica conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Los objetivos son que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales vectoriales y aplicar teoremas como el de Green, Stokes y Gauss.
1. El documento presenta definiciones matemáticas relacionadas con curvas en el espacio tridimensional, incluyendo curvas abiertas, cerradas, simples, suaves y parametrizaciones.
2. Se proponen varios ejercicios prácticos para aplicar estas definiciones a curvas específicas y calcular vectores de velocidad, aceleración y longitud de arco.
3. También se introducen conceptos como integrales curvilíneas y su aplicación al cálculo de masa, centro de masa y temperatura promedio
Sea α un camino regular a trozos en R
p
, definido en [a,b]. Sea f un campo vectorial definido
y acotado sobre la gráfica C de α. La integral de línea de f a lo largo de C se representa
El documento presenta la solución a dos ejercicios de cálculo en coordenadas paramétricas y polares. El primer ejercicio prueba que la longitud de arco de una curva dada por ecuaciones paramétricas es igual a f(t2)-f(t1)+f''(t2)-f''(t1). El segundo ejercicio calcula el área de una superficie de revolución generada al rotar una curva polar r=4cosq alrededor del eje polar.
El documento presenta una serie de ejercicios sobre ángulos y funciones trigonométricas. Incluye preguntas sobre transformación de ángulos entre grados y radianes, cálculo de valores trigonométricos, gráficas de funciones seno y coseno, identidades trigonométricas, ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. El documento proporciona material para practicar conceptos básicos de trigonometría.
El documento explica cómo calcular la longitud de una curva. Se aproxima la curva dividiéndola en segmentos pequeños y sumando las longitudes de esos segmentos. Cuanto más pequeños sean los segmentos, mejor será la aproximación. Luego, se define formalmente la longitud de una curva como la integral de la raíz cuadrada de 1 más la derivada al cuadrado de la función que define la curva. Finalmente, se muestra un ejemplo del cálculo de la longitud de un arco de parábola.
propiedades, límites y continuidad [teoria y ejercicos resueltos]nidejo
Este documento describe funciones vectoriales, curvas paramétricas y operaciones con funciones vectoriales. Introduce las ecuaciones paramétricas y vectoriales que definen curvas en el plano y el espacio. Explica cómo graficar estas curvas usando ecuaciones paramétricas. También cubre sumas, diferencias, productos internos y externos de funciones vectoriales, así como funciones compuestas.
Este documento explica cómo calcular la longitud de una curva. Se divide la curva en segmentos pequeños usando una partición, y se aproxima la longitud como la suma de las longitudes de los segmentos. Al tomar particiones más finas, esta suma converge al valor de la integral de la derivada de la curva, la cual define formalmente la longitud de la curva e independiente de la parametrización elegida.
Este documento presenta cuatro ejercicios de cálculo vectorial que involucran integrales de funciones vectoriales. El primer ejercicio calcula una integral vectorial resolviendo cada componente de manera independiente. El segundo ejercicio calcula el límite de una función vectorial. El tercer ejercicio calcula una integral escalar. El cuarto ejercicio calcula la longitud de arco de una curva.
Este documento presenta un resumen sobre la integral de línea de un campo vectorial. Explica que la integral de línea evalúa una función sobre una curva, y que en cálculo vectorial existen tres teoremas importantes relacionados con integrales de línea y superficies. Luego, proporciona definiciones sobre integrales de línea, campos vectoriales y curvas regulares, y ofrece ejemplos para calcular el trabajo realizado por un campo vectorial al mover un objeto a lo largo de una curva.
El documento describe el tensor métrico y cómo representa la distancia entre puntos en un espacio de múltiples dimensiones. El tensor métrico generaliza la fórmula de Pitágoras para preservar distancias entre marcos de referencia. Se presentan ejemplos del tensor métrico en coordenadas cartesianas, esféricas y para un agujero negro de Schwarzschild.
El documento explica cómo calcular derivadas de orden superior para funciones definidas implícita, explícita y paramétricamente. Incluye ejemplos de cómo derivar funciones y calcular derivadas de orden superior. También cubre conceptos como derivadas laterales, continuidad y derivabilidad. Finalmente, presenta aplicaciones geométricas de la derivada como calcular la pendiente de la tangente y ecuaciones de la recta tangente y normal.
1. 1.4. Integral de línea de un campo escalar.
La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las
interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la
integral de línea de un campo escalar.
1.4.1. Definición de la integral de línea de un campo escalar f sobre
una curva suave C como una suma de Riemann.
Es posible realizar una analogía entre la integral definida para una intervalo [ ],a b (o
integral de Riemann), y la integral de línea, ya que, así como en la integral de
Riemann se integra sobre un intervalo [a,b], en el caso de la integral de línea se
integra sobre una curva C.
Figura 27. Integral de línea de un campo escalar.
Sea la curva suave C, en el plano xy, definida por las ecuaciones paramétricas
( )x x t= e ( )y y t= con a t b≤ ≤ , esto es equivalente a decir que la curva C esta
C
1iP−
iP
a bt
f(t)
1it − it*
it *
iP
2. definida por la función vectorial ( ) ( ) ( )( )2
: / ,g g t x t y tℜ → ℜ = , en donde las
primeras derivadas de ( )x t e ( )y t son continuas para a t b≤ ≤ . Se toma ahora una
partición del intervalo del parámetro [a,b], con n subintervalos [ ]1,i it t− de igual
longitud, de manera que ( )* *
i ix x t= e ( )* *
i iy y t= , donde [ ]*
1,i i it t t−∈ quedando así
dividida la curva C en n subarcos de longitudes 1 2 3, , ,..., ns s s s∆ ∆ ∆ ∆ . Se elige ahora un
punto genérico ( )* * *
,i i iP x y del i-ésimo arco que se corresponde con [ ]*
1,i i it t t−∈ .
Ahora bien, sea f una función cualquiera de dos variables en cuyo dominio esta
incluida la curva C, obteniendo la imagen de la función f para el punto ( )* *
,i ix y , se
multiplica esta por la longitud is∆ del subarco, realizando este procedimiento para
todos los puntos sobre la curva se puede generar la siguiente suma
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1
, , , ... , ,
n
n n n i i i
i
f x y s f x y s f x y s f x y s f x y s
=
∆ + ∆ + ∆ + + ∆ = ∆∑
Siendo ésta una suma de Riemann para la función ( ),f x y s∆ . Tomando el límite de
esta suma cuando n → ∞ se define la integral de línea de un campo escalar de la
siguiente manera
Definición. Sea la función 2
:f ℜ → ℜ un campo escalar continuo en una región D
que contiene a la curva suave C, tal que C viene definida en forma paramétrica por
( ) ( ) ( )( ) [ ]2
: / , , ,g g t x t y t t a bℜ → ℜ = ∈ , entonces la integral de línea del campo
escalar f sobre la curva C es
( ) ( )* *
1
, ,
n
i i i
n
iC
f x y ds Lim f x y s
→∞
=
= ∆∑∫
3. Como se mencionó anteriormente, la longitud de una curva C, definida en el plano en
forma paramétrica por la ( ) ( ) ( )( ) [ ]2
: / , , ,g g t x t y t t a bℜ → ℜ = ∈ , se determina a
partir de la integral definida
2 2
b b
a a
dx dy
L ds dt
dt dt
= = +
∫ ∫
Y por tanto la evaluación de una integral de línea se puede realizar a través de la
siguiente fórmula:
( ) ( ) ( )( )
2 2
, ,
b
a
C
dx dy
f x y ds f x t y t dt
dt dt
= +
∫ ∫
Es importante señalar que la integral tendrá un valor diferente si se recorre la curva C
tomando el parámetro t desde a hacia b, orientación definida como positiva, que si se
recorre desde b hacia a, por propiedad de las integrales definidas, al invertir los
límites de integración, esto es
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
, ,
b a
a b
dx dy dx dy
f x t y t dt f x t y t dt
dt dt dt dt
+ = − +
∫ ∫
Definición. Si C es una curva en el espacio definida paramétricamente por
( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]3
: / , , , ,g g t x t y t z t t a bℜ → ℜ = ∈ , y 3
:f ℜ → ℜ es un campo escalar
continuo en una región D que contiene a la curva C, entonces la integral de línea del
campo escalar f sobre la curva C está dada por
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2
, , , ,
b
a
C
dx dy dz
f x y z ds f x t y t z t dt
dt dt dt
= + +
∫ ∫
A la integral de línea de la forma ( ), ,
C
f x y z ds∫ , también se le llama integral de
línea de f con respecto a la longitud de arco de la curva C.
4. EJEMPLO 19. Evalúe la siguiente integral de línea
C
f ds∫ , si ( ), ,f x y z x y z= + +
donde la curva C está definida por ( ) ( ) [ ]3
: / ,cos , , 0,2g g t sent t t t πℜ → ℜ = ∈ .
Solución. Para calcular esta integral utilizamos la definición de la integral de línea
con respecto a la longitud de arco de tal manera que la integral, en forma general se
puede escribir en función del parámetro t de la siguiente manera
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
, ,
b
a
dx dy dz
f x t y t z t dt
dt dt dt
+ +
∫
Así pues,
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
0
2
0
2
2
0
2
cos cos 1
cos 2
cos
2
2
C C
f ds x y z ds
sent t t t sent dt
sent t t dt
t
t sent
π
π
π
π
= + +
= + + + − +
= + +
= − + +
=
∫ ∫
∫
∫
EJEMPLO 20. Evalúe la siguiente integral de línea
C
f ds∫ , si ( ), ,f x y z x y z= + +
donde la curva C está dada paramétricamente por [ ] ( ) ( )3
: 1,3 / ,3 ,2g g t t t t→ ℜ = .
Solución. Al igual que en el caso anterior, utilizamos la definición de la integral de
línea con respecto a la longitud de arco. Así pues,
5. ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 2 2 2
1
3
1
3
2
1
3 2 1 3 2
6 14
3 14
24 14
C C
f ds x y z ds
t t t dt
t dt
t
= + +
= + + + +
=
=
=
∫ ∫
∫
∫
EJEMPLO 21. Demuestre que la integral de ( ),f x y a lo largo de una curva
definida en coordenadas polares por ( )r r θ= , con 1 2θ θ θ≤ ≤ , es igual a
( )
2
1
2
2
cos , s
dr
f r r en r d
d
θ
θ
θ θ θ
θ
+
∫ .
Solución. Como la trayectoria r, está dada en coordenadas polares se puede sustituir
esta parametrización en la función ( ),f x y como
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2, cos , s ,x y r r enθ θ θ θ θ θ θ= ≤ ≤ , para obtener el diferencial de
longitud
2 2
dy dy
ds d
d d
θ
θ θ
= +
, se calcula
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
' cos
cos '
dx
r sen r
d
dy
r r sen
d
θ θ θ θ
θ
θ θ θ θ
θ
= − +
= +
Al sustituir estas expresiones en al formula del diferencial de longitud se obtiene
( )( )
2
2 dr
ds r d
d
θ θ
θ
= +
, y con esto queda demostrado que la integral de línea
para esta trayectoria dada en coordenadas polares, es igual a
6. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2
1
2
2
cos ,
dr
f r r sen r d
d
θ
θ
θ θ θ θ θ θ
θ
+
∫
La integral de línea también puede evaluarse, no solo con respecto a la longitud de la
curva, sino con respecto a las variables x e y. Así pues, sea ( ),f x y un campo escalar,
y sea C una curva dada paramétricamente por ( ) ( ) ( )( )2
: / ,g g t x t y tℜ → ℜ = ,
entonces la integral de línea de f a lo largo de la curva C con respecto a x,
( ),
C
f x y dx∫ , y la integral de línea de f a lo largo de la curva C con respecto a y,
( ),
C
f x y dy∫ , se plantearían en términos del parámetro t de la curva C,
respectivamente, de la siguiente manera
( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ,
b
a
C
d
f x y dx f x t y t x t dt
dt
=∫ ∫
y
( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ,
b
a
C
d
f x y dy f x t y t y t dt
dt
=∫ ∫
De manera análoga, si ( ), ,f x y z es un campo escalar, y sea C una curva dada
paramétricamente por ( ) ( ) ( ) ( )( )3
: / , ,g g t x t y t z tℜ → ℜ = , entonces la integral de
línea de f a lo largo de la curva C con respecto a x, ( ), ,
C
f x y z dx∫ , la integral de línea
de f a lo largo de la curva C con respecto a y, ( ), ,
C
f x y z dy∫ , y la integral de línea de
f a lo largo de la curva C con respecto a z, ( ), ,
C
f x y z dz∫ se plantearían en términos
del parámetro t de la curva C, respectivamente, de la siguiente manera
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), , , ,
b
a
C
d
f x y z dx f x t y t z t x t dt
dt
=∫ ∫
7. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), , , ,
b
a
C
d
f x y z dy f x t y t z t y t dt
dt
=∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), , , ,
b
a
C
d
f x y z dy f x t y t z t z t dt
dt
=∫ ∫
EJEMPLO 22. Sea ( ) 3
,f x y x y= + , y la curva C dada paramétricamente por
[ ] ( ) ( )2 3
: 0,1 / 3 ,h h t t t→ ℜ = , calcule las integrales de línea
C
f dx∫ y
C
f dy∫
Solución. Para calcular la primera integral utilizamos la definición de la integral de
línea con respecto a la variable x de tal manera que la integral, se puede escribir de la
siguiente manera:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ,
b
a
C
d
f x y dx f x t y t x t dt
dt
=∫ ∫
Así pues,
( )
( )( )
3
1 3 3
0
1
3
0
1
4
0
3 3
30
15
2
15
2
C C
f dx x y dx
t t dt
t dt
t
= +
= +
=
=
=
∫ ∫
∫
∫
De manera similar la integral de línea de f con respecto a y, lo podemos escribir de la
siguiente manera
( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ,
b
a
C
d
f x y dy f x t y t y t dt
dt
=∫ ∫
Así que,
8. ( )
( )( )
3
1 3 3 2
0
1
5
0
1
6
0
3 3
64
32
3
32
3
C C
f dy x y dy
t t t dt
t dt
t
= +
= +
=
=
=
∫ ∫
∫
∫
EJEMPLO 23. Evalúe la siguiente integral de línea
C
f dx∫ , si ( ), ,f x y z xyz=
sabiendo que la curva C viene dada paramétricamente por la función
( ) ( ) [ ]3 2
: / , , , 1,3t t t
g g t e e e t−
ℜ → ℜ = ∈
Solución. Al igual que en el caso anterior, utilizamos la definición de la integral de
línea con respecto a la variable x. Así pues,
( )
( )
( )
1
2
0
1
3
0
1
3
0
3
1
3
1
1
3
C C
t t t t
t
t
f dx xyz dx
e e e e dt
e dt
e
e
−
=
=
=
=
= −
∫ ∫
∫
∫
EJEMPLO 24. Evalúe integral
C
ydx zdy xdz+ +∫ , siendo C la curva dada
paramétricamente por ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2
: 0, / ,2 ,
2
g g t sen t sen t sen t
π
→ ℜ =
.
Solución. Para calcular el valor de esta integral podemos reescribir la integral de
línea de la siguiente manera
9. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
b
C a
b
a
d d d
ydx zdy xdz y t x t dt z t y t dt x t z t dt
dt dt dt
d d d
y t x t z t y t x t z t dt
dt dt dt
+ + = + +
= + +
∫ ∫
∫
De tal manera que,
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
22
0
22
0
2
2 3
0
2 cos 2cos 2 cos
2 cos 4 cos
4
3
7
3
C
ydx zdy xdz sen t t sen t t sen t sen t t dt
sen t t sen t t dt
sen t sen t
π
π
π
+ + = + +
= +
= +
=
∫ ∫
∫
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.4.1.
1) Determine el valor de la siguiente integral de línea
C
f ds∫ , si ( ) 2
,f x y y= donde
la curva C está dada paramétricamente por
[ ] ( ) ( )( ) ( )( )( )2
: 0,2 / , 1 cosg g t a t sen t a tπ → ℜ = − − .
2) Evalúe la siguiente integral de línea
C
f ds∫ , si ( ), ,f x y z z= donde la curva C
está dada paramétricamente por [ ] ( ) ( ) ( )( )3
: 0, / cos , ,g k g t t t tsen t t→ ℜ = .
3) Evalúe la siguiente integral de línea
C
f ds∫ , si ( ) 2
, 3f x y y= donde la curva C es
el la porción de la curva 2
y x= que va desde el punto ( )2,4 hasta el punto ( )0,0 .
1.4.2. Aplicaciones de la integral de línea de un campo escalar f.
A continuación se presentaran dos aplicaciones relacionadas con la integral de línea
de un campo escalar, como lo son el cálculo del área de una cerca o una valla de
altura variable y la masa de un alambre de densidad lineal variable.
10. 1.4.2.1. Área de una cerca de altura variable.
Si se recuerda la interpretación geométrica de la integral definida ( )
b
a
f x dx∫ , como el
límite de la suma de los rectángulos de base x∆ y altura ( )f x para un intervalo de
[ ],x a b∈ , análogamente se puede decir que la integral de línea ( ),
C
f x y ds∫ se
corresponde al límite de la suma de los rectángulos de base s∆ y altura ( ),z f x y=
para una curva C cuyo recorrido esté sobre el plano xy. Esta interpretación
comparativa se puede observar en la Figura 28.
(a) (b)
Figura 28. (a) Interpretación geométrica de ( )
b
a
f x dx∫ y
(b) Interpretación geométrica de ( ),
C
f x y ds∫
( )y f x=
11. Por supuesto, que si ( ) [ ]0, ,f x x a b≥ ∀ ∈ , entonces ( )
b
a
f x dx∫ representa
geométricamente el área bajo la curva ( )y f x= en el intervalo de integración [ ],a b , así
mismo si ( ) ( ), 0, ,f x y x y C≥ ∀ ∈ , entonces ( ),
C
f x y ds∫ representa el área de la
superficie (de una de las caras) de la región que es generada por los segmentos
verticales desde los puntos pertenecientes a la curva C en plano xy hasta la gráfica de
la función ( ),z f x y= .
Se observará con un ejemplo como a través de la integral de línea es posible la
determinación el valor del área de una pared, valla o cerca, cuya altura sea variable.
EJEMPLO 25. Una agencia de publicidad ofrece a sus clientes una valla cuya altura
es variable y viene dada por la función ( ), 1
3
y
f x y = + , si la base de la valla coincide
con la trayectoria ( ) ( )3 3 3
: / 3cos ,3 ,0 ,0g g t t sen t t πℜ → ℜ = ≤ ≤ , tal como se ilustra
en la Figura 29. Determine cuanto debe cobrar mensualmente la agencia de
publicidad, si se sabe que la valla va a estar ubicada de tal manera que puede ser
observada por ambos lados, y el alquiler mensual de la vaya publicitaria es de 40
Bs/m2
.
12. Figura 29. Valla de altura variable.
Solución. Aprovechando la simetría de la curva calculemos la superficie de la valla a
lo largo de la longitud ubicada en el primer cuadrante del plano cartesiano, luego
multiplicamos este por dos debido a que la valla se observa por ambos lados, y luego
este valor resultante lo multiplicamos por dos para obtener la superficie total visible
de la valla.
Determinemos la superficie con la integral de línea definida con respecto a la longitud
de arco:
13. ( ) ( )
( )
3
2 22 22
0
42
0
2 5 2
0
1
3
3
1 9cos 9 cos
3
9 cos
2 5
1 1 63
9
2 5 10
C C
y
f ds ds
sen t
tsent sen t t dt
sent sen t t dt
sen t sen t
π
π
π
= +
= + − +
= +
= +
= + =
∫ ∫
∫
∫
Multiplicamos el valor obtenido,
63
10
m2
, por dos, obtendríamos el área de ambos
lados de la valla,
63
5
m2
, y luego por dos nuevamente para obtener
126
5
m2
que es el
valor de la superficie visible total de la valla. Por lo que el costo de arrendamiento del
espacio publicitario seria de 1.008 Bs.
EJEMPLO 26. Determine el área de una cerca cuya altura es variable y viene dada
por la función ( ),g x y xy= , si la base de la cerca viene dada por la trayectoria
descrita por la circunferencia 2 2
9x y+ = , en el primer cuadrante.
Solución. El área de la cerca se determina mediante la integral de línea ( ),
C
g x y ds∫ ,
donde la curva C se puede parametrizar como
( ) ( )2
: / cos , , 0,
2
f f t t sent t
π
ℜ → ℜ = ∈
14. Figura 30. Cerca de altura variable del Ejemplo 26.
Determinemos la superficie de ésta cerca con la integral de línea definida con
respecto a la longitud de arco:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
0
2
0
2 2
0
cos cos
cos
2
1
2
C C
f ds xyds
t sen t sent t dt
sen t t dt
sen t
π
π
π
=
= − +
=
=
=
∫ ∫
∫
∫
1.4.2.2. Masa de un alambre.
La interpretación física que se le pueda dar a la integral de línea ( ),
C
f x y ds∫
dependerá del significado físico que tenga la función f. Si la función ( ),x yρ
representa la densidad lineal de un punto ( ),x y de un alambre muy delgado en forma
15. de la curva C y si se divide la curva C en n subarcos de longitudes
1 2 3, , ,..., ns s s s∆ ∆ ∆ ∆ , con 1i i is P P−∆ ≈ , entonces la masa del alambre que va desde
1iP− hasta iP se puede aproximar mediante la siguiente expresión ( )* *
,i i ix y sρ ∆ ; por
tanto la masa del alambre completo vendría dado por ( )* *
1
,
n
i i i
i
x y sρ
=
∆∑ . Para tener una
aproximación más cercana al valor verdadero de la masa del alambre se puede
incrementar el número de subarcos n en el que se dividió inicialmente la curva C. Al
estudiar el límite de estas aproximaciones cuando n → ∞, se obtiene el valor exacto
de la masa del alambre:
( ) ( )* *
1
, ,
n
i i i
n
i C
m Lim x y s x y dsρ ρ
→∞
=
= ∆ =∑ ∫
Para elementos como espirales, muelles o alambres cuya densidad lineal pueda ser
variable, la integral de línea permite el cálculo de la masa de estos elementos
apoyados en la definición de la misma con respecto a la longitud de arco, como se
observará en los siguientes ejemplos.
EJEMPLO 27. Hallar la masa de un alambre formado por la intersección de la
superficie esférica 2 2 2
1x y z+ + = y el plano 0x y z+ + = si la densidad en ( ), ,x y z
está dada por ( ) 2
, ,x y z xρ = gramos por unidad de longitud del alambre.
Solución. El alambre vendría dado por la intersección de la superficie esférica y el
plano, la cual genera la curva que se observa en la Figura 31, es conveniente aquí
parametrizar la curva de la siguiente manera
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 2 2 2 2
: 0,2 / , cos , cos
6 2 6 2 6
g g sen sen senπ θ θ θ θ θ θ
→ ℜ = − − −
16. Figura 31. Representación del alambre del Ejemplo 27.
La masa del alambre se calcula mediante la siguiente integral de línea
( ) 2
, ,
C C C
f ds x y z ds x dsρ= =∫ ∫ ∫ , en donde el diferencial de longitud de la curva C,
definida en forma paramétrica viene dado por la expresión
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
4 2 2 2 2
cos cos cos
6 2 6 2 6
dS sen sen dθ θ θ θ θ θ
= + − + − −
Y al sustituir ( )
4
6
x sen θ= y dS y simplificar en la integral de línea se obtiene
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
0
2
2
0
2
0
, ,
16
4
3
32
3
16 16
cos
3 3
32
3
C C
C
f ds x y z ds
x ds
sen d
sen d
sen
π
π
π
ρ
θ θ
θ θ
θ θ θ
π
=
=
=
=
= − +
=
∫ ∫
∫
∫
∫
0z x y+ + =
2 2 2
4x y z+ + =
17. La masa total del alambre es igual a
32
3
π unidades.
EJEMPLO 28. Determinar la masa de un alambre que tiene la forma de la hélice
circular dada por la curva ( ) ( ) ( )( ) [ ]3
: / , cos , , 0,2g g t ksen t k t mt t πℜ → ℜ = − ∈ con
0k > y 0m > si la densidad en el punto ( ), ,x y z está dada por
( ) 2 2 2
, ,x y z x y zρ = + + gramos por unidad de longitud del alambre.
Solución. Conocida la función densidad del alambre y la curva paramétrica cuya
trayectoria describe la forma del alambre observada en la Figura 32 se plantea la
integral de línea de línea correspondiente.
Figura 32. Representación del alambre del Ejemplo 28.
18. ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 3 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 22 2
0
2
2 2 2 2 2
0
2
2 2 2 2 2
0
2
2 2 2 2 3
0
8
2
3
, ,
cos cos
1
3
C C
C
k m k m
f ds x y z ds
x y z ds
ksent k t mt k t ksent m dt
k m t k m dt
k m k m t dt
k m k t m t
π
π
π
π
π π
ρ
= + +
=
= + +
= − + + − + − +
= + +
= + +
= + +
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
EJEMPLO 29. Calcular la masa de un alambre que tiene la forma de elipse dada por
la curva [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )3
: 0,2 / cos , , cosh h t a t asen t a tπ → ℜ = con 0a > si la
densidad en el punto ( ), ,x y z está dada por ( ), , 4x y zρ = gramos por unidad de
longitud del alambre.
Solución. La densidad del alambre en este caso es constante, la integral de línea de la
densidad con respecto a la longitud de arco de la curva C, cuyo recorrido describe la
forma del alambre y que se muestra en la Figura 33, se plantea la integral de línea que
permite calcular el valor de la masa total del alambre.
19. Figura 33. Representación del alambre del Ejemplo 29.
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 3 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 22 2
0
2
2 2 2 2 2
0
2
2 2 2 2 2
0
2
2 2 2 2 3
0
8
2
3
, ,
cos cos
1
3
C C
C
k m k m
f ds x y z ds
x y z ds
ksent k t mt k t ksent m dt
k m t k m dt
k m k m t dt
k m k t m t
π
π
π
π
π π
ρ
= + +
=
= + +
= − + + − + − +
= + +
= + +
= + +
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.4.2
1) Calcular la masa de un alambre que tiene la forma del circulo 2 2 2
x y a+ = , con
0a > , si la densidad en el punto ( ),x y está dada por ( ),x y x yρ = + gramos por
unidad de longitud del alambre.
20. 2) Calcular la masa de una varilla cuya densidad lineal está dada por ( ),x y xρ = , y
tiene la forma de 2
y x= con 0 3x≤ ≤ .
3) Calcular la masa de una varilla cuya densidad lineal está dada por ( ),x y yρ = , y
tiene la forma de 2
4x y= − con 0 2y≤ ≤ .
4) Determine la superficie la cerca cuya altura esta dad por la función escalar
( ) 2 2
,z f x y x y= = + , y cuya base coincide con el cuarto de circunferencia que va
desde el punto ( )2,0,0 has ta el punto ( )0,2,0 .
5) Determine la superficie la cerca cuya altura esta dad por la función escalar
( ), 4z f x y x= = − , y cuya base coincide con la elipse 2 2
4 4x x+ = .
6) Determine la superficie la cerca cuya altura esta dad por la función escalar
( ) 2 2
, 4z f x y x y= = − − , y cuya base coincide con el cuarto de circunferencia que va
desde el punto ( )2,0,0 has ta el punto ( )2,0,0− .