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CAPÍTULO 10
10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo
 Hallar la pendiente de una recta tangente a una curva dada por un conjunto de
ecuaciones paramétricas.
 Hallar la longitud de arco de una curva dada por un conjunto de ecuaciones
paramétricas.
 Hallar el área de una superficie de revolución (forma paramétrica).
Pendiente y rectas tangentes
Ahora que ya se sabe representar una gráfica en el plano mediante un conjunto de ecuaciones
paramétricas, lo natural es preguntarse cómo emplear el cálculo para estudiar estas curvas planas.
Para empezar, hay que dar otra mirada al proyectil representado por las ecuaciones paramétricas
x=24√2t y y=−16t
2
+24√2t
Como se ilustra en la figura 10.29. De lo visto en la sección 10.2, se sabe que estas ecuaciones
permiten localizar la posición del proyectil en un instante dado. También se sabe que el objeto es
proyectado inicialmente con un ángulo de 45°. Pero, ¿cómo puede encontrarse el ángulo θ que
representa la dirección del objeto en algún otro instante t? El teorema siguiente responde a esta
pregunta proporcionando una fórmula para la pendiente de la recta tangente en función de t.
TEOREMA 10.7 FORMA PARAMÉTRICA DE LA DERIVADA
Si una curva suave C está dada por las ecuaciones x=f (t ) y y=g(t ), entonces la pendiente de C
en (x, y) es
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
,
dx
dt
≠0.
Demostración:
En la figura 10.30, considérese ∆t >0 y sea
∆ y=g(t +∆t )−g(t ) y ∆ x=f (t +∆t )−f (t)
Como ∆ x→0 cuando ∆t →0, se puede escribir
dy
dx
= lim
∆x →0
∆ y
∆ x
= lim
∆x → 0
g(t +∆t )−g(t )
f (t+∆t)−f (t )
Dividiendo tanto el numerador como el denominador entre ∆t se puede emplear la derivabilidad o
diferenciabilidad de f y g para concluir que
dy
dx
= lim
∆x →0
[g(t +∆t )−g(t)]/ ∆t
[f (t+∆t)−f (t )]/∆t
=
lim
∆x → 0
g(t+∆t )−g(t )
∆t
lim
∆x →0
f (t+∆t )−f (t)
∆t
=
g'(t )
f '(t)
=
dy/dt
dx/dt
EJEMPLO 1 Derivación o diferenciación y forma paramétrica
Hallar dy/dx para la curva dada por x=sent y y=cost
Solución:
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
−sent
cost
=−tant
Ayuda de estudio
La curva del ejemplo 1 es una circunferencia. Emplear la fórmula
dy
dx
=−tant
para hallar su
pendiente en los puntos (1, 0) y (0, 1).
Como dy/dx es función de t, puede emplearse el teorema 10.7 repetidamente para hallar las
derivadas de orden superior. Por ejemplo,
d
2
y
dx
2
=
d
dx [dy
dx ]=
d
dt [dy
dx ]
dx
dt
Segundaderivada.
d
3
y
dx
3
=
d
dx [d
2
y
dx
2 ]=
d
dt [d
2
y
dx
2 ]
dx
dt
Tercera derivada.
EJEMPLO 2 Hallar pendiente y concavidad
Para la curva dada por
x=√t y y=
1
4
(t
2
−4),t ≥0
hallar la pendiente y la concavidad en el punto (2,3).
Solución Como
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
(1
2)t
(
1
2
)t
−1/2
=t
3/2
Forma paramétrica dela primeraderivada
se puede hallar que la segunda derivada es
d
2
y
dx
2
=
d
dt [dy
dx ]
dx
dt
=
d
dt
[t
3/2
]
(
1
2
)t
−1/2
=
(
3
2
)t
1/2
(
1
2
)t
−1/2
=3t Forma paramétricadela segundaderivada
En (x, y)=(2,3), se tiene que t=4 y la pendiente es
dy
dx
=(4)
3/2
=8.
Y, cuando t=4 la segunda derivada es
d
2
y
dx
2
=3(4)=12>0
por lo que puede concluirse que en (2, 3) la gráfica es cóncava hacia arriba, como se muestra en la
figura 10.31.
Como en las ecuaciones paramétricas x=f (t) y y=g(t) no se necesita que y esté definida en
función de x, puede ocurrir que una curva plana forme un lazo y se corte a sí misma. En esos puntos
la curva puede tener más de una recta tangente, como se muestra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 3 Una curva con dos rectas tangentes en un punto
La cicloide alargada dada por
x=2t−πsent y y=2−πcost
se corta a sí misma en el punto (0, 2), como se ilustra en la figura 10.32. Hallar las ecuaciones de las
dos rectas tangentes en este punto.
Solución:
Como x=0 y y=2 cuando t=±π /2 , y
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
πsent
2−πcost
se tiene
dy
dx
=−π/2
cuando t=−π /2 y
dy
dx
=π /2
cuando t=π/2 Por tanto, las dos rectas
tangentes en (0, 2) son
y−2=−(π
2 )x Recta tangentecuandot=−π /2
Y
y−2=(π
2 )x Rectatangentecuandot=π/2
Si
dy
dt
=0
y
dx
dt
≠0
cuando
t=t0,
la curva representada por x=f (t) y y=g(t) tiene una
tangente horizontal en (f (t0), g(t0)). Así, en el ejemplo 3, la curva dada tiene una tangente
horizontal en el punto (0,2−π) (cuando t=0 ). De manera semejante, si
dx
dt
=0
y dy/dt ≠0
cuando
t=t0,
la curva representada por x=f (t) y y=g(t) tiene una tangente vertical en
(f (t0), g(t0)).
Longitud de arco
Se ha visto cómo pueden emplearse las ecuaciones paramétricas para describir la trayectoria de una
partícula que se mueve en el plano. Ahora se desarrollará una fórmula para determinar la distancia
recorrida por una partícula a lo largo de su trayectoria.
Recuérdese de la sección 7.4 que la fórmula para hallar la longitud de arco de una curva C dada por
y=h(x) en el intervalo [x0, x1] es
S=∫
x0
x1
√1+[h'(x)]
2
dx
S=∫
x0
x1
√1+
[dy
dx ]
2
dx
Si C está representada por las ecuaciones paramétricas x=f (t) y y=g(t )a≤t ≤b, y si
dx
dt
=f
'
(t)>0,
se puede escribir
S=∫
x0
x1
√1+
[dy
dx ]
2
dx=∫
x0
x1
√1+
[dy /dt
dx/dt ]
2
dx
S=∫
a
b
√(dx/dt)2
+(dy /dt)2
(dx/dt )2
dx
dt
dt=∫
a
b
√(dx
dt )
2
+(dy
dt )
2
dt
S=∫
a
b
√[f ' (t)]
2
+[g' (t)]
2
dt
TEOREMA 10.8 LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA
Si una curva suave C está dada por x=f (t) y y=g(t) y C no se corta a sí misma en el intervalo
a≤t ≤b (excepto quizás en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese
intervalo está dada por
S=∫
a
b
√(dx
dt )
2
+(dy
dt )
2
dt=∫
a
b
√[f ' (t)]
2
+[g'(t )]
2
dt
Nota: Al aplicar la fórmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la curva
se recorra una sola vez en el intervalo de integración. Por ejemplo, el círculo dado por
x=cost y y=sent , recorre una sola vez el intervalo 0≤t ≤2 π , pero recorre dos veces el intervalo
0≤t ≤4 π .
En la sección anterior se vio que si un círculo rueda a lo largo de una recta, cada punto de su
circunferencia trazará una trayectoria llamada cicloide. Si el círculo rueda sobre otro círculo, la
trayectoria del punto es una epicicloide. El ejemplo siguiente muestra cómo hallar la longitud de
arco de una epicicloide.
ARCO DE UNA CICLOIDE
La longitud de un arco de una cicloide fue calculada por vez primera en 1658 por el arquitecto y
matemático inglés Christopher Wren, famoso por reconstruir muchos edificios e iglesias en Londres,
entre los que se encuentra la Catedral de St. Paul.
EJEMPLO 4 Calcular la longitud de arco
Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo mayor de radio 4, como se muestra en la figura 10.33.
La epicicloide trazada por un punto en el círculo más pequeño está dada por
x=5cost−cos 5t y y=5sent−sen5t
Hallar la distancia recorrida por el punto al dar una vuelta completa alrededor del círculo mayor.
Solución:
Antes de aplicar el teorema 10.8, hay que observar en la figura 10.33 que la curva tiene puntos
angulosos en t=0 y t=π/2. Entre estos dos puntos, dx/dt y dy/dt no son
simultáneamente 0. Por tanto, la porción de la curva que se genera de t=0 a t=π/2 es suave.
Para hallar la distancia total recorrida por el punto, calcular la longitud de arco que se encuentra en el
primer cuadrante y multiplicar por 4.
S=4 ∫
0
π /2
√(dx
dt )
2
+(dy
dt )
2
dt
S=4 ∫
0
π /2
√(−5 sent+5sen5t )2
+(5cost−5cos5t )2
dt
S=20 ∫
0
π/2
√2−2 sentsen5t−2costcos5t dt
S=20 ∫
0
π/2
√2−2cos 4t dt
S=20 ∫
0
π/2
√4 sen
2
2t dt
S=40∫
0
π/2
sen2t dt
S=20[cos2t ] π/2
0
=40
Para la epicicloide de la figura 10.33, una longitud de arco de 40 parece correcta, puesto que la
circunferencia de un círculo de radio 6 es 2πr=12π ≈37.7 .
EJEMPLO 5 Longitud de una cinta magnetofónica
Una cinta magnetofónica de 0.001 pulgadas de espesor se enrolla en una bobina cuyo radio interior
mide 0.5 pulgadas y cuyo radio exterior mide 2 pulgadas, como se muestra en la figura 10.34.
¿Cuánta cinta se necesita para llenar la bobina?
Solución Para crear un modelo para este problema, supóngase que a medida que la cinta se enrolla
en la bobina, su distancia r al centro se incrementa en forma lineal a razón de 0.001 pulgadas por
revolución, o
r=(0.001)
θ
2π
=
θ
2000π
,1000 π ≤θ≤4000 π
Donde θ está medido en radianes. Se pueden determinar las coordenadas del punto (x, y)
correspondientes a un radio dado
x=rcosθ y y=rsenθ
Al sustituir r, se obtienen las ecuaciones paramétricas
x=( θ
2000 π )cosθ y y=( θ
2000 π )senθ
La fórmula de la longitud de arco se puede emplear para determinar que la longitud total de la cinta
es
S= ∫
1000 π
4000π
√(dx
dθ )
2
+(dy
dθ)
2
dθ
S=
1
2000π
∫
1000 π
4000 π
√(−θsenθ+cosθ)2
+(θcosθ+senθ)2
dθ
S=
1
2000π
∫
1000 π
4000 π
√θ
2
+1dθ
S=
1
2000π (1
2)[θ√θ
2
+1+ln|θ+√θ
2
+1|]4000π
1000 π
Tablasdeintegración(apendice B),f órmula26
S ≈11781 pulgadas
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre las matemáticas de una cinta
magnetofónica, consultar “Tape Counters” de Richard L. Roth en The American Mathematical
Monthly.
La longitud de la cinta del ejemplo 5 puede ser aproximada si se suman las porciones circulares de la
cinta. El radio de la más pequeña es de 0.501 y el radio de la más grande es de 2.
S ≈π (0.501)+2π (0.502)+2π (0.503)+…+2π(2000)
S=∑
i=1
1500
2π(0.5+0.00i)
0.5+0.001(1500)(1501)/2
1500¿
S=2π ¿
S ≈11786 pulgadas
Nota: La gráfica de r=aθ se llama espiral de Arquímedes. La gráfica de r=θ/2000 π
(ejemplo 5) es de este tipo.
Área de una superficie de revolución
La fórmula para el área de una superficie de revolución en forma rectangular puede usarse para
desarrollar una fórmula para el área de la superficie en forma paramétrica.
TEOREMA 10.9 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Si una curva suave C dada por x=f (t) y y=g(t) no se corta a sí misma en un intervalo
entonces el área S de la superficie de revolución generada por rotación de C, en torno a uno de los
ejes de coordenadas, está dada por
1.S=2π∫
a
b
g(t )
√(dx
dt )
2
+(dy
dt )
2
dt Revoluciónentorno al eje x :g(t)≥0.
1.S=2π∫
a
b
f (t)
√(d x
dt )
2
+(dy
dt )
2
dt Revoluciónentorno al eje y : f (t)≥0.
Estas fórmulas son fáciles de recordar si se considera al diferencial de la longitud de arco como
ds=
√(dx
dt )
2
+(dy
dt )
2
dt
Entonces las fórmulas se expresan como sigue.
1.S=2π∫
a
b
g(t )ds2. S=2π∫
a
b
f (t)ds
EJEMPLO 6 Hallar el área de una superficie de revolución
Sea C el arco de la circunferencia
x
2
+ y
2
=9
que va desde (3,0) hasta (
3
2
,
3√3
2
) como se ve en la figura 10.35. Encontrar el área de la
superficie generada por revolución de C alrededor del eje x.
Solución:
C se puede representar en forma paramétrica mediante las ecuaciones
x=3cost y y=3sent 0≤t ≤ π/3
(El intervalo para t se obtiene observando que t=0 cuando x=3 y t=π/3 cuando x=3/2.
En este intervalo, C es suave y y es no negativa, y se puede aplicar el teorema 10.9 para obtener
el área de la superficie
S=2 π ∫
0
π/3
(3 sent)√(−3sent)2
+(3cost)2
dt Fórmula para el áreadeuna superficiederevolución.
S=6 π ∫
0
π/3
(sent)√9(sen
2
t+cos
2
t )dt
S=6 π ∫
0
π/3
3sent dt Identidad trigonométrica.
S=−18π [cost] π /3
0
S=−18π (1
2
−1)=9π
10.3 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 4, hallar
dy
dx
.
1.x=t
2
, y=7−6t
Solución:
2.x=
3
√t , y=4−t
Solución:
3.x=sen
2
θ, y=cos
2
θ
Solución:
4. x=2e
θ
, y=e
−θ/2
Solución:
En los ejercicios 5 al 14, hallar dy/dx y
d
2
y
d x
2
, así como la pendiente y la concavidad ( de ser
posible) en el punto correspondiente al valor dado del parámetro.
5.x=4t , y=3t−2ent=3
Solución:
6.x=√t , y=3t−1ent=1
Solución:
7.x=t+1, y=t
2
+3t ent=−1
8. x=t
2
+5t+4, y=4t ent=0
Solución:
9. x=4 cosθ, y=4senθ enθ=π/ 4
Solución:
10.x=cosθ, y=3 senθenθ=0
Solución:
11. x=2+secθ , y=1+2tanθenθ=π /6
Solución:
12.x=√t , y=√t−1ent=2
Solución:
13.x=cos
3
θ , y=se n
3
θ enθ=π/4
Solución:
14.x=θ−senθ, y=1−cosθenθ=π
Solución:
En os ejercicios 15 a 18, hallar una ecuación para la recta tangente en cada uno de los puntos dados
de la curva.
15.x=2cotθ y=2sen
2
θ
Solución:
16.x=2−3cosθ y=3+2senθ
Solución:
17.x=t
2
−4 y=t
2
−2t ,(0,0),(−3,−1) y(−3,3)
Solución:
18.x=t
2
+2 y=t
3
+t ,(2,0),(3,−2) y(18,10)
Solución:
En los ejercicios 19 a 22, a) usar una herramienta de graficación para trazar la curva
representada por las ecuaciones paramétricas, b) usar una herramienta de graficación para
hallar dx/dt ,dy/dt y dy/dx para el valor dado del parámetro, c) hallar una ecuación de la recta
tangente a la curva en el valor dado del parámetro, y d) usar una herramienta de graficación
para trazar la curva y la recta tangente del inciso c)
19.x=6t , y=t
2
+4ent=1
Solución:
20.x=t−2, y=
1
t
+3ent=1
Solución:
21.x=t
2
−t+2, y=t
3
−3t ent=−1
Solución:
22.x=4 cosθ, y=3senθ enθ=3 π/4
Solución:
En los ejercicios 23 a 26, hallar las ecuaciones de las rectas tangentes en el punto en el que la
curva se corta a sí misma.
23.x=2sen2t , y=3sent
Solución:
24.x=2−πcost, y=2t−πsent
Solución:
25.x=t
2
−t , y=t
3
−3t−1
Solución:
26.x=t
3
−6t , y=t
2
Solución:
En los ejercicios 27 y 28, hallar todos los puntos de tangencia horizontal y vertical (si los hay) a la porción
de la curva que se muestra.
27. Evolvente o involuta de un círculo:
x=cosθ+θsenθ y=senθ−θcosθ
Solución:
28. x=2θ y=2(1−cosθ)
Solución:
En los ejercicios 29 a 38, hallar todos los puntos de tangencia horizontal y vertical (si los hay)
a la curva. Usar una herramienta de graficación para confirmar los resultados.
29.x=4−t , y=t
2
Solución:
30.x=t+1, y=t
2
+3t
Solución:
31.x=t+4, y=t
3
−3t
Solución:
32.x=t
2
−t +2, y=t
3
−3t
Solución:
33.x=3cosθ, y=3 senθ
Solución:
34.x=cosθ, y=2sen 2θ
Solución:
35.x=5+3cosθ, y=−2+senθ
Solución:
36.x=4cos
2
θ y=2senθ
Solución:
37.x=secθ , y=tanθ
Solución:
38.x=cos
2
θ y=cosθ
Solución:
En los ejercicios 39 a 44, determinar los intervalos de t en los que la curva es cóncava hacia
abajo o cóncava hacia arriba.
39.x=3t
2
, y=t
3
−t
Solución:
40. x=2+t
2
, y=t
2
+t
3
Solución:
41. x=2t+lnt , y=2t−lnt
Solución:
42. x=t
2
, y=lnt
Solución:
43. x=senθ, y=cosθ ,0<t<π
Solución:
44. x=4 cost , y=2sent ,0<t<2 π
Solución:
Longitud de arco. En los ejercicios 45 a 48, dar una integral que represente la longitud de arco de la
curva en el intervalo dado. No evaluar la integral.
45. x=3t−t
2
, y=2t
3
2
1≤t ≤3
Solución:
46. x=lnt , y=4 t−31≤t ≤5
Solución:
47. x=e
t
+2, y=2t+1,−2≤t ≤2
Solución:
48. x=t+sent , y=t−cost ,0≤t ≤2π
Solución:
Longitud de arco. En los ejercicios 49 a 56, hallar la longitud de arco de la curva en el intervalo dado.
49. x=3t+5, y=7−2t−1≤t ≤3
Solución:
50.x=t
2
, y=2t 0≤t ≤2
Solución:
51.x=6t
2
, y=2t
3
,1≤t ≤4
Solución:
52.x=t
2
+1, y=4 t
3
+3,−1≤t ≤0
Solución:
53.x=e
−t
cost, y=e
−t
sent0≤t ≤π /2
Solución:
54.x=arcsent , y=ln √1−t
2
0≤t ≤1/2
Solución:
55.x=√t , y=3t−1,0≤t ≤1
Solución:
56.x=t , y=
t
5
10
+
1
6t
3
,1≤t ≤2
Solución:
Longitud de arco En los ejercicios 57 a 60, hallar la longitud de arco de la curva en el intervalo
[0,2 π] .
57. Perímetro de una hipocicloide: x=acos
3
θ, x=a sen
3
θ
Solución:
58. Circunferencia de un círculo: x=acosθ , y=asenθ
Solución:
59. Arco de una cicloide: x=a(θ−senθ), y=a(1−cosθ)
Solución:
60. Evolvente o involuta de un círculo: x=cosθ+θsenθ¿, y=senθ−θcosθ
Solución:
61. Trayectoria de un proyectil La trayectoria de un proyectil se describe por medio de las
ecuaciones paramétricas
x=(90cos30°)t y y=(90 sen30°)t−16t
2
donde x y y se miden en pies.
a) Utilizar una herramienta de graficación para trazar la trayectoria del proyectil.
b) Utilizar una herramienta de graficación para estimar el alcance del proyectil.
c) Utilizar las funciones de integración de una herramienta de graficación para aproximar la longitud
de arco de la trayectoria. Comparar este resultado con el alcance del proyectil.
Solución:
62. Trayectoria de un proyectil Si el proyectil del ejercicio 61 se lanza formando un ángulo con la
horizontal, sus ecuaciones paramétricas son
x=(90cosθ)t y y=(90 senθ)t−16t
2
Usar una herramienta de graficación para hallar el ángulo que maximiza el alcance del proyectil.
¿Qué ángulo maximiza la longitud de arco de la trayectoria?
Solución:
63. Hoja (o folio) de Descartes Considerar las ecuaciones paramétricas
x=
4t
1+t
3
y y=
4t
2
1+t
3
a) Usar una herramienta de graficación para trazar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas.
b) Usar una herramienta de graficación para hallar los puntos de tangencia horizontal a la curva.
Usar las funciones de integración de una herramienta de graficación para aproximar la longitud de
arco del lazo cerrado. (Sugerencia: Usar la simetría e integrar sobre el intervalo 0≤t ≤1. )
Solución:
64. Hechicera o bruja de Agnesi Considerar las ecuaciones paramétricas
x=4 cotθ y y=4sen
2
θ−π/2≤θ≤π /2
a) Emplear una herramienta de graficación para trazar la curva descrita por las ecuaciones
paramétricas.
b) Utilizar una herramienta de graficación para hallar los puntos de tangencia horizontal a la curva.
c) Usar las funciones de integración de una herramienta de graficación para aproximar la longitud de
arco en el intervalo π /4≤θ≤π/2 .
Solución:
65. Redacción
a) Usar una herramienta de graficación para representar cada conjunto de ecuaciones paramétricas.
x=t−sent x=2t−sen(2t)
y=1−cost y=1−cos ⁡(2t)
0≤t ≤2 π 0≤t ≤ π
b) Comparar las gráficas de los dos conjuntos de ecuaciones paramétricas del inciso a). Si la curva
representa el movimiento de una partícula y t es tiempo, ¿qué puede inferirse acerca de las
velocidades promedio de la partícula en las trayectorias representadas por los dos conjuntos de
ecuaciones paramétricas?
c) Sin trazar la curva, determinar el tiempo que requiere la partícula para recorrer las mismas
trayectorias que en los incisos a) y b) si la trayectoria está descrita por
x=
1
2
t−sen(1
2
t)y y=1−cos(1
2
t)
Solución:
66. Redacción
a) Cada conjunto de ecuaciones paramétricas representa el movimiento de una partícula. Usar una
herramienta de graficación para representar cada conjunto.
Primera partícula Segunda partícula
x=3cost x=4 sent
y=4sent y=3cost
0≤t ≤2 π 0≤t ≤2π
b) Determinar el número de puntos de intersección.
c) ¿Estarán las partículas en algún momento en el mismo lugar al mismo tiempo? Si es así,
identificar esos puntos.
d) Explicar qué ocurre si el movimiento de la segunda partícula se representa por
x=2+3sent , y=2−4cost ,0≤t ≤2 π
Solución:
Área de una superficie En los ejercicios 67 a 70, dar una integral que represente el área de la
superficie generada por revolución de la curva alrededor del eje x. Usar una herramienta de
graficación para aproximar la integral
67.x=4t , y=t+20≤t ≤4
Solución:
68.x=
1
4
t
2
, y=t+30≤t ≤3
Solución:
69.x=cos
2
θ, y=cosθ ,0≤θ≤π/2
Solución:
70.x=θ+senθ , y=θ+cosθ ,0≤θ≤π/2
Solución:
Área de una superficie En los ejercicios 71 a 76, encontrar el área de la superficie generada
por revolución de la curva alrededor de cada uno de los ejes dados.
71.x=2t , y=3t ,0≤t ≤ 4,a¿eje x b¿eje y
Solución:
72.x=t , y=4−2t ,0≤t ≤2,a¿eje x b¿eje y
Solución:
73.x=5 cosθ, y=5senθ ,0≤θ≤
π
2
,eje y
Solución:
74.x=
1
3
t
3
, y=t+1,1≤t ≤2,eje y
Solución:
75.x=acos
3
θ , y=asen
3
θ,0≤θ≤ π ,ejex
Solución:
76.x=acosθ, y=bsenθ ,0≤θ≤2π ,a¿ejex b¿eje y
Solución:
Desarrollo de conceptos
77. Dar la forma paramétrica de la derivada.
Solución:
En los ejercicios 78 y 79, determinar mentalmente dy/dx .
78. x=t , y=3
Solución:
79. x=t , y=6t−5
Solución:
80. Dar la fórmula integral para la longitud de arco en forma paramétrica.
Solución:
81. Dar las fórmulas integrales para las áreas de superficies de revolución generadas por revolución
de una curva suave C alrededor a) del eje x y b) del eje y.
Solución:
Para discusión:
82. a) Dibujar la gráfica de una curva definida por las ecuaciones paramétricas x=g(t) y
y=f (t) de manera que dx/dt>0 y dy/dt <0 para todos los números reales t.
b) Dibujar la gráfica de una curva definida por las ecuaciones paramétricas x=g(t) y y=f (t)
de manera que dx/dt<0 y dy/dt <0 para todos los números reales t.
Solución:
83. Mediante integración por sustitución mostrar que si y es una función continua de x en el
intervalo a≤x ≤b , donde x=f (t) y y=g(t) entonces
∫
a
b
ydx=∫
t1
t2
g(t )f
'
(t )dt
Donde
f (t1)=a,f (t2)=b,
y tanto g como f’ son continuas en [t1 ,t2].
Solución:
84. Área de una superficie Una porción de una esfera de radio r se elimina cortando un cono
circular con vértice en el centro de la esfera. El vértice del cono forma un ángulo 2θ . Hallar el área
de superficie eliminada de la esfera.
Solución:
Área En los ejercicios 85 y 86, hallar el área de la región. (Usar el resultado del ejercicio 83.)
85.
x=2se n
2
θ
y=2se n
2
θtanθ
0≤θ≤ π/2
Solución:
86.
x=2cotθ
y=2se n
2
θ
0≤θ≤ π
Solución:
Áreas de curvas cerradas simples. En los ejercicios 87 a 92, usar un sistema algebraico por
computadora y el resultado del ejercicio 83 para relacionar la curva cerrada con su área.
(Estos ejercicios fueron adaptados del artículo “ The Surveyors’s Area Formula” de Bart
Braden en la publicación de septiembre de 1986 del College Mathematics Journal, pp. 335-
337, con autorización del autor
a¿
8
3
abb¿
3
8
π a
2
c¿2 π a
2
d¿ πabe¿2πab f ¿6π a
2
87. Elipse: ( 0≤t ≤2 π¿
x=bcost
y=asent
Solución:
88. Astroide: ( 0≤t ≤2 π¿
x=bco s
3
t
y=asen
3
t
Solución:
89. Cardiode: ( 0≤t ≤2 π¿
x=2acost−acos 2t
y=2asent−asen2t
Solución:
90. Deltoide: ( 0≤t ≤2 π¿
x=2acost+acos2t
y=2asent−asen2t
Solución:
91. Reloj de arena: ( 0≤t ≤2 π¿
x=asen2t
y=bsent
Solución:
92. Lágrima: ( 0≤t ≤2 π¿
x=2acost−asen2t
y=bsent
Solución:
Centroide En los ejercicios 93 y 94, hallar el centroide de la región limitada por la gráfica de
las ecuaciones paramétricas y los ejes de coordenadas. (Usar el resultado del ejercicio 83.)
93. x=√t , y=4−t
Solución:
94. x=√4−t , y=√t
Solución:
Volumen En los ejercicios 95 y 96, hallar el volumen del sólido generado por revolución en
torno al eje x de la región limitada por la gráfica de las ecuaciones dadas. (Usar el resultado
del ejercicio 83.)
95. x=6cosθ , y=6senθ
Solución:
96. x=cosθ , y=3senθ ,θ>0
Solución:
97. Cicloide Emplear las ecuaciones paramétricas
x=a(θ−senθ) y y=a(1−cosθ),a>0
para responder lo siguiente.
a) Hallar
dy
dx
y
d
2
y
d x
2
b) Hallar las ecuaciones de la recta tangente en el punto en el que θ=π /6.
c) Localizar todos los puntos (si los hay) de tangencia horizontal.
d) Calcular dónde es la curva cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo.
e) Hallar la longitud de un arco de la curva.
Solución:
98. Emplear las ecuaciones paramétricas
x=t
2
√3 y y=3t−
1
3
t
3
para los incisos siguientes.
a) Emplear una herramienta de graficación para trazar la curva en el intervalo −3≤t ≤3.
b) Hallar
dy
dx
y
d
2
y
d x
2
c) Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto
(√3,
3
8
)
d) Hallar la longitud de la curva.
e) Hallar el área de la superficie generada por revolución de la curva en torno al eje x.
Solución:
99. Evolvente o involuta de círculo La evolvente o involuta de un círculo está descrita por el
extremo P de una cuerda que se mantiene tensa mientras se desenrolla de un carrete que no gira
(ver la figura). Mostrar que la siguiente es una representación paramétrica de la evolvente o involuta
x=r (cosθ+θsenθ) y y=r(senθ−θcosθ)
Solución:
100. Evolvente o involuta de un círculo La figura muestra un segmento de cuerda sujeto a un
círculo de radio 1. La cuerda es justo lo suficientemente larga para llegar al lado opuesto del círculo.
Encontrar el área que se cubre cuando la cuerda se desenrolla en sentido contrario al de las
manecillas del reloj.
Solución:
101. a) Usar una herramienta de graficación para trazar la curva dada por
x=
1−t
2
1+t
2
, y=
2t
1+t
2
,−20≤t ≤20
b) Describir la gráfica y confirmar la respuesta en forma analítica.
c) Analizar la velocidad a la cual se traza la curva cuando t aumenta de -20 a 20.
Solución:
102. Tractriz Una persona se mueve desde el origen a lo largo del eje y positivo tirando un peso
atado al extremo de una cuerda de 12 metros de largo. Inicialmente, el peso está situado en el punto
(12, 0).
a) En el ejercicio 96 de la sección 8.7 se mostró que la trayectoria del peso se describe mediante la
siguiente ecuación rectangular
y=−12ln(12−√144−x2
x )−√144−x2
Donde 0<x ≤12 . Usar una herramienta de graficación para representar la ecuación rectangular.
b) Usar una herramienta de graficación para trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas
x=12sech
t
12
y y=t−12tanh
t
12
donde t ≥0 . Comparar esta gráfica con la del inciso a).
¿Qué gráfica (si hay alguna) representa mejor la trayectoria?
c) Emplear las ecuaciones paramétricas de la tractriz para verificar que la distancia de la intersección
con el eje y de la recta tangente al punto de tangencia es independiente de la ubicación del punto de
tangencia.
Solución:
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 103 y 104, determinar si la afirmación es verdadera o
falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa.
103. Si x=f (t ) y y=g(t) entonces
d
2
y
d x
2
=
g
''
(t)
f
' '
(t )
.
Solución:
104. La curva dada por x=t
3
, y=t
2
tiene una tangente horizontal en el origen puesto que
dy
dt
=0
cuando t=0.
Solución:
105. Cinta de grabación Otro método que se puede usar para solucionar el ejemplo 5 es encontrar
el área del carrete con un radio interior de 0.5 pulgadas y un radio exterior de 2 pulgadas, y después
usar la fórmula para el área del rectángulo cuyo ancho es de 0.001 pulgadas. Utilizar este método
para determinar cuánta cinta se necesita para llenar el carrete.
Solución:

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  • 1. CAPÍTULO 10 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo  Hallar la pendiente de una recta tangente a una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas.  Hallar la longitud de arco de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas.  Hallar el área de una superficie de revolución (forma paramétrica). Pendiente y rectas tangentes Ahora que ya se sabe representar una gráfica en el plano mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas, lo natural es preguntarse cómo emplear el cálculo para estudiar estas curvas planas. Para empezar, hay que dar otra mirada al proyectil representado por las ecuaciones paramétricas x=24√2t y y=−16t 2 +24√2t Como se ilustra en la figura 10.29. De lo visto en la sección 10.2, se sabe que estas ecuaciones permiten localizar la posición del proyectil en un instante dado. También se sabe que el objeto es proyectado inicialmente con un ángulo de 45°. Pero, ¿cómo puede encontrarse el ángulo θ que representa la dirección del objeto en algún otro instante t? El teorema siguiente responde a esta pregunta proporcionando una fórmula para la pendiente de la recta tangente en función de t. TEOREMA 10.7 FORMA PARAMÉTRICA DE LA DERIVADA Si una curva suave C está dada por las ecuaciones x=f (t ) y y=g(t ), entonces la pendiente de C en (x, y) es dy dx = dy /dt dx/dt , dx dt ≠0. Demostración:
  • 2. En la figura 10.30, considérese ∆t >0 y sea ∆ y=g(t +∆t )−g(t ) y ∆ x=f (t +∆t )−f (t) Como ∆ x→0 cuando ∆t →0, se puede escribir dy dx = lim ∆x →0 ∆ y ∆ x = lim ∆x → 0 g(t +∆t )−g(t ) f (t+∆t)−f (t ) Dividiendo tanto el numerador como el denominador entre ∆t se puede emplear la derivabilidad o diferenciabilidad de f y g para concluir que dy dx = lim ∆x →0 [g(t +∆t )−g(t)]/ ∆t [f (t+∆t)−f (t )]/∆t = lim ∆x → 0 g(t+∆t )−g(t ) ∆t lim ∆x →0 f (t+∆t )−f (t) ∆t = g'(t ) f '(t) = dy/dt dx/dt EJEMPLO 1 Derivación o diferenciación y forma paramétrica Hallar dy/dx para la curva dada por x=sent y y=cost Solución: dy dx = dy /dt dx/dt = −sent cost =−tant Ayuda de estudio La curva del ejemplo 1 es una circunferencia. Emplear la fórmula dy dx =−tant para hallar su pendiente en los puntos (1, 0) y (0, 1).
  • 3. Como dy/dx es función de t, puede emplearse el teorema 10.7 repetidamente para hallar las derivadas de orden superior. Por ejemplo, d 2 y dx 2 = d dx [dy dx ]= d dt [dy dx ] dx dt Segundaderivada. d 3 y dx 3 = d dx [d 2 y dx 2 ]= d dt [d 2 y dx 2 ] dx dt Tercera derivada. EJEMPLO 2 Hallar pendiente y concavidad Para la curva dada por x=√t y y= 1 4 (t 2 −4),t ≥0 hallar la pendiente y la concavidad en el punto (2,3). Solución Como dy dx = dy /dt dx/dt = (1 2)t ( 1 2 )t −1/2 =t 3/2 Forma paramétrica dela primeraderivada se puede hallar que la segunda derivada es d 2 y dx 2 = d dt [dy dx ] dx dt = d dt [t 3/2 ] ( 1 2 )t −1/2 = ( 3 2 )t 1/2 ( 1 2 )t −1/2 =3t Forma paramétricadela segundaderivada En (x, y)=(2,3), se tiene que t=4 y la pendiente es dy dx =(4) 3/2 =8. Y, cuando t=4 la segunda derivada es d 2 y dx 2 =3(4)=12>0 por lo que puede concluirse que en (2, 3) la gráfica es cóncava hacia arriba, como se muestra en la figura 10.31.
  • 4. Como en las ecuaciones paramétricas x=f (t) y y=g(t) no se necesita que y esté definida en función de x, puede ocurrir que una curva plana forme un lazo y se corte a sí misma. En esos puntos la curva puede tener más de una recta tangente, como se muestra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 3 Una curva con dos rectas tangentes en un punto La cicloide alargada dada por x=2t−πsent y y=2−πcost se corta a sí misma en el punto (0, 2), como se ilustra en la figura 10.32. Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes en este punto.
  • 5. Solución: Como x=0 y y=2 cuando t=±π /2 , y dy dx = dy /dt dx/dt = πsent 2−πcost se tiene dy dx =−π/2 cuando t=−π /2 y dy dx =π /2 cuando t=π/2 Por tanto, las dos rectas tangentes en (0, 2) son y−2=−(π 2 )x Recta tangentecuandot=−π /2 Y y−2=(π 2 )x Rectatangentecuandot=π/2 Si dy dt =0 y dx dt ≠0 cuando t=t0, la curva representada por x=f (t) y y=g(t) tiene una tangente horizontal en (f (t0), g(t0)). Así, en el ejemplo 3, la curva dada tiene una tangente horizontal en el punto (0,2−π) (cuando t=0 ). De manera semejante, si dx dt =0 y dy/dt ≠0 cuando t=t0, la curva representada por x=f (t) y y=g(t) tiene una tangente vertical en (f (t0), g(t0)). Longitud de arco Se ha visto cómo pueden emplearse las ecuaciones paramétricas para describir la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano. Ahora se desarrollará una fórmula para determinar la distancia recorrida por una partícula a lo largo de su trayectoria. Recuérdese de la sección 7.4 que la fórmula para hallar la longitud de arco de una curva C dada por y=h(x) en el intervalo [x0, x1] es S=∫ x0 x1 √1+[h'(x)] 2 dx S=∫ x0 x1 √1+ [dy dx ] 2 dx
  • 6. Si C está representada por las ecuaciones paramétricas x=f (t) y y=g(t )a≤t ≤b, y si dx dt =f ' (t)>0, se puede escribir S=∫ x0 x1 √1+ [dy dx ] 2 dx=∫ x0 x1 √1+ [dy /dt dx/dt ] 2 dx S=∫ a b √(dx/dt)2 +(dy /dt)2 (dx/dt )2 dx dt dt=∫ a b √(dx dt ) 2 +(dy dt ) 2 dt S=∫ a b √[f ' (t)] 2 +[g' (t)] 2 dt TEOREMA 10.8 LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA Si una curva suave C está dada por x=f (t) y y=g(t) y C no se corta a sí misma en el intervalo a≤t ≤b (excepto quizás en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada por S=∫ a b √(dx dt ) 2 +(dy dt ) 2 dt=∫ a b √[f ' (t)] 2 +[g'(t )] 2 dt Nota: Al aplicar la fórmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la curva se recorra una sola vez en el intervalo de integración. Por ejemplo, el círculo dado por x=cost y y=sent , recorre una sola vez el intervalo 0≤t ≤2 π , pero recorre dos veces el intervalo 0≤t ≤4 π . En la sección anterior se vio que si un círculo rueda a lo largo de una recta, cada punto de su circunferencia trazará una trayectoria llamada cicloide. Si el círculo rueda sobre otro círculo, la trayectoria del punto es una epicicloide. El ejemplo siguiente muestra cómo hallar la longitud de arco de una epicicloide. ARCO DE UNA CICLOIDE La longitud de un arco de una cicloide fue calculada por vez primera en 1658 por el arquitecto y matemático inglés Christopher Wren, famoso por reconstruir muchos edificios e iglesias en Londres, entre los que se encuentra la Catedral de St. Paul. EJEMPLO 4 Calcular la longitud de arco Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo mayor de radio 4, como se muestra en la figura 10.33. La epicicloide trazada por un punto en el círculo más pequeño está dada por x=5cost−cos 5t y y=5sent−sen5t Hallar la distancia recorrida por el punto al dar una vuelta completa alrededor del círculo mayor.
  • 7. Solución: Antes de aplicar el teorema 10.8, hay que observar en la figura 10.33 que la curva tiene puntos angulosos en t=0 y t=π/2. Entre estos dos puntos, dx/dt y dy/dt no son simultáneamente 0. Por tanto, la porción de la curva que se genera de t=0 a t=π/2 es suave. Para hallar la distancia total recorrida por el punto, calcular la longitud de arco que se encuentra en el primer cuadrante y multiplicar por 4. S=4 ∫ 0 π /2 √(dx dt ) 2 +(dy dt ) 2 dt S=4 ∫ 0 π /2 √(−5 sent+5sen5t )2 +(5cost−5cos5t )2 dt S=20 ∫ 0 π/2 √2−2 sentsen5t−2costcos5t dt S=20 ∫ 0 π/2 √2−2cos 4t dt S=20 ∫ 0 π/2 √4 sen 2 2t dt S=40∫ 0 π/2 sen2t dt S=20[cos2t ] π/2 0 =40 Para la epicicloide de la figura 10.33, una longitud de arco de 40 parece correcta, puesto que la circunferencia de un círculo de radio 6 es 2πr=12π ≈37.7 .
  • 8. EJEMPLO 5 Longitud de una cinta magnetofónica Una cinta magnetofónica de 0.001 pulgadas de espesor se enrolla en una bobina cuyo radio interior mide 0.5 pulgadas y cuyo radio exterior mide 2 pulgadas, como se muestra en la figura 10.34. ¿Cuánta cinta se necesita para llenar la bobina? Solución Para crear un modelo para este problema, supóngase que a medida que la cinta se enrolla en la bobina, su distancia r al centro se incrementa en forma lineal a razón de 0.001 pulgadas por revolución, o r=(0.001) θ 2π = θ 2000π ,1000 π ≤θ≤4000 π Donde θ está medido en radianes. Se pueden determinar las coordenadas del punto (x, y) correspondientes a un radio dado x=rcosθ y y=rsenθ Al sustituir r, se obtienen las ecuaciones paramétricas x=( θ 2000 π )cosθ y y=( θ 2000 π )senθ La fórmula de la longitud de arco se puede emplear para determinar que la longitud total de la cinta es S= ∫ 1000 π 4000π √(dx dθ ) 2 +(dy dθ) 2 dθ S= 1 2000π ∫ 1000 π 4000 π √(−θsenθ+cosθ)2 +(θcosθ+senθ)2 dθ
  • 9. S= 1 2000π ∫ 1000 π 4000 π √θ 2 +1dθ S= 1 2000π (1 2)[θ√θ 2 +1+ln|θ+√θ 2 +1|]4000π 1000 π Tablasdeintegración(apendice B),f órmula26 S ≈11781 pulgadas PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre las matemáticas de una cinta magnetofónica, consultar “Tape Counters” de Richard L. Roth en The American Mathematical Monthly. La longitud de la cinta del ejemplo 5 puede ser aproximada si se suman las porciones circulares de la cinta. El radio de la más pequeña es de 0.501 y el radio de la más grande es de 2. S ≈π (0.501)+2π (0.502)+2π (0.503)+…+2π(2000) S=∑ i=1 1500 2π(0.5+0.00i) 0.5+0.001(1500)(1501)/2 1500¿ S=2π ¿ S ≈11786 pulgadas Nota: La gráfica de r=aθ se llama espiral de Arquímedes. La gráfica de r=θ/2000 π (ejemplo 5) es de este tipo. Área de una superficie de revolución La fórmula para el área de una superficie de revolución en forma rectangular puede usarse para desarrollar una fórmula para el área de la superficie en forma paramétrica. TEOREMA 10.9 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Si una curva suave C dada por x=f (t) y y=g(t) no se corta a sí misma en un intervalo entonces el área S de la superficie de revolución generada por rotación de C, en torno a uno de los ejes de coordenadas, está dada por 1.S=2π∫ a b g(t ) √(dx dt ) 2 +(dy dt ) 2 dt Revoluciónentorno al eje x :g(t)≥0. 1.S=2π∫ a b f (t) √(d x dt ) 2 +(dy dt ) 2 dt Revoluciónentorno al eje y : f (t)≥0.
  • 10. Estas fórmulas son fáciles de recordar si se considera al diferencial de la longitud de arco como ds= √(dx dt ) 2 +(dy dt ) 2 dt Entonces las fórmulas se expresan como sigue. 1.S=2π∫ a b g(t )ds2. S=2π∫ a b f (t)ds EJEMPLO 6 Hallar el área de una superficie de revolución Sea C el arco de la circunferencia x 2 + y 2 =9 que va desde (3,0) hasta ( 3 2 , 3√3 2 ) como se ve en la figura 10.35. Encontrar el área de la superficie generada por revolución de C alrededor del eje x. Solución: C se puede representar en forma paramétrica mediante las ecuaciones x=3cost y y=3sent 0≤t ≤ π/3 (El intervalo para t se obtiene observando que t=0 cuando x=3 y t=π/3 cuando x=3/2. En este intervalo, C es suave y y es no negativa, y se puede aplicar el teorema 10.9 para obtener el área de la superficie S=2 π ∫ 0 π/3 (3 sent)√(−3sent)2 +(3cost)2 dt Fórmula para el áreadeuna superficiederevolución.
  • 11. S=6 π ∫ 0 π/3 (sent)√9(sen 2 t+cos 2 t )dt S=6 π ∫ 0 π/3 3sent dt Identidad trigonométrica. S=−18π [cost] π /3 0 S=−18π (1 2 −1)=9π 10.3 Ejercicios En los ejercicios 1 a 4, hallar dy dx . 1.x=t 2 , y=7−6t Solución: 2.x= 3 √t , y=4−t Solución: 3.x=sen 2 θ, y=cos 2 θ Solución: 4. x=2e θ , y=e −θ/2 Solución: En los ejercicios 5 al 14, hallar dy/dx y d 2 y d x 2 , así como la pendiente y la concavidad ( de ser posible) en el punto correspondiente al valor dado del parámetro.
  • 12. 5.x=4t , y=3t−2ent=3 Solución: 6.x=√t , y=3t−1ent=1 Solución: 7.x=t+1, y=t 2 +3t ent=−1 8. x=t 2 +5t+4, y=4t ent=0 Solución: 9. x=4 cosθ, y=4senθ enθ=π/ 4 Solución:
  • 13. 10.x=cosθ, y=3 senθenθ=0 Solución: 11. x=2+secθ , y=1+2tanθenθ=π /6 Solución: 12.x=√t , y=√t−1ent=2 Solución:
  • 14. 13.x=cos 3 θ , y=se n 3 θ enθ=π/4 Solución: 14.x=θ−senθ, y=1−cosθenθ=π Solución:
  • 15. En os ejercicios 15 a 18, hallar una ecuación para la recta tangente en cada uno de los puntos dados de la curva. 15.x=2cotθ y=2sen 2 θ Solución:
  • 17. 17.x=t 2 −4 y=t 2 −2t ,(0,0),(−3,−1) y(−3,3) Solución: 18.x=t 2 +2 y=t 3 +t ,(2,0),(3,−2) y(18,10) Solución: En los ejercicios 19 a 22, a) usar una herramienta de graficación para trazar la curva representada por las ecuaciones paramétricas, b) usar una herramienta de graficación para hallar dx/dt ,dy/dt y dy/dx para el valor dado del parámetro, c) hallar una ecuación de la recta tangente a la curva en el valor dado del parámetro, y d) usar una herramienta de graficación para trazar la curva y la recta tangente del inciso c) 19.x=6t , y=t 2 +4ent=1 Solución:
  • 20. 22.x=4 cosθ, y=3senθ enθ=3 π/4 Solución: En los ejercicios 23 a 26, hallar las ecuaciones de las rectas tangentes en el punto en el que la curva se corta a sí misma. 23.x=2sen2t , y=3sent Solución:
  • 21. 24.x=2−πcost, y=2t−πsent Solución: 25.x=t 2 −t , y=t 3 −3t−1 Solución: 26.x=t 3 −6t , y=t 2 Solución: En los ejercicios 27 y 28, hallar todos los puntos de tangencia horizontal y vertical (si los hay) a la porción de la curva que se muestra. 27. Evolvente o involuta de un círculo: x=cosθ+θsenθ y=senθ−θcosθ
  • 23. En los ejercicios 29 a 38, hallar todos los puntos de tangencia horizontal y vertical (si los hay) a la curva. Usar una herramienta de graficación para confirmar los resultados. 29.x=4−t , y=t 2 Solución: 30.x=t+1, y=t 2 +3t Solución: 31.x=t+4, y=t 3 −3t Solución:
  • 27. 38.x=cos 2 θ y=cosθ Solución: En los ejercicios 39 a 44, determinar los intervalos de t en los que la curva es cóncava hacia abajo o cóncava hacia arriba. 39.x=3t 2 , y=t 3 −t Solución: 40. x=2+t 2 , y=t 2 +t 3 Solución: 41. x=2t+lnt , y=2t−lnt Solución:
  • 28. 42. x=t 2 , y=lnt Solución: 43. x=senθ, y=cosθ ,0<t<π Solución: 44. x=4 cost , y=2sent ,0<t<2 π Solución: Longitud de arco. En los ejercicios 45 a 48, dar una integral que represente la longitud de arco de la curva en el intervalo dado. No evaluar la integral. 45. x=3t−t 2 , y=2t 3 2 1≤t ≤3 Solución: 46. x=lnt , y=4 t−31≤t ≤5 Solución: 47. x=e t +2, y=2t+1,−2≤t ≤2 Solución: 48. x=t+sent , y=t−cost ,0≤t ≤2π Solución: Longitud de arco. En los ejercicios 49 a 56, hallar la longitud de arco de la curva en el intervalo dado. 49. x=3t+5, y=7−2t−1≤t ≤3 Solución: 50.x=t 2 , y=2t 0≤t ≤2 Solución:
  • 29. 51.x=6t 2 , y=2t 3 ,1≤t ≤4 Solución: 52.x=t 2 +1, y=4 t 3 +3,−1≤t ≤0 Solución: 53.x=e −t cost, y=e −t sent0≤t ≤π /2 Solución: 54.x=arcsent , y=ln √1−t 2 0≤t ≤1/2 Solución:
  • 30. 55.x=√t , y=3t−1,0≤t ≤1 Solución: 56.x=t , y= t 5 10 + 1 6t 3 ,1≤t ≤2 Solución:
  • 31. Longitud de arco En los ejercicios 57 a 60, hallar la longitud de arco de la curva en el intervalo [0,2 π] . 57. Perímetro de una hipocicloide: x=acos 3 θ, x=a sen 3 θ Solución: 58. Circunferencia de un círculo: x=acosθ , y=asenθ Solución:
  • 32. 59. Arco de una cicloide: x=a(θ−senθ), y=a(1−cosθ) Solución: 60. Evolvente o involuta de un círculo: x=cosθ+θsenθ¿, y=senθ−θcosθ Solución: 61. Trayectoria de un proyectil La trayectoria de un proyectil se describe por medio de las ecuaciones paramétricas x=(90cos30°)t y y=(90 sen30°)t−16t 2 donde x y y se miden en pies. a) Utilizar una herramienta de graficación para trazar la trayectoria del proyectil.
  • 33. b) Utilizar una herramienta de graficación para estimar el alcance del proyectil. c) Utilizar las funciones de integración de una herramienta de graficación para aproximar la longitud de arco de la trayectoria. Comparar este resultado con el alcance del proyectil. Solución:
  • 34. 62. Trayectoria de un proyectil Si el proyectil del ejercicio 61 se lanza formando un ángulo con la horizontal, sus ecuaciones paramétricas son x=(90cosθ)t y y=(90 senθ)t−16t 2 Usar una herramienta de graficación para hallar el ángulo que maximiza el alcance del proyectil. ¿Qué ángulo maximiza la longitud de arco de la trayectoria? Solución: 63. Hoja (o folio) de Descartes Considerar las ecuaciones paramétricas x= 4t 1+t 3 y y= 4t 2 1+t 3 a) Usar una herramienta de graficación para trazar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas. b) Usar una herramienta de graficación para hallar los puntos de tangencia horizontal a la curva. Usar las funciones de integración de una herramienta de graficación para aproximar la longitud de arco del lazo cerrado. (Sugerencia: Usar la simetría e integrar sobre el intervalo 0≤t ≤1. ) Solución:
  • 35. 64. Hechicera o bruja de Agnesi Considerar las ecuaciones paramétricas x=4 cotθ y y=4sen 2 θ−π/2≤θ≤π /2 a) Emplear una herramienta de graficación para trazar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas. b) Utilizar una herramienta de graficación para hallar los puntos de tangencia horizontal a la curva. c) Usar las funciones de integración de una herramienta de graficación para aproximar la longitud de arco en el intervalo π /4≤θ≤π/2 . Solución: 65. Redacción a) Usar una herramienta de graficación para representar cada conjunto de ecuaciones paramétricas. x=t−sent x=2t−sen(2t) y=1−cost y=1−cos ⁡(2t) 0≤t ≤2 π 0≤t ≤ π b) Comparar las gráficas de los dos conjuntos de ecuaciones paramétricas del inciso a). Si la curva representa el movimiento de una partícula y t es tiempo, ¿qué puede inferirse acerca de las velocidades promedio de la partícula en las trayectorias representadas por los dos conjuntos de ecuaciones paramétricas? c) Sin trazar la curva, determinar el tiempo que requiere la partícula para recorrer las mismas trayectorias que en los incisos a) y b) si la trayectoria está descrita por x= 1 2 t−sen(1 2 t)y y=1−cos(1 2 t) Solución:
  • 36. 66. Redacción a) Cada conjunto de ecuaciones paramétricas representa el movimiento de una partícula. Usar una herramienta de graficación para representar cada conjunto. Primera partícula Segunda partícula x=3cost x=4 sent y=4sent y=3cost 0≤t ≤2 π 0≤t ≤2π b) Determinar el número de puntos de intersección. c) ¿Estarán las partículas en algún momento en el mismo lugar al mismo tiempo? Si es así, identificar esos puntos. d) Explicar qué ocurre si el movimiento de la segunda partícula se representa por x=2+3sent , y=2−4cost ,0≤t ≤2 π Solución: Área de una superficie En los ejercicios 67 a 70, dar una integral que represente el área de la superficie generada por revolución de la curva alrededor del eje x. Usar una herramienta de graficación para aproximar la integral 67.x=4t , y=t+20≤t ≤4 Solución:
  • 37. 68.x= 1 4 t 2 , y=t+30≤t ≤3 Solución: 69.x=cos 2 θ, y=cosθ ,0≤θ≤π/2 Solución: 70.x=θ+senθ , y=θ+cosθ ,0≤θ≤π/2 Solución: Área de una superficie En los ejercicios 71 a 76, encontrar el área de la superficie generada por revolución de la curva alrededor de cada uno de los ejes dados. 71.x=2t , y=3t ,0≤t ≤ 4,a¿eje x b¿eje y Solución: 72.x=t , y=4−2t ,0≤t ≤2,a¿eje x b¿eje y Solución:
  • 38. 73.x=5 cosθ, y=5senθ ,0≤θ≤ π 2 ,eje y Solución: 74.x= 1 3 t 3 , y=t+1,1≤t ≤2,eje y Solución: 75.x=acos 3 θ , y=asen 3 θ,0≤θ≤ π ,ejex Solución: 76.x=acosθ, y=bsenθ ,0≤θ≤2π ,a¿ejex b¿eje y Solución:
  • 39. Desarrollo de conceptos 77. Dar la forma paramétrica de la derivada. Solución: En los ejercicios 78 y 79, determinar mentalmente dy/dx . 78. x=t , y=3 Solución:
  • 40. 79. x=t , y=6t−5 Solución: 80. Dar la fórmula integral para la longitud de arco en forma paramétrica. Solución: 81. Dar las fórmulas integrales para las áreas de superficies de revolución generadas por revolución de una curva suave C alrededor a) del eje x y b) del eje y. Solución: Para discusión: 82. a) Dibujar la gráfica de una curva definida por las ecuaciones paramétricas x=g(t) y y=f (t) de manera que dx/dt>0 y dy/dt <0 para todos los números reales t. b) Dibujar la gráfica de una curva definida por las ecuaciones paramétricas x=g(t) y y=f (t) de manera que dx/dt<0 y dy/dt <0 para todos los números reales t. Solución:
  • 41. 83. Mediante integración por sustitución mostrar que si y es una función continua de x en el intervalo a≤x ≤b , donde x=f (t) y y=g(t) entonces ∫ a b ydx=∫ t1 t2 g(t )f ' (t )dt Donde f (t1)=a,f (t2)=b, y tanto g como f’ son continuas en [t1 ,t2]. Solución: 84. Área de una superficie Una porción de una esfera de radio r se elimina cortando un cono circular con vértice en el centro de la esfera. El vértice del cono forma un ángulo 2θ . Hallar el área de superficie eliminada de la esfera. Solución: Área En los ejercicios 85 y 86, hallar el área de la región. (Usar el resultado del ejercicio 83.) 85. x=2se n 2 θ y=2se n 2 θtanθ 0≤θ≤ π/2 Solución:
  • 42. 86. x=2cotθ y=2se n 2 θ 0≤θ≤ π Solución: Áreas de curvas cerradas simples. En los ejercicios 87 a 92, usar un sistema algebraico por computadora y el resultado del ejercicio 83 para relacionar la curva cerrada con su área. (Estos ejercicios fueron adaptados del artículo “ The Surveyors’s Area Formula” de Bart Braden en la publicación de septiembre de 1986 del College Mathematics Journal, pp. 335- 337, con autorización del autor a¿ 8 3 abb¿ 3 8 π a 2 c¿2 π a 2 d¿ πabe¿2πab f ¿6π a 2 87. Elipse: ( 0≤t ≤2 π¿
  • 43. x=bcost y=asent Solución: 88. Astroide: ( 0≤t ≤2 π¿ x=bco s 3 t y=asen 3 t Solución: 89. Cardiode: ( 0≤t ≤2 π¿ x=2acost−acos 2t y=2asent−asen2t
  • 44. Solución: 90. Deltoide: ( 0≤t ≤2 π¿ x=2acost+acos2t y=2asent−asen2t Solución: 91. Reloj de arena: ( 0≤t ≤2 π¿ x=asen2t y=bsent
  • 45. Solución: 92. Lágrima: ( 0≤t ≤2 π¿ x=2acost−asen2t y=bsent Solución: Centroide En los ejercicios 93 y 94, hallar el centroide de la región limitada por la gráfica de las ecuaciones paramétricas y los ejes de coordenadas. (Usar el resultado del ejercicio 83.) 93. x=√t , y=4−t Solución:
  • 46. 94. x=√4−t , y=√t Solución: Volumen En los ejercicios 95 y 96, hallar el volumen del sólido generado por revolución en torno al eje x de la región limitada por la gráfica de las ecuaciones dadas. (Usar el resultado del ejercicio 83.) 95. x=6cosθ , y=6senθ Solución:
  • 47. 96. x=cosθ , y=3senθ ,θ>0 Solución: 97. Cicloide Emplear las ecuaciones paramétricas x=a(θ−senθ) y y=a(1−cosθ),a>0 para responder lo siguiente. a) Hallar dy dx y d 2 y d x 2 b) Hallar las ecuaciones de la recta tangente en el punto en el que θ=π /6. c) Localizar todos los puntos (si los hay) de tangencia horizontal. d) Calcular dónde es la curva cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo. e) Hallar la longitud de un arco de la curva. Solución: 98. Emplear las ecuaciones paramétricas x=t 2 √3 y y=3t− 1 3 t 3 para los incisos siguientes. a) Emplear una herramienta de graficación para trazar la curva en el intervalo −3≤t ≤3.
  • 48. b) Hallar dy dx y d 2 y d x 2 c) Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto (√3, 3 8 ) d) Hallar la longitud de la curva. e) Hallar el área de la superficie generada por revolución de la curva en torno al eje x. Solución: 99. Evolvente o involuta de círculo La evolvente o involuta de un círculo está descrita por el extremo P de una cuerda que se mantiene tensa mientras se desenrolla de un carrete que no gira (ver la figura). Mostrar que la siguiente es una representación paramétrica de la evolvente o involuta x=r (cosθ+θsenθ) y y=r(senθ−θcosθ) Solución: 100. Evolvente o involuta de un círculo La figura muestra un segmento de cuerda sujeto a un círculo de radio 1. La cuerda es justo lo suficientemente larga para llegar al lado opuesto del círculo. Encontrar el área que se cubre cuando la cuerda se desenrolla en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Solución: 101. a) Usar una herramienta de graficación para trazar la curva dada por x= 1−t 2 1+t 2 , y= 2t 1+t 2 ,−20≤t ≤20
  • 49. b) Describir la gráfica y confirmar la respuesta en forma analítica. c) Analizar la velocidad a la cual se traza la curva cuando t aumenta de -20 a 20. Solución: 102. Tractriz Una persona se mueve desde el origen a lo largo del eje y positivo tirando un peso atado al extremo de una cuerda de 12 metros de largo. Inicialmente, el peso está situado en el punto (12, 0). a) En el ejercicio 96 de la sección 8.7 se mostró que la trayectoria del peso se describe mediante la siguiente ecuación rectangular y=−12ln(12−√144−x2 x )−√144−x2 Donde 0<x ≤12 . Usar una herramienta de graficación para representar la ecuación rectangular. b) Usar una herramienta de graficación para trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas x=12sech t 12 y y=t−12tanh t 12 donde t ≥0 . Comparar esta gráfica con la del inciso a). ¿Qué gráfica (si hay alguna) representa mejor la trayectoria? c) Emplear las ecuaciones paramétricas de la tractriz para verificar que la distancia de la intersección con el eje y de la recta tangente al punto de tangencia es independiente de la ubicación del punto de tangencia. Solución:
  • 50. ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 103 y 104, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa. 103. Si x=f (t ) y y=g(t) entonces d 2 y d x 2 = g '' (t) f ' ' (t ) . Solución: 104. La curva dada por x=t 3 , y=t 2 tiene una tangente horizontal en el origen puesto que dy dt =0 cuando t=0. Solución: 105. Cinta de grabación Otro método que se puede usar para solucionar el ejemplo 5 es encontrar el área del carrete con un radio interior de 0.5 pulgadas y un radio exterior de 2 pulgadas, y después usar la fórmula para el área del rectángulo cuyo ancho es de 0.001 pulgadas. Utilizar este método para determinar cuánta cinta se necesita para llenar el carrete. Solución: