En esta presentación de FdeT aprenderás a calcular el punto de una recta que equidista de dos puntos dados.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Calcular las ecuaciones paramétricas de una recta.
• Calcular un punto de la recta.
• Calcular un punto de una recta que equidista de otros dos puntos dados.

2. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
ENUNCIADO
Determina el punto P de la recta de ecuación
𝑟:
𝑥 + 3
2
=
𝑦 + 5
3
=
𝑧 + 4
3
que equidista del origen de coordenadas y del punto 𝐴(3,2,1)

3. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
El problema nos dice que tenemos que buscar un punto P de la recta r, que equidiste del origen de coordenadas y
del punto A.
Tomaremos un punto P genérico de r e impondremos que equidiste del origen O = (0,0) de coordenadas y de
𝐴 = (3,2,1), para ello expresaremos la recta r en ecuaciones paramétricas.
𝑟:
𝑥 + 3
2
=
𝑦 + 5
3
=
𝑧 + 4
3
Recordemos que las ecuaciones paramétricas de r vienen definidas por:
𝑟:
𝑥 = −3 + 2𝑡
𝑦 = −5 + 3𝑡
𝑧 = −4 + 3𝑡
𝑡 ∈ ℝ

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PROBLEMA RESUELTO: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
Por tanto si queremos tomar un punto genérico de r, vendrá determinado por:
𝑃 = (−3 + 2𝑡, −5 + 3𝑡, −4 + 3𝑡)
Nuestro objetivo a continuación será encontrar el valor de t, para que se cumpla que P equidiste de O y de A, es
decir que la distancia de P a O sea igual a la distancia de P a A.
𝑑 𝑂, 𝑃 = 𝑑(𝐴, 𝑃)
Recordemos que:
𝑑 𝑂, 𝑃 = 𝑂𝑃 = −3 + 2𝑡 2 + −5 + 3𝑡 2 + −4 + 3𝑡 2 = 22𝑡2 − 66𝑡 + 50
𝑑 𝐴, 𝑃 = 𝐴𝑃 = −6 + 2𝑡 2 + −7 + 3𝑡 2 + −5 + 3𝑡 2 = 22𝑡2 − 96𝑡 + 110

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PROBLEMA RESUELTO: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
Como 𝑑 𝑂, 𝑃 = 𝑑(𝐴, 𝑃), entonces
22𝑡2 − 66𝑡 + 50 = 22𝑡2 − 96𝑡 + 110
Tenemos que resolver esta ecuación, para ello elevamos al cuadrado para quitar las raíces y tenemos que:
22𝑡2 − 66𝑡 + 50 = 22𝑡2 − 96𝑡 + 110
Resolvemos la ecuación y llegamos a que: 𝑡 = 2
Por lo tanto el punto P de la recta r que equidista de O y de A, es:
𝑃 = −3 + 2𝑡, −5 + 3𝑡, −4 + 3𝑡 = (1,1,2)
FIN