En esta presentación de FdeT aprenderás a calcular el área de la región determinada por la gráfica de dos funciones y a calcular el volumen de una figura de revolución.

1. Vídeo tutorial FdeT:
Problemas resueltos: aplicaciones integrales
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En este vídeo vas a aprender a:
• Calcular el área de la región determinada por la gráfica de
dos funciones.
• Calcular el volumen de una figura de revolución.

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Problemas resueltos: aplicaciones integrales
Enunciado:
Sean las funciones f,g: 0, +∞ → ℝ definidas por
𝑓 𝑥 =
1
𝑥2 + 3
, 𝑔 𝑥 =
𝑥 − 1
8𝑥
Se pide:
a) Calcular el área de la región determinada por las gráficas de las funciones 𝑦 =
𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔(𝑥) y el semieje positivo OX.
b) Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar esa región
alrededor del eje OY.

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Problemas resueltos: aplicaciones integrales
a) En primer lugar antes de calcular el área definida por ambas funciones y el
semieje positivo OX, debemos realizar una representación gráfica de las
funciones, para hacernos una idea del área que vamos a calcular:
A continuación debemos calcular el punto de corte de ambas funciones, así como el
punto en el que la función g(x) corta al eje de abscisas.
𝑓 𝑥 =
1
𝑥2 + 3
𝑔 𝑥 =
𝑥 − 1
8𝑥

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Para hallar el punto de corte de la función g(x) con el eje de abscisas, basta con hacer
y=0 en la expresión de g(x), y en tal caso obtenemos x=1.
Para hallar el punto donde se cortan ambas funciones, bastará con resolver el sistema
de ecuaciones:
𝑦 =
1
𝑥2 + 3
𝑦 =
𝑥 − 1
8𝑥
Este sistema nos da como solución 𝑥 = 3, 𝑦 =
1
12
.
Por tanto el área a calcular será:

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𝑓 𝑥 =
1
𝑥2 + 3 𝑔 𝑥 =
𝑥 − 1
8𝑥
Á𝑟𝑒𝑎 =
1
3
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 +
3
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Calcularemos las integrales por separado.

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𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 − 1
8𝑥
𝑑𝑥 =
1
8
−
1
8𝑥
𝑑𝑥 =
1
8
𝑥 −
1
8
ln 𝑥 + 𝐾
Por lo tanto se tiene que:
1
3
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
1
8
𝑥 −
1
8
𝑙𝑛𝑥
3
1
=
3
8
−
𝑙𝑛3
8
−
1
8
−
𝑙𝑛1
8
=
1
4
−
1
8
𝑙𝑛3
1
3
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
1
4
−
1
8
𝑙𝑛3

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Problemas resueltos: aplicaciones integrales
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑥2 + 3
𝑑𝑥 =
1
3
1
1 +
𝑥2
3
𝑑𝑥 =
1
3
1
1 +
𝑥
3
2 𝑑𝑥 =
=
1
3
3
1
3
1 +
𝑥
3
2 𝑑𝑥 =
3
3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
3
+ 𝐾
Por lo tanto se tiene que:
3
+∞
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
3
3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
3
+∞
3
=
3
3
lim
ℎ→+∞
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
ℎ
3
− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
3
3
=
=
3
3
𝜋
2
−
𝜋
3
=
𝜋 3
18

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Problemas resueltos: aplicaciones integrales
3
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝜋 3
18
Así el área buscada es:
Á𝑟𝑒𝑎 =
1
3
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 +
3
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
4
−
𝑙𝑛3
8
+
𝜋 3
18
𝑢2
b) Calculamos a continuación el volumen del sólido de revolución obtenido al girar
esa región alrededor del eje OY.
Recordemos que el volumen de revolución se obtiene mediante:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 =
1
3
2𝜋𝑥𝑔 𝑥 +
3
+∞
2𝜋𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Al igual que en el apartado anterior realizamos las integrales por separado.

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2𝜋𝑥𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝜋
𝑥2
− 𝑥
8𝑥
𝑑𝑥 = 2𝜋
𝑥
8
−
1
8
𝑑𝑥 = 2𝜋
𝑥2
16
−
𝑥
8
Así:
1
3
2𝜋𝑥𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝜋
𝑥2
16
−
𝑥
8
3
1
= 2𝜋
9
16
−
3
8
−
1
16
−
1
8
=
𝜋
2
Por otro lado:
2𝜋𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝜋
𝑥
𝑥2 + 3
𝑑𝑥 =
2𝜋
2
2𝑥
𝑥2 + 3
𝑑𝑥 = 𝜋ln(𝑥2 + 3)

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Por lo tanto:
3
+∞
2𝜋𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋 𝑙𝑛 𝑥2 + 3
+∞
3
= 𝜋 lim
ℎ→+∞
ln ℎ2 + 3 − ln(12)
Pero
lim
ℎ→+∞
ln ℎ2 + 3 = +∞
Por lo tanto
3
+∞
2𝜋𝑓 𝑥 𝑑 𝑥 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Y en consecuencia, el volumen de la figura es infinito.