Propiedades de los fluidos

MARCO TEÓRICO
INICIO CARPETA 15
1. Mecánica de fluidos
1.1 Mecánica de los fluidos y la hidráulica.
(GILES) “La rama de la mecánica aplicada que estudia el comportamiento de los
fluidos ya sea en reposo o en movimiento constituye la mecánica de los fluidos y la
hidráulica. En el desarrollo de los principios de la mecánica de los fluidos algunas
de las propiedades de los fluidos juegan un papel preponderante, mientras que en
el flujo de fluidos la densidad y la viscosidad son las que predominan. Cuando tiene
lugar una compresibilidad apreciable es necesario considerar los principios de la
termodinámica. Al intervenir presiones manométricas negativas la tensión de vapor
pasa a ser importante y la tensión superficial afecta a la estática o cinemática de los
fluidos cuando las secciones de paso son pequeñas” Pág. 8.
1.2Fundamentos de fluidos.
(GILES) “Los fluidos son sustancias capaces de << fluir >> y que se adaptan a la
forma de los recipientes que los contienen. Cuando están en equilibrio, los fluidos
no pueden soportar fuerzas tangenciales o cortantes. Todos los fluidos pueden
dividirse en líquidos y gases. Las diferentes esenciales entre líquidos y gases son
que estos líquidos son prácticamente incompresibles y los gases son compresibles,
por lo que en muchas ocasiones hay que tratarlos como tales y los líquidos ocupan
un volumen definido y tiene superficies libres mientras que una masa dada de gas
se expansiona hasta ocupar todas las partes del recipiente que lo contenga”. Pág.
8.

(SHAMES, 1995) “Un fluido se define como una sustancia que cambia su forma
continuamente siempre que esté sometida a un esfuerzo cortante, sin importar qué
tan pequeño sea. En contraste un sólido experimenta un desplazamiento definido
(o se rompe completamente) cuando se somete a un esfuerzo cortante.” Pág. 3.
figura 1. esfuerzo cortante en un sólido y en un fluido.
fuente: (SHAMES, 1995)
(SHAMES, 1995) “Por ejemplo, el bloque sólido que se muestra a la izquierda en la
figura 1 cambia su forma de una manera caracterizada convenientemente por el
ángulo ∆∝ cuando se somete a un esfuerzo cortante τ. Si éste fuera un elemento
de fluido no existiría ∆∝ un fijo ni aun para un esfuerzo cortante infinitesimal. En
lugar de esto, persiste una deformación continua siempre que se aplique el esfuerzo
cortante τ.” Pág. 4.
1.3Análisis dimensional.
(ALMANDOZ BERRONDO) “El análisis dimensional es un método matemático de
considerable valor en la resolución de cualquier fenómeno físico. Todas las
variables o entidades físicas se pueden expresar en función de unas variables o
entidades fundamentales, que en mecánica son: Longitud (L), Masa (M) y tiempo (
T). En cualquier ecuación que represente un fenómeno físico real, cada término
debe de contener la misma potencia de las variables fundamentales (L, M, T). En
otras palabras, si se comparan los términos entre sí, tienen que tener todas las

mismas dimensiones, ya que si no, la ecuación no tiene sentido, aunque pueda dar
el mismo resultado numérico.” Pág. 1.
(ALMANDOZ BERRONDO) “En muchos casos al estudiar un fenómeno físico se
conocen las variables que intervienen en dicho fenómeno, mientras que la relación
entre las variables se desconoce; mediante el análisis dimensional, el fenómeno
puede formularse como una relación entre un conjunto de grupos adimensionales
de las variables, siendo el número de grupos menor que el de variables. La razón
de lo anterior es que la naturaleza no se preocupa por las coordenadas y
dimensiones que el hombre utiliza cuando trata de imitar un proceso real. Por ello
los grupos adimensionales mencionados antes, son mejores para imitar procesos
reales que las variables mismas en sí.” Pág. 2.
1.4Magnitudes fundamentales y derivadas.
(ALMANDOZ BERRONDO) “Las magnitudes fundamentales son aquellas entidades
o variables físicas a partir de las cuales pueden deducirse todas las demás, que
serán llamadas magnitudes derivadas. Si trabajamos en el Sistema Internacional,
se suelen tomar como variables fundamentales la masa, la longitud y el tiempo,
añadiendo la temperatura cuando hay fenómenos de transmisión de calor.” Pág. 2.
(ALMANDOZ BERRONDO) “Ejemplos: la velocidad es una magnitud derivada de la
longitud y del tiempo:
V =
L
T
(1,1)
Por otra parte, la densidad es la relación entre la masa y el volumen:
ρ =
m
V
(1,2)
ρ =
M
L3
(1,3)
Las igualdades (1) y (2) son las expresiones o ecuaciones de dimensiones de la
velocidad y la densidad, respectivamente. Se han tomado como magnitudes
fundamentales la masa M, la longitud L y el tiempo T.” Pág. 2.
1.4.1 Primer principio de análisis dimensional.

(ALMANDOZ BERRONDO) “Toda ecuación de dimensiones de cualquier magnitud
física tiene que adoptar la forma de producto de potencias de las dimensiones
fundamentales.” Pág. 2.
1.4.2 Segundo principio de análisis dimensional.
(ALMANDOZ BERRONDO) “En algunas expresiones de cálculo aparecen
constantes dimensionales, cuyo valor numérico depende del sistema de magnitudes
fundamentales que utilicemos. En estos casos debe cumplirse el siguiente principio:
las constantes dimensionales que aparezcan en fórmulas de uso científico deben
estar constituidas, sus dimensiones, por productos de potencias de las dimensiones
del sistema elegido.” Pág. 2.
1.5Parámetros fundamentales en el estudio de los fluidos.
1.5.1 Numero de Reynolds.
(ALMANDOZ BERRONDO) “Es el parámetro adimensional más importante en la
Mecánica de Fluidos. Tiene importancia en prácticamente todos los casos, haya o
no superficie libre. Representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas
de viscosidad.” Pág. 5.
Re =
ρVD
μ
(1,4)
(ALMANDOZ BERRONDO) “Donde ρes la densidad, V es la velocidad del flujo, D
es el diámetro u otra longitud característica y μes la viscosidad dinámica. Con
números de Reynolds elevados tendremos un flujo turbulento, mientras que con
Reynolds pequeños nos encontraremos con un flujo laminar. En general, si
trabajamos con flujos viscosos a bajas velocidades y sin superficie libre, el único
parámetro adimensional importante es el número de Reynolds.” Pág. 5.

1.5.2 Numero de Euler.
(ALMANDOZ BERRONDO) “Resulta de especial interés cuando las disminuciones
de presión en el flujo son importantes. Representa el cociente entre las fuerzas de
presión y las de inercia:” Pág. 5.
Eu =
∆p
ρV2
(1,5)
(ALMANDOZ BERRONDO) “Siendo ∆p la variación de presión, ρ la densidad del
fluido y V su velocidad. Cuando la variación de presión se refiere a la presión de
vapor del fluido se habla del número de cavitación:” Pág. 5.
Ca =
p − pv
ρV2
(1,6)
1.5.3 Numero de Frouder:
(ALMANDOZ BERRONDO) “Muy importante en flujos con superficie libre, como en
los canales abiertos, desagües en orificios y en todas las situaciones donde la
gravedad juega un papel importante. En el resto de los casos, suele ser
despreciable. Representa la relación entre las fuerzas de inercia y las gravitatorias:”
Pág. 6.
Fr =
V2
gL
(1,7)
(ALMANDOZ BERRONDO) “Donde V es la velocidad del flujo, g es la aceleración
de la gravedad y L es una longitud característica del sistema.” Pág. 6.
1.5.4 Número de Weber:
(ALMANDOZ BERRONDO) “Tiene importancia cuando su valor es 1 o menor, en
aquellos casos en que la curvatura de la superficie es comparable en tamaño a la
profundidad del líquido (gotas, flujos capilares). Si el número de Weber toma un
valor grande, su efecto puede despreciarse. Cuanto menor sea el Weber, mayor es

la importancia de la tensión superficial. Representa el cociente entre las fuerzas de
inercia y las de tensión superficial:” Pág. 6.
We =
ρV2
L
σ
(1,8)
(ALMANDOZ BERRONDO) “Siendo ρ la densidad, V la velocidad del flujo, L una
longitud característica del mismo y σ la tensión superficial. Si nos encontramos con
un problema en el que no hay superficie libre, su efecto es despreciable. Los efectos
de la tensión superficial tienen gran influencia en las industrias relacionadas con la
pulverización y atomización, como por ejemplo en la fabricación de sprays.” Pág. 6.
1.5.5 Número de Mach:
(ALMANDOZ BERRONDO) “Tiene influencia cuando trabajamos con fluidos
compresibles que se mueven con velocidades altas. Sirve para caracterizar los
efectos de compresibilidad en un flujo. Representa el cociente entre las fuerzas de
inercia y las fuerzas de compresibilidad:” Pág. 6.
M2
=
ρV2
L2
EvL2
M =
V
√Ev/ρ
(1,9)
M =
V
c
(1,10)
(ALMANDOZ BERRONDO) “Donde V es la velocidad del flujo y c es la velocidad del
sonido local. Los flujos con un número de Mach mayor de 1 se denominan flujos
supersónicos y si es menor de 1, se trata de un flujo subsónico. Cuando el número
de Mach es menor de 0,3 nos encontraremos estudiando un flujo incompresible.”
Pág. 7.
1.6Propiedades de los fluidos

(RONALD, 1975) “En los siguientes párrafos daremos las definiciones y
descripciones de propiedades y cantidades de importancia en dinámica de fluidos.”
Pág. 19.
1.6.1 (RONALD, 1975) “Presión ( p) p = fuerza/area: Si un volumen de materia es
aislado como un cuerpo libre, el sistema de fuerzas que actúan sobre el volumen
incluye fuerzas de superficie, actuando sobre cada elemento del área que encierra
al volumen. En general, una fuerza superficial tendrá componentes perpendiculares
y paralelas a la superficie. En cualquier punto, la componente perpendicular por
unidad de área es llamada esfuerzo normal. Si éste es un esfuerzo de compresión,
es llamado intensidad de la presión o simplemente presión. La presión es una
cantidad escalar, y la fuerza asociada a una presión dada actuando sobre una
unidad de área es p dA, y tiene la dirección de la normal al área dA. Así, en un punto
en el interior de una masa de fluido, la dirección de la fuerza de presión depende de
la orientación del plano o «corte» a través del punto. La presión puede medirse con
respecto a un valor cero absolutos (llamada presión absoluta) o con respecto a la
presión atmosférica en la localidad en que la medimos (llamada presión
manométrica). Así.” Pág. 20.
p (manométrica) = p (absoluta) − patm (absoluta).
1.6.2 (RONALD, 1975) “Temperatura ( T): Dos cuerpos en equilibrio térmico
muestran el mismo valor para la propiedad que llamamos temperatura. Los cambios
en la temperatura causan cambios en otras propiedades de la materia y nos
proporcionan métodos de medida. Un ejemplo es la expansión del mercurio con el
incremento de la temperatura, mientras otro, es el incremento en la presión de un
gas con volumen constante, al elevarse su temperatura.” Pág. 20.

1.6.3 (RONALD, 1975) “Densidad ( ρ) Densidad: masa/volumen: Se dice que una
cantidad dada de materia tiene cierta masa la cual es tratada como invariante. Por
tanto, la densidad será una constante mientras el volumen de una cantidad dada de
materia permanezca inafectado (esto es, para un gas, siempre que las condiciones
de presión y temperatura sean las mismas).” Pág. 20.
1.6.4 (RONALD, 1975) “Peso específico ( γ): El peso específico es peso/volumen.
El peso depende del campo gravitacional. (En el campo de la tierra, es la fuerza de
la gravedad actuando sobre una masa dada, en una localidad determinada).
Consecuentemente, el peso específico, en contraste con la densidad, depende del
campo gravitacional.” Pág. 20.
1.6.5 (RONALD, 1975) “Viscosidad (molecular dinámica) (μ): Debido a la movilidad
molecular, una propiedad llamada viscosidad se hace evidente siempre que un
fluido se mueva de forma tal que exista un movimiento relativo entre volúmenes
adyacentes. Esto nos lleva al método común de definir la magnitud de la viscosidad
para mediciones en términos de un flujo simple. Consideremos el campo
bidimensional de esfuerzos tangenciales paralelos, descrito por la velocidad u en la
dirección del eje x, cuya magnitud es una función solamente de la normal en la
dirección del eje y; para este caso, la relación entre el esfuerzo tangencial y la
rapidez de deformación angular del fluido es simplemente.” Pág. 20.
τyz = μ
du
dy
(1,11)
1.6.6 (RONALD, 1975) “Viscosidad (molecular cinemática) (v): La relación p/p
aparece frecuentemente cuando trabajamos con dinámica de fluidos. Tiene

solamente dimensiones y unidades cinemáticas, las cuales explican la razón de su
nombre. Así.” Pág. 24.
v =
μ
ρ
(1,12)
1.6.7 (RONALD, 1975) “Calor específico (c): Calor específico es la relación de la
cantidad de calor transferido a la unidad de masa de una substancia, entre el
incremento de temperatura de la misma. Los calores específicos deben ser
determinados experimentalmente, o calculados a partir de una teoría molecular.”
Pág. 25.
1.6.8 (RONALD, 1975) “Energía interna (u): La energía interna específica es
medida como energía por unidad de masa, usualmente en unidades de cal/kg,,. La
energía interna es debida a las energías cinética y potencial, las cuales se
encuentran en la substancia como un efecto de su actividad molecular, y depende
fundamentalmente de la temperatura.” Pág. 25.

figura 2. analisís de las propiedades.
fuente: (SHAMES, 1995)
1.7Compresibilidad de Líquidos:
(GUERRERO) “Los líquidos presentan solo una ligera compresión bajo presión,
aunque esta compresión es pequeña puede ser muy importante. Por ejemplo en
presiones muy altas. Para medir la compresibilidad de un líquido se presentan dos
cantidades, el coeficiente de compresibilidad β se define; utilizando V para el
volumen como:” Pág. 1.
β = −
1
V
(
∂v
∂p
)T (1,13)
(GUERRERO) “Donde el subíndice T, indica que la compresión del líquido ocurre a
temperatura constante (Compresión Isoterma); el inverso de β se conoce como
módulo de elasticidad volumétrica, denotado como K.” Pág. 1.
K = −V (
∂p
∂v
)T (1,14)
(GUERRERO) “Donde k se incrementa con la presión. El módulo volumétrico de
elasticidad es la variación de presión a la variación de volumen por unidad de
volumen.” Pág. 1.
K =
dp
−dv
v
K =
kg
cm2
m3
m3
K =
kg
cm2
(GUERRERO) “La compresibilidad de los fluidos también se vuelve importante
cuando incluye cambios de temperatura, por ejemplo, en la convección libre la
compresibilidad de un líquido expresada por su módulo elástico a la compresión. Si
la presión de una cantidad de volumen de líquido se incrementa en dp, causara una
disminución de volumen –dv; la razón −dp dv⁄ es el modulo elástico a la compresión
K, para cualquier volumen V de líquido. Para los sólidos K es muy grande, para los
líquidos grande, y para gases K es pequeño, el signo negativo se debe a que los

sentidos de la variación de presión y volumen son contrarios, es decir si la presión
aumenta el volumen disminuye. Sabiendo que para el agua a 20°C, K = 2,2 Gpa.
Para tener una idea sobre la incompresibilidad del agua, considérese la aplicación
de 0,1 Mpa (alrededor de una atmosfera) a un metro cubico de agua.” Pág. 1.
−dv =
v dp
K
−dv =
(1m3)(0,1x106
pa)
2,2x109pa
−dv =
1
22000
m3
Líquido Modulo volumétrico
(Psi) (Mpa)
Alcohol etílico 130000 896
Benceno 154000 1062
Aceite para maquinaria 189000 1303
Agua 316000 2179
Glicerina 654000 4509
Mercurio 3590000 24750
tabla 1. valores de modulo volumétrico para líquidos seleccionados a presión
atmosférica y 20°c.
FUENTE: (GUERRERO)
(GUERRERO) “EJEMPLO: Un líquido comprimido en un cilindro tiene un volumen
de 1 litro (L = 1000cm3) a un MN/ m2 y un volumen de 995cm3 a 2MN/m2 ¿Cuál es
su módulo elástico a la compresión?” Pág. 2.
∆p = Pf − Pi
∆v = Vf − Vi
∆p = 2MN/m2
− 1MN/m2

∆p = 1MN/m2
∆v = 995cm3
− 1000cm3
∆v = −5cm3
V = 1000cm3
K =
∆p
−∆v
v⁄
K = −
(1) MN/ m2
−5cm3 1000cm3⁄
K = 200Mpa
1.8 Tensión Superficial:
(GUERRERO) “Este fenómeno es una fuerza de tensión distribuida a lo largo de la
superficie, se debe a la atracción molecular entre moléculas parecidas (cohesión) y
a la atracción molecular de moléculas diferentes (adhesión).” Pág. 3.
figura 3. fuerzas cohesivas y adhesivas.
fuente: (GUERRERO)
(GUERRERO) “En el interior de un líquido las fuerzas cohesivas se cancelan, pero
en la superficie libre del líquido las fuerzas cohesivas desde abajo exceden las
fuerzas adhesivas desde el gas localizado por encima dando como resultado una

tensión superficial. Esta es la razón por la razón por la cual una gota de agua
adquiere una forma esférica, y pequeños insectos pueden posarse en la superficie
de un lago sin hundirse. La tensión superficial se mide como una intensidad de carga
lineal o tangencial a la superficie y se da por unidad de longitud de una línea sobre
la superficie libre. Además la carga es perpendicular a la línea.” Pág. 3.
figura 4. tensión superficial σ.
fuente: (GUERRERO)
(GUERRERO) “Donde σ es el coeficiente de tensión superficial y es la fuerza por
unidad de longitud transmitida a través de la línea AB. Una consideración clásica es
ver la tensión superficial como la fuerza elemental que por unidad de longitud,
mantiene unidas a las moléculas de la superficie situadas a lo largo del elemento de
longitud.” Pág. 3.
σ =
df
dl
(1,15)
(GUERRERO) “Lo que lleva a considerar normalmente como unidades de tensión
superficial N/M con el S.I. El desequilibro originado en la interface por la tensión
superficial da lugar a una serie de fenómenos:
Interacción con una pared sólida: líquidos que mojan o no mojan la superficie de
contacto, ascenso o descenso de la superficie libre de tubos capilares.
Flotación de objetos en la superficie libre.
Formación de gotas: prácticamente solo está sometida a la tensión superficial, que
le hace adquirir la menos superficie posible, adquiere la forma esférica

Evaporación superficial: Las menores fuerzas intermoleculares de las moléculas de
la superficie, con respecto a las del interior, hace que por efectos de agitación
térmica, continuamente exista una migración de moléculas de la superficie libre
hacia el exterior. (Proceso de evaporación superficial).” Pág. 4.
figura 5. tensión superficial sobre la mitad de una gota de agua.
fuente: (GUERRERO)
(GUERRERO) “La distribución de fuerza vertical en la frontera de un cuerpo libre
formado por la mitad de una gota de agua, es la tensión superficial. En la sección
transversal interior se muestra la distribución de fuerzas debido a la presión dentro
de la gota. Para una gota de líquido en equilibrio, puede decirse que:” Pág. 4.
− (Pi) man (πR2) + (σ) (2πR) = 0 (1,16)
(GUERRERO) “Donde − (Pi) man, es la presión interna en la gota por encima de la
presión atmosférica, aquí se supone que el peso causado por la gravedad ha sido
anulado por algún agente externo. Despejando − (Pi) mantenemos:” Pág. 5.
(Pi) man =
2σ
R
,a temperatura ambiente.
Temperatura °F Tensión
superficial (mlb/
pie)
Temperatura °C Tensión superficial
(mN/m)
32 5.18 0 75.6

40 5.13 5 74.9
50 5.09 10 74.2
60 5.03 20 72.8
70 4.97 30 71.2
80 4.91 40 69.6
90 4.86 50 67.9
100 4.79 60 66.2
120 4.67 70 64.5
140 4.53 80 62.7
160 4.40 90 60.8
180 4.26 100 58.9
200 4.12 - -
tabla 2. tensión superficial del agua.
fuente: (GUERRERO)
(GUERRERO) “EJEMPLO: La tensión superficial para agua en contacto con aire es
0,0370 N/M, para gota de 0,5mm de radio, hallar (Pi) man.
(Pi) man =
(2)(0,0730)
0,0005
= 292Pa
1.9Capilaridad:
(GUERRERO) “Cuando un tubo fino se introduce en la superficie libre de un líquido,
el líquido asciende o desciende por el interior del tubo, debido a las fuerzas de
tensión superficial y las fuerzas de contacto entre el líquido y las paredes del tubo.
Este fenómeno se denomina capilaridad. La existencia de un determinado ángulo
de contacto, explica el ascenso o descenso del líquido por el interior del tubo,
cuando este se introduce en un determinado líquido. Si el líquido moja la superficie
el ángulo de contacto es < 90° y se tiene un ascenso capilar del líquido por el tubo;

si el líquido no moja la superficie el ángulo de contacto es >90° y se tiene un
descenso capilar del líquido.” Pág. 6.
figura 6. efectos capilares de cohesión y adhesión.
fuente: (GUERRERO)
(GUERRERO) “La altura capilar h para un fluido y un sólido dados depende del
ángulo de contacto, el cual, a su vez, depende del diámetro interno del tubo. La
altura capilar se incrementará con la disminución del diámetro interno del tubo. Si la
adhesión con el vidrio es menor que la cohesión en el líquido, entonces se obtiene
un menisco curvado hacia abajo medido mediante el ángulo en el sólido, como se
muestra para el mercurio y el vidrio. En este caso la columna de mercurio se
deprime una distancia h. Nuevamente, h se Incrementará con una disminución en
el diámetro interno del tubo. Estos efectos se conocen como efectos de capilaridad.”
Pág. 6.
(GUERRERO) “La atracción capilar es causada por la tensión superficial y por el
valor relativo de la adhesión entre líquido y solido a la cohesión del líquido. Un
líquido que moja el sólido tiene mayor adhesión que cohesión. La acción de la
tensión superficial en este caso es lograr que el líquido ascienda dentro de un
pequeño tubo vertical que está parcialmente sumergido en él. Para líquidos que no
mojan el sólido, la tensión superficial tiende a deprimir el menisco en un pequeño
tubo vertical. Cuando se conoce el ángulo de contacto entre el líquido y sólido, el
ascenso capilar se puede calcular para una forma supuesta del menisco. El
equilibrio de fuerzas sobre la masa del líquido que asciende por un tubo capilar, se
establece entre la componente vertical de las fuerzas de tensión superficial y el peso
de la columna de líquido; este equilibrio da una expresión de la altura h a la que
asciende o desciende el líquido, que se denomina ley de JURIN.” Pág. 7.
h =
4σcosθ
PgD
(1,17)

(GUERRERO) “Por los bajos valores de la tensión superficial, solo son apreciables
los ascensos – descensos en tubos capilares, o sea de diámetros muy pequeños,
de ahí el nombre del fenómeno.” Pág. 7.
FINAL CARPETA 15

INICIO CARPETA 3
1. Introducción
La Mecánica de Fluidos estudia las leyes del movimiento de los fluidos y sus
procesos de interacción con los cuerpos sólidos. La Mecánica de Fluidos como hoy
la conocemos es una mezcla de teoría y experimento que proviene por un lado de
los trabajos iniciales de los ingenieros hidráulicos, de carácter fundamentalmente
empírico, y por el otro del trabajo de básicamente matemáticos, que abordaban el
problema desde un enfoque analítico. Al integrar en una única disciplina las
experiencias de ambos colectivos, se evita la falta de generalidad derivada de un
enfoque estrictamente empírico, válido únicamente para cada caso concreto, y al
mismo tiempo se permite que los desarrollos analíticos matemáticos aprovechen
adecuadamente la información experimental y eviten basarse en simplificaciones
artificiales alejadas de la realidad.
La característica fundamental de los fluidos es la denominada fluidez. Un fluido
cambia de forma de manera continua cuando está sometido a un esfuerzo cortante,
por muy pequeño que sea éste, es decir, un fluido no es capaz de soportar un
esfuerzo cortante sin moverse durante ningún intervalo de tiempo. Unos líquidos se
moverán más lentamente que otros, pero ante un esfuerzo cortante se moverán
siempre. La medida de la facilidad con que se mueve vendrá dada por la viscosidad
que se trata más adelante, relacionada con la acción de fuerzas de rozamiento. Por
el contrario, en un sólido se produce un cambio fijo ɤ para cada valor de la fuerza
cortante aplicada.
2. Historia de la mecánica de fluidos
(white, 2008) “Como la mayor parte de la ciencia, la mecánica de fluidos tiene una
historia de antecedentes lejanos aislados, luego una época de descubrimientos
fundamentales en los siglos xvııı y xıx, y finalmente, una época de ‘’practica actual’’,
como denominados a nuestros conocimientos ya bien establecidos. Las
civilizaciones antiguas tenían conocimientos rudimentarios, pero suficientes para
resolver algunos problemas.” pag.4 y 5
El impulso definitivo se debe a Isaac newton (1642-1727), que propuso las leyes
generales del movimiento y la ley de la resistencia viscosa lineal para los fluidos que
hoy denominamos newtonianos. Los matemáticos del siglo xvııı (Daniel Bernoulli,
Leonard Euler, Jean D’Alember, Joseph-Louis LaGrange y Pierre- Simón Laplace)
obtuvieron soluciones a muchos problemas de flujos no viscosos no viscosos. Euler
desarrollo las ecuaciones diferenciales del movimiento de flujos incomprensibles no

viscosos, y posteriormente dedujo su forma integrada, como hoy conocemos como
la ecuación de Bernoulli, utilizando estas ecuaciones, D’Alembert propuso su
famosa paradoja: un cuerpo inmerso en un flujo no viscoso tiene resistencia nula.
Estos brillantes resultados son deslumbrantes, pero en la práctica tienen pocas
aplicaciones, porque la viscosidad siempre juega un papel crucial. Los ingenieros
de la época rechazaron estas teorías por irreales y desarrollaron la ciencia
denominada hidráulica, que es esencialmente empírica.
Mientras tanto, la teoría de los flujos viscosos que había sidodesarrollada por navier
(1785-1836) y Stokes necia en el olvido debido a su dificultad matemática. Fue
entonces en 1904, cuando un ingeniero alemán, Ludwig Prandl (1875-1953), publico
el artículo quizá más importante de la historia de mecánica de fluidos. Según
Prandtl, en los flujos de fluidos poco viscosos, como el aire y el agua, el campo fluido
puede dividirse en dos regiones: una capa viscosa delgada, o capa limite, en las
proximidades de superficies sólidas y entre fases, donde los efectos viscosos son
importantes y una región exterior que se puede analizar con las ecuaciones de Euler
y Bernoulli.
Como la tierra está cubierta en un 75% por agua y en un 100% por aire, las
posibilidades de la mecánica de fluidos son enormes y abracan de alguna forma la
totalidad de la actividad humana. Ciencias como la meteorología la oceanografía o
la hidrología versan sobre los flujos naturales, sin olvidar las implicaciones fluido-
mecánicas de la circulación sanguínea o la respiración. El transporte general está
relacionado con el movimiento de fluidos, bien sea a través de la aerodinámica de
los aviones y cohetes o la hidrodinámica de barcos y submarinos’.
2.1 Definición
Definición de Fluido La materia fundamentalmente se presenta en dos estados.
Mecánica de fluidos

FIGURA 1. Mecánica de fluidos (chavez, 2001, pág. 1)
(chavez, 2001) “Un fluido es parte de un estado de la materia la cual no tiene un
volumen definido, sino que adopta la forma del recipiente que lo contiene los sólidos,
los cuales tienen forma y volumen definido.
los líquidos y gases tienen la propiedad de no tener forma propia y que estos fluyen
al aplicarles fuerzas externas. La diferencia está en la llamada compresibilidad. Para
el caso de los gases estos pueden ser comprimidos reduciendo su volumen.
Los gases son compresibles, los líquidos son prácticamente incompresibles.
los sólidos se resisten a cambiar de forma ante la acción de los agentes externos,
en cambio los fluidos prácticamente no se resisten a dichos agentes.” pag.1, 4 y 5
2.2 El fluido como medio continuo
los fluidos están compuestos por moléculas en permanente movimiento. las
aplicaciones de ingeniería lo que interesa son los efectos promedio o macroscópicos
de un gran número de moléculas.
fluido como una sustancia infinitamente indivisible, dicho de otro modo, un medio
continuo, sin importar el comportamiento individual de las moléculas.
cada propiedad del fluido tiene un valor definido en cada punto del espacio. Por ello,
la densidad, temperatura, velocidad, etc. se consideran como funciones continuas
de la posición y el tiempo.
En reposo En movimiento
Estática de fluidos Dinámicade fluidos
Efectos sobre su
entorno
Fuerzassobre
superficiessólidas,
interfaces

2.3 Dimensiones y unidades
En la mecánica de fluidos, se usan magnitudes de diferente naturaleza Unas son de
naturaleza abstracta, como el tiempo, la longitud, la velocidad, etc. y otras son una
medida de las manifestaciones moleculares globales de las sustancias como, por
ejemplo: la densidad, la presión, la temperatura, etc.
COPIAR CARPETA 3
FIGURA2: Magnitudes usadas en la mecánica de fluido (chavez, 2001, pág. 5)
Manifestaciones
moleculares
Densidad,
presión,
temperatura,
etc.
abstracta
s
longitud,
tiempo,
velocidad,
etc.
Fundamentales
longitud,
tiempo,
masa,
temperatura
Derivadas
Dimensión
Unidad
Magnitudes usadas en la mecánica
de los fluidos
Se definenenfunción
a las fundamentales.
velocidad,densidad,
viscosidad,etc.
¿cómo se clasifican?¿cómo se agrupan?
¿cómo se lasexpresa?
Expresión
cualitativa
de una
magnitud
medible.
Valor
numérico
de una
dimensión,
depende
del
sistemade
unidades

COPIAR CARPETA 3
Magnitudes fundamentales usadas en mecánica de fluidos
Magnitud Representación dimensional Unidad SI
Masa M Kg
Longitud L M
Tiempo O S
Temperatura T °R
COPIAR CARPETA 3
TABLA 1: magnitudes fundamentales (Calle, 2007)
Magnitudes derivadas importantes en la mecánica de fluidos
Magnitud Representación
dimensional
Unidad SI
velocidad Lθ−1 m
s
Aceleración Lθ−2 m
s2
Fuerza ML2θ−2
N (kg.
m
s2 )
Área L2 M2
Volumen L3 M3
Presión F
L2 = ML−1θ−2 Pa(
N
m2
)
Densidad ML−3 kg
m3
Energía FL = ML−1θ−2
J (Kg
m
s2 )

Potencia FL
θ
= ML−1θ−3 W(Kg
m
s3 )
Energía interna u FL
M
= M2L−2 J
kg
,
(N − m)
kg
Viscosidad ML−1θ−1 kg
m
s
Viscosidad cinemática L2θ−1 m2
s
TABLA 2: magnitudes derivadas (Calle, 2007)
2.4 Concepto de fluido
(white, 2008) “Desde el punto de vista de mecánica de fluidos, la materia solo puede
presentarse en dos estados: sólido y fluido. La diferencia entre ambos es
perfectamente obvia para el lego. Un sólido puede resistir un esfuerzo cortante con
una deformación estática: un fluido, no. Cualquier esfuerzo aplicado a un fluido, no
importa cuán pequeño sea, provocara el movimiento del fluido. Este se mueve y se
deforma continuamente, mientras se siga aplicando el esfuerzo cortante. Como
corolario, podemos decir que u fluido en reposo debe estar en un estado de esfuerzo
cortante nulo; estado que se denomina a menudo condición hidrostática de
esfuerzos en análisis estructural.” Pag.6
Se sabe que existen dos clases de fluidos líquidos y gases.
(Martín, 2003) ‘Gases: Los gases presentan una gran compresibilidad, que influye
sobre las características del flujo, ya que tanto el volumen como la densidad varían
con facilidad. En el caso de los gases el movimiento térmico vence a las fuerzas
atractivas y, por tanto, tienden a ocupar todo el volumen del recipiente que los
contiene.’pag.6
(Martín, 2003) ‘Líquidos: En el caso de los líquidos, por el contrario, la
compresibilidad es muy débil. Esto es debido a que las fuerzas atractivas entre las
moléculas del líquido vencen al movimiento térmico de las mismas, colapsando las
moléculas y formando el líquido. Al contrario que en el caso de los gases, que
tendían a ocupar todo el volumen que los contiene, los líquidos tienden a formar una
superficie libre.’ Pag.6
2.5 Propiedades de los fluidos
(Streeter, 2000) “Un fluido es una sustancia que puede fluir. Una definición más
formal es: “un fluido es una sustancia que se deforma continuamente cuando se le

somete a un esfuerzo cortante, sin importar lo pequeño que sea dicho esfuerzo.”
pag.3
(Mott, 1996) “Densidad: es la cantidad de masa por unidad de volumen de una
sustancia.
Por consiguiente, utilizando la letra griega ρ (rho).,
ρ =
m
v
En donde v es el volumen de la sustancia cuya masa es m. Las unidades de
densidad son (
kg
m3 ) en el sistema internacional (SI) y (
slugs
m3 ) en el sistema británico
de unidades.” pag.12
(Mott, 1996). ” El peso específico: es la cantidad de peso por unidad de volumen de
una sustancia.
Utilizando la letra griega γ(gamma) para denotar el peso específico, en donde v es
el volumen de una sustancia que tiene el peso w. Las unidades del peso específico
son (
N
m3 ) en el SI y (
lb
ft3) en el sistema británico de unidades.
A menudo resulta conveniente indicar el peso específico o densidad de un fluido en
términos de su relación con el peso específico o densidad de un fluido en común.
Cuando se utiliza el término gravedad específica, el fluido de referencia es el agua
pura a 4℃. A tal temperatura, el agua posee su densidad más grande.
Entonces, la gravedad especifica en cualquier, dos maneras:
La gravedad especifica es el cociente de la densidad de una sustancia entre la densidad
del agua a 4℃.
La gravedad especifica es el cociente del peso específico de una sustancia entre el peso
específico del agua a 4℃.” pag.12 y 13.
Estas definiciones de la gravedad específica se pueden expresar de manera
matemática como:
sg =
γs
γw
=
ρs
ρw
En donde el subíndice s se refiere a la sustancia cuya gravedad especifica se está
determinando y el subíndice w se refiere al agua. Las propiedades del agua a 4℃
son constantes, y tienen los valores que se muestran a continuación:

γw = 9.81
kN
m3
γw = 62.4
lb
ft3
ρw = 1000
kg
m3
ρw = 1.94
slugs
m3
Sin embargo, las propiedades de los fluidos varían con la temperatura. En general,
la densidad (y por tanto el peso especifico y la gravedad especifica) disminuye
cuando aumenta la temperatura
(Mott, 1996) ” Relación entre densidad y peso específico: muy a menudo se debe
encontrar el peso específico de una sustancia cuando se conoce su densidad y
viceversa. La conversión de una a otra se puede efectuar mediante la siguiente
ecuación:
γ = ρg =
w
v
En la g es aceleración debida a la gravedad. Podemos encontrar unidades como
N
m3
o
lbf
ft3 .” pag.14
(Potter, 2015) “Compresibilidad: En la mayoría de los casos, un líquido se podría
considerar incompresible, pero cuando la presión cambia bruscamente, la
compresibilidad se hace evidente e importante. Lo mismo ocurre si hay cambios
importantes de temperatura. La compresibilidad se expresa mediante el módulo
elástico de compresión. Todos los fluidos se comprimen si la presión aumenta,
resultando en una disminución en el volumen o un aumento en la densidad. Una
forma común de descubrir la compresibilidad de un fluido es mediante la siguiente
definición del módulo de elasticidad volumétrico B:
B = lim
∆V→0
[
−∆P
∆V
V
]
B = lim
∆ρ
∆P
∆ρ
ρ
B = −V(
∂P
∂V
)

B = ρ (
∂P
∂ρ
)
En otras palabras, el módulo de volumen, también llamado coeficiente de
compresibilidad, se define como la relación del cambio en presión (∆p) al cambio
relativo en densidad (
∆ρ
ρ
) mientras que la temperatura permanece constante. El
módulo de volumen tiene las mismas unidades que la presión.” pag.18
(Mott, 1996) “Viscosidad: puede ser considerada como la adhesividad interna de un
fluido; es una de las propiedades que influye en la potencia necesaria para mover
una superficie de sustentación a través de la atmosfera. Explica las pérdidas de
energía asociadas con el trasporte de fluidos en conductos, canales y tubos.
Además, la viscosidad desempeña una función muy importante en la generación de
turbulencia.
La rapidez de deformación de un fluido está directamente relacionada con la
viscosidad del fluido. Para un esfuerzo determinado, un fluido altamente viscoso se
deforma con más lentitud que un fluido con baja viscosidad.
Podemos definir la viscosidad (μ) del fluido por la relación
τ = μ (
du
dy
) .“ pag.24
donde (τ) es el esfuerzo cortante τ = lim
∆A→0
∆Ft
∆A
y u es la velocidad en la direccion x.
Las unidades de (τ) son
N
m2 o Pa (
lb
ft2), y de (μ) son (
N−S
m2 ) (
lb−S
m2 ).la cantidad (
du
dy
) es
un gradiente de velocidad y puede ser interpretada como una velocidad de
deformacion.
Por medio del despeje μ podemos encontrar la viscosidad dinamica;
μ = τ
dy
dv
El concepto de viscosidad y gradientes de velocidad tambien puede ilustrarse al
considerar un fluido dentro del pequeño espacio entre dos cilindros
concentricos,como se muestra en la figura 1.7. Es necesario un par de torsion para
hacer girar el cilindro internoa una velocidad rotacional constante mientras que el
cilindro externo permanece estacionario. Esta resistencia a la rotacion del cilindro
se debe a la viscosidad.el unico esfuerzo que existe para resistir el par de torsion
aplicado para este sencillo flujo es un esfuerzo cortante, el cual se observa que
depende directamente del gradiente de velocidad; esto es

τ = μ (
du
dr
)
Donde (
du
dr
) es el gradiente de velocidad y (u) es la componente tangencial de la
velocidad, que depende solo de (r). Para un pequeño espacio (h ≪ R), este
gradiente se puede calcular suponiendo una distribucion lineal de la velocidad en el
espacio.
Entonces:
(
du
dr
) =
ωR
h
Donde h es el ancho del espacio. En esta forma podemos relacionar el par de torsion
T aplicado a la viscosidad y otros parametros por medio de la ecuacion
T = (esfuerzo)(area)(brazo de palanca)
T = τ2πRLR
T = μ
ωR
h
(2πRL)R
T =
2πR3
ωLμ
h
Aca va la grafica de esfuerzo vs deformacion fig tal
Donde el esfuerzo cortante que actua sobre los extremos del cilindro es
insignificante ;L representa la longitud del cilindro giratorio. Notese que el par de
torsion depende directamente de la viscosidad; de este modo los cilindros podian
usarse como un viscosimetro, o sea un dispositivo que mide la viscosidad de un
fluido.
Si el esfuerzo cortante de un fluido es directamente proporcional al gradiente de
velocidad, se dice que es un fluido newtoniano. Afortunadamenente, muchos fluidos
comunes como el aire, el agua y el aceite, son newtonianos. Los fluidos no
newtoniano, con relaciones de esfuerzo cortante contra velocidad de deformacion
como se ve en la figura 1 punto tal , con frecuencia tiene una composicion molecular
compleja.
Los dilatantes (arenas movedizas, lechadas) se hacen mas recistentes al
movimiento amedida que aumenta la velocidad de deformacion, y los
seudoplastisticos (pintura y salsa de tomate) se hacen menos resistentes al
movimiento a una m(pintura y salsa de tomate) se hacen menos resistentes al

movimiento a una maor velocidad de deformacion. Los plasticos ideales (o fluidos
de bingham) requieren de un minimo de esfuerzo cortante para causar su
movimiento . las suspemsiones de arcillas y pasta dentrifica son ejemplos que
tambien requieren un coerte minimo para ocacionar su movimiento , pero no tiene
una relacion lineal de esfuerzo – velocidad de deformacion.
La viscosidad depende en gran medida de la temperatura en liquidos en los que
fuerza de cohesion desempeñan una funcion dominante ; notese que la viscosidad
de un liquido disminuye al aumentar la temperatura .
Para un gas, las colisiones moleculares son las que generan esfuerzos internos, de
modo que amedida que aumenta la temperatura, lo que resulata una gran actividad
molecular, aumenta la viscosidad.
Como es frecuente que la viscosidad se divida entre la densidad en la derivacion de
ecuaciones, se ha hecho util y rutinario definir la viscosidad cinematicacomo:
ϑ =
μ
ρ
Donde las unidades de ϑ son (
m2
s
) o (
ft2
s
). Notese que para un gas, la viscosidad
cinematica tambien dependera de la presion ya que la densidad es sencible a la
presion. La viscosidad cinematica se muestra, a presion atmosferica.
(Potter, 2015) “Tensión superficial: Una molécula dentro del líquido es atraída en
todas direcciones por otras moléculas mediante fuerzas cohesivas. Cuando un
líquido está en contacto con algún otro medio (aire, otro líquido, un sólido) se forma
una superficie de contacto entre el líquido y el otro medio. Dentro del líquido, y lejos
de su superficie de contacto, una molécula se encuentra en equilibrio: la suma de
las fuerzas de atracción es cero. Sin embargo, en la superficie de contacto, la suma
de estas fuerzas tiene como resultante una fuerza neta, perpendicular a la superficie
y con sentido hacia el interior del líquido. Esta fuerza hacia el interior hace que la
superficie de contacto se comporte como una membrana.
La tensión superficial tiene unidades de fuerza por unidades de longitud (
N
m
) o (
lb
ft
).”
pag.19 y 20.
(Potter, 2015) “Presión de vapor: cuando una pequeña cantidad de líquido se pone
en un recipiente cerrado, una cierta fracción del líquido se evapora. La vaporización
terminara cuando se alcance el equilibrio en los estados líquidos y gaseosos de la
sustancia en el recipiente, es decir, cuando el número de moléculas que escapan
de la superficie del agua es igual al número de moléculas entrantes. La presión
resultante de las moléculas en el estado gaseoso es la presión del vapor.

La presión de vapor es diferente de un líquido a otro. Por ejemplo, la presión de
vapor del agua a 15℃ es 1.70 kPa absoluta y para el amoniaco es 33. kPa absoluta.
La presión de vapor depende en gran medida de la temperatura; aumenta en forma.
importante cuando aumenta la temperatura. Por ejemplo, la presión del vapor de
agua aumenta 101.3 kPa (14 psi) si la temperatura alcanza 100 ℃ (212℉).
En flujos líquidos, pueden crearse condiciones que lleven a una presión debajo de
la presión de vapor del líquido. Cuando esto ocurre se forman burbujas localmente.
Este fenómeno, llamado cavitación, puede ser muy dañino cuando estas burbujas
son trasportadas por el flujo a regiones de presión más alta, y este colapso produce
picos de presión locales que tienen el potencial de dañar la pared de un tubo o la
hélice de un barco.” Pag.22.
FINAL CARPETA 3
RESEÑA HISTÓRICA
La mecánica de fluidos es un área de la ciencia que estudia el comportamiento de
los fluidos tanto en reposo como en movimiento. Si se quiere estudiar el
aprovechamiento de los recursos subterráneos y superficiales, el transporte del
petróleo y otros combustibles, las aplicaciones de la lubricación, y otros fenómenos
nos menos interesantes comunes al desarrollo y evolución de la humanidad, es
necesario entender y estudiar la mecánica de fluidos.

Los descubrimientos arqueológicos has demostrado que hace 6000 años en Egipto,
Mesopotamia e india el hombre ya tenía la necesidad de controlar el agua, sea
mediante la construcción de canales, presas o embalses. Igualmente el hombre,
hace aproximadamente 3000 años, diseño y construyo ruedas hidráulicas con el
propósito de elevar el agua, más tarde, hace 2400 años, Aristóteles ya se
preguntaba y comentaba sobre la densidad así como sobre algunos aspectos de los
cuerpos en reposo y el concepto de aceleración uniforme. Un siglo más tarde,
Arquímedes estableció los principios fundamentales de la hidrostática y la flotación.
Por otra parte, el imperio Romano, se emprendieron trabajos de saneamiento y
drenaje.
En el siglo XV, Leonardo Da Vinci estudio numerosos fenómenos y dirigió la
realización de trabajos prácticos. Igualmente en esta época se iniciaron los
experimentos en laboratorio y observaciones sobre el terreno.
En los siglos XVI Y XVII, el progreso se manifiesta en su forma práctica cuando se
emprendieron numerosos e importantes proyectos hidráulicos tales como puertos,
canales y saneamientos de terrenos.
Durante los siglos XVII Y XVIII, Isaac Newton y james Bernoulli concibieron en la
mecánica racional; el primero desarrollo ideas de movimiento continuo y el segundo
describió el movimiento como resultado de fuerzas externas. Por otra parte Gottfried
Leibniz desarrollo las teorías de conservación de momentum lineal y Leonard Euler
transformo los conceptos físicos de newton en ecuaciones matemáticas y
modernizo la mecánica tratándola analíticamente. De otra parte son importantes lo
aportes hechos en el campo de la hidrodinámica por parte de Navier, Airt, Vennant,
Kelvin, Rayleigh y lamb.
G.G. Stokes y L.M. Poiseuille estudiaron en el siglo 19 el flujo en tuberías mientras
que el mismo Stokes y Osborn Reynolds estudiaron la estabilidad de la turbulencia.
Osborn Reynolds investigo la transición entre flujo laminar y flujo turbulento para
más tarde presentar las ecuaciones básicas de movimiento de la mecánica de
fluidos.
Los gases y su dinámica fueron estudiados en el siglo XIX tanto por Riemann,
Dopples y March, este último estudio específicamente ondas de choque.
En la década 1930-1940, Nikarudse, Blassius, Moody, White, Colebrook, realizaron
importantes investigaciones y adelantos en flujos con gradientes de presión
(tuberías).
2.2 -SISTEMA DE UNIDADES

Las propiedades de los fluidos y las magnitudes de expresan en función de las
siguientes dimensiones fundamentales:
SISTEMA
INTER.
SISTEMA INGLES C.G.S SISTEMA
T.
LONGITUD m Ft, In Cm m
MASA Kgm Slug, Lbm g UTM
TIEMPO S S S S
FUERZA N lbF ; Poundal Dina KgF
PRESIÓN Pa lbF
Ft2
; Psi Dina
Cm2
KgF
m2
VISCOSIDAD ADS.
O DINÁMICA(μ)
N.s
M2
= Pa(s)
Lb(s)
Ft2
;
Poundal(s)
Ft2
Dina (s)
Cm2
=Poise KgF
m2 (s)
VISCOSIDAD
CINEMÁTICA (υ)
m2
s
Ft2
s
;
In2
s
Cm
s
m2
s
1N=
Kg (m)
s2
lbF =
Slug (Ft)
s2
Poundal=
Lbm (Ft)
s2
Dina=
g(Cm)
s2
KgF =
UTM(m)
s2
1lbF= 4.448N
1Dina = 1 × 10−5
N
1lbF= 9.8N

11lbF= 32.3 Poundal
1Kgm= 2.2Lbm
1 Slug = 14.594Kgm
101.325= 1013250
Dina
Cm2
1stoke=
cm2
s
1ST=102
CST
1 Unidad de viscosidad cinematica en el s. Internacional = 10.764 unidades de
viscosidad cinematica en el sistema inglés.
1 Unidad de viscosidad dinámica en el s. Internacional = 10.764 unidades de
viscosidad dinámica en el sistema inglés.
2.21-CONVERSIÓN PARA PRESIÓN:
101.325Pa = 14.7 Psi = 29.92 inHg = 1.033
KgF
Cm2 = 10.22 m.c.a = 1 atm = 1bar =
760mm Hg = 760torr== 34Ft agua
2.3 -DEFINICIÓN FLUIDO
Un fluido se define como una sustancia que cambia su forma continuamente
siempre que esté sometida a un esfuerzo cortante, sin importar qué tan pequeño
sea. Una fuerza cortante es el componente de fuerza tangente a una superficie, y
esta fuerza dividida po el área de la superficie es el esfuerzo cortante promedio
sobre el área. Diferente un sólido experimenta un desplazamiento definido (o se
rompe completamente) cuando se somete a un esfuerzo cortante.

Esfuerzo cortante en un sólido y en un fluido.
se muestra a la izquierda en la figura cambia su forma de una manera caracterizada
convenientemente por el ángulo Aa cuando se somete a un esfuerzo cortante r. Si
éste fuera un elemento de fluido (como se muestra a la derecha en la figura) no
existiría un Aa fijo ni aun para un esfuerzo cortante infinitesimal. En lugar de esto,
persiste una deformación continua siempre que se aplique el esfuerzo cortante.
La de formación continua de un fluido, da lugar a su movimiento. Que se denomina
“flujo”. Los fluidos pocos viscosos fluyen fácilmente y los fluidos muy viscosos tiene
dificultad para fluir.
2.4-CLASIFICACIÓN DE LOS FLUIDOS
Los fluidos se clasifican en líquidos y gases
* LÍQUIDOS: Un líquido está sometido a fuerzas intermoleculares que lo mantiene
unido de tal manera que su volumen está definido pero su forma no. Cuando se
vierte un líquido dentro de un recipiente, el líquido ocupara un volumen parcial o
igual al volumen del recipiente sin importar la forma de este último.
* GASES: Un gas consta de partículas en movimiento que chocan unas con otras y
tratan de dispersarse de tal modo que un gas no tiene forma ni volumen definido.
Asi un gas llenara completamente el recipiente que lo contenga.
2.5 VISCOSIDAD
Es la medida de la resistencia del flujo al corte cuando el flujo esta en movimiento.
Un fluido no puede resistir esfuerzos de corte sin moverse, pero un sólido sí. En
realidad, todos los fluidos conocidos presentan algo de viscosidad, siendo el modelo

de viscosidad nula una aproximación bastante buena para ciertas aplicaciones. La
viscosidad sólo se manifiesta en líquidos en movimiento y se debe principalmente a
las interacciones entre las moléculas.
2.6-TIPOS DE FLUIDOS (según su viscosidad)
Desacuerdo con el gradiente de velocidades y el esfuerzo cortante, se tienes los
siguientes tipos de fluidos:
FLUIDOS NEWTONIANOS: se comportan de acuerdo con la ley de la viscosidad
de Newton τ = μ
dv
dy
, donde μ = constante. La pendiente de la recta determina la
viscosidad
FLUIDOS NO NEWTONIANOS: Se deforman de manera que la tensión de corte es
proporcional al gradiente de velocidades, μ = variable.
LIQUIDO PERFECTO: no es viscoso y además es incomprensible.
FLUIDO PLÁSTICO: presenta un esfuerzo de fluencia aparente; esto es, se
comporta como un sólido hasta que cede y luego se comporta como un fluido.
Ejemplo: algunas grasas y lodos.

FLUIDO TIXOTRÓPICO: cuando la relación esfuerzo-deformación depende de los
trabajos o deformaciones anteriores. Ejemplo: tinta de imprenta.
2.7 -EFECTO DE LA TEMPERATURA EN LA VISCOSIDAD
GASES: LA VISCOSIDAD DE INCREMENTA CON LA TEMPERATURA.
LÍQUIDOS: LA VISCOSIDAD DECRECE CON LA TEMPERATURA.
2.8 -DENSIDAD VOLUMÉTRICA:
La densidad (símbolo ρ) es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa
contenida en un determinado volumen de una sustancia. La densidad media es la
razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa.
ρ =
m
V
2.9-PESO ESPECÍFICO:
Se le llama Peso específico a la relación entre el peso de una sustancia y su
volumen.
Su expresión de cálculo es:
Siendo,
, el peso específico
, el peso de la sustancia
, el volumen de la sustancia
, la densidad de la sustancia
, la masa de la sustancia
, la aceleración de la gravedad.
El peso específico Para temperatura de 0° del agua es: 9800
N
m3 = 62.4
lbf
ft3
2.10-DENSIDAD RELATIVA:
La densidad relativa (δ) de un cuerpo es un numero adimensional que viene dado
por la relación del peso de un cuerpo al peso de un volumen igual de una sustancia
que se toma como referencia. Los sólidos y líquidos se refieren al agua a 4° C,

mientras que en los gases se refieren al aire libre de CO2 he hidrogeno a 0°
centígrados y atm de presión, como condiciones normales.
Densidad relativa (δ) =
peso de la sustancia
pero de igual volumen de agua
=
peso especifico de la sustancia
peso especifico del agua
2.11VOLUMEN ESPECIFICO: es el reciproco de la densidad; esto es, el volumen
ocupado por la unidad de masa de fluido.
COMPRESIBILIDAD DE LÍQUIDOS
Los líquidos presentan solo una ligera compresión bajo presión, aunque esta
compresión es pequeña puede ser muy importante. Por ejemplo, en presiones muy
altas.
Para medir la compresibilidad de un líquido se presentan dos cantidades, el
coeficiente de compresibilidad β se define; utilizando V para el volumen como:
β = −
1
V
(
∂v
∂p
)T
Donde el subíndice T, indica que la compresión del líquido ocurre a temperatura
constante (Compresión Isoterma); el inverso de β se conoce como módulo de
elasticidad volumétrica, denotado como K
K = −V (
∂p
∂v
)T
Donde k se incrementa con la presión.
El módulo volumétrico de elasticidad es la variación de presión a la variación de
volumen por unidad de volumen.
K =
dp
−dv
v⁄
=
Kg cm2⁄
m3 m3⁄
=
Kg
cm2⁄
La compresibilidad de los fluidos también se vuelve importante cuando incluye
cambios de temperatura, por ejemplo, en la convección libre la compresibilidad de
un líquido expresada por su módulo elástico a la compresión. Si la presión de una
cantidad de volumen de líquido se incrementa en dp, causara una disminución de

volumen –dv; la razón −dp dv⁄ es el modulo elástico a la compresión K, para
cualquier volumen V de líquido.
Para los sólidos K es muy grande, para los líquidos grande, y para gases K es
pequeño, el signo negativo se debe a que los sentidos de la variación de presión y
volumen son contrarios, es decir si la presión aumenta el volumen disminuye.
Sabiendo que, para el agua a 20°C, K = 2,2 Gpa. Para tener una idea sobre la
incompresibilidad del agua, considérese la aplicación de 0,1 Mpa (alrededor de una
atmosfera) a un metro cubico de agua.
−dv =
v dp
K
=
(1m3)(0,1x106
pa)
2,2x109pa
=
1
22000
m3
Líquido Modulo volumétrico
(Psi) (Mpa)
Alcohol etílico 130000 896
Benceno 154000 1062
Aceite para maquinaria 189000 1303
Agua 316000 2179
Glicerina 654000 4509
Mercurio 3590000 24750
Tabla 1. Valores de modulo volumétrico para líquidos seleccionados a presión
atmosférica y 20°C
EJEMPLO: Un líquido comprimido en un cilindro tiene un volumen de 1 litro (L =
1000cm3) a un MN/ m2 y un volumen de 995cm3 a 2MN/m2 ¿Cuál es su módulo
elástico a la compresión?

∆p= Pf - Pi
∆v= Vf - Vi
∆p= 2MN/ m2 – 1MN/m2
∆v= 995cm3 - 1000cm3
∆p= 1MN/ m2
∆v= -5cm3
V = 1000cm3
K =
∆p
−∆v
v⁄
= −
(1) MN/ m2
−5cm3 1000cm3⁄
K = 200Mpa
TENSIÓN SUPERFICIAL
Este fenómeno es una fuerza de tensión distribuida a lo largo de la superficie, se
debe a la atracción molecular entre moléculas parecidas (cohesión) y a la atracción
molecular de moléculas diferentes (adhesión).
Figura 1. Fuerzas cohesivas y adhesivas
En el interior de un líquido las fuerzas cohesivas se cancelan, pero en la superficie
libre del líquido las fuerzas cohesivas desde abajo exceden las fuerzas adhesivas
desde el gas localizado por encima dando como resultado una tensión superficial.

Esta es la razón por la razón por la cual una gota de agua adquiere una forma
esférica, y pequeños insectos pueden posarse en la superficie de un lago sin
hundirse. La tensión superficial se mide como una intensidad de carga lineal o
tangencial a la superficie y se da por unidad de longitud de una línea sobre la
superficie libre. Además, la carga es perpendicular a la línea.
Figura 2. Tensión superficial σ
Donde σ es el coeficiente de tensión superficial y es la fuerza por unidad de longitud
transmitida a través de la línea AB.
Una consideración clásica es ver la tensión superficial como la fuerza elemental que
por unidad de longitud, mantiene unidas a las moléculas de la superficie situadas a
lo largo del elemento de longitud.
σ =
df
dl
Lo que lleva a considerar normalmente como unidades de tensión superficial N/M
con el S.I
El desequilibro originado en la interface por la tensión superficial da lugar a una
serie de fenómenos:
Interacción con una pared sólida: líquidos que mojan o no mojan la superficie de contacto,
ascenso o descenso de la superficie libre de tubos capilares.
Flotación de objetos en la superficie libre.
Formación de gotas: prácticamente solo está sometida a la tensión superficial, que le hace
adquirir la menos superficie posible, adquiere la forma esférica
Evaporación superficial: Las menores fuerzas intermoleculares de las moléculas de la
superficie, con respecto a las del interior, hace que por efectos de agitación térmica,

continuamente exista una migración de moléculas de la superficie libre hacia el exterior.
(Proceso de evaporación superficial).
Figura3. Tensión superficial sobre la mitad de una gota de agua
La distribución de fuerza vertical en la frontera de un cuerpo libre formado por la
mitad de una gota de agua, es la tensión superficial. En la sección transversal
interior se muestra la distribución de fuerzas debido a la presión dentro de la gota.
Para una gota de líquido en equilibrio, puede decirse que:
- (Pi) man (πR2) + (σ) (2πR) =0
Donde - (Pi) man , es la presión interna en la gota por encima de la presión
atmosférica, aquí se supone que el peso causado por la gravedad ha sido anulado
por algún agente externo. Despejando - (Pi) man tenemos:
(Pi) man =
2σ
R
a temperatura ambiente.
Temperatura °F Tensión superficial
(mlb/ pie)
Temperatura °C Tensión superficial
(mN/m)
32 5.18 0 75.6
40 5.13 5 74.9
50 5.09 10 74.2

60 5.03 20 72.8
70 4.97 30 71.2
80 4.91 40 69.6
90 4.86 50 67.9
100 4.79 60 66.2
120 4.67 70 64.5
140 4.53 80 62.7
160 4.40 90 60.8
180 4.26 100 58.9
200 4.12 - -
212 4.04 - -
Tabla 2. Tensión superficial del agua
EJEMPLO: La tensión superficial para agua en contacto con aire es 0,0370 N/M,
para gota de 0,5mm de radio, hallar (Pi) man.
(Pi) man =
(2)(0,0730 )
0,0005
= 292Pa
CAPILARIDAD
Cuando un tubo fino se introduce en la superficie libre de un líquido, el líquido
asciende o desciende por el interior del tubo, debido a las fuerzas de tensión
superficial y las fuerzas de contacto entre el líquido y las paredes del tubo. Este
fenómeno se denomina capilaridad.
La existencia de un determinado ángulo de contacto, explica el ascenso o descenso
del líquido por el interior del tubo, cuando este se introduce en un determinado
líquido. Si el líquido moja la superficie el ángulo de contacto es < 90° y se tiene un

ascenso capilar del líquido por el tubo; si el líquido no moja la superficie el ángulo
de contacto es >90° y se tiene un descenso capilar del líquido.
a)
b)
Figura 4. Efectos capilares de cohesión y adhesión
La altura capilar h para un fluido y un sólido dados depende del ángulo de contacto,
el cual, a su vez, depende del diámetro interno del tubo. La altura capilar se
incrementará con la disminución del diámetro interno del tubo. Si la adhesión con el
vidrio es menor que la cohesión en el líquido, entonces se obtiene un menisco
curvado hacia abajo medido mediante el ángulo en el sólido, como se muestra para
el mercurio y el vidrio.
En este caso la columna de mercurio se deprime una distancia h. Nuevamente, h
se Incrementará con una disminución en el diámetro interno del tubo. Estos efectos
se conocen como efectos de capilaridad.

La atracción capilar es causada por la tensión superficial y por el valor relativo de la
adhesión entre líquido y solido a la cohesión del líquido.
Un líquido que moja el sólido tiene mayor adhesión que cohesión. La acción de la
tensión superficial en este caso es lograr que el líquido ascienda dentro de un
pequeño tubo vertical que está parcialmente sumergido en él.
Para líquidos que no mojan el sólido, la tensión superficial tiende a deprimir el
menisco en un pequeño tubo vertical. Cuando se conoce el ángulo de contacto entre
el líquido y sólido, el ascenso capilar se puede calcular para una forma supuesta del
menisco.
El equilibrio de fuerzas sobre la masa del líquido que asciende por un tubo capilar,
se establece entre la componente vertical de las fuerzas de tensión superficial y el
peso de la columna de líquido; este equilibrio da una expresión de la altura h a la
que asciende o desciende el líquido, que se denomina ley de JURIN.
h =
4σcosθ
PgD
Por los bajos valores de la tensión superficial, solo son apreciables los ascensos –
descensos en tubos capilares, o sea de diámetros muy pequeños, de ahí el nombre
del fenómeno.

PROBLEMAS RESUELTOS
ECUACIÓN DE ESTADO
181074
Un gas con peso molecular 28 tiene un volumen de 4ft3 y una temperatura y presión
absolutas de 600° R y 2.000
lb
ft2
¿ cuál es el volumen y el peso específico del gas?
Solución:
Gas
M = Peso molecular
M = 28
∀= 28ft3
υ =?
ϰ =?
P = 2000
lb
ft2
T = 600°R
Pabs. = Pmano. + Pbarom.
p∀= mRT
P = ρRT
P =
m
∀
RT
P =
RT
υ
υ =
RT
P
ρ =
m
∀
ρ =
1
υ

R = constante del gas
R =
R̅
Μ
R =
1545.45
lb − ft
lbm − mol − °R
28 mol
R̅ = cte universal
R̅ = 1545.45
lb − ft
lbm − mol − °R
R̅ = 8.314
N − S
kgm − mol − °k
Pagua = 101325 pa
Pagua = 2116
lb
ft2
Pagua = 14.7 psi
Pagua = 1.033
kgf
cm2
Pagua = 1.013.250
Dinas
cm2
Pagua = 29.92 pulg Hg
Pagua = 10.34 m.c.a.
Pagua = 34.4 ft.c.a.
Pagua = 760 mm Hg
υ =
RT
P
υ =
55.19
lb − ft
lbm − °R
∗ 600° R
ft2
υ = 16.557
ft3
lbm
∗
32.144 lbm
1 slug
ϰ = ρg

ϰ =
g
υ
ϰ =
32.2
ft
s2
532.2
ft3
slug
ϰ = 0.06
lb
ft3

IGUAL QUE EL ANTERIOR
ECUACIÓN DE ESTADO
Un gas con peso molecular 28 tiene un volumen de 4ft3
y una temperatura y
presión absolutas de 600° R y 2.000
lb
ft2 ¿ cuál es el volumen y el peso específico
del gas?
Solución:
Gas
M = Peso molecular
M = 28
∀= 28ft3
υ =?
ϰ =?
P = 2000
lb
ft2
T = 600°R
Pabs. = Pmano. + Pbarom.
p∀= mRT
P = ρRT
P =
m
∀
RT
P =
RT
υ
υ =
RT
P
ρ =
m
∀

ρ =
1
υ
R = constante del gas
R =
R̅
Μ
R =
1545.45
lb − ft
lbm − mol − °R
28 mol
R̅ = cte universal
R̅ = 1545.45
lb − ft
lbm − mol − °R
R̅ = 8.314
N − S
kgm − mol − °k
Pagua = 101325 pa
Pagua = 2116
lb
ft2
Pagua = 14.7 psi
Pagua = 1.033
kgf
cm2
Pagua = 1.013.250
Dinas
cm2
Pagua = 29.92 pulg Hg
Pagua = 10.34 m.c.a.
Pagua = 34.4 ft. c. a.
Pagua = 760 mm Hg
υ =
RT
P
υ =
55.19
lb − ft
lbm − °R
∗ 600° R
ft2

υ = 16.557
ft3
lbm
∗
32.144 lbm
1 slug
ϰ = ρg
ϰ =
g
υ
ϰ =
32.2
ft
s2
532.2
ft3
slug
ϰ = 0.06
lb
ft3

VISCOSIDAD
INICIO CARPETA 15
181074
1. (MARTINEZ, 2017) “Ley de newton de viscosidad: un eje vertical se desliza por
el interior de un cilindro; entre ellos hay un aceite muy viscoso. El movimiento del
eje se establece por su propio peso, que sería uniformemente acelerado, pero debido
a la acción de las fuerzas viscosas sobre la superficie de contacto del eje con el aceite,
el movimiento es tal, que se va acelerando hasta que se alcanza una velocidad de
equilibrio, a partir de la cual, el movimiento es uniforme. Despreciando los efectos
de borde, y considerando que en el flujo del aceite, el perfil de velocidades es lineal
(gradiente de velocidad constante)” Pág. 25.

FIGURA 7. LEYES DE VISCOSIDAD.
FUENTE: (MARTINEZ, 2017)
DETERMINE:
- Velocidad de equilibrio del movimiento uniforme del eje.
- Evolución temporal de la velocidad.
DATOS:
- Eje:
Diámetro: D: 30mm
Masa: m: 500 gramos
Longitud mojada: Lm: 250mm
- Aceite:

Viscosidad absoluta: μ: 0,3pa.s
Huelgo entre eje y cilindro: H: 2mm
- Cierres:
Fuerza de rozamiento: FR: 4.7N
RESOLUCIÓN:
Equilibriode fuerzasenla direcciónvertical:
∑Fz = m
dV
dt
∑Fz = Fg − Fμ − FR
Las fuerzasde rozamientose oponenal movimiento,yportanto tienensignonegativo;la
fuerzagravitacional vaensentidodel movimientoyportantoes positiva(hemosconsiderado
positivoel sentidodescendente).
Fg = mg
Fμ = τparedAmojada = μ(
du
dr
)
pared
πDLm (1,18)
El perfil de velocidadesse tomalineal pordatodel problema,conloque el gradiente de
velocidadesesconstante encualquierposiciónradial,e igual a:
(
du
dr
)
∀r
=
∆u
∆r
∆u
∆r
=
v − 0
reje − rcilindro
∆u
∆r
= −
v
H
(1,19)

El signonegativo,evidenciaque lasfuerzasviscosasse oponenal movimiento;noobstante,
ya habíamostenidoencuentael signo,al considerarlaunafuerzade rozamiento;conloque
lasfuerzasviscosasson: Fμ = μ
v
H
πDLm Con todo,la ecuaciónde equilibriode fuerzasda:
mg −
μπDLm
H
v − FR = m
dv
dt
(g −
FR
m
) −
μπDLm
mH
v =
dv
dt
(1,20)
- El equilibrio se alcanza con 𝑑𝑣/𝑑𝑡 = 0, es decir con:
(g −
FR
m
) −
μπDLm
mH
v = 0
Con loque la velocidadfinalde equilibrioes:
vE =
(mg − FR)H
μπDLm
vE =
(0.500)(9.8) − (4.7)
(0.3)(0.030)(0.250)π
vE = 0.05659
m
seg
- La integración de la ecuación diferencial de la ecuación (1), de la evolución temporal
de la velocidad:
dv
(g −
FR
m
)−
μπDLm
mH
v
= dt
∫
dv
(g −
FR
m
)−
μπDLm
mH
v
v
v=0
= ∫ dt
t
t=0
−mH
μπDLm
ln [
(g −
FR
m
)−
μπDLm
mH
v
(g −
FR
m
)
] = t

v =
(mg − FR)H
μπDLm
[1 − e
μπDLm
mH
t
] (1,21)
Evidentemente,con 𝑡 → ∞.
v =
(mg − FR)H
μπDLm
v = vE
Es decir,la velocidadde equilibriose alcanzaríaasintóticamente entiempoinfinito. No
obstante,conlosdatos numéricos,se obtiene que prácticamente al cabode 2 segundos,se
alcance la velocidadde equilibrio:
GRAFICA 1. VELOCIDAD DE EQUILIBRIO.
TIEMPO (seg) VELOCIDAD
mm
seg
0 0
0
10
20
30
40
50
60
0 0.01 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
Velocidad de Equilibrio
Serie 1
v=mm/seg
tiempot(seg).

0.001 0.3986
0.01 3.8622
0.1 28.6815
0.2 42.8263
0.3 49.8022
0.4 53.2424
0.5 54.9391
0.6 55.7758
0.7 56.1885
0.8 56.392
0.9 56.4923
1 56.5418
1.1 56.5662
1.2 56.5783
1.3 56.5842
1.4 56.5872
1.5 56.5886
1.6 56.5893
1.7 56.5897
1.8 56.5898
1.9 56.5899

2 56.59
2.1 56.59
2.2 56.59
2.3 56.59
TABLA 3. VELOCIDAD DE EQUILIBRIO.
FINAL CARPETA 15
(MARTINEZ, 2017) “Ley de newton de viscosidad: un eje vertical se desliza por el interior
de un cilindro; entre ellos hay un aceite muy viscoso. El movimiento del eje se establece
por su propio peso, que sería uniformemente acelerado, pero debido a la acción de las
fuerzas viscosas sobre la superficie de contacto del eje con el aceite, el movimiento es tal,
que se va acelerando hasta que se alcanza una velocidad de equilibrio, a partir de la cual,
el movimiento es uniforme. Despreciando los efectos de borde, y considerando que en el
flujo del aceite, el perfil de velocidades es lineal (gradiente de velocidad constante)” Pág.
25.

figura 7. leyes de viscosidad.
fuente: (MARTINEZ, 2017)
determine:
- Velocidad de equilibrio del movimiento uniforme del eje.
- Evolución temporal de la velocidad.
DATOS:
- Eje:
Diámetro: D: 30mm
Masa: m: 500 gramos
Longitud mojada: Lm: 250mm
- Aceite:
Viscosidad absoluta: μ: 0,3pa.s
Huelgo entre eje y cilindro: H: 2mm
- Cierres:
Fuerza de rozamiento: FR: 4,7N

RESOLUCIÓN:
Equilibrio de fuerzas en la dirección vertical:
∑ Fz = m
dV
dt
∑ Fz = Fg − Fμ − FR
Las fuerzas de rozamiento se oponen al movimiento, y por tanto tienen signo
negativo; la fuerza gravitacional va en sentido del movimiento y por tanto es
positiva (hemos considerado positivo el sentido descendente).
Fg = mg
Fμ = τparedAmojada = μ (
du
dr
)
pared
πDLm (1,18)
El perfil de velocidades se toma lineal por dato del problema, con lo que el
gradiente de velocidades es constante en cualquier posición radial, e igual a:
(
du
dr
)
∀r
=
∆u
∆r
∆u
∆r
=
v − 0
reje − rcilindro
∆u
∆r
= −
v
H
(1,19)
El signo negativo, evidencia que las fuerzas viscosas se oponen al movimiento; no
obstante, ya habíamos tenido en cuenta el signo, al considerarla una fuerza de
rozamiento; con lo que las fuerzas viscosas son: Fμ = μ(v H⁄ )πDLm Con todo, la
ecuación de equilibrio de fuerzas da:
mg −
μπDLm
H
v − FR = m
dv
dt
(g −
FR
m
)−
μπDLm
mH
v =
dv
dt
(1,20)

- El equilibrio se alcanza con dv/dt = 0, es decir con:
(g −
FR
m
)−
μπDLm
mH
v = 0
Con lo que la velocidad final de equilibrio es:
vE =
(mg − FR)H
μπDLm
vE =
(0,500)(9,8) − (4,7)
(0,3)(0,030)(0,250)π
vE = 0,05659m/seg
- La integración de la ecuación diferencial de la ecuación (1), de la evolución
temporal de la velocidad:
dv
(g −
FR
m
)−
μπDLm
mH
v
= dt
∫
dv
(g −
FR
m
) −
μπDLm
mH
v
v
v=0
= ∫ dt
t
t=0
−mH
μπDLm
ln [
(g −
FR
m
) −
μπDLm
mH
v
(g −
FR
m
)
] = t
v =
(mg − FR)H
μπDLm
[1 − e
μπDLm
mH
t
] (1,21)
Evidentemente, con t → ∞.
v =
(mg − FR)H
μπDLm
v = vE
Es decir, la velocidad de equilibrio se alcanzaría asintóticamente en tiempo infinito.
No obstante, con los datos numéricos, se obtiene que prácticamente al cabo de 2
segundos, se alcance la velocidad de equilibrio:

grafica 1. velocidad de equilibrio.
TIEMPO (seg) VELOCIDAD (mm/seg)
0 0
0,001 0,3986
0,01 3,8622
0,1 28,6815
0,2 42,8263
0,3 49,8022
0,4 53,2424
0,5 54,9391
0,6 55,7758
0,7 56,1885
0
10
20
30
40
50
60
Velocidad de Equilibrio
Serie 1
v=mm/se
tiempot

0,8 56,392
0,9 56,4923
1 56,5418
1,1 56,5662
1,2 56,5783
1,3 56,5842
1,4 56,5872
1,5 56,5886
1,6 56,5893
1,7 56,5897
1,8 56,5898
1,9 56,5899
2 56,59
2,1 56,59
2,2 56,59
2,3 56,59
tabla 3. velocidad de equilibrio.

INICIO CARPETA 15
181074
2. (MARTINEZ, 2017) “Cojinetes cilíndrico. Un eje horizontal se aloja en el interior
de un cojinete, entre los que se interpone un aceite. Suponiendo una distribución
lineal de velocidad en el aceite y despreciando el efecto de borde:” Pág. 27.
lFIGURA 8. COJINETES CILÍNDRICO.

DETERMINE:
- Fuerza de rozamiento producida por el aceite si el eje se desplaza axialmente a una
velocidad constante 𝒰.
- La potencia requerida cuando se le hace girar a una velocidad angular constante 𝜔
(el eje no se desplaza axialmente).
DATOS
- Aceite: fluido newtoniano en régimen laminar
- Viscosidad: μ = 320 cP
- Eje: diámetro: De = 100 mm
- Velocidades: 𝒰 = 0.3
m
seg
, ω = 200 rpm
- Cojinete: diámetro: Dc = 104 mm
- Longitud: L = 400 mm
RESOLUCION
 Fuerza De Rozamiento En Movimiento Uniforme Lineal En Dirección Axial
Por serla distribuciónde velocidadeslineal,latensiónde rozamientoencualquierposición
vertical del flujoesconstante (
μ𝒰
H
).
dFROZ = τROZ.dACONTACTO
τROZ = μ(
du
dy
)
y=H
τROZ = μ
𝒰
H
(1,22)
Tenemos

FROZ = ∫ ∫τROZ.dACONTACTO
FROZ = τROZ.ACONTACTO
FROZ = (μ
𝒰
H
) .(L.πDeje) (1,23)
FROZ = (320 × 10−3
0.3
0.002
). (0.400.π.0.100)
FROZ = 24.13 N
 Potencia De Giro En Movimiento Uniforme Circular
dMROZ = Reje.dFROZ
dFROZ = τROZ.ACONTACTO
τROZ = μ(
du
dy
)
y=H
τROZ = μ
ωReje
H
(1,24)
FIGURA 9. MOVIMIENTO UNIFORME.
dAcontacto = L. Reje.dθ (1,25)
Tenemos
MROZ = ∫ ∫Reje.dFROZ
MROZ = ∫∫ Reje.τROZ.ACONTACTO

MROZ = ∫ Reje
2π
0
. μ
ωReje
H
. L.Reje.dθ
Con loque la potencianecesariaparavencerel momentode rozamientoes:
Pw = ω.MROZ (1,26)
Pw = ω.(μω
2πL.R3
eje
H
)
Pw = μω2
2πL.R3
eje
H
(1,27)
Pw = 320 × 10−3.(200
2π
60
)
2
2π. 0.400(0.50)3
0.002
Pw = 22.05 W
FINAL CARPETA 15
(MARTINEZ, 2017) “Cojinetes cilíndrico. Un eje horizontal se aloja en el interior de un
cojinete, entre los que se interpone un aceite. Suponiendo una distribución lineal de
velocidad en el aceite y despreciando el efecto de borde:” Pág. 27.
figura 8. cojinetes cilíndricos.
determine:

- Fuerza de rozamiento producida por el aceite si el eje se desplaza
axialmente a una velocidad constante 𝒰.
- La potencia requerida cuando se le hace girar a una velocidad angular
constante ω (el eje no se desplaza axialmente).
DATOS
- Aceite: fluido newtoniano en régimen laminar
- Viscosidad: μ = 320 cP
- Eje: diámetro: De = 100 mm
- Velocidades: 𝒰 = 0,3m
s⁄ , ω = 200 rpm
- Cojinete: diámetro: Dc = 104 mm
- Longitud: L = 400 mm
RESOLUCION
 Fuerza De Rozamiento En Movimiento Uniforme Lineal En Dirección Axial
Por ser la distribución de velocidades lineal, la tensión de rozamiento en cualquier
posición vertical del flujo es constante (
μ𝒰
H
).
dFROZ = τROZ.dACONTACTO
τROZ = μ (
du
dy
)
y=H
τROZ = μ
𝒰
H
(1,22)
Tenemos
FROZ = ∫ ∫τROZ.dACONTACTO
FROZ = τROZ.ACONTACTO

FROZ = (μ
𝒰
H
).(L. πDeje) (1,23)
FROZ = (320 × 10−3
0,3
0,002
). (0,400. π.0,100)
FROZ = 24,13 N
 Potencia De Giro En Movimiento Uniforme Circular
dMROZ = Reje. dFROZ
dFROZ = τROZ.ACONTACTO
τROZ = μ (
du
dy
)
y=H
τROZ = μ
ωReje
H
(1,24)
figura 9. movimiento uniforme.
dAcontacto = L. Reje.dθ (1,25)
Tenemos
MROZ = ∫∫ Reje.dFROZ
MROZ = ∫ ∫Reje. τROZ.ACONTACTO

MROZ = ∫ Reje
2π
0
. μ
ωReje
H
. L. Reje.dθ
Con lo que la potencia necesaria para vencer el momento de rozamiento es:
Pw = ω.MROZ (1,26)
Pw = ω.(μω
2πL.R3
eje
H
)
Pw = μω2
2πL.R3
eje
H
(1,27)
Pw = 320 × 10−3.(200
2π
60
)
2
2π.0,400.0,503
0,002
Pw = 22,05 W
INICIO CARPETA 15
181074
(MARTINEZ, 2017) “Viscosímetro de cilindros concéntricos. Un viscosímetro de cilindros
vertical de acero inoxidable, totalmente inmerso en el fluido cuya viscosidad se requiere
medir. Puede girar de un recipiente cilíndrico, debido al accionamiento de un motor eléctrico
solidario con el eje del cilindro interior, que le transmite un par constante. Considerando que
entre la pared fija y la móvil el perfil de velocidades es lineal.” Pág. 30.
DETERMINE:
- Viscosidad del fluido en función de la velocidad de giro estacionaria
alcanzada y de la potencia consumida por el motor eléctrico.
- Viscosidad en S.I. y en C.G.S.

-
figura 10. cilindros.
datos:
- Motor:
Potencia consumida: 1,24W
- Cilindros:
Longitud: L: 400mm.
Diámetros: De:56mm; Di:50mm.
- Velocidad de giro:
ω = 300rpm.
- Rendimiento: 96%.
-

figura 11. cilindros concéntricos.
resolución:
dMROZ = RejedFROZ
dFROZ = τROZdA
τROZ = μ (
du
dy
)
y=H
τROZ = μ
ωR
H
(1,28)
dA = LRdθ
MROZ = ∫ RdFROZ
MROZ = ∫R τROZdA
MROZ = ∫ R
2π
0
μ
ωR
H
LRdθ
MROZ = μω
2πKLR3
H
(1,29)
La potencia consumida por el motor es: Pw = (ωMmotor) ηmotor;⁄ con lo que de las
dos ecuaciones se tiene el cálculo de la viscosidad absoluta:
μ =
ηPw
ω2
H
2πLR3 (1,30)
Numéricamente:
η = 0,96
ω = 300rpm

ω = 31,416rad/seg
Pw = 1,24W
H = (
De − Di
2
)
H =
0,056 − 0,050
2
H = 0,003m
L = 0,4m
R =
Di
2
R =
0,050
2
R = 0,025m
μ =
ηPw
ω2
H
2πLR3 (1,31)
μ =
(0,96)(1,24)
(31,416)2
(0,003)
2π(0,4)(0,025)3
μ = 92,14 ×
10−3kg
m.seg
μ = 92,14cP
FINAL CARPETA 15
INICIO CARPETA 15

181074
(MARTINEZ, 2017) “Flujo laminar con gradiente de presión. Se considera un flujo entre dos
placas planas horizontales y fijas; el flujo seestablece por un gradiente de presión negativo.
Una vez establecido el flujo (régimen estacionario), el caudal por cualquier sección recta es
constante, dependiendo del propio gradiente, la viscosidad del fluido y del huelgo entre las
placas.” Pág. 28.
DETERMINE
- Distribución de tensiones tangenciales.
- Distribución de velocidades.
- Ecuación de caudal.
- Gradiente de presión para poder establecer el caudal dado.
- Fuerza de rozamiento sobre cada una de las placas, en cada metro de
recorrido.
DATOS
- Fluido Newtoniano en régimen estacionario y laminar.
- Viscosidad = 326,3 mPa.s
- Caudal = 3,2
Litro
minutos
- Placas.
Huelgo: H = 2mm
Profundidad: a = 1mm
RESOLUCIÓN
Distribución De Tensiones: Por ser el flujo laminar, el campo de velocidades es
unidimensionales v⃗ = v.j, por ser el flujo estacionario, el perfil de velocidades no varía en

dirección de avance del flujo, con la que el módulo de las velocidades solo varía con el de
la posición vertical de las partículas v = v(z). Con todo, el tensor de tensiones solo tiene
una componente τyz = μ
dv
dz
, como la velocidad solo depende de la posición vertical, de
forma análoga la tensión tangencial también solo varia con la posición vertical.
figura 11. flujo laminar.
La distribución de las tensiones tangenciales, se puede determinar a partir del
equilibrio dinámico en la dirección del flujo, en el elemento de volumen de la figura
anterior.
∑ fy = 0
p. dz. dx + (τ + dτ)dy.dx − (p
∂p
∂y
dy) dz. dx − τ. dy. dx = 0
dτ = (
∂p
∂y
) dz (1,32)

En régimen estacionario, el gradiente de presión en la dirección del flujo (
∂p
∂y
) es
constante, con lo que se obtiene que la distribución de tensiones tangenciales es
lineal.
τ = (
∂p
∂y
)z + A (1,33)
La constante de integración, se determina con las condiciones de contorno del
campo de velocidades
Distribución De Velocidades: A partir de la ley de Newton de viscosidad, la tensión
tangencial viene determinada por el gradiente de velocidad lo que permite obtener la
distribución de velocidades
τ = = μ
dv
dz
= (
∂p
∂y
) z + A
dv =
1
μ
[(
∂p
∂y
) z + A] dz
v =
1
μ
[(
∂p
∂y
)
z²
2
+ Az] + B (1,34)
Las constantes A y B se determinan por las condiciones de contorno: las
partículas de flujo que tocan las placas (fijas) están paradas (velocidad nula);
0 =
1
μ
[(
∂p
∂y
)
0²
2
+ A0] + B
0 =
1
μ
[(
∂p
∂y
)
H²
2
+ AH] + B
A =
−H
2
(
∂p
∂y
)
B = 0
Obteniendo una distribución parabólica de velocidades.
v =
1
2μ
(
∂p
∂y
)(z2 − Hz) (1,35)
Que es la característica de un flujo laminar con gradiente de presión, al que se le
denomina flujo de poiseuille.

Ecuación Del Caudal.
Q = ∬ v. dA⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ [v(z).j]. (a.dz. j)
z=H
z=0
→
A
Q = ∫
1
2μ
(
∂p
∂y
) (z2 − Hz)
z=H
z=0
(1,36)
Integrando se obtiene el caudal volumétrico que pasa por cualquier sección recta.
Q = (
−∂p
∂y
)
aH3
12μ
(1,37)
Evidentemente, para que el caudal sea positivo, el gradiente de presión en la
dirección del flujo, debe ser negativo, es decir conforme el flujo avanza, la presión
va disminuyendo.
Gradiente de presión para establecer un caudal de 3,2
Litro
minutos
de la ecuación anterior del
gradiente de presión es
∂p
∂y
= −
12μQ
aH3
∂p
∂y
= (12).(326,3. 10−3
Pa. s)(3,2
10−3
60
m3
s
)
∂p
∂y
= −26104
Pa
m
∂p
∂y
= −0,261
bar
m
Fuerza de rozamiento sobre las paredes.
Fpared
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∬ τPared. dAmojada (1,38)
Las tensiones son tangenciales a las placas, con lo que la fuerza de rozamiento es
tangencial a la placa y de sentido contrario al de avance.
Su módulo viene determinado por el valor del gradiente de velocidad en la pared.
Pared inferior:

INICIO CARPETA 15
181074
(MARTINEZ, 2017) “Viscosímetro de cilindros concéntricos: tiempo de parada. Un
viscosímetro de cilindros coaxiales, consta de un cilindro vertical de acero inoxidable,
totalmente inmerso en el fluido. Puede girar dentro de un recipiente cilíndrico, debido al
accionamiento de un motor eléctrico solidario con el eje del cilindro inferior, que le transmite
un par constante. Considerando que entre la pared fija y la móvil el perfil de velocidad es
lineal. Se quiere evaluar el tiempo de parada, que transcurre desde que se desacopla del
motor eléctrico hasta que por efecto del rozamiento con el aceite, el cilindro interior se para.
Considerando que no hay gradientes radiales de presión en el aceite y los efectos de borde
son equivalentes a un momento de rozamiento constante.” Pág. 31.
DETERMINE:
- La evolución temporal de la velocidad de giro: ω = ω(t).
- El tiempo de parada.
DATOS:

- Motor:
Potencia consumida: 1,24W
- Cilindros:
Longitud: L: 400mm.
Diámetros: De:56mm; Di:50mm.
- Velocidad de giro:
ω0 = 300rpm.
- Rendimiento: 96%.
- Aceite: espesor. H = 3mm
- Viscosidad: μ = 92,14mPa ∗ s
- Momento de rozamiento de los efectos de borde: MR = 0,012Nm
- Momento de inercia de un cilindro respecto a su eje: I = mR2
2⁄
RESOLUCIÓN:
RESOLUCIÓN:
figura 12. viscosidad.

figura 13. evolución temporal de la velocidad.
figura 12. viscosidad.
figura 13. evolución temporal de la velocidad.

Evolución temporal de la velocidad de giro: ω = ω(t)
La ecuación de movimiento de giro, en el eje vertical es: ∑ M = I
dω
dt
En donde “∑ M” son los momentos que actúan sobre el cilindro interior, girando a
una velocidad “ω”y con un momento de inercia (respecto al eje de giro) “I”. Sobre
el cilindro girando, los momentos que actúan son los de rozamiento: el debido a
los efectos de borde (Mr) y el debido al rozamiento con el aceite:
dMROZ = RejedFROZ
dFROZ = τROZdA
τROZ = μ (
du
dy
)
y=H
τROZ = μ
ωR
H
(1,41)
dA = LRdθ
∫ dMROZ = ∫Reje dFROZ
MROZ = ∫Reje dFROZ
MROZ = ∫Reje τROZdA
MROZ = ∫ Reje
2π
0
μ
ωR
H
LRdθ
MROZ = μω
2πLR3
H
(1,42)
Con lo que la ecuación diferencial del movimiento de giro es:
− (Mr + μω
2πLR3
H
) =
mR2
2
dω
dt
(1,43)

El signo negativo de los momentos, es por ser momentos que se oponen al giro
del cilindro (son de rozamiento). Expresando la masa del cilindro en función de su
densidad y volumen, se tiene:
m = ρπR2L
Con lo que la Ec. Diferencial del movimiento es:
− (Mr + μω
2πLR3
H
) =
ρπLR4
2
dω
dt
dt = −
ρπLR4
2
dω
Mr +
2πLR3μ
H
ω
La integración de la ecuación anterior, da la evolución temporal de la velocidad de
giro:
∫dt
t
0
= ∫ −
ρπLR4
2
ω
ω0
dω
Mr +
2πLR3
μ
H
ω
t = −
ρπLR4
2
H
2πLR3μ
ln [Mr +
2πLR3μ
H
ω]
ω0
ω
t = −
ρRH
4μ
ln[
Mr +
2πLR3μ
H
ω
Mr +
2πLR3μ
H
ω0
]
ω = ω0e
−
4μ
ρRH
t
−
HMr
2πLR3
μ
(1 − e
−
4μ
ρRH
t
) (1,44)
Tiempo que tarda el cilindro en pararse:
Con ω = 0, se obtiene el tiempo de parada:
tparada =
ρRH
4μ
ln [1 +
2πLR3
μ
HMr
ω0] (1,45)
Numéricamente
ω0 = (300)(2π 60⁄ )
ω0 = 31,416 rad s⁄ eg
ρ = 7800 Kg m3⁄

μ = 92,14mPa.seg
μ = 0,09214Pa.seg
L = 0,4m
R = Di 2⁄
R = 0,05 2⁄
R = 0,025m
H = 3mm
H = 0,003m
Mr = 0,012Nm
ω = 31,42e
−
(4)(0,09214)
(7800)(0,025)(0,003)t
−
(0,003)(0,012)
2π(0,4)(0,0253)(0,09214)
[1 − e
−
(4)(0,09214)
(7800)(0,025)(0,003)t
]
ω = 31,42e−0,63t − 9,949[1 − e−0,63t]
tparada =
(7800)(0,025)(0,003)
(4)(0,09214)
ln [1 +
2π(0,4)(0,0253
)(0,09214)
(0,003)(0,012)
(31,42)]
tparada = 2,27 seg
FINAL CARPETA 15

1.16.
181706
Un volante de peso 600N tiene un radio de giro de 200mm cuando gira a 600Rpm
su velocidad se reduce a 1 Rpm Min⁄ debido a la viscosidad del fluido entre la camisa
y el eje. La longitud de la camisa es 50mm; y el espacio libre es 0,05mm.
Determínese la viscosidad del fluido.

Lc = 50mm
dEj = 20mm
y = 0,05mm
Wv = 600N
rv = 300rpm = rk
α =
dn
dt
α =
1rpm
min
α = aceleracion
T = I̅α
T = I̅
dn
dt
T = mv rv
2
dn
dt
I̅ = momento de inercia
μ = F r

μ = mv rv
2
dn
dt
F =
mv rv
2 dn
dt
r
μ =
F
A
y
V
μ =
(mv rv
2 dn
dt
) (y)
A V d
μ =
mv rv
2
y
A V r
dn
dt
V = w ∗ r
V = 600rpm ∗
2π Rad
1 rev
∗
1 min
60 seg
∗ 0,01m
V = 0,6283
m
s
dn
dt
= 1
rpm
min
∗
2π Rad
1 rev
∗
1 min
60 seg
dn
dt
= 0,001745
rad
s2
μ =
600
9,8
∗
(0,3)2
∗ (5x10−5) ∗ (0,001745)
(2π ∗ 0,01 ∗ 0,05)(0,01)(0,6283)
μ = 0,02436
kg
m ∗ s

INICIO CARPETA 15
181706
“Calcular el torque en el eje de la siguiente figura.” Pág. 8.
figura 14. esquema de eje.
fuente: (GUERRERO)

figura 15. triangulo de calculos del eje.
fuente: (GUERRERO)
R
H
=
r(Y)
Y
r(Y) =
R
H
Y
dr (Y)
dY
=
R
H
(1,46)
figura 16. triangulo de distancias.
fuente: (GUERRERO)
dL2 = dY2 + dR2
dL = √dY2 + dR2
dA = 2πr(Y)dL
dT = (r(Y))dF
∫ dT = ∫rdA(r(Y))

T = ∫u
du
dY
dA(r(Y))
T = ∫u
ω r
δ
2 π(r(Y))dL(r(Y))
T = u
ω
δ
2π∫(r(Y))
3
dL
T =
2 π u ω
δ
∫(
R
H
Y)
3
√(dY2 + dR2)
T =
2 π u ω
δ
R3
H3
∫ Y3 √((1 + (
dr
dY
)
2
) dY2)
T =
2 π u ω R3
δ H3
√(1 + (
dr
dY
)
2
)∫ Y3dY
T =
2 π u ω R3
δ H3 √(1 + (
R
H
)
2
) ∫ Y3dY
RH
0
T =
2 π u ω R3
δ H3 √1 + (
R2
H2
)
Y4
4
T =
2 π u ω R3
δ H3
√H2 + R2
H4
4
T =
2 π u ω R3 H4
4 δ H4
√H2 + R2
T =
π u ω R3
2 δ
√H2 + R2
T =
π u ω R3L
2 δ
(1,47)
FINAL CARPETA 15

Calcular el torque en el eje.

R
H
=
r(Y)
Y
r(Y) =
R
H
∗ Y
dr (Y)
dY
=
R
H
dL2
= dY2
+ dR2
dL = √dY2 + dR2
dA = 2πr(Y)dL
dT = (r(Y)) ∗ dF
∫ dT = ∫ r ∗ dA ∗ (rY))
T = ∫u
du
dY
∗ dA ∗ (rY))
T = ∫u
ω r
δ
∗ 2 π∗ (r(Y)) ∗ dL ∗ (r(Y))
T = u
ω
δ
2π ∫(r(Y))
3
∗ dL
T =
2 π u ω
δ
∫ (
R
H
Y)
3
∗ √(dY2 + dR2)
T =
2 π u ω
δ
∗
R3
H3
∫ Y3
∗ √((1 + (
dr
dY
)
2
) ∗ dY2)

T =
2 π u ω R3
δ H3
√(1 + (
dr
dY
)
2
) ∗ ∫ Y3
∗ dY
T =
2 π u ω R3
δ H3
√(1 + (
R
H
)
2
) ∫ Y3
∗ dY
RH
0
T =
2 π u ω R3
δ H3
√1 + (
R2
H2
) ∗
Y4
4
T =
2 π u ω R3
δ H3
∗ √H2 + R2 ∗
H4
4
T =
2 π u ω R3
H4
4 δ H4
∗ √H2 + R2
T =
π u ω R3
2 δ
∗ √H2 + R2
T =
π u ω R3
L
2 δ

INICIO CARPETA15
181706
“Calcular el torque del eje.” Pág. 10.
figura 17. esquema para cálculo del torque.
fuente: (GUERRERO)
figura 18. triangulo para el analisís.
fuente: (GUERRERO)
R
H
=
r
y
r =
y ∗ R
H

R
H
=
dr
dy
tan β =
R
H
(1,48)
figura 19. triangulo de angulos.
fuente: (GUERRERO)
tan θ =
δ
1
y
cosβ
δ =
y ∗ tanθ
cosβ
(1,49)
figura 20. triangulo de distancias.
fuente: (GUERRERO)
dL = √dy2 + dr2
dA = 2πrdL
τ =
F
A
F = τA

dF = τdA
τ = μ
Δv
Δy
v = ωr (1,50)
Donde el torque es igual a:
T = r ∗ F
dT = r ∗ dF
dT = r(τ ∗ dA)
dT = r(μ
Δv
Δy
) dA
dT = rμ(
ω ∗ r
δ
)[2πrdL]
dT =
2πr3μω[√dy2 + dr2]
(
y tan θ
cosβ⁄ )
dT =
2π (
y ∗ R
H
)
3
μω[√dy2 + dr2]
(
y tan θ
cosβ⁄ )
∫ dT
T
0
=
2πμωR3 cosβ
H3tan θ
∫ y2 [√dy2(1 + (
dr
dy
)
2
) ]
H
0
∫ dT
T
0
=
2πμωR3 cosβ
H3 tanθ
∫ y2dy[√(1+ (
R
H
)
2
)]
H
0
T =
2πμωR3 cosβ
H3 tan θ
√(1 + (tan β)2)
y3
3
{
H
0
T =
2πμωR3 cosβ H3
3 H3tanθ
√(sec β)2
T =
2πμωR3
3tan θ
(1,51)

FINAL CARPETA 15
Calcular el torque T del eje
Analidando el triangulo 1

R
H
=
r
y
r =
yR
H
R
H
=
dr
dy
tan β =
R
H
Analizando el triángulo 2
tan θ =
δ
y
cosβ
δ =
y ∗ tanθ
cosβ

dL = √dy2 + dr2
dA = 2πrdL
τ =
F
A
F = τ A
dF = τ dA
τ = μ
Δv
Δy
v = ω r
T = r F
dT = r dF
dT = r(τdA)
dT = (r)(μ
Δv
Δy
) dA
dT = (rμ)(
ω r
δ
)(2πrdL)
dT =
(2πr3μω)(√dy2 + dr2)
(
ytan θ
cosβ
)
dT =
(2π) (
y R
H
)
3
(μ)(ω)(√dy2 + dr2)
(
ytan θ
cosβ
)
∫ dT
T
0
=
2πμωR3 cosβ
H3 tanθ
∫ y2(√dy2(1+ (
dr
dy
)
2
))
H
0

∫ dT
T
0
=
2πμωR3cosβ
H3 tan θ
∫ y2dy(√(1 + (
R
H
)
2
))
H
0
T =
2πμωR3 cosβ
H3 tanθ
√(1 + (tan β)2)(
y3
3
){
H
0
T = (
2πμωR3cosβ H3
3 H3tanθ
)(√(sec β)2)
T =
2πμωR3
3 tan θ

Calcular el torque T del eje
Analidando el triangulo 1

R
H
=
r
y
r =
y ∗ R
H
R
H
=
dr
dy
tan β =
R
H
tan θ =
δ
y
cosβ⁄
δ =
y ∗ tan θ
cosβ

dL = √dy2 + dr2
dA = 2πrdL
τ =
F
A
F = τ ∗ A
dF = τ ∗ dA
τ = μ
Δv
Δy
v = ω ∗ r
T = r ∗ F
dT = r ∗ dF
dT = r(τ∗ dA)
dT = r(μ
Δv
Δy
) dA

dT = rμ(
ω∗ r
δ
)[2πrdL]
dT =
2πr3
μω[√dy2 + dr2]
(
ytan θ
cosβ⁄ )
dT =
2π(
y ∗ R
H
)
3
μω[√dy2 + dr2]
(
y tan θ
cosβ⁄ )
∫ dT
T
0
=
2πμωR3
cosβ
H3 tan θ
∫ y2
[√dy2(1 + (
dr
dy
)
2
)]
H
0
∫ dT
T
0
=
2πμωR3
cosβ
H3 tan θ
∫ y2
dy[√(1 + (
R
H
)
2
)]
H
0
T =
2πμωR3
cosβ
H3 tan θ
√(1 + (tan β)2) ∗
y3
3
{
H
0
T =
2πμωR3
cosβH3
3 H3tanθ
√(secβ)2
T =
2πμωR3
3 tan θ

181706
Un cono sólido de R base y ωo primera velocidad angular está girando dentro de un
asiento cónico. Arrastrar y aire negligencia derivar una fórmula para ω la velocidad
angular del cono (t) si no hay ningún par de torsión aplicado.
τ =
F
A
= μ
dv
dy
v = ω ∗ r
T = r ∗ F
Derivando la fórmula
dT = r ∗ dF
dT = r(τ∗ dA)
Reemplazando el valor del τ
dT = r[μ
dv
dy
]dA

dT = r[(μ)
(ω ∗ r)
h
][2πrdL]
Utilizando trigonometría dejamos dL en función de dr
Senθ =
dr
dl
dl =
dr
Senθ
dt =
(μ)(ω)(2π)(r3
)dr
h(Senθ)
Integramos ambos miembros con sus respectivos límites
∫ dt =
(μ)(ω)(2π)
h(Senθ)
∫(r3
)dr
R
0
T
0
T =
(μ)(ω)(π)(R4
)
2h(Senθ)
El cono desacelera (aceleración negativa), reemplazamos el valor de torque en la
ecuación
T=−αI
−αI =
(μ)(ω)(π)(R4
)
2h(Senθ)

−
dw
dt
I =
(μ)(ω)(π)(R4
)
2h(Senθ)
Reemplazamos el valor de momento de inercia del cono en la ecuación
I =
3
10
mR2
−
dw
dt
3
10
mR2
=
(μ)(ω)(π)(R4
)
2h(Senθ)
Se genera una ecuación diferencial (variables separables)
∫ −
dω
ω
=
(10)(μ)(ω)(π)(R2
)
(3m)(2h)(Senθ)
∫dt
t
0
ω
ω0
ln
dω
ω
= −
(5)(μ)(ω)(π)(R4)
3mh(Senθ)
(t)
Aplicamos exponencial en ambos lados para cancelar el “ln”
e
Ln(
ω
ω0
)
= e
−
(5μ)(ω)(π)(R2)
3mh(Senθ)
(t)
ω
ω0
= e
−
(5μ)(ω)(π)(R2)
3mh(Senθ)
(t)
Despejando encontramos el valor de la velocidad angular
ω = ω0e
−
(5μ)(ω)(π)(R2)
3mh(Senθ) (t)

INICIO CARPETA 6
181706
Ejercicio 2.70 Libro: Robert Fox
Se muestra un cojinete de empuje esférico. El claro entre el miembro esférico y el
alojamiento es de ancho constante h; obtenga una expresión algebraica para el momento
de torsión del miembro esférico, como una función del ángulo α.
Se tiene que:
T = F ∙ d (1)
De donde:
F = τ ∙ A

Reemplazando en (1), obtenemos:
dT = τ ∙ d ∙ dA (1′)
Entonces τ es igual a:
τ = μ
dv
dy
τ = μ
v
y
τ = μ
ωr
h
El área es igual a:
A = 2πr2
dA = 2πrRdθ
Y
d = r
Reemplazando en la ecuación (1′) se tiene que:
dT = μ
ωr
h
∙ r ∙ 2πrRdθ
Luego r es igual a:

𝐬𝐞𝐧 𝛉 =
𝐫
𝐑
𝐫 = 𝐑 𝐬𝐞𝐧 𝛉
Reemplazando obtenemos que:
dT = μ
ω(Rsenθ)
h
∙ (Rsenθ) ∙ 2π(Rsenθ)Rdθ
dT =
2πμω
h
R4
sen3
θdθ
∫ dT
T
0
=
2πμω
h
R4
∫ sen3
θdθ
α
0
∫ dT
T
0
=
2πμω
h
R4
∫ sen2
θ senθdθ
α
0
∫ dT
T
0
=
2πμω
h
R4
[∫ (1 − cos2
θ)senθ dθ
α
0
]
∫ dT
T
0
=
2πμω
h
R4
[∫ senθdθ
α
0
− ∫ cos2
θ senθdθ
α
0
]
Aplicamos integración por sustitución
u = cosθ
−du = senθdθ
De donde:
∫ dT
T
0
=
2πμω
h
R4
[∫ senθ dθ
α
0
+ ∫u2
du]
Resolveos las integrales, se tiene que:
T =
2πμω
h
R4
[−cosα − (−cos 0) +
u3
3
]

volviendo a la variable original, se tiene que:
T =
2πμω
h
R4
[−cosα + 1 +
cos3
α
3
−
cos3
0
3
]
T =
2πμω
h
R4
[−cosα +
cos3
α
3
+ 1 −
1
3
]
Obteniendo como resultado la expresión:
T =
2πμω
h
R4
[−cosα +
cos3
α
3
+
2
3
]
FINAL CARPETA 6

TIENE SOLIDWORKS.
181706
Se requiere un par de torsión de 4 N-m para hacer girar el cilindro intermedio de la figura
a 30 rpm. Los cilindros1 y 2 están fijos. Calcular la viscosidad dinámica del aceite. Todos
los cilindros tienen 450 mm de longitud. Despreciar los efectos de extremo y espesor del
cilindro intermedio (e = 0).

Datos:
M = 4Nm
N = 30rpm
L = 450mm
e ≈ 0
e1 = e2 = 3mm
R = 0,15m
Viscosidad dinámica del aceite (μ)
Gradiente de velocidades =
v
e1
=
v
e2
v = ω ∗ R
v =
30 ∗ 2 ∗ π
60
∗ R
v = π ∗ R
v = 0,15π
Ley de newton de la viscosidad

FUENTE: FLUIDO-MECÁNICA XABIER ALMANDOZ
dFt = μ ×
dv
dt
× dA
dFt = μ ×
v
e1
× dA + μ ×
v
e2
× dA
dFt = μ × (
v
e1
+
v
e2
) × dA
Las fuerzas infinitesimales dFt se anulan dos a dos
dM = dFt × R
M = ∫df1
A
× R
M = ∫ μ × (
v
e1
+
v
e2
) × dA
A
× R
M = μ × (
v
e1
+
v
e2
) × 2 × π × R × L × R
μ =
M
(
v
e1
+
v
e2
) × 2π × R2 × L
μ =
4
2 × 0,15 × π
0,003
× 2π × 0,45 × 0,152
μ = 0,2pl
μ = 2po

181705
TIENE SOLIDWORKS
Se tiene el cojinete que muestra la Figura 1.4., que consta de dos cilindros coaxiales con
un aceite de densidad relativa 0,95 entre ambos. Se pide:
a) Viscosidad dinámica del aceite.
b) Viscosidad cinemática del aceite.
c) Potencia disipada en el proceso.
d) Velocidad angular de deformación del aceite

Datos:
s = 0,95
N = 90rpm
R1 = 50mm
R2 = 50,2mm
y1 = 0,2mm
y2 = 1mm
L = 200mm
MT(par de torsion) = 0,392J
ω =
90 × 2π
60
= 3π
rad
s
a) Viscosidad dinámica del aceite (μ).
M1= momento a realizar para superar la resistencia que opone el aceite al movimiento
en la superficie lateral.
M2 = momento a realizar para superar la resistencia que opone el aceite al movimiento

en la superficie inferior o base.
MT = M1 + M2
MT = 0,932mN
Superficie lateral (A1)
dF1 = dF2
Las fuerzas se anulan dos a dos Ftotal = 0
Ley de Newton de la viscosidad:
dF1 = μ ×
dv
dy1
× dA1
dF1 = μ ×
ω × R2
y1
× dA1
dM1 = dF1 × R2
dM1 = μ ×
ω × R2
y1
× dA1 × R2
M1 = ∫ μ ×
ω × R2
2
y1
× dA1
A1
M1 = μ ×
ω × R2
2
y1
× 2π × R2 × (L + 10−3
)

M1 =
μ × 3π(50,2× 10−3
)2
0,2 × 10−3
× 2π × 50,2 × 10−3
× 0,201
M1 = 7,53 × μmN
Superficie inferior o base (A2)
Al igual que en el caso anterior, las fuerzas cortantes infinitesimales se anulan dos a dos.
Por tanto Ftotal = 0
Ley de Newton de la viscosidad
dF2 = μ ×
dv
dy2
× dA2
dF2 = μ ×
ω × r
y2
× dA2
dM2 = dF2 × r
dM2 = μ ×
ω × r
y2
× dA2 × r
dM2 = μ ×
ω × r2
y2
2π × r × dr
f(r) = dM2
f(r) = μ ×
ω × r2
y2
2π × r × dr

M2 = ∫
μ × ω × 2π
y2
R2
0
× r3
× dr
M2 =
μ × ω × 2π
y2
R2
4
4
M2 =
μ × 2π × 3π
10−3
×
0,05024
4
M2 = 0,094μmN
MT = M1 + M2
0,392 = 7,53μ + 0.094μ
μ = 0,01544pl
μ = 0,5142po
b) Viscosidad cinemática del aceite (v)
v =
μ
ρ
v =
0,05142
0,95 × 103
v = 5,413 × 10−5
m2
s
v = 0,5413St
c) Potencia disipada en el proceso.
Pot = M × ω
Pot = 0,392 × 3π
Pot = 3,6945W
d) Velocidad de deformación angular del aceite.
Superficie lateral A1

du
dy
=
ω × R2
y1
du
dy
=
3π × 50,2 × 10−3
0,2 × 10−3
du
dy
= 2356,6
rad
s
Superficie inferior A1
du
dy
=
ω × r
y2
du
dy
=
3π × r
y2

maxima =
du
dy
max
du
dy
max =
3π × 50,2 × 10−3
1 × 10−3
du
dy
max = 473,12
rad
s
INICIO CARPETA 3
181705
(Calle, 2007) “Ley de viscosidad de Newton: Una masa “m” ejerce un momento constante
sobre el cilindro de la figura, parte del cual, gira en el interior de un cojinete en el que hay
un líquido muy viscoso. Inicialmente el sistema está parado, y en el momento de liberar
el contrapeso, el cilindro vaya adquiriendo una velocidad de giro, continuamente
creciente, hasta que alcanza una velocidad de giro constante.” pag.33.
Determine:
Velocidad de giro en el equilibrio y la evolución temporal de la velocidad de giro.
Datos:
Eje:
diámetro:
D = 60 mm
masa:
m = 500 gramos.
Longitud mojada:
Lm = 100 mm
Aceite: viscosidad absoluta:
µ = 2 Pas
Huelgo entre eje y cilindro:
H = 4 mm

Contrapeso: masa:
M = 100 gramos
Suponer gradiente de velocidad del lubricante, constante.
Solución:
FIGURA 1: cilindro con un contrapeso (Calle, 2007)
Equilibrio de momentos en la dirección axial:
∑Mz = I
dѡ
dt
∑Mz = Mcontrapeso − Mrozamiento viscoso
El momento debidoa las fuerzas de rozamiento viscoso, del aceite sobre la pared mojada
del cilindro, son de signo negativo, es decir frenan el giro del cilindro; en cambio el
momento debido al contrapeso, es positivo y es el que acelera el giro del cilindro.
Mcontrapeso = M𝗀 · R
Mviscoso = Fμ · R

Fμ · R = (τpared2πRLm)·R
(τpared 2πRLm)·R = τpared2πR2
Lm
τpared2πR2
Lm = [μ (
du
dy
)
pared
] 2πR2
Lm
Considerando gradiente de velocidad:
|
du
dt
| =
ѡR
H
Se tiene:
Mviscoso =
μѡR
H
2πR2
Lm
μѡR
H
2πR2
Lm =
2πμR3
Lm
H
· ѡ
El momento de inercia, de un cilindro respecto a su eje es:
I =
mR2
2
Con toda la ecuación diferencial de momento es:
M𝗀R −
2πμR3
Lm
H
· ѡ =
mR2
2
dѡ
dt
(1) El régimen uniforme se alcanza con
dѡ
dt
= 0, es decir:
M𝗀R −
2πμR3
Lm
H
· ѡ = 0
Con lo que la velocidad final de equilibrio es:
ѡ 𝐄 =
M𝗀RH
2πμR3Lm
M𝗀RH
2πμR3Lm
=
M𝗀H
2πμR2Lm

M𝗀H
2πμR2Lm
=
0,050 · 9.8 · 0,003
2π · 4 · 0,0402 · 0,1
0,050 · 9.8 · 0,003
2π · 4 · 0,0402 · 0,1
= 0,365
rad
s
0,365
rad
s
= 0,365
60s
1min
1revol
2πrad
0,365
60s
1min
1revol
2πrad
= 3,49 rpm
(2) La integración de la ecuación diferencial [1], de la evolución temporal de la velocidad
de giro:
mR2
2
M𝗀R −
2πμR3Lm
H
· ѡ
dѡ = dt
Cuya integración es:
∫
mR2
2
M𝗀R −
2πμR3Lm
H
· ѡ
dѡ
ѡ
ѡ=0
= ∫ dt
t
t=0
−mH
4πμRLm
ln (1 −
2πμR2
Lm
M𝗀H
· ѡ) = t
ѡ = ѡ(t)
w =
M𝗀H
2πμR2Lm
(1 − e
−
4πμRLm
mH
·t
)
Evidentemente con t→∞, la velocidad de giro es la de equilibrio final:
ѡE =
M𝗀H
2πμR2Lm
Es decir, la velocidad de giro de equilibrio se alcanzaría asintóticamente en tiempo
infinito. No obstante, con los datos numéricos, se obtiene que prácticamente al cabo de
0,5 segundos, se alcanza el régimen de equilibrio:
Numéricamente la evolución temporal de la velocidad de giro es:
ѡ (
rad
s
) = 0,365 · (1 − e
−
4πμRLm
mH
·t
)

0,365 · (1 − e
−
4πμRLm
mH
·t
) = 0,365 · (1 − e
−
4π·4·0,040 ·0,1
3·0,003
·t
)
0,365 · (1 − e
−
4π·4·0,040·0,1
3·0,003
·t
) = 0,365 · (1 − e−22.34·t(s)
)
TABLA 3: tiempo) vs velocidad de giro (Calle, 2007)
GRAFICA 1: tiempo vs velocidad de giro (Calle, 2007)
Tiempo(s)
Velocidad
giro (rpm)
0 0,0000
0,001 0,0771
0,1 3,1173
0,2 3,4512
0,3 3,4869
0,4 3,4908
0,5 3,4912
0,6 3,4912
0,7 3,4912
-1
0
1
2
3
4
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
TIEMPO (s)
(r.p.m)

181705
(Calle, 2007) “flujo laminar en tuberías: en el flujo de tuberías, considerando un flujo
asimétrico, se puede obtener que, en cualquier sección transversal, el campo de
tensiones viscosas es puramente axial, de valor nulo en el centro de la tubería y
aumentando linealmente hasta la pared. Para obtener el campo de velocidades, es
necesario conocer el comportamiento reológico del fluido; en este caso se van a
considerar tres tipos de fluidos en régimen laminar: (a) fluido newtoniano, (b) plástico de
Bingham y (c) pseudoplastico.” pag.35
DETERMINE
El campo de tensiones τ = τ(r) para cualquier fluido
Para cada uno de los tres fluidos:
El campo de velocidades: u = u(r);
La ecuación de perdida de presión piezométrica.
La pérdida de presión, para una tubería horizontal de 1 m de longitud.
Datos:
Flujo incompresible, estacionario, laminar.
(a) Fluido newtoniano:
τ = μ(
du
dr
)
μ: viscosidad absoluta.
(b) Plásticos de Bingham:
τ = τ0 + μ(
du
dr
)
τ0: tensión viscosidad umbral.
(c) Pseudoplastico:
τ = k (
du
dr
)
n

k: índice de consistencia.
(Ec. Ostwald-de Waele) n: exponente del gradiente
Numéricos:
μ = 12cP
τ0 = 24pa;
k =
5Nss0,7
m2
n = 0,7
D = 40mm;
Q = 0,5
litros
segundo
Resolución
I. campo de tensiones: τ = τ(r) Para cualquier fluido. Por ser flujo estacionario
incompresible, el caudal volumétrico es constante, lo que lleva que el elemento de
volumen de la figura anterior se mueva sin aceleración, en un movimiento uniforme, con
lo que el balance de fuerzas es nulo:

FIGURA 2: flujo laminar en tubería (Calle, 2007)
∑ df
axial
= ∑ df
x
∑ df
x
= 0
En la dirección axial ‘x’, se tienen las siguientes fuerzas:
Fuerzas másicas:

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