Este documento presenta el análisis dimensional y la semejanza en mecánica de fluidos. Explica la utilidad del análisis dimensional para simplificar el trabajo experimental mediante la reducción del número de variables independientes. Describe los fundamentos del análisis dimensional, incluyendo el teorema Pi de Buckingham para obtener parámetros adimensionales. Finalmente, muestra ejemplos comunes de parámetros adimensionales en mecánica de fluidos.
Se muestran los principios del análisis dimensional. El teorema pi de Buckingham, Algunos ejemplos, ejercicios propuestos. Y de la parte de semejanza dimensional, de una manera rápida se muestran sus bases y se desarrolla un ejemplo detallado, además de proponer una serie de ejercicios.
Se muestran los principios del análisis dimensional. El teorema pi de Buckingham, Algunos ejemplos, ejercicios propuestos. Y de la parte de semejanza dimensional, de una manera rápida se muestran sus bases y se desarrolla un ejemplo detallado, además de proponer una serie de ejercicios.
FUERZA EJERCIDA POR UN LIQUIDO SOBRE UN AREA PLANAJoSé G. Mtz Cruz
Cualquier pared plana que tenga un liquido (muros, compuertas, depósitos, etc.) soporta, en cada uno de sus puntos, una presión que ha sido definida como la altura de la superficie libre del liquido al punto considerado, siempre que se trate de recipientes abiertos, que es el caso mas frecuente en aplicaciones hidrostáticas. Por tanto, todas las fuerzas de presión paralelas, cuya magnitud y dirección se conocen, tendrán una resultante P, que representa el empuje del liquido sobre una superficie plana determinada, cuyo valor y punto de aplicación vamos a determinar
MLT -2. El concepto de dimensión se debe a Fourier que, en su obra “Théorie analytique de la
chaleur”, dice: “Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o constante, tiene
una dimensión que le es propia, y que los términos de una no podrían ser comparados si no
tuviesen el mismo exponente de dimensiones”. Es decir, las ecuaciones deben de ser homogéneas
dimensionalmente hablando. Esta es la idea que subyace en el fondo de todo el Análisis
Dimensional y es lo que hemos oído alguna vez cuando nos dicen que no se pueden sumar peras con
manzanas; aunque esto no es estrictamente cierto, puesto que 3 peras y 2 manzanas son 5 frutas.
Del concepto de magnitud, dimensión y homogeneidad de las ecuaciones físicas se ocupa el
llamado Análisis Dimensional.
El Análisis Dimensional tiene aplicaciones en:
1. Detección de errores de cálculo.
2. Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas
insalvables. Por ejemplo, Rayleigh, precursor del Análisis Dimensional junto a Fourier, lo
empleo por primera vez en Mecánica de Fluidos.
3. Creación y estudio de modelos reducidos. Por ejemplo, los túneles aerodinámicos.
4. Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, tanto cambios
reales como imaginarios.
5.2. Conceptos básicos.
Observables: Se denominan observables a los entes que se pueden caracterizar por algún efecto
observable. Ejemplo: Color, longitud, miedo, tiempo, etc.
Observables comparables: Dos observables, (A) y (B), se dicen que son comparables si se puede
definir la relación
( )
( )
A
n B = (1)
siendo n un número cualquiera. La física sólo se interesa por los observables que son comparables.
La longitud de una mesa puede compararse con la longitud de un bolígrafo y podemos decir que
una es n veces la otra. Sin embargo, la hermosura o el miedo son observables no comparables,
Capítulo 5. Análisis dimensional.
Técnicas Experimentales Básicas
jmorente@ugr.es
84
puesto que no podemos decir, por ejemplo, que una persona haya pasado 3.5 veces más miedo que
otra viendo una película de terror.
En el caso de observables comparables, podemos definir criterios de igualdad y suma:
Criterio de igualdad: Diremos que un observable (A) es igual a otro (B), si ocurre:
( ) con 1 ( )
A
n n B = = (2)
Criterio de suma: Sean tres observables, (A1), (A2) y (A3), comparables con otro observable (A0),
mediante las relaciones
1 2 3
12 3
00 0
() () ( ) , y , () () ()
A A A
nn n
AA A == = (3)
diremos que
1 2 3 123 ( ) ( ) ( ) cuando ocurra que A A A nn n + = += (4)
Establecidos los entes de los que se hace cargo la Física, pasamos a la definición de
magnitud, cantidad y unidad.
Magnitud: Se define como magnitud al conjunto de todos los observables que son comparables
entre sí.
Cantidad: Se denomina cantidad a cada uno de los elementos del conjunto que define una
magnitud.
La altura de un edificio, la dista
FUERZA EJERCIDA POR UN LIQUIDO SOBRE UN AREA PLANAJoSé G. Mtz Cruz
Cualquier pared plana que tenga un liquido (muros, compuertas, depósitos, etc.) soporta, en cada uno de sus puntos, una presión que ha sido definida como la altura de la superficie libre del liquido al punto considerado, siempre que se trate de recipientes abiertos, que es el caso mas frecuente en aplicaciones hidrostáticas. Por tanto, todas las fuerzas de presión paralelas, cuya magnitud y dirección se conocen, tendrán una resultante P, que representa el empuje del liquido sobre una superficie plana determinada, cuyo valor y punto de aplicación vamos a determinar
MLT -2. El concepto de dimensión se debe a Fourier que, en su obra “Théorie analytique de la
chaleur”, dice: “Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o constante, tiene
una dimensión que le es propia, y que los términos de una no podrían ser comparados si no
tuviesen el mismo exponente de dimensiones”. Es decir, las ecuaciones deben de ser homogéneas
dimensionalmente hablando. Esta es la idea que subyace en el fondo de todo el Análisis
Dimensional y es lo que hemos oído alguna vez cuando nos dicen que no se pueden sumar peras con
manzanas; aunque esto no es estrictamente cierto, puesto que 3 peras y 2 manzanas son 5 frutas.
Del concepto de magnitud, dimensión y homogeneidad de las ecuaciones físicas se ocupa el
llamado Análisis Dimensional.
El Análisis Dimensional tiene aplicaciones en:
1. Detección de errores de cálculo.
2. Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas
insalvables. Por ejemplo, Rayleigh, precursor del Análisis Dimensional junto a Fourier, lo
empleo por primera vez en Mecánica de Fluidos.
3. Creación y estudio de modelos reducidos. Por ejemplo, los túneles aerodinámicos.
4. Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, tanto cambios
reales como imaginarios.
5.2. Conceptos básicos.
Observables: Se denominan observables a los entes que se pueden caracterizar por algún efecto
observable. Ejemplo: Color, longitud, miedo, tiempo, etc.
Observables comparables: Dos observables, (A) y (B), se dicen que son comparables si se puede
definir la relación
( )
( )
A
n B = (1)
siendo n un número cualquiera. La física sólo se interesa por los observables que son comparables.
La longitud de una mesa puede compararse con la longitud de un bolígrafo y podemos decir que
una es n veces la otra. Sin embargo, la hermosura o el miedo son observables no comparables,
Capítulo 5. Análisis dimensional.
Técnicas Experimentales Básicas
jmorente@ugr.es
84
puesto que no podemos decir, por ejemplo, que una persona haya pasado 3.5 veces más miedo que
otra viendo una película de terror.
En el caso de observables comparables, podemos definir criterios de igualdad y suma:
Criterio de igualdad: Diremos que un observable (A) es igual a otro (B), si ocurre:
( ) con 1 ( )
A
n n B = = (2)
Criterio de suma: Sean tres observables, (A1), (A2) y (A3), comparables con otro observable (A0),
mediante las relaciones
1 2 3
12 3
00 0
() () ( ) , y , () () ()
A A A
nn n
AA A == = (3)
diremos que
1 2 3 123 ( ) ( ) ( ) cuando ocurra que A A A nn n + = += (4)
Establecidos los entes de los que se hace cargo la Física, pasamos a la definición de
magnitud, cantidad y unidad.
Magnitud: Se define como magnitud al conjunto de todos los observables que son comparables
entre sí.
Cantidad: Se denomina cantidad a cada uno de los elementos del conjunto que define una
magnitud.
La altura de un edificio, la dista
El Análisis Dimensional, en sentido estricto, se considera como un método de análisis de fenómenos físicos o problemas físicos, que se aplica a la resolución de ecuaciones generales desconocidas en variables ordinarias o clásicas, continuas y reales, ecuaciones
Se muestra que la técnica del Análisis Dimensional como herramienta poderosa para hallar las correlación de variables para una investigación experimental.
Se presenta un ejemplo real.
Aletas de Transferencia de Calor o Superficies Extendidas.pdfJuanAlbertoLugoMadri
Se hablara de las aletas de transferencia de calor y superficies extendidas ya que son muy importantes debido a que son estructuras diseñadas para aumentar el calor entre un fluido, un sólido y en qué sitio son utilizados estos materiales en la vida cotidiana
Se denomina motor de corriente alterna a aquellos motores eléctricos que funcionan con alimentación eléctrica en corriente alterna. Un motor es una máquina motriz, esto es, un aparato que convierte una forma determinada de energía en energía mecánica de rotación o par.
Convocatoria de becas de Caja Ingenieros 2024 para cursar el Máster oficial de Ingeniería de Telecomunicacion o el Máster oficial de Ingeniería Informática de la UOC
Criterios de la primera y segunda derivadaYoverOlivares
Criterios de la primera derivada.
Criterios de la segunda derivada.
Función creciente y decreciente.
Puntos máximos y mínimos.
Puntos de inflexión.
3 Ejemplos para graficar funciones utilizando los criterios de la primera y segunda derivada.
Una señal analógica es una señal generada por algún tipo de fenómeno electromagnético; que es representable por una función matemática continua en la que es variable su amplitud y periodo en función del tiempo.
1. Tema5:
AnálisisDimensionalySemejanza
enMecánicadeFluidos
TEMA 5
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y
SEMEJANZA EN MECÁNICA DE
FLUIDOS
5.1.- El Análisis Dimensional: Utilidad y Justificación
5.2.- Los Fundamentos del Análisis Dimensional
5.3.- Obtención de Parámetros Adimensionales y el Teorema Pi
5.4.- Aplicación del Teorema Pi
5.5.- Parámetros Adimensionales Comunes en la Mecánica de Fluidos
2. Tema5:
AnálisisDimensionalySemejanza
enMecánicadeFluidos 5.1.- Justificación del Análisis Dimensional
El comportamiento de los fluidos puede caracterizarse mediante:
ECUACIONES TEÓRICAS DIRECTAS:
Ej: conservación del momento, ecuación de Bernouilli, teorema de arrastre de
Reynolds,…,etc
ECUACIONES EXPERIMENTALES:
Se emplea cuando no existen ecuaciones que modelen directamente los fenómenos
que se quieren entender
APROXIMACIÓN
Modelado teórico
VALIDACIÓN EXPERIMENTAL
Planificación del trabajo experimental
¿Resultados similares a
predicción de modelo?OK
SI NO
Refinar la
aproximación
El ANÁLISIS DIMENSIONAL
SIMPLIFICA Y REDUCE EL
TRABAJO EXPERIMENTAL
3. Tema5:
AnálisisDimensionalySemejanza
enMecánicadeFluidos 5.1.- Justificación del Análisis Dimensional
¿Cómo determinar experimentalmente la fuerza de arrastre F
sobre una esfera lisa de diámetro D que se mueve en un
medio fluido de densidad ρ y viscosidad µ, con velocidad
uniforme V ?
Se supone que la fuerza de arrastre F tendrá la siguiente forma: F = f (ρ, µ, V, D)
El trabajo experimental para evaluar la función f sería el siguiente:
• Determinar la influencia de cada una de las 4 variables (ρ, µ, V, D) en F,
manteniendo fijos los valores de las 3 variables restantes.
• Repetir cada prueba al menos para 10 valores diferentes de la variable.
Ejemplo de planificación de trabajo experimental:
Número de pruebas= 10x10
(valores de ρ y µ fijos!!!)
Modificando las 4
variables, el número de
pruebas es
10x10x10x10 !!!!!
Trabajo experimental
LARGO Y COSTOSO
Una alternativa es el
ANÁLISIS
DIMENSIONAL
4. Tema5:
AnálisisDimensionalySemejanza
enMecánicadeFluidos 5.2.- Los Fundamentos del Análisis Dimensional
El ANÁLISIS DIMENSIONAL permite agrupar las variables implicadas en un fenómeno en
parámetros adimensionales, y expresar el problema en términos de la relación funcional
de estos parámetros.
En el caso anterior, solo hay dos parámetros adimensionales
independientes, que como se verá después, son:
Entonces se puede escribir la relación:
La forma de la función f se puede determinar experimentalmente, pero con mucho menos
trabajo experimental, ya que se reduce en número de variables independientes (en este
caso de 4 a 1). Para variar el parámetro independiente, es suficiente variar la velocidad de
la corriente de fluido, y basta con usar solo un fluido (por ejemplo el aire) y un solo tamaño
de esfera.
El ANÁLISIS DIMENSIONAL ha reducido el número de pruebas inicial de 10.000 a 10 !!!!
5. Tema5:
AnálisisDimensionalySemejanza
enMecánicadeFluidos 5.2.- Los Fundamentos del Análisis Dimensional
¿QUÉ ES UN PARÁMETRO ADIMENSIONAL?
Es un conjunto de variables agrupadas de tal forma que su dimensión es 1, es decir, no tiene
dimensiones.
Cada una de las magnitudes utilizadas en mecánica está asociada con una dimensión física.
Magnitud Dimensión Unidad SI
Masa M Kg
Longitud L m
Tiempo T s
Magnitud Dimensión Unidad SI
Velocidad L T-1 m/s
Presión M L -1 T -2 Pa (N/m2)
Viscosidad M L -1 T -1 Kg / (m s)
MAGNITUDES FUNDAMENTALES MAGNITUDES DERIVADAS
EJEMPLO de PARÁMETRO ADIMENSIONAL:
Expresión dimensional equivalente:
2
1
2
LT
M
L
LT
LT
M
TL
M
=⋅=
−
Parámetro adimensional:
]1[
2
2
==
LT
M
LT
M
dy
du
xyτ
µ
dy
du
xy µτ =
Ecuación de la viscosidad:
6. Tema5:
AnálisisDimensionalySemejanza
enMecánicadeFluidos 5.2.- Los Fundamentos del Análisis Dimensional
Principio de Homogeneidad Dimensional ( PHD )
“Cualquier ecuación que describe por completo un fenómeno físico debe ser dimensionalmente
homogénea:
1.- Las dimensiones en ambos lados de la ecuación deben ser las mismas
2.- Las dimensiones de todos los términos aditivos de la ecuación deben ser iguales
EJEMPLO de PHD: Ecuación de Bernouilli
TH
g
V
g
p
z =
⋅
+
⋅
+
2
2
ρ
( )
LLLL
L
T
L
T
L
LT
L
M
L
MLT
L
=++
=+
⋅
+ −
−
2
2
2
3
2
2
Dividiendo por la altura…
z
H
zg
V
zg
p T
=
⋅⋅
+
⋅⋅
+
2
1
2
ρ
Expresión
dimensional..
L
L
L
L
L
L
=++1
CONCLUSIONES IMPORTANTES DEL PHD:
1.- Se pueden obtener parámetros adimensionales a partir de una ecuación teórica que relacione
las variables que intervienen en un fenómeno físico dado.
2.- La homogeneidad dimensional se podrá emplear para plantear las ecuaciones experimentales a
resolver mediante el análisis dimensional.
7. Tema5:
AnálisisDimensionalySemejanza
enMecánicadeFluidos 5.3.- Obtención de Parámetros Adimensionales y el Teorema Pi
Teorema de Π de Buckingham
“Existe un número de parámetros adimensionales independientes fijo para un problema dado, y
es igual a la diferencia entre número total de variables menos el número de dimensiones
fundamentales.”
I = N – REs decir :
donde:
I: número de parámetros adimensionales independientes
N: número de variables implicadas en el problema
R: número de dimensionales fundamentales (Ej: Masa, Longitud, Tiempo)
IMPORTANTE !!!!:
1.- El teorema Π sólo sienta la base teórica para afirmar que la reducción de N a R
parámetros se puede hacer, pero no indica cómo hacerla, ni cuanto vale R. Ni tan siquiera
existe una única reducción para cada problema.
2.- El conjunto de parámetro adimensionales debe escogerse de manera que sean
INDEPENDIENTES. Aunque existe un número fijo de estos parámetros para cada
problema, éstos se pueden combinar formando nuevos parámetros también
adimensionales, pero que en este caso NO serán independientes
8. Tema5:
AnálisisDimensionalySemejanza
enMecánicadeFluidos 5.4.- Aplicación del Teorema Π
1.- Elaborar un listado con las variables significativas implicadas en el problema.
2.- Calcular la expresión dimensional equivalente de cada una de las variables obtenidas
en el punto 1.
3.- Determinar las dimensiones fundamentales usadas en las variables del problema.
4.- Determinar el número de parámetros adimensionales independientes en los que se
pueden agrupar las variables del problema mediante el Teorema de Π.
5.- Generar los parámetros adimensionales.
6.- Comprobar que cada parámetro adimensional obtenido no tiene dimensiones.
9. Tema5:
AnálisisDimensionalySemejanza
enMecánicadeFluidos 5.4.- Aplicación del Teorema Π
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Determinar los parámetros adimensionales formados con las
variables involucradas en el flujo de un fluido sobre un cuerpo
sólido de forma esférica.
1.- Listado de variables significativas:
Fuerza de arrastre F, diámetro del cuerpo esférico D, densidad ρ, viscosidad µ y
velocidad V del fluido. (N=5)
2.- Expresión dimensionales equivalentes de cada variable:
VARIABLE DIMENSIONES
FUERZA M L T-2
DIÁMETRO L
DENSIDAD M L-3
VISCOSIDAD M L-1 T-1
VELOCIDAD L T-1
11. Tema5:
AnálisisDimensionalySemejanza
enMecánicadeFluidos 5.4.- Aplicación del Teorema Π
5.- Determinación de parámetros adimensionales:
• La variable de estudio, F, puede ser expresada como función exponencial de las 4
restantes:
• La expresión dimensional de (1) es:
• Agrupando los exponentes de la misma base:
• Igualando exponentes a ambos lados,
se obtiene el sistema de ecuaciones:
• Resolviendo el sistema para a, d y c:
• Sustituyendo en (1) y reagrupando:
dcba
VDKF ⋅⋅⋅⋅= µρ
( ) ( ) ( )dcba
LTLTMLMLMLT 11132 −−−−−
⋅⋅⋅=
( ) ( ) ( )dbdcbaba
TLMMLT −−++−−+−
⋅⋅= 32
bc
bd
ba
−=
−=
−=
2
2
1
(1)
(2)
(3)
db
dcba
ba
−−=−
++−−=
+=
2
31
1
b
b
bbbb
VD
K
VD
F
VDVDKF
VDKF
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅
⋅=
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=
−−−
−−−
ρ
µ
ρ
ρρµ
µρ
22
22111
221
)(
PARÁMETROS ADIMENSIONALES
