Estos tres proyectos para trabajar en matemática fueron extraídos de http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/33/programacion.html#bloque1

1. PROGRAMACIÓN
El curso está organizado en tres grandes "proyectos", que se desarrollarán a lo largo de cada uno de los tres trimestres, y atienden a
cada uno de los siguientes ámbitos:
1. Vinculación de las Matemáticas en el entorno.
2. Resolución de problemas, juegos lógicos y estrategias de pensamiento.
3. Formas y figuras.
Los contenidos del apartado "Modelos Matemáticos" han de estar presentes a lo largo de todo el programa en aquellas situaciones
que lo necesiten, siendo esos momentos los más adecuados para potenciar su aprendizaje.
Primer Bloque
Segundo Bloque
Tercer Bloque
PRIMER BLOQUE
1.UN ESTUDIO DE LA LOCALIDAD
El Proyecto se desarrollará a lo largo del primer trimestre y el hilo conductor será el estudio de la localidad en la que se encuentra
enclavada el Centro, estudiándose de manera prioritaria las características geométricas del entorno: medidas, distancias,
superficies, planos y escalas, distribución de espacios, volúmenes y formas geométricas.
Se partirá de los conocimientos previos del alumnado sobre su entorno y la pretensión es que alcancen una comprensión más
profunda del mismo, de sus problemas y de sus posibles soluciones. Para ello desarrollará y utilizará conceptos, estrategias y
herrammientas matemáticas apoyadas en un método de trabajo activo y participativo.
FASES DEL PROYECTO
El Proyecto estará dividido en cuatro fases, aunque el desarrollo de algunas de ellas podrá evitarse. Al finalizar cada fase habrá
unos resultados materiales del trabajo realizado, que se expondrán cuando termmine todo el Proyecto.
Primera fase: Percepción previa y búsqueda de líneas de interés.
Segunda fase: Localización y descripción de la localidad en el conjunto de la camarca y de sus aspectos geométricos más
importantes.
Tercera fase: Las formas geométricas en el entorno cotidiano.
Cuarta fase: Presentación de resultados y evaluación del Proyecto.
SEGUNDO BLOQUE
2.ACTIVIDADES SOBRE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y JUEGOS DE LÓGICA Y ESTRATEGIA
ACTIVIDAD 1. LECTURA SOBRE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y JUEGOS.
Para desarrollar esta actividad no tienes que construir ni manipular ningún material, solo debes leer con atención lo que sigue y
reflexionar sobre la lectura ya que en las próximas actividades deberás recordar lo que aquí se dice.
¿QUÉ ES UN PROBLEMA O UN JUEGO MATEMÁTICO?

2. Es una situación que implica un propósito u objetivo que hay que conseguir, y que es aceptada como problema por alguien. Sin esa
aceptación no hay problema. Hay obstáculos para alcanzar ese propósito, y requiere deliberación, ya que el que lo afronta no
conoce ningún algoritmo o procedimiento para resolverlo.
Un problema debe representar un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo. Además debe tener interés en sí
mismo, estimular el deseo de proponerlo a otras personas; no debe ser un problema con trampa o un acertijo, ni dejar bloqueado
inicialmente a quien lo ha de resolver.
No confundas problema con ejercicio; estos son cuestiones que de un golpe de vista se ve en qué consisten y cuál es el medio para
resolverlas. A la hora de resolver un ejercicio se suele tener a mano una receta que facilita su solución y en general la resolución de
un ejercicio exige poco tiempo, situaciones que no suelen darse ante un problema o juego.
¿QUÉ ES RESOLVER UN PROBLEMA O JUEGO?
La resolución de un problema o juego es un proceso de acontecimientos que nos lleva a recorrer diferentes etapas en un viaje:
aceptar el desafío, formular las preguntas adecuadas a cada caso, clarificar el objetivo, definir y ejecutar el plan de acción y evaluar
la solución. Llevará consigo el uso de la heurística (el arte del descubrimiento), pero no de una manera predecible, porque si el
método,(que no existe), pudiera ser predicho de antemano, se convertiría en un algoritmo pasando de problema a mero ejercicio.
Todo esto comporta, para cada uno de los problemas a resolver, una inmersión en el mundo particular del problema, poniendo de
manifiesto las técnicas, habilidades, estrategias y actitudes personales de cada individuo que aborda el problema.
La resolución de problemas es un proceso, no un procedimiento paso a paso; es fundamentalmente un viaje, no un destino. Este
viaje queda plasmado en ir cubriendo las siguientes etapas: deseo de acercarse al problema, aceptar el desafío, correr un riesgo,
hallar la respuesta, comprender una pregunta, descubrir nuevos conocimientos o crear una nueva solución.
¿QUIÉN ES UN BUEN RESOLUTOR DE PROBLEMAS?
El que tiene deseo de afrontarlo (yo quiero), acepta el desafío con entusiasmo (yo puedo), está en posesión del equipamiento de
técnicas y estrategias (heurística) matemáticas oportunas (estoy dispuesto a aprenderlas), y tiene talento para ello (aunque el talento
es fundamental para llegar lejos en el viaje, no lo es para disfrutar de él). Y por fin, el que practica las virtudes de la paciencia y la
perseverancia.
¿QUÉ SE APRENDE RESOLVIENDO PROBLEMAS?
Se aprende fundamentalmente, a entender el funcionamiento de nuestro propio razonamiento, a dominar nuestros estados de ánimo
y a aumentar la confianza en nosotros mismos, nuestra autoestima.
¿CUÁL ES LA MEJOR FORMA DE RESOLVER PROBLEMAS?
La única forma es resolviendo problemas. Cada problema afrontado, con o sin éxito, nos enseña a resolver el siguiente. De alguna
manera se aprende a aprender, por eso es interesante esta actividad. Pero recuerda que ésta, como todo arte, es una actividad que
requiere fe (en que puedes), coraje (en que quieres), humildad (porque no lo sabes todo) y disciplina (estés dispuesto a esforzarte
por seguir aprendiendo).
REGLA DE ORO: LO QUE IMPORTA ES EL CAMINO
Siempre debes tener en cuenta que lo que importa es el camino. No pongas la mira en el éxito, sino en el proceso. Es el proceso el
que te enseña. Un problema resuelto es un problema muerto, pero si aún se te resiste, vive en ti como problema.
BLOQUEOS Y DESBLOQUEOS
Un problema constituye un auténtico reto. Sabemos, más o menos, adónde queremos llegar, pero ignoramos el camino. Ante esta
situación caben actitudes positivas como confianza, tranquilidad, disposición de aprender, curiosidad, gusto por el reto, etc. y otras
negativas o bloqueos que pueden obstaculizar nuestro avance como, miedo a lo desconocido, nerviosismo, prisa por acabar o
cierta desazón ante la prueba.
PROBLEMA: BUSCA AL ESPÍA
Después de una larga y minuciosa indagación, el departamento de inspección del territorio ha llegado a la conclusión de que en el
«callejón sin salida» de la Razón vive un espía. Sólo están ocupadas las tres primeras casas, según se entra a la izquierda, situadas
en el lado de los números impares. En cada una de estas casas viven tres personajes: un chino, un español y un inglés. Cada uno de
ellos ejerce una única actividad. Con el fin de evitar un enojoso incidente diplomático, antes de iniciar una acción cualquiera, habrá
que saber cuál es la nacionalidad del que ejerce la actividad de espía. Se sabe, sin embargo, que el inglés reside en la casa del
centro, que el chino es músico y que el espía ocupa la primera vivienda según se entra por el lado de la calle. ¿De qué nacionalidad
es el espía? Los diferentes informes se presentan en desorden. Podemos arrojar un poco más de luz sobre el caso, imaginándonos
que los clasificamos según el inmueble respectivo; luego iremos a su naturaleza (nacionalidad, profesión). Obtenemos así la
traducción visual siguiente:

3. Esta es la idea esencial, pues este dibujo reorganiza nuestra representación del problema. Los datos relativos al inglés y al espía
encuentran aquí directamente su lugar:
Las demás indicaciones no nos sirven para nada tomadas independientemente unas de otras. En cambio, su asociación nos
proporciona: - el chino no vive en la primera casa, pues está ocupada por un espía, siendo así que el chino es músico; - el chino no
habita en la casa del centro, pues es el inglés quien vive en ella. El chino, por lo tanto, no puede vivir en otra que no sea la tercera
vivienda:
El español ocupa, pues, obligatoriamente el primer inmueble, que es el del espía.
ACTIVIDAD 2. UN MODELO PARA TRABAJAR CON PROBLEMAS: EL MODELO DE GUZMÁN
Un modelo es una guía que nos facilita el camino que debemos recorrer a lo largo de todo el proceso de resolución de un problema.
La finalidad de todo modelo es la de adquirir una colección de hábitos mentales que nos ayuden eficazmente en el manejo de los
problemas.
El modelo de Guzmán consta de cuatro fases:
i. Fase 1: Familiarización con el problema.
ii. Fase 2: Búsqueda de estrategias.
iii. Fase 3: Llevar adelante la estrategia.
iv. Fase 4: Revisar el proceso y sacar consecuencias de él.
En cada una de las fases las pautas a seguir son:
Al comienzo, en la familiarización con el problema, debemos actuar sin prisas, pausadamente y con tranquilidad. Hay que
conseguir tener una idea clara de los elementos que intervienen: datos, relaciones, incógnitas, etc. En resumen, antes de
hacer, trata de entender.
Una vez que hemos entendido el problema pasamos a buscar las estrategias que nos permiten resolverlo. En esta fase no
iniciamos el ataque del problema sino que vamos apuntando todas las ideas que nos surjan relacionadas con el problema. Es
conveniente pensar y disponer de más de una estrategia o camino a desarrollar en la fase posterior.
Tras acumular varias opciones de resolución, es el momento de llevar adelante la estrategia elegida. La llevamos adelante
trabajando con confianza y sin apresuramientos. Conviene no echarse atrás ante la primera dificultad que surja, ni continuar
con la estrategia si las cosas se complican demasiado. En el caso de no acertar con el camino correcto, es el momento de
volver a la fase anterior y reiniciar el proceso. Seguimos de esta forma hasta cercioramos de haber llegado a la solución.
Por último, queda la fase más importante del problema, la de revisión del proceso y sacar con secuencias de él. En esta fase,

4. que no puede faltar hayamos resuelto el problema o no, debemos reflexionar sobre todos los incidentes del camino seguido,
sobre si es posible extender las ideas que hemos tenido a otras situaciones, sobre el problema en sí y sobre nuestros estados
de ánimo a lo largo de todo el proceso recorrido.
PROBLEMA: UN JUEGO PARA DOS
Dos jugadores dicen alternativamente un número del 1 al 5. El primer jugador que alcance 31, sumando todos los números que dice
cada uno, gana. ¿Qué número es mejor decir, si vas el primero?
FASE DE FAMILIARIZACIÓN Y BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS:
El problema es entendido, aunque se discute cuándo podría ganar el primero o el segundo jugador. Al fin, queda aclarado que el
enfoque debe ser visto desde el primer jugador.
No está claro, ya que las ideas propuestas por algún miembro no son aceptadas por todos para seguir adelante y, por ello, se
decide experimentar qué ocurre realizando el juego por parejas.
FASE DE DESARROLLO DE LA ESTRATEGIA:
Una vez que se ha jugado varias veces, se concluye que: - el que empieza tirando acaba realizando la última tirada; - se observa la
última jugada; - parece que el primero siempre pierde. Se decide abandonar este camino, observando semejanzas con otros
juegos. Estas opciones no conducen a ninguna situación clara y, por tanto, se decide examinar el problema marcha atrás, partiendo
del número 31. Se disponen los 31 números y se observa qué números debe alcanzar el primero para ganar:
31 30 29 28 27 26 25 24 23 22
1º 1º
21 20 19 18 17 16 15 14 13 12
1º 1º
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1º
1
1º
El primer jugador debe alcanzar los números:
1 - 7 - 13 - 19 - 25 - 31
y, si va consiguiendo estos números, ganará sin ninguna dificultad.
FASE DE REVISIÓN Y AMPLIACIÓN:
¿Qué estrategia debe utilizar para ganar el 2º jugador? ¿Cuándo ganan el 1º o el 2º jugador si cambiamos el número total a
conseguir? ¿Y si cambiamos los números que dice cada jugador?
RELACIÓN DE PROBLEMAS Y JUEGOS
I. Al terminar las vacaciones, cuatro padres acompañan a sus hijos al colegio en su primer día de clase. Utilizando los datos que
figuran a continuación, rellena la tabla con los nombres de cada alumno junto con su padre, madre, colegio y curso que empieza.
1. La madre de Luis se llama María, pero su padre no es Juan.
2. Pedro está casado con Antonia, pero su hijo no es el que empieza 2º de Primaria.
3. Concha lleva a su hijo al colegio “La Almudena”, pero el niño no se llama Aitor.
4. El hijo de Margarita cursa 3º de Primaria, pero su nombre no es Felipe.
5. El padre de Aitor se llama Vicente, pero el niño no estudia en el colegio “Las Villas”.
6. Rodrigo empieza 4º curso de Primaria, pero no en el colegio “Las Mercedes”.
7. El niño que estudia en el colegio “Virgen del Pilar” hará 1º de Primaria, pero su padre no se llama Jaime.
ALUMNO PADRE MADRE COLEGIO CURSO
II. Cuatro amigas comentan los últimos libros que han leído. Utilizando los datos que figuran a continuación, rellena la tabla con sus
nombres junto con los títulos de las novelas, los autores, los protagonistas y el número de páginas de cada libro.
1. El autor del libro que ha leído Cristina es M. Motalvín, pero su título no es “Invisibles”.
2. Rosa María ha leído “Acuarela”, pero este 1ibro no tiene 625 páginas.
3. El protagonista del libro que leyó Elsa se llama Arturo, pero su autor no es A. Sala.
4. El libro que ha leído Aurora tiene 960 páginas, pero no lo escribió V. Turerola.
5. A. Sala es el autor de “La Luna”, pero el protagonista de esta novela no es Carlos.

5. 6. El libro que ha escrito L. Pandero tiene 520 páginas, pero el protagonista no se llama Pedro.
7. La novela que tiene como protagonista a Luis tiene 340 páginas, pero su titulo no es “Agridulce”.
AMIGAS TÍTULO AUTOR PROTAGONISTA Nº PÁGINAS
III. Los ángeles y los diablos
¡Alarma en el paraíso! Los diablos han conseguido forzar la puerta guardada por nuestro buen amigo San Pedro y se han
introducido en él disfrazados de ángeles para sembrar el desorden. Acaban de ser arrestados cinco sospechosos. Pero no se sabe
quién es diablo y quién es ángel. Se los somete a interrogatorio. Claro está, los ángeles dicen siempre la verdad, mientras que los
diablos mienten constantemente:
Jorge insiste en que Juan es un diablo,
Juan jura que Pablo es un ángel,
Pablo sostiene que José es un diablo,
José afirma que Santiago es un ángel,
Para Santiago, Jorge y Juan son diablos los dos.
¿Quiénes son los ángeles? ¿Quiénes, los diablos?.
IV. Las motos
Andrés, Bernardo y Claudio están andando en moto. Cada uno de ellos anda con la moto de uno de sus amigos y lleva el casco de
otro distinto al de la moto. El que lleva el casco de Claudio anda con la moto de Bernardo. ¿Quién conduce la moto de Andrés?
V. Los joyeros
El mayordomo de la marquesa Valdenía quiere sustraer las joyas de su patrona. Las joyas se encuentran guardadas en cuatro
joyeros de colores diferentes: negro, rojo. blanco y verde. El mayordomo se acuerda de que cada uno de los estuches contiene dos
objetos diferentes. Uno encierra un reloj y un brazalete; otro, un anillo y un Collar. En un tercero se encuentran un collar y un brazalete.
El joyero blanco esconde un reloj y un anillo, El joyero negro se encuentra entre el rojo y el blanco. El rojo está a la derecha del verde.
Los estuches de la derecha contienen cada uno un collar y en cada uno de los joyeros de la izquierda hay un reloj. En el momento
preciso del hurto, temiendo verse sorprendido, el mayordomo se embolsa el joyero negro y se pone a salvo. ¿Qué joyas se ha
llevado?
VI. El baile anual
Con ocasión del baile que todos los años organiza una asociación, manda imprimir las tarjetas de invitación que envía a una
imprenta cuyos precios continúan estables desde hace mucho tiempo. La impresión de 500 invitaciones le costó hace dos años
2.900 pesetas. El año pasado pagó 3.900 pesetas por 700 invitaciones. ¿Cuanto va a desembolsar este año por las mil
invitaciones?
VII. Las aldeas
Un explorador visita una isla en la que viven dos tribus. Una tribú vive en una pequeña aldea y sus miembros no mienten nunca. Los
demás habitan en una aldea grande y mienten siempre. ¿Hablan la misma lengua todos los indígenas? El explorador se encuentra
con un grupo de tres personas, un niño, una mujer y un hombre, y, dirigiéndose al niño al tiempo que señala a los otros dos, le
pregunta: «¿Es la aldea del hombre más grande que la de la mujer?» El niño responde: Qwerty. «¿Es tu aldea más grande que la
del hombre?» Y la respuesta del niño no varía. Aún ignorando si Qwerty significa «Sí» o «No», ¿puede decirnos usted cuál es la
respuesta real a cada una de estas dos preguntas?
VIII. El prisionero astuto
Un prisionero se ve obligado, por un juez injusto, a someter su vida al juicio del azar. Se introducirán dos bolas, blanca y negra, en
una bolsa. Si el prisionero extrae la negra deberá morir. Pero el juez, y el reo lo sabe, ha introducido dos bolas negras para no darle
ninguna posibilidad. Pero el reo no cae en la desesperación, al contrario, encuentra una manera de salvarse. ¿Cómo lo realiza?
IX. Juego interrumpido
Dos jugadores deciden jugar una partida en la que ningún juego puede terminar en empate. Cada uno de ellos apuesta 32 doblones
de oro. El jugador que primero llegue a ganar cinco juegos se quedará con los 64 doblones. Cuando el jugador A va ganando por 3
juegos a 2 al jugador B, se interrumpe definitivamente la partida por causas ajenas a ambos jugadores. Como el jugador A lleva
ventaja, no sería justo que se repartiesen los doblones llevándose la mitad cada uno. ¿Cuál debe ser el reparto más justo?
X. Exploradores perdidos
Veintisiete exploradores están perdidos en una cueva de la que parten tres caminos. Uno de ellos conduce al exterior en una hora.
Los dos restantes no tienen salida: si entran por uno de ellos vuelven a la cueva en 2 días; si lo hacen por el otro, vuelven en tres días.

6. Si sólo tienen comida para menos de 6 días, ¿cuántos de los veintisiete exploradores crees que lograrían salir de la cueva?
XI. Caza de patos
Diez cazadores, estupendos tiradores, van a cazar patos a una laguna. Al rato de llegar, 10 patos se posan sobre el agua. Cada
cazador dispara a un pato, todos simultáneamente y todos aciertan; pero ninguno sabe a qué pato apuntan los demás. ¿Cuántos
patos sobrevivirán?
XII. Adivina un número
Fíjate en un número de la siguiente tabla:
7 6 14 10
13 3 12 15
1 15 5 13
5 7 6 8
3 2 7 14
11 10 15 9
9 14 13 11
15 11 4 12
Si me dices en qué columnas se encuentra, puedo averiguar el número.
TERCER BLOQUE
3.ACTIVIDADES SOBRE FORMAS Y FIGURAS
Estas actividades se desarrollarán a lo largo del tercer trimestre.
ACTIVIDADES
1. El geoplano.
El geoplano es una plancha de madera u otro material, en la que se han dispuesto regularmente una serie de clavos o puntos. Fue
inventado por el matemático italiano Caleb Gattegno (1911 1988) para enseñar geometría a niños pequeños. A lo largo de los años
las aplicaciones y problemas relativos a los geoplanos han proliferado de manera asombrosa.
Hay distintos tipos de geoplanos dependiendo de la disposición de los clavos o puntos. Los más utilizados son el geoplano
cuadrado, el triangular y el circular. En las actividades sobre geoplanos entenderemos siempre que los polígonos deben de tener
todos sus vértices en los puntos o clavos del geoplano correspondiente.
i.En cada uno de los geoplanos cuadrado y triangular, dibuja los distintos tipos de triángulos que conozcas. ¿Hay algún tipo de
triángulo que no se pueda dibujar en alguno de ellos?. Razónalo.
ii. Dibujando un triángulo equilátero, que tenga dos unidades lineales de lado, en un geoplano triangular, observamos que pasa por 6
puntos. Dibuja triángulos equiláteros de distinto tamaño y completa la siguiente tabla:
Unidades lineales de lado 1 2 3 4 5 6
Nº de puntos por los que pasa 6
2. Poliominós.
La historia de los poliominós comenzó en 1954 cuando el matemático norteamericano Solomon W. Golomb publicó su artículo
“Checker Board and Polyominoes” (Tableros de Damas y Poliominós). Más adelante Martin Gardner ha publicado múltiples artículos
sobre las ricas posibilidades que ofrecen los diferentes poliominós.
Golomb definió los poliominós como las configuraciones que recubren cuadros adyacentes de un tablero de ajedrez. También
podemos definir el poliominó como un grupo de cuadrados unidos por los lados, de tal forma que cada dos de ellos tienen al menos
un lado común. Los poliominós se clasifican en:
Uniminós: formados por un solo cuadrado. Solo existe uno.
Dominós: formados por dos cuadrados. Solo existe uno.
Triminós: formados por tres cuadrados.
Tetraminós: formados por cuatro cuadrados.
Pentaminós: formados por cinco cuadrados.
Hexaminós: formados por seis cuadrados.

7. Los poliominós de órdenes superiores, al ser muy numerosos, prácticamente no se utilizan. De orden 7 se sabe que existen 108
diferentes; de orden 8 existen 369; de orden 9 existen 1285; de orden 10 existen 4655 y de orden 18 existen 192622052. Hoy día no
se conoce una fórmula que nos proporcione el número de poliominós que existen para un orden cualquiera. La única forma de
hacerlo es para los de orden pequeño, construyéndolos, y para los de orden grande, con ayuda de ordenadores.
i. Construye todos los posibles tetraminós. ¿Cuántos hay?
ii.Construye todos los posibles pentaminós. ¿Cuántos hay?
Intenta formar o cubrir con todos los pentaminós un rectángulo de dimensiones 12 x 5 . ¿Qué otros rectángulos pueden cubrirse con
todos los pentaminós?.
3. Dibujando con Fibonacci
Compramos una pareja joven de conejos que al cabo de un mes alcanza la plena madurez. Después, tarda otro mes en procrear una
nueva pareja joven de conejos. Al mes siguiente, nuestra primera pareja volverá a engendrar y la joven se convertirá en adulta para
procrear en otro mes más. Y así sucesivamente.
1º) Anota el número total de parejas adultas que tenemos cada mes hasta el trigésimo.
2º) Toma el término de cada mes y suma todos sus cifras hasta obtener un número de un solo dígito. Por ejemplo, el término del 14º
mes vale 377 y debe quedar 8 :
3+7+7 = 17 , 1+7 = 8
¿Observas algo en especial?
3º) Agrupa los números anteriores en dos bloques. Por un lado, los que corresponden a meses impares y, por otro lado, los de
meses pares.
4º) Vamos a dibujar con ayuda de los números del grupo de meses pares.
El valor de cada término significará los centímetros que ha de medir cada línea y los ángulos se medirán en igual sentido que las
agujas del reloj.
Dibuja de la siguiente manera:
En primer lugar, pinta una línea de 1 cm (1º término).
Después, traza una línea de 3 cm (2º término) formando un ángulo de 120 grados sexagesimales con la anterior.
Más tarde, dibuja una línea de 8 cm (3º término) formando un ángulo de 120º con la anterior. Y así sucesivamente hasta el 35º
término.
(Nota: Como 120º+120º+120º = 360º , la 4ª línea será paralela a la 1ª, la 5ª línea será paralela a la 2ª, la 6ª línea será paralela a la 3ª,
etc.)
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