El documento describe los objetivos y fundamentos teóricos para calcular las ecuaciones de parábolas y rectas en la pista atlética de la Federación Deportiva de Tungurahua-Ambato. Los objetivos incluyen conocer las utilidades de la parábola, aplicar conocimientos para realizar cálculos, y crear un modelo a escala de la pista. El fundamentos teórico explica las características y ecuaciones de parábolas y rectas, así como las medidas estándar de una pista atlética.

1. TEMA:Aplicaciónde laparábolayla rectaenlapistaatléticade laFederación
Deportivade Tungurahua-Ambato
OBJETIVO GENERAL
 Calcular las ecuaciones de las parábolay las rectas enlapistaatléticade la
federacióndeportivade Tungurahua-Ambato
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Conocer las utilidades de la parábola en el medio que nos rodea.
 Aplicar los conocimientos ya adquiridos en clase para realizar los
cálculos respectivos.
 Realizar una maqueta a escala de la pistaatléticade lafederacióndeportiva
de Tungurahua-Ambato.
FUNDAMENTO TEÓRICO
LA PARÁBOLA
Sabemos que la geometría analítica estudia las formas o figuras
geométricas basadas en ecuaciones y coordenadas definidas sobre un Plano
Cartesiano.
Pues bien, una parábola es una forma geométrica.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una
serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:
Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado
también eje de simetría).
Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola
en dos brazos y pasa por el vértice.
Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica
en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia
p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice
y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la
parábola.
Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

2. Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una
parábola:
En el Plano Cartesiano una parábola puede tener su vértice en cualquier par de
coordenadas y puede estar orientada hacia arriba, hacia abajo o hacia la izquierda
o la derecha.
Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen
Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su
vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano), y según esto,
tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.
Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en
el origen, su eje focal o de simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que
está orientada (se abre) hacia la derecha.
Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto “P” (no
confundir con el “parámetro p”), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco
“F” será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en
la figura:
De lo anterior resulta:
(Trazo PD igual al trazo PF)

3. El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar
la fórmula para calcular distancia entre dos puntos:
El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0), y también
podemos usar la fórmula para calcular la distancia entre ellos:
Sustituyendo en la expresión de distancias resulta:
Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:
(x + p)2 = (x – p)2 + y2
x2 + 2px + p2 = x2 – 2px + p2 + y2
x2 + 2px + p2 – x2 + 2px – p2 = y2
Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:
y2 = 4px
Que es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica.
Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación de la parábola (hacia
donde se abre).
Veamos ahora las cuatro posibilidades:
Primera posibilidad
La que ya vimos, cuando la parábola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en
el eje de las abscisas “X”
Ecuación de la
parábola y2 = 4px
Ecuación de la
directriz x + p = 0

4. Segunda posibilidad
Cuando la parábola se abre hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las
abscisas “X”.
Ecuación de la
parábola y2 = –4px
Ecuación de la
directriz x – p = 0
Tercera posibilidad
Cuando la parábola se abre hacia arriba (sentido positivo) en el eje de
las ordenadas “Y”.
Ecuación de la
parábola x2 = 4py
Ecuación de la
directriz y + p = 0

5. Cuarta posibilidad
Cuando la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo) en el eje de las
ordenadas “Y”.
Ecuación de la
parábola x2 = –4py
Ecuación de la
directriz y – p = 0
Información importante:
El parámetro p (que marca la distancia focal) señala la distancia entre el foco y
el vértice, que es igual a la distancia entre el vértice y la directriz.
Si en la ecuación de la parábola la incógnita x es la elevada al cuadrado, significa
que la curvatura de la misma se abre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del
signo del parámetro p.
Cuando el parámetro p es positivo, la parábola se abre “hacia arriba” y cuando
es negativo se abre “hacia abajo”.

6. Ahora, si en la ecuación de la parábola la incógnita y es la elevada al cuadrado, la
curvatura de la misma será hacia la derecha o hacia la izquierda. En este caso,
cuando el parámetro p es positivo, la parábola se abre “hacia la derecha” y cuando
es negativo se abre “hacia la izquierda”.
Longitud del lado recto (LR)
Tal como dedujimos la ecuación anterior, es posible deducir la ecuación que nos
permita calcular la longitud del lado recto (cuerda que pasa por el foco,
perpendicular al eje focal o de simetría):
No desarrollaremos el camino y sólo diremos, para recordar, que el lado recto es
igual a 4p.
Ecuaciones con vértice (H;K)
Primera posibilidad
Que la parábola se abra hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas
“X”.
Ecuación de la parábola (y – k)2 = 4p(x – h)
Ecuación de la directriz x – h + p = 0
Segunda posibilidad
Que la parábola se abra hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las
abscisas “X”.
Ecuación de la parábola (y – k)2 = 4p(x – h)
Ecuación de la directriz x – h – p = 0

7. Tercera posibilidad
Que la parábola se abra hacia arriba (sentido positivo) del eje de las ordenadas
“Y”
Ecuación de la parábola (x – h)2 = 4p(y – k)
Ecuación de la directriz y – k + p = 0
Cuarta posibilidad
Que la parábola se abra hacia abajo (sentido negativo) del eje de las ordenadas
“Y”.
Ecuación de la parábola (x – h)2 = –4p(y – k)
Ecuación de la directriz y – k – p = 0

8. LA RECTA
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma
dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una
letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios.

9. Clases de recta
Secantes
Las rectas secantes se cortan en un punto.
Paralelas
Las rectas paralelas no se cortan en ningún punto.
Coincidentes
Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

10. Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro
ángulos iguales de90º.
Ecuaciones de la recta
1. Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.
De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar
una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en
un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).
Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano
cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un
Plano cartesiano.
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción,
quedan incluidas en la ecuación
Ax + By + C = 0
Que también puede escribirse como
ax + by + c = 0
y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el
siguiente:
Teorema
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde
A, B, C pertenecen a los números reales( ); y en qué A y
B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.

11. 2. Ecuación principal de la recta
Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.
Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo
siguiente:
Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de
coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada
(vertical).
(x, y) = (Abscisa, Ordenada)
Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.
Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la
ecuación.
Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la
ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda
2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.
Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un
punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene
con la fórmula
y = mx + n
Que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto
de intercepción en la ordenada (n), y es conocida como ecuación principal de la
recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).
Al representar la ecuación de la rectaen su forma principal vemos que aparecieron
dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos
nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta:
la pendiente y el punto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de
las ordenadas (y).

12. Respecto a esto, en el gráfico de la
izquierda, m representa la pendiente
de la recta y permite obtener su grado
de inclinación (en relación a la
horizontal o abscisa), y n es
el coeficiente de posición, el número
que señala el punto donde la
recta interceptará al eje de
las ordenadas (y).
Forma simplificada de la ecuación de
la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto
donde la recta cortaal eje de ordenadas
es (0, b) (corresponde a n en la fórmula
principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la
forma.
Y − y1 = m(x − x1)
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama
también forma explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocenla pendiente
y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b (no olvidemos que
corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede
utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de
una ecuación dada.
PISTA ATLÉTICA
Características generales de la pista de atletismo
La longitud de la pista de atletismo no será inferior a 4000 m (0 400 yardas). La
pista no tendrá un ancho menor de 7.32 m y en lo posible, delimitado interiormente
por un cordón (bordillo) de cemento, madera u otro material, de una altura y un
ancho no mayor de 5 cm. Cuando no sea posible contar con un cordón saliente en
el borde interior de la pista, este borde será marcado con líneas de 5cm de ancho.
En los casos de pistas de césped serán señalizados también con banderines a
intervalos de 5 m. Los banderines se ubicarán en la línea de tal modo que
prevengan al corredor desplazarse sobre la línea, y se colocarán bajo un ángulo de
60 grados con el piso hacia afuera de la pista. Lo más conveniente es que los
banderines midan aproximadamente 25cm por 20cm, montados en astas de 45 cm.

13. Medidas de la pista de atletismo
La medición del desarrollo de la pista se tomará a 30cm al exterior del cordón
interior de la pista, o donde no exista cordón, a 20cm de la demarcación interior de
la pista.
En todas las carreras de hasta 440 yardas, cada corredor tendrá un andarivel
individual de un ancho mínimo de 1.22 m y un máximo de 1.25 m, señalizado por
líneas de 5cm, de ancho. El andarivel interior se medirá de acuerdo a lo dispuesto
en el párrafo 2 anterior, pero los andariveles restantes se medirán a 20cm desde los
otros bordes de las líneas.
Solamente la línea a mano derecha de cada andarivel será incluida en la medida
del ancho de cada andarivel.
La dirección de la carrera será manteniendo la cuerda a su izquierda.
En certámenes internacionales de este deporte, la pista tendrá por lo menos seis
andariveles y en lo posible ocho, particularmente cuando se trate de competencias
importantes.
La máxima pendiente transversal de la pista no excederá de 1:100 y la
correspondiente a la dirección de la carrera no pasará de 1:1000.
CÁLCULOS
OBSERVACIONES

14.  La grafica de la pista atlética necesita dominios que su visualización sea
la correcta
 Tener en cuenta que la pista no es una elipse ya que tiene dos lados rectos.
 Las ecuaciones de las rectas y las parábolas son las mismas pero con la
condición que una es positiva y la otra respectivamente es negativa
CONCLUSIONES
 Según los cálculos previamente hechos, y con las medidas de la pista
atlética hemos deducido las ecuaciones necesarias de la parábola y de las
rectas para formar la pista atlética.
 Los conocimientos adquiridos enclase han sido indispensables para realizar
los cálculos y poder graficar la pista en un programa geométrico en este
caso Graphmatica.
 Hemos realizado una maqueta a escala …. para hacer más didáctico nuestro
trabajo.
RECOMENDACIONES
 Tener un previo conocimiento sobre el programa utilizado para la gráfica
de las ecuaciones
 Tener en cuenta la correcta utilización de las ecuaciones para así poder
encontrar la figura deseada
BIBLIOGRAFÍA
Andia, N. (26 de 05 de 2007). monografias.com. Obtenido de
http://www.atletismoydeporte.com/atletismo/la-pista-de-atletismo.php
Andia, N. (14 de 05 de 2008). monografias.com. Obtenido de
http://www.monografias.com/trabajos82/trabajo-conicas/trabajo-
conicas2.shtml
Deporte, A. y. (08 de 12 de 2006). atletismoydeporte.com. Obtenido de
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Linea, p. e. (02 de 07 de 2015). http://www.profesorenlinea.cl/. Obtenido de
http://www.profesorenlinea.cl/:
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuacion_parabola.html
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http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Recta_Ecuacion_de.html