Tomo 6.2

104
04･･････････････････････(2)osapeR
92
98
95
93
97
94
11 443･･･Variación proporcional directa
Proporcionalidad directa 446･･
･･
････････
･････････
Gráficas de proporcionalidad directa ･･52
Aplicaciones de la proporcionalidad directa ･･55
Pronósticos del clima global ･･･58
1
2
3
7 Multiplicación y división con fracciones (1)･････2
3･･･
･･･6
Tiempo, hora y fracciones ･････12･･･
1
2
10 Razones y proporciones ･･･････31
Razones
Operaciones con “fracción x números enteros”
Operaciones con “fracción ÷ números enteros”
31･････････････････････････
････････ Razones equivalentes ････
Cálculo de longitudes reales usando proporciones ･･39
Valora lo que usas en la escuela ･･････59
Resumen ････････････････････6312
･････71
Multiplicación y división con
números decimales.
5º grado
5º grado
4º grado
Cantidades que cambian juntas
8 Multiplicación y división con fracciones (2) ･･13
･････13
･････17･･･
････ Otras expresiones matemáticas ･･････20
Propiedades de las operaciones･･････････23
･････････････････････ Problemas
1
2
3
Razones y “número de veces”･･･26
9 Área aproximada ･････････････29Área
4º grado
1
2
Múltiplos y divisores
Estimación de productos y cocientes
Fracciones
1
2
3
Tipos de sólidos
Volumen
Medición con otro tipo de unidad
4
5
6
Around
6 grado vol. 2 Estructura del contenido
6o grado
vol.1
Tamaño y medida
Cómo Cambian
Cálculo de múltiplos
（decimales）
･･･24
El mundo de las maravillas matemáticas
o
¡Estudiemos temas
que te interesarán!
Números y sus operaciones
33
Cálculos del tipo “fracción x fracción”
Cálculos de “fracción ÷ fracción”

1 1
1
1
0 1 2 3
3
Pintura
m
mmm
d
32
1 dl de pintura alcanza para
pintar una superficie de m2
de esta cerca.
¿Para cuántos m2
de cerca
alcanzan 3 dl de pintura?
1 Operaciones con “fracciones x números enteros”
③ Piensa cómo obtener la respuesta.
② Escribe una expresión matemática
para calcular el área.
① Ilumina el área en la siguiente ilustración.
1
1
0 1
5
2 2
1
m
m
m
Pintura
Área pintada con
1 dl de pintura
Cantidad de
pintura (dl)
1

Números　decimales Fracciones
Suma
Resta
Multiplicación
División
Números　enteros
Anota en la siguiente tabla los aspectos más importantes que recuerdes sobre los
números y sus operaciones.
Multiplicaciónydivisiónconfracciones(1)
Piensa en situaciones donde puedas usar la multiplicación de
fracciones y cómo calcular la respuesta.
¿Qué nos falta
por aprender?
Una fracción unitaria tiene un 1 en el numerador.
En segundo grado
estudiamos la tabla
de multiplicar.
En cuarto grado
aprendimos a sumar
y restar con
números decimales.
En primer grado
estudiamos
la suma y la resta.
En tercer grado
estudiamos
la división.
En quinto grado
aprendimos a sumar y
restar con fracciones.
Para los números decimales vemos cuántas
veces cabe 0.1 en un número entero.
También podemos encontrar cuántas veces
debemos tomar una fracción unitaria para
formar una fracción.
A mi me gustaría
cambiar las
divisiones por
fracciones.
2
5
1m 1m 1m
1m
(dl)
(dl)

4 5
Para multiplicar una fracción propia por un número
entero, multiplicamos el numerador por el número entero y
dejamos el denominador como está.
2 1
La idea de Yoshiko ▼
m2
es dos veces m2
.
3　es tres veces m2
.
Por lo tanto 3　son
(2　 3)　veces . （2 3）grupos de
m
1m
1m1m1m
1
5
2
2
3＝
5 ＝
23
5
La idea de Hiroshi ▼
Si expresamos la fracción como una división
tenemos: ＝ 2÷5.
＝ (2÷5)3
＝(23)÷5
Si expresamos esta división como fracción
tenemos:
2
5
2
3
5
2
3＝5 ＝
23
5
Si utilizamos la misma pintura de la sección , ¿cuántos m2
de
cerca se pueden pintar con 4 dl?
1 1 1
1
1
0 1 2 3 4
4
Pintura
d
▲
█＝
▲█

Observa los métodos y para calcular3
Es más sencillo si simplificas la fracción antes de realizar la multiplicación.
Para una actividad necesitamos cuatro trozos de cinta de m de largo.
¿Cuánta cinta necesitamos?
4
0
0
1 4 (trozos de cinta)
（C）
Longitud
Trozos de Cinta
7
5
① ② ③ ④
2
2
5
5
4
3
3
2
8
7
4
6
2
3
9
7
5
6
9
3
2
23
9
2
9 3＝
＝
＝
23
9
2
9 3＝
＝
1
3
Si el numerador fuera 10　
en lugar de 2, tenemos que:
(10÷5)3＝6,
(103)÷5＝6,
Por lo tanto, pueden inter-
cambiarse las operaciones
÷5 y 3
1
5
2
5
1
5
2
5
2
5
2
5
1　m 1　m 1　m 1　m
(m)
1　m
(dl)

76
2 Operaciones con “fracción÷número entero”
2 dl de pintura alcanzan para pintar m2
de
barda. ¿Cuántos m2
pueden pintarse con 1 dl
de pintura?
② ¿Cuántos m2
pueden pintarse con 1 dl de
pintura? Ilumina en la siguiente figura el área
correspondiente para encontrar la respuesta.
1 5
6
Hay 5 secciones de
m2.
La mitad de es .....
1
6
1
6
1
1
0 2
2
Pintura
m
m
1
1
0 21
2
1 Pintura
Pintura
d
d
m
m
Se requieren 3 dl de pintura para pintar
m2
de esta cerca.
¿Cuántos m2
pueden pintarse con 1　dl
de pintura?
① Escribe una expresión matemática
② ¿Cuántos m2
de barda pueden pintarse
con un dl de pintura?
Ilumina los espacios en la siguiente figura
para obtener la respuesta.
③ Piensa cómo hacer los cálculos para obtener el área.
2
5
6
1
1
0 31 2
3
Pintura
m
m
d
1
0 321
1
3
Pintura
Pintura
m
m1
d
d
Piensa en situaciones en las que se dividen fracciones entre números
enteros y en cómo realizar el cálculo.
① Escribe una expresión matemática para
este problema.
Área pintada Pintura (dl)
÷
En la figura
puedes ver
cuántas fracciones
unitarias hay. Puedes hacer los cálculos aplicando
las propiedades de la división para
transformarla en una operación con
números enteros.
Podemos obtener la respuesta
con el método que utilizamos
para la multiplicación con
fracciones.
(dl)
(dl)
(dl)

98
10
28
14
5
10
74
10
7 ÷4＝
＝
＝
10
74
10
7 ÷4＝
＝
5
2
La idea de Mayumi ▼
El área de un es m2.
El área que se puede pintar con 1　dl de
pintura es cinco veces de m2.
1
6 3
5 veces
0 1 2 3
1
1
m
m
m2
5
÷3＝
6
＝
1
63
1
63
5
63
Yo usé la propiedad de la división que dice: “el resultado es el mismo si
multiplicamos el dividendo y el divisor por el mismo número”.
( )÷(36)
＝5÷(36)
＝5÷(63)
5
÷3＝
6
5
6
6
5
÷3＝
6 ＝
5
63
La idea de Jiro ▼
Yo utilicé el mismo método que uso con la multiplicación:
Después multipliqué el numerador y el denominador por 3 para poder
dividir el numerador entre 3.
5
÷3＝
6
5÷3
6
5
÷3＝
6
53
63 ＝
53÷3
63
÷3＝＝
5
63
¿Cuántos l de jugo de naranja recibirán
5 alumnos si se reparten equitativamente
l de jugo?
3
Para dividir una fracción propia entre un número entero,
se multiplica el numerador por el número entero, el denominador
se deja como está.
Compara los procedimientos y para calcular (　 )÷4.4
① ② ③ ④
1
÷4
2
3
÷2
4
5
÷4
6
7
÷5
8
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
2
÷2
3
6
÷3
7
7
÷3
4
8
÷4
3
0 1 5（alumnos）
O
3
4
3
4
▲
÷█＝
▲
█
El procedimiento es más sencillo si simplificas la fracción antes
de hacer el cálculo.
10
7
Luego expresé esto como
una fracción:
(dl)

Realiza las siguientes multiplicaciones.
Repasemos cómo hacer cálculos de la forma “fracción x número entero”.
página 5
2
3＝
7
＝

① ② ③ ④
2
5
5
7
6
9
5
8
6
7
12
4
⑤ ⑥ ⑦ ⑧3
3
28
7
7 100
Si una persona bebe l de leche al día,
¿cuántos l consumirá en 3 días?
Repasemos cómo hacer cálculos de la forma “fracción ÷ número entero”.
5
÷3＝
7
＝

Realiza las siguientes divisiones.
① ② ③ ④
5
÷4
6
4
÷2
7
3
÷3
8
5
÷3
8
⑤ ⑥ ⑦ ⑧÷6
2
÷7
5
3
÷2
2
÷10
Necesitamos repartir equitativamente l de leche en tres
botellas, ¿qué cantidad de leche debemos poner en cada botella?
páginas 3-5
página 5
páginas 7-9
página 9
página 9
Encuentra los errores que se cometieron en las siguientes operaciones,
corrígelos y obtén el resultado correcto.
2
10＝
5 ＝
2
510
1
25
7
÷4＝
8 ＝
74
8
7
2
1
5
2
1
•　Entender el método de cálculo.
Realiza las siguientes operaciones.
① ② ③
④
1
5
6
5
6
8
7
12
6
4
÷3
9
⑤ ⑥
12
÷4
13
10
÷6
9
• Calcular “fracción x número entero” y “fracción ÷ número entero”
¿Cuántos metros de listón recibirán 5 alumnos si repartes equitativamente
m de listón?
Kenta camina a una velocidad de Km por hora, ¿cuántos kilómetros recorre
en tres horas?
Inventa un problema que se pueda resolver con cada una de las
siguientes operaciones.
5
①
②
3
4
5
• Escribir una expresión con fracciones.
• Calcular la velocidad de un móvil usando fracciones.
• Redactar un problema a partir de una operación dada.
5
6
7
6
5
12
9
14
3
10
3
10
10
7
7
10
11
6
①
■ Ir a la página 12 ■ Ir a la página 92
②
3
÷7
4
1110
1
2
3
4
5
6
4
3
2
1

① Observa cómo resolvieron otros alumnos el
problema.
Akira: de una hora
Simplifica: de una hora
Yoko: de una hora
Simplifica: de una hora
Kenji : de una hora
1
3
1
3
1
3
1 Cálculos del tipo “fracción x fracción”
1 dl de pintura alcanza para pintar una
superficie de m2
.
① ¿Cuántos m2
podemos pintar con
dl de pintura? Construye una expresión
para resolver este problema y verifica tu
respuesta usando la ilustración de la derecha.
③ Ilumina en la imagen de la derecha el área
que puede pintarse con de decilitro de
esta pintura.
④ Piensa cómo obtener el área que puede pintarse con dl de pintura.
② ¿Para cuántos m2
alcanzarán dl de
pintura? Construye una expresión para
calcular el área.
1
4
5
1
3
1
1
0 1
5
4 2
1
Pintura
m
m
m
d
2
3
2
3
2
3
20
60
4
12
•　¿Cuántas horas son 20　minutos?
Expresa tu respuesta usando una fracción.
•　Pensemos en las unidades de tiempo:
① ¿Cuántos segundos son de un minuto?
3
1
3
2
1
1
0 1
1
Pintura
d
m
m
3
1
3
2
1
1
0 1
1
Pintura
d
m
m
Multiplicaciónydivisiónconfracciones(2)
1312
Piensa en otras situaciones donde necesites usar la multiplicación
de fracciones.
3
＝
4
(segundos)
3
4
10 minutos ＝ hora 25 segundos ＝ minuto
minuto ＝ segundos
② ¿Qué fracción de una hora son 15 minutos?
15÷ ＝＝ (hora)
③ Anota los números correctos en el .
4
5
1hora＝60 minutos
1minuto＝60 segundos
¿correcto?
Este es un problema de
multiplicación, pero la cantidad
de pintura es una fracción.
Tiempo, hora
y fracciones
(dl)
(dl)
(dl)
Hora Minuto Segundo
1　m
1　m
1　m
1　m
1　m
1　m

1514
La idea de Mami▼
El área que podemos cubrir con dl de pintura
es (　　　　)÷3　m2
y dl es dos veces dl.
Entonces tenemos:
0
0
1
área pintada
Cantidad de Pintura
2
2
3
3
4
5
1
3
2
3
(m2
)
(d )
4
÷32＝
5
＝
＝
1
3
1
3
4
53
La idea de Yumi ▼
Dividí en partes iguales 1 m2
, horizontalmente en 5 partes y verticalmente
en 3 partes. Así observé que el área de cada sección es
m2
Como hay (42)　veces m2
el área es
La idea de Kenji ▼
Yo transformé la fracción en un
número entero, como lo hice antes para
calcular con números decimales.
4
5 ＝
4
5
2
3
2
42
53
1
53
1
53
42
53 2
＝
＝
42
533
4
5

2
3
5 3 ÷15
4 2 ＝ 8
Si utilizas la misma pintura
que en la sección , ¿para
cuantos m2
alcanzan dl?
① Construye una expresión
② Colorea la figura.
③ Haz los cálculos.
2
4
3
0
0
1
Peso
Longitud
4
15
5
6
Cuando se multiplica una fracción por otra fracción,
multiplicamos los numeradores
y los denominadores.
＝
▲
● ■■
▲
●
Si un metro de una viga de fierro pesa Kg, ¿cuánto pesa una
sección de m de esa viga?
3
3
4
1
0 1 2
1
1
3
4
Pintura
m m
m
＝
4
156
55
＝6
4
156
5
＝
① ② ③ ④
1
2
3
4

3
8
3
5

5
3
5
4

3
2

4
15
5
6
4
15
14
9
El cálculo se facilita
si simplificas las
fracciones.
1
(dl)
(Kg)
(m)
（4×2）grupos
de
m
1m
1m
1
5 3
2

1716
Piensa cómo hacer los siguientes cálculos.4
Si expresas los números enteros como fracciones, puedes hacer estas
operaciones como “fracción x fracción”.
3
＝52
2

3
5
＝
4
＝5
3
3

4
5
＝
Calcula el área del siguiente paralelogramo.5
2
3
3
4
m
m
① ② ③ ④
3
5
7
5
3
6
1
4
2
5
2
8
Una parcela produce Kg de arroz por m2
. ¿Cuántos
Kg de arroz pueden obtenerse de una parcela que mide m2
?
2
3
8
9
5
2
① ② ③
④
5

6
⑤ ⑥
5
4
6
3
8
4
2
3
6

7
4

7
7
9
2

3
9
4
2 Cálculo de “fracción ÷ fracción”
Con dl de pintura pintamos m2
de
una cerca. ¿Cuántos m2
podremos pintar
con un decilitro?
1
① Construye una expresión matemática
para obtener la respuesta.
② ¿Cuántos m2
de esa cerca pueden pintarse
con 1 dl de pintura? Verifica tu respuesta
iluminando en la siguiente figura.
③ Pensemos cómo obtener la respuesta.
5
2 2
4
3
1
1
0 1
1
Pintura
d
m
m
m
2
5
3
4
Pensemos cómo dividir una fracción entre otra fracción.
① ②
14
3
Realiza las siguientes multiplicaciones.1
Calcula el área de un cuadrado cuyos lados miden m.2
4
3
4
1
1
0 14
2
11
PinturaPintura
d d
m
páginas 15-16
páginas 15-16
Yo obtendré la respuesta aplicando
las propiedades de la división
y transformando las fracciones
en números enteros.
Primero calculemos cuántos m2
podemos pintar con dl. Sólo
nos faltaría multiplicar ese
número por 4.
1
4
Yo contaré las fracciones
unitarias en la figura.
¿Es una división aunque la
cantidad de pintura sea
una fracción?
(dl)
(dl)
1
2

1918
La idea de Mayumi ▼
El área que puede pintarse con dl
de pintura es 3 (m2
)
0
0
1
Área pintada
Cantidad de pintura
4
4
3
31
4
3
4
2
5
＝
1
4
2
53
La idea de Yuuta ▼
Dividí horizontalmente 1 m2
en 3 partes iguales y luego lo dividí verticalmente
en 5 partes iguales.
Así, el área de cada es m2
Por lo tanto, el área que puede pintarse
con 1 dl es m2
4
24
53
（2 4）veces de
m
1m
1m
0 1
1
5 3 1
4
3
4
2
4
2
1
53
1
53
24
53
3
＝
＝ .
1
534
2
5

2
5
2
34
5

3
4
＝
＝
＝
(24)
＝
Podemos hacer esta división si multiplicamos el divisor y el dividendo por
el mismo número.
( ) ( )
＝(24)(35)
2
5
2
20
5

3
4
＝
3
20
4
24
35
＝
24
53
＝＝
Observa que para dividir una fracción entre otra, puedes
intercambiar el numerador y el denominador de una de ellas
y luego multiplicas las fracciones.
＝
▲█
█
▲

Piensa cómo hacer las siguientes operaciones.2
12
＝
8
35
8
3

＝
2
＝
3
1
5
3
＝
2
5
3
1
＝
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
1
3
1
4

4
9
16
7

3
4
2
7

2
3
4
3

3
5
4
7
8
2
3

2
3
8
7
4
3
5

Por esto, el área que podemos pintar con
1 dl de pintura es 34　(m2
).
2
5
① ②
2
5
El cálculo es más
sencillo si simplificas
las fracciones.
Es el mismo
método que para
“fracción ÷ fracción”
(dl)
(dl)
(m2
)

2120
Otras expresiones matemáticas
Una viga de fierro que mide m pesa Kg. ¿Cuánto pesa un metro
de esa viga?
1
0
0
1
Peso
Longitud
3
4
9
5 (Kg)
(m)
Para pintar los muros del pasillo utilizamos dl por m2
. ¿Cuántos
decilitros necesitamos para pintar m2
de otro muro?
① ¿Qué datos tenemos?
② Escribe en los de la figura los datos que tienes.
③ ¿Qué operación puedes usar para obtener la respuesta?
2
Cantidad total Cantidad por unidad
Nuestra viga
0
0
Cantidad de pintura
Área
1
5
3
Cantidad total
0
0
Distancia
Tiempo
（D）
（hora）
1
Cantidad totalCantidad por hora
Nos tomó de hora recorrer 60 Km en auto.
Calcula la velocidad a que íbamos (Km por hora).
3
4 Akira inventó el siguiente problema.
① Resuelve el problema que inventó Akira.
② A partir del problema de Akira, Hiroko inventó otro problema.
Resuélvelo.
③ Inventa otros problemas de multiplicación y división cambiando los
números y las palabras en los de arriba.
3
4
9
5
5
2
5
3
4
3
Cantidad por unidad
Cuánto más
Si usamos 2 dl de pintura para cubrir
1 m2, ¿cuántos dl necesitamos para
pintar 3 m2?
Cuánto
Si nos tomara
2 horas recorrer
60 km …
Si usamos de litro de agua para irrigar un jardín de 1 m2
,
necesitaremos litros para regar un jardín de m2
.
Escribe el número que falta en el .
6
7
2
3
Si usamos de litro de agua para irrigar un jardín de 1 m2
, con
l podemos regar un jardín de m2
.
Escribe en el el número que falta.
6
7
4
7
Si 2 m de viga pesan
6 Kg, entonces 1 m
de viga pesa …
(dl)
(m2
)
(Km)
(hora)
3

En quinto grado estudiamos las siguientes propiedades de las operaciones.
Ahora vamos a ver cómo aplicarlas en los cálculos con fracciones.
1
2322
2
3
1
2
6
7
m
m
m
Realiza las siguientes multiplicaciones.
Recordemos cómo multiplicar dos fracciones.
páginas 13-15
páginas 15-16
Una barra de fierro de un metro de largo pesa Kg.
¿Cuántos Kg pesan de metro de esa barra?
7
4
página 15
Recordemos cómo dividir una fracción entre otra.
Resuelve las siguientes divisiones.
Compramos de metro de cinta en 68 yenes.
¿Cuánto cuesta un metro de esta cinta?
6
4
5
páginas 17-19
páginas 20-21
página 19
Propiedades de las operaciones
① Calcula el volumen del prisma rectangular
que se muestra a continuación.
La propiedad también puede usarse para operar con fracciones.
Eso significa que podemos simplificar las
fracciones para facilitar cálculos como éste:
② Sustituye las figuras por los valores numéricos que se indican:
▉＝ ,▲＝ y ＝ . Haz las operaciones que resultan y
verifica que puedes usar las reglas , y .
El método de Hiroshi ▼
(　　　　　)1
＝
＝

2
6
7
2
3
2
7
2
3
16
27
＝
＝
32
73
3

7
2
3
3
1
1
1
El método de Yuko ▼
( )1
＝
＝

2
6
7
2
3
2
7
1
2
62
73
＝
＝
14
27
1

2
4
7
2
1
2
1
1
2
2
3
2
7
162
273
6
7
＝＝
2　　 1
1　　　　　1
2
3
3
4
6
7
2
＝
＝

3
7
4
3
＝
＝

4
5
9
① ② ③ ④ 4　　
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 12
1

4
1
3
2

3
3
5

3
7
2
5
2
7
5
6
5

6
5
9
7
10
5
14
5
14
11
12
9
20
① ② ③ ④ 12
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
5

6
2
5
3

5

1
6
3
4
7
8
2

3
4
9
3
5
5
6
2
3
9
10
4
15
9
10
5
14
█▲＝▲█
(█▲) ＝█(▲)
(█＋▲) ＝█＋▲
(█－▲) ＝█－▲
5
4
3
2
1

2524
Septiembre 10 Septiembre 13
Encestados 7 6
Intentos 14 10
① ② ③ ④ 15
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 8
En una parcela se pueden cosechar Kg de arroz por metro cuadrado.
¿Cuántos Kg de arroz podemos obtener de una parcela de m2
?
7

8
4
5
1

3
1
4

2
3
7
9
5

8
5
6
4
7
5
8
Una jardinera rectangular tiene un área de
m2
y mide m de largo, ¿cuántos metros
mide de ancho?
7
8
3
4
Calcula el área de la jardinera triangular que
se muestra a la derecha.
C
• Escribe en el números del 2 al 9 para construir las operaciones que se indican a continuación.
Hagamos varios problemas para calcular
① Operaciones cuyo resultado sea 1
② Operaciones cuyo resultado sea 2
C
C

9
14
5
12
4
15
10
13
4
15
12
13
•　Multiplicar y dividir con fracciones.
• Construir expresiones matemáticas donde se usen fracciones.
• Aplicar la fórmula para el área usando fracciones.
• Realizar cálculos con números enteros y fracciones.
■ Ir a la página 93
La siguiente figura muestra un arreglo
que se hizo con canicas.
① Encuentra la razón entre el número de
canicas negras y el total de las canicas.
Razón
En la siguiente tabla se muestra el número
de intentos que hizo Kazuco para encestar el
balón. ¿Cuándo logró su mejor resultado?,
¿el 10 o el 13 de septiembre?
2
Cantidad a
comparar
＝
② Encuentra la razón entre el número de canicas blancas y el total de las canicas.
Septiembre 10
Septiembre 13
＝
＝
＝
El número de canicas negras es la
“cantidad a comparar” y el número total de
canicas es la “cantidad de referencia”
Compara los resultados calculando la razón del
número de intentos en cada día.
Problemas que
involucran fracciones
Cantidad de
referencia
1
2
m
4
5
m
3
4
m
1
2
3
4
■ Ir abajo
1

2726
Razones y fracciones
En una práctica de beisbol, Yukiko y sus amigas
compararon la distancia a la que pueden lanzar
una pelota. La distancia promedio fue 18 metros.
① La distancia que logró Yukiko fue 24 metros. ¿Cuántas veces es esta
distancia comparada con el promedio? ¿Cómo podemos expresar esto
mediante una fracción?
2
② Hiroko logró una distancia de 15 metros. ¿Qué parte del promedio
es 15 metros?
24 18
Una razón puede expresarse mediante una fracción.
0 1
Promedio
Lanzamiento
de Yukiko
Proporción
（# de veces）
0 1(# de veces）
Promedio
Lanzamiento
de Hiroko
Razón
① 15 m es veces 9 m ② 35　Kg es veces 42　Kg.
Escribe en los las fracciones que faltan.
＝
Observa la longitud de estos puentes.1
① ¿Cuántas veces es más largo el puente Sakura que el puente Nakagawa?
② Calcula la razón entre las longitudes del puente Nakagawa y del
puente Sakura.
20C
50C
0 1 2 3（múltiplo）
Puente Nakagawa
Puente Sakura
Cuando comparamos dos cantidades, algunas veces tomamos a una de
ellas como “cantidad de referencia”. En ese caso estamos calculando la
razón entre esas cantidades. Cuando esta razón es mayor que 1, la razón
nos indica cuántas veces una cantidad es mayor que la otra.
0 0.5 1(múltiplo）
20C
50C
Puente Nakagawa
Puente Sakura
Razón
50 20 ＝
Razones y “número de veces”Razones y “número de veces”
Cantidad a
comparar
20m
18　m
18　m
15　m
24　m
20　m
50m
50　m
Cantidad de
referencia
Número
de veces
Cantidad a
comparar
Cantidad de
referencia
Número
de veces

2928
1
Calcula el área de las hojas de
distintas plantas utilizando el
método que usaste en .
2
1
1cm
1cm
Takeshi y sus amigos también lanzaron pelotas de beisbol obteniendo una
distancia promedio de 30 metros. La distancia que logró Takeshi fue veces
la distancia promedio. ¿De cuántos metros fue el lanzamiento de Takeshi?
3
El profesor lanzó la pelota a una distancia de 56 metros. El lanzamiento fue veces
la distancia promedio entre todos los profesores. ¿Cuántos metros fue el promedio?
4
Escribe una expresión matemática para obtener la distancia promedio.
7
6
7
6 ＝56
＝56

7
6
Razón
＝
① veces 5 Kg es Kg. ② veces Kg es 50　Kg.
Escribe en los los números que faltan. .
Distancia
(m)
30 6 ?
Razón
(#　de　veces) ( )
5
5
1
5
7
5
Distancia
(m)
? 8 56
Razón
(#　de　veces)
1
6
7
6
6
5
5
6
1
( )
6
6
1
① ¿Cuántas unidades cuadradas
contiene el área marcada?
Calcula la superficie del terreno
considerando que el área de
cada una de las unidades
cuadradas es 100 m2
.
② Calcula el área del terreno
aproximando su superficie con
la de un triángulo.
¿Cuál es el área del terreno
bordeado por el río? Analiza
la figura.
10
10 m
m
50
40 m
m
Cantidad a
comparar
7
5
Área aproximada
30　m
56　m
m
m
Cantidad de
referencia
0 1
Promedio
lanzamiento
de Takeshi
Razón
（# de veces）
1
5
7
5
0 1
Promedio
Lanzamiento
del Profesor
Proporción
1
6
（ # de veces）
7
6

3130
A continuación se muestran unas tarjetas de forma rectangular.1
Razones
① Mide el largo y ancho de cada una de las tarjetas.
Calculemos el área de lagos y otras superficies como las que vemos
en los mapas.
3
③ Calcula el área de otros lagos de la localidad en la que vives utilizando
un mapa.
② Ahora, considera que el lago Ikeda tiene forma circular y calcula el
área aproximada. Después considéralo como un trapezoide y calcula
nuevamente la superficie.
¿Cuál de las aproximaciones es más cercana al área real?
① La fotografía es del lago Ikeda, en la ciudad de Ibusuki, ubicada en la
Prefectura de Kagoshima. Calcula el área del lago con el método que
aplicaste en el inciso ① de la sección .
Busca el área del lago en una enciclopedia o en Internet y
compárala con tu resultado.
1
1 Km
Km
2 Km
3
2
Km
Km
Km
5
1
Razones y proporciones
Los peces en
y parecen
iguales.
1

32 33
largo 2 cm, ancho 3　cm.
largo cm, ancho cm.
largo cm, ancho cm.
largo cm, ancho cm.
largo cm, ancho cm.
La razón entre el largo y ancho se expresa .
se lee “dos tercios”, “dos entre 3” o “dos es a tres”.
Si una razón es equivalente a otra, por ejemplo , esta
equivalencia se expresa como = .
Esta expresión se lee “2 es a 3 como 4 es a 6”. A esta
igualdad se le llama proporción.
① ②
En cada uno de los siguientes incisos se muestran sustancias que se mezclarán.
2 Razones equivalentes
Observa las medidas del siguiente
rectángulo.
① Escribe la razón entre el largo y el
ancho de ese rectángulo.
1
② ¿Cómo expresamos la razón entre el largo y el ancho de los lados de un rectángulo?
③ Expresa la razón entre el largo y el ancho de cada uno de los rectángulos.
Si encuentras dos razones equivalentes exprésalas como una proporción.
¿Qué notas en las imágenes de las tarjetas cuyas razones entre sus lados
son equivalentes?
agua 80P salsa 40P 10P 15P
Vinagre aceite salado
② El largo y el ancho del rectángulo se
han dividido en partes iguales. Escribe
la razón entre el largo y el ancho con-
siderando como unidad el número de
partes iguales.
ⓐ Ahora dividamos el largo y el ancho en segmentos de 2 cm.
Largo: 4　segmentos Ancho: … secciones.
La razón entre el largo y el ancho es:
ⓑ Ahora dividamos el largo y el
ancho en segmentos de 4 cm.
La razón entre el largo y el ancho es:
es a
Largo: 2 partes Ancho: partes.Añadimos 4 vasos de agua a un recipiente que contiene una bebida concentrada de
ácido láctico. Expresa la razón entre la cantidad de agua vertida y la del ácido láctico.
2
agua bebida concentrada
de ácido láctico
B
B
¡Las tres razones anteriores son equivalentes porque se
trata del mismo rectángulo!
En este caso la proporción es: =
4
partes
partes
partes
2
partes
2
32
3 4
62
3
4
6
Agua　80 ml Salsa　40 ml 10 ml 15 ml
8
4
8
12
4
6
12　cm
8　cm

3534
Observa los rectángulos , y .2
BBB
B
B
B
Una razón a / b no se altera si multiplicamos a y b por el
mismo número o si los dividimos entre el mismo número.
¿Cuántos ml de agua y de jugo concentrado necesitamos para preparar
una bebida para 3 alumnos? Considera que una
porción individual se prepara con 120 ml de
agua y 30 ml de jugo concentrado.
3
para un alumno
para dos alumnos
para tres alumnos
Para preparar 4 pastelillos se necesitan 200 gramos de harina y 150
gramos de leche. ¿Cuántos gramos de harina y de leche son necesarios
para preparar 2 pastelillos?
4
para 4 pastelillos
para 2 pastelillos
①
③
②
④
Escribe los números que faltan en los .1
Dibujamos un rectángulo en el que la razón entre largo y ancho es . Si dibujamos otro
rectángulo cuyo largo mide 12 cm, ¿cuántos cm debe medir de ancho?
2
② Dado que las razones en y son iguales, podemos afirmar que:
Afirmamos esto porque:

① Encuentra la razón entre el largo y el ancho en cada uno de los rectángulos.
③ Dado que las razones entre el largo y el ancho en y son iguales,
podemos afirmar que:
Encuentra cuáles de las siguientes razones son equivalentes a .
① ② ③ ④ ⑤
Construye tres razones equivalentes a .
1
2
Para conservar el sabor
en los pastelillos es
necesario usar la misma
razón entre los ingredientes,
¿de acuerdo?
Para preparar
bebidas iguales, las
razones deben ser
equivalentes.
3 cm
2 cm
4 cm
8 cm
6 cm 12 cm
6
2
4
6
2
3 ＝
2
3
8
12 ＝
4
6
2
3 2
3
4
6
＝
＝
＝(3 x )
(2 x )

2
3
8
12
＝
＝
(12 )

8
12
2
3
＝

( 8 )
3
1
6
9
6
3
6
2
1
3
13
10
9
3

120
30
＝

200
150
＝
＝

2
3
1
2
3
＝
4 100
5
＝
12 3
5
＝ 4
5
20

3736
C
C
2
1
Calculemos la altura de un árbol a partir de la longitud de su sombra.
① En el triángulo ABC, elegimos el punto E sobre el lado BC y trazamos
el triángulo rectángulo BDE. Completa las siguientes razones y verifica
si son equivalentes midiendo la longitud de los segmentos.
5
Usa los datos del problema del inciso ② para calcular la altura de un árbol que
proyecta una sombra de 15 m de largo.
Obtén las siguientes razones.
Encuentra tres razones equivalentes a .
Escribe los números correctos en los .
página 32
La razón entre la longitud de los lados de los cuadrados de abajo es .
¿Cuántos cm mide por lado el cuadrado grande si la longitud del lado del cuadrado
chico es 12 cm? página 36
Dibuja un triángulo en el que la razón entre el largo y ancho sea .
Si el ancho mide 18 cm, ¿cuántos cm debe medir el largo?
página 35
páginas 34 - 35
páginas 33 - 34
Aceite salado Vinagre
B
B＝
Escribe una expresión matemática para obtener
razones equivalentes. Considera que la altura del
árbol es m y luego escribe en cada recuadro
los números que faltan.
① La razón entre la cantidad de aceite
salado y vinagre.
② La razón entre la longitud de los lados
AB y AC de este triángulo.
B
B
C
C
② Un árbol que mide 2 metros de altura proyecta una sombra de 3 metros
de largo. A la misma hora, otro árbol proyecta una
sombra que mide 12 metros. ¿Cuántos metros
mide la altura de ese árbol?
DE
EB
＝
AC
CB
B
E C
A
D
3 m
12 m
2 m
m

2
3 12
＝
4
12
8
50 ml 50 ml 50 ml
CB
A
16 cm
8 cm
12 cm
cm
①
③
②
④
＝
3
5 10
＝
7 35
4
＝
80 5
8
＝ 5
3
125
2
3
4
5
1
2
3
4
5

3938
Para cocinar sekihan para 4 personas se utilizan 400 gramos de arroz y 40
gramos de ejotes. (Sekihan es arroz con ejotes rojos).
① ¿Cuántos gramos de arroz y ejotes se necesitan para cocinar sekihan para
2 personas?
② ¿Cuántos gramos de arroz y ejotes se necesitan para cocinar sekihan para
8 personas?
③ Si tenemos 600 gramos de arroz y usamos la receta para preparar 4 porciones,
¿cuántos gramos de ejotes necesitamos para cocinar sekihan?
En la urna de la derecha, la razón entre canicas rojas
y las blancas es . Si hay 28 canicas blancas, ¿cuántas
canicas rojas debe haber?
Se sobreponen dos triángulos haciendo coincidir su
ángulo recto (como se muestra en la figura).
Calcula la longitud del lado DE.
Escribe los números correctos en los .3
• Aplicar el concepto de razones equivalentes.
• Expresar la razón entre dos cantidades.
• Encontrar el valor faltante en dos razones equivalentes.
• Encontrar razones equivalentes a partir de un diagrama.
• En el mapa se muestra una carretera que cruza
el mar en la prefectura de Okinawa. El mapa
está trazado en una razón (o escala) de
. Esto significa que el tamaño
real es 50,000 veces la longitud indicada
en el mapa.
① ¿A cuántos cm equivalen 5 Km en el mapa?
② ¿Cuál es la distancia real, en Km, entre el
punto A y el punto B en este mapa?
③ Calcula la longitud real de las secciones CD,
EF y GH de la carretera.
Carretera sobre el mar.
(Ciudad de Uruma en la Prefectura de Okinawa)
E
F
C
D
A
B
V
H
Cálculo de longitudes
reales usando
proporciones.
3
4
①
③
②
④
＝
5
8 200
＝
180 6
150
＝
100 10
7
＝ 3
2
60
12 cm
2 cm
4 cm
B
E
C
A
D
1
50,000
2
1
4
■ Ir a la página 39 ■ Ir a la página 97

4140
Un tramo de 5 metros de manguera de hule cuesta 1400 yenes.
① ¿Cuánto cuesta 1 metro de manguera?
② ¿Cuánto cuestan 7 metros de manguera?
¿Qué viaja más rápido, un avión a 900 Km
por hora o el sonido a 340 m por segundo?
Compara la velocidad en Km por hora y
metros por segundo.
De las siguientes fracciones elige dos, de manera que al restar
una de la otra te dé el mismo resultado que obtienes si las multiplicas.
① ② ③
④
2

7
⑤ ⑥
9

22
6
11
5

6
20
9
3
5
5

8
2
3
8

9
15
16
5

21
7
4
3
3
4
2
3
2
5
1
5
① ¿Cuántos Kg pesan l de arroz?
② ¿Cuántos Kg pesan l de arroz?
Dibuja un rectángulo en el que la razón entre el largo y ancho sea .
① Si el largo mide 8 cm, el ancho debe medir cm.
② Si el ancho mide 12 cm, el largo debe medir cm.
③ Si el ancho mide 24 cm, el largo debe medir cm.
En una competencia, Hitoshi saltó 320 cm, Miyuki
saltó 240 cm y Junichi saltó veces la longitud del
salto de Hitoshi.
① ¿Cuántas veces más largo fue el salto de Hitoshi que
el de Miyuki?
② ¿Cuántos cm midió el salto de Junichi?
Escribe los números correctos en los .
Si recortamos una cinta de 12 metros en trozos de m,
¿cuántos trozos tendremos?
14
5
4
5
4
5
9
8
4
3
－＝
Un litro de arroz pesa Kg. 85
6
②① ＝
12
36
＝
18 3
42 18
＝
1
1
2
Realiza las siguientes operaciones.3
4
5
6
7
8
9
6
6
8
8
8
10
10

4342
Unos alumnos recolectaron papel usado de la fotocopiadora para utilizarlo en
otras actividades. ¿Cómo puedes contar el número de hojas que han reunido?
Encuentra las dos cantidades que cambian juntas en las siguientes situaciones.1
(1) Cuando construimos
rectángulos con 24 m
de cuerda.
(2) Cuando vertemos agua en una botella
como se muestra en la figura.
(3) Cuando cortamos una cuerda en trozos.
(4) Cuando un automóvil se desplaza a 40 Km por hora.
Veamos cómo podemos relacionar dos magnitudes que cambian
juntas.
① ¿Qué otra magnitud cambia cuando se incrementa el número de hojas?
11
Variaciónproporcionaldirecta
Al recortar una vez, hay dos
trozos. Cuando cortamos
dos veces …
Primero el nivel del
agua se incrementa
lentamente, pero después
mucho más rápido.
Puedes hacer
muchos cuadrados y
rectángulos, anchos
o angostos.
Cuando recorremos en
automóvil una distancia
grande a la misma
velocidad.
¿Cómo podemos
contar el número
de hojas?
¡Contando hoja
por hoja nos
llevará mucho
tiempo!
Cuando se incrementa
el número de hojas
aumenta la altura de la
pila de papel.
Cuando aumenta el
número de hojas no
puedo sostener la pila con
mis manos.

4544
① Mide el peso de 10, 20, 30, 40 y 50 hojas. Registra esos datos en la
siguiente tabla.
② Piensa cómo calcular el número de hojas de papel a partir de los
resultados del experimento.
Indaga la relación que hay entre la cantidad de papel y su peso para encontrar el
número de hojas de una pila de papel.
① Construye pilas de hojas de 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm y 5 cm. Anota los
resultados en la tabla de abajo.
② Piensa cómo calcular el número de hojas de papel a partir del
experimento.
Observemos la relación que hay entre el número de hojas y el grosor de la
pila para encontrar cuántas hojas hay.
Número de hojas 10 20 30 40 50
Peso ( g )
Número de hojas
Grosor (cm) 1 2 3 4 5
Número de hojas y su peso Numero de hojas y grosor de la pila
Experimentemos Experimentemos
No es fácil contar
las hojas.
¿Cuántas hojas
de papel hay en
esta pila?
Podemos contarlas a
través del peso de la
pila, ¿de acuerdo?
Hay una relación directa entre el peso
del papel y el número de hojas,
porque la pila de papel pesa más al
aumentar el número de hojas.
¿Con qué más
podemos relacionar
el número de hojas?
La altura de la pila de papel se relaciona
directamente con el número de hojas de
papel… La altura aumenta cuando aumen-
tamos el número de hojas.
¿Podemos calcular
el número de hojas
con otro método?
Contemos cuántas hojas
hay en una pila de un
centímetro de altura.

4746
1 Proporcionalidad directa
Analiza la relación que hay entre el número de hojas de papel y su peso.1
① ¿Cómo cambia el peso de la pila de papel cuando el número de hojas
aumenta 2 veces, 3 veces, 4 veces y 5 veces?
② ¿Cuántos gramos pesará una pila de 90 hojas de papel?
Estudia la relación que hay entre el número de hojas de papel y el
grosor de cada pila.
2
Estudiemos otras magnitudes que cambian juntas.
① Completa la siguiente tabla.
3
① El grosor de la pila de papel se incrementa 2 veces, 3 veces, 4 veces y
5 veces. ¿Cómo aumenta el número de hojas de papel?
② ¿Cuántas hojas de papel hay en una pila cuya altura es 9 cm?
② De los casos anteriores, ¿en cuáles se presenta la misma relación que
vimos en y ?
③ ¿Cuántas hojas hay en una pila de papel que pesa 700 gramos?
La idea de Kenta
Como el número de hojas es 9 veces 10,
el peso también aumentará 9 veces.
709＝
0
0 9010
70
Número de hojas
Peso(g）
9veces
9veces
La idea de Mai
El peso de 90 hojas de papel es la suma del peso de 40 hojas y 50 hojas.
280＋350＝
1 2
Peso ( g ) 70 140 210 280 350
Número de hojas 105 210 315 420 525
Grosor (cm) 1 2 3 4 5
Número de hojas y su peso
Número de hojas y grosor de la pila
Longitud (m) 1 2 3 4 5
Peso (g) 20 40
Longitud y peso de un cable
Número de cortes 1 2 3 4 5
Número de trozos 2 3
Volumen de agua
(l)
1 2 3 4 5
Profundidad
(cm)
2 4
Volumen y profundidad del agua en un recipiente.
Cortes en una cinta y número de trozos.

4948
Aumenta en 1 Aumenta en 1
Aumenta en 2
Aumenta en 3 Aumenta en 4
Aumenta en Aumenta en Aumenta en
Podemos afirmar que cada vez que se vierte
un litro de agua en el tanque, la profundidad
se incrementa en cm.
1.5veces
2.5veces veces
veces
veces
veces
veces
veces
1
3 1
2
2 veces
4 veces
3 veces
2 veces
veces
veces
veces
veces
Estudiemos la relación que hay entre la longitud y el peso de un cable.
① Si la longitud del cable se incrementa en 2, 3, 4 veces y 5 veces, ¿cómo
varía el peso?
4
Cuando tenemos dos magnitudes en las que si aumenta
una también aumenta la otra, o si disminuye una también
disminuye la otra, se dice que esas magnitudes varían en
forma directamente proporcional.
Por ejemplo, si una aumenta o disminuye 2, 3, 4 veces, la
otra cambia de la misma manera.
② Si el peso de un objeto es directamente proporcional a su longitud,
¿cómo cambiará su peso si su longitud aumenta 1.5 y 2.5 veces?
③ Si el peso de un objeto es directamente proporcional a su longitud,
¿cómo cambia su peso cuando su longitud disminuye a y
de su tamaño original?
1
2
1
3
Algo más sobre proporcionalidad directa
La siguiente tabla muestra la relación entre
el volumen de agua y la profundidad al llenar
un tanque.
5
① ¿Podemos afirmar que la profundidad y el volumen de agua en el tanque
varían en forma directamente proporcional?
② Observa cómo aumenta la profundidad cuando el volumen se incrementa
en un litro. ¿Cuántos cm aumenta la profundidad?
Longitud (m) 1 2 3 4 5 6 7 8
Peso (g) 20 40 60 80 100 120 140 160
Longitud (m) 2 3 5 6 18
Peso (g) 40 60 100 120 360
9
180
Volumen de agua (l) 0 1 2 3 5 8 11 15 17
Profundidad
(cm)
0 2 4 6 10 16 22 30 34
Volumen y profundidad del agua en el tanque
Volumen de agua (l) 0 1 2 5 8 11 15 17
Profundidad
(cm)
0 2 4 10 16 22 30 34

5150
③ Calculemos los valores del cociente
profundidad ÷ volumen con los datos de
la tabla en la página anterior.
④ Analiza en la tabla la relación entre el volumen y la profundidad del
agua en el tanque.
2÷1 ＝
4÷2 ＝
6÷3 ＝
ⓐ ¿Cuál es el significado del cociente “profundidad ÷ volumen”?
Compara los resultados del cociente “profundidad ÷ volumen” con
la afirmación que hicimos en la página anterior acerca del incremento
del agua en el tanque.
Profundidad de un litro (cm) Profundidad del agua (cm)Volumen del agua (l)
2
2
2
2
2
2
0
1
2
3
4
5
0
2
4
6
8
10
×
×
×
×
×
×
＝
＝
＝
＝
＝
＝
× ＝Volumen del agua Profundidad del agua
Cantidad variable Cantidad variable
⑤ Usa la expresión matemática anterior para calcular la profundidad que
corresponde a 10 y 20 litros de agua.
Estudia la relación entre la longitud y el peso de un cable y represéntala
mediante una expresión matemática.
6
① Usa los datos de la tabla anterior para calcular los valores del cociente
“peso ÷ longitud”
② Describe la relación entre la longitud y el peso del cable mediante una
expresión matemática. Puedes usar tus propias palabras.
③ ¿Cuánto pesan 8 metros de cable?
×longitud ＝
Longitud (m) 0 1 2 3 4 6
Peso (g) 0 20 40 60 80 120
5
100
Describe mediante una expresión matemática la relación entre las siguientes
cantidades.
Tiempo (horas) 1 2 3 4 5
Distancia (Km) 40 80 120 160 200
6
240
Longitud (m) 1 2 3 4 5
Costo (yenes) 150 300 450 600 750
6
900
Tiempo y distancia cuando la velocidad es 40 Km por hora
Longitud y costo de una cinta
Peso (g) 7 14 21 28 35
6
42
Número de hojas de papel y su peso
Cantidad constante
②
③
①

5352
Gráficas de proporcionalidad directa
Construyamos la gráfica que representa la relación entre el volumen y
la profundidad del agua en el tanque.
1
① Usa los datos de la
tabla anterior para
marcar en la gráfica
los puntos que
corresponden a cada
pareja de números.
② ¿Qué forma sugieren los
puntos de la gráfica?
¿Podemos unir los
puntos con una
línea recta?
Cada punto
está en la
parte más
alta de cada
barra.
③ Completa la siguiente tabla y marca en la gráfica los puntos que
corresponden a cada pareja de números (volumen y profundidad).
0 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
Volumen
Profundidad
④ ¿Podemos unir todos los
puntos de la gráfica con
una línea recta?
La gráfica de una relación directamente proporcional es una
línea recta pasa por el punto (0,0), este punto es donde se
cruzan el eje vertical y el horizontal.
Volumen de agua 0 1 2 3 4 5
Profundidad (cm) 0 2 4 6 8 10
Volumen y profundidad del agua(cm)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Profundidad
1 2 3 4 5 ( l)
Volumen del agua
Volumen de agua (l) 0 0.1 0.2 0.5 1 3.9
Profundidad (cm) 0 2
2.4
O O O
Volumenyprofundidaddelaguaeneltanque
Dicho con palabras
es “2 x volumen =
profundidad” ,
¿de acuerdo?
Podemos expresar el
volumen usando
unidades y números tan
pequeños como sea
necesario.
( l)
(cm)
2

5554
La siguiente gráfica muestra la relación entre la longitud y el peso
para los tipos de cable y .
2
① ¿Cuál de los cables
es más pesado?
¿Qué debemos obser-
var en la gráfica para
responder esta
pregunta?
② Encuentra en la grá-
fica los datos que se
indican en cada caso.
El peso de 2.4
metros de cada tipo
de cable.
La longitud de
cada cable cuando su
peso es 48 gramos.
③ ¿Cuánto pesa un
metro de cada tipo
de cable?
④ A qué tipo de cable, ó corresponden estos datos?
ⓐ 3.8 metros de cable pesan 114 gramos.
ⓑ El peso de 4.2 metros de cable es 168 gramos.
3 Aplicaciones de la proporcionalidad directa
La siguiente tabla muestra la relación entre el volumen
de un jugo enlatado y su contenido de azúcar.
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.5 1 1.5
Longitud
Peso
2 2.5 3(m)
(g)
Longitud y peso de los cables
① ¿El peso del azúcar es directamente proporcional al volumen del jugo?
② ¿Cuántos gramos de azúcar hay en 250 mililitros de jugo?
Idea de Yoshio ▼
Como 250 ml es 5 veces 50 ml,
el peso del azúcar será 5 veces el
que hay en 50 ml.
Idea de Yasuko ▼
Podemos obtener la respuesta si
conocemos cuanta azúcar hay en
1 ml de jugo.
0
0 15010050
6 12 18
2501
Jugo
Azúcar
5 veces
veces
veces
veces
Calcula la respuesta con el método de Yoshio.
Obtén la respuesta usando esta expresión matemática que relaciona el
volumen del jugo y su contenido de azúcar.
× volumen del jugo ＝ peso del azúcar
③ ¿Cuántos gramos de azúcar hay en 180 mililitros de jugo?
Jugo (ml) 0 1 50 100 250
Azúcar (g) 0 6 12
Volumen de jugo y contenido de azúcar
150 180
18
El peso de un cubito
de azúcar es de 3 g,
¡Este jugo contiene
demasiada azúcar!
(ml)
(g)

Longitud (m)
Costo (yenes)
Longitud (cm)
Peso (g)
5756
1 2 3 4 5
600
500
400
300
200
100
0
（yen）
（C）
Longitud
Costo
Completa la siguiente tabla. página 47
Expresa la relación matemática entre estas cantidades usando tus propias
palabras.
①
②
Un metro de listón cuesta 80 yenes.
① Resume la relación entre la longitud y
el costo del listón en la siguiente tabla.
3
② Expresa con tus propias palabras la
relación matemática que hay entre la
longitud del listón y su costo.
③ Construye una gráfica que represente la
relación entre la longitud y el costo del listón.
página 51
páginas 52-53
Un metro de cierto listón cuesta 150 yenes.
① Calcula el costo para 1, 2, 3, 4, 5 y 6 metros de listón. Resume tus resultados
en la siguiente tabla.
② ¿El costo del listón es directamente
proporcional a su longitud?
③ Expresa con tus propias palabras la
relación matemática que hay entre la
longitud y el costo del listón.
④ Construye una gráfica que
represente la relación entre la
longitud y el costo del listón.
1 2 3 4 5 6
600
700
800
900
1000
500
400
300
200
100
0
（yen）
Longitud
Costo
（C）
① ¿El peso de los clavos es directamente proporcional al número de ellos?
② Encuentra los valores de , y en la tabla anterior.
③ Haz una gráfica que represente la relación entre el número de clavos y su peso.
Encuentra a cuántos clavos corresponde un peso de 240 gramos.
La siguiente tabla muestra la relación entre el número de clavos y su peso.2
Número 1 2 3 4 5
Costo (yenes) 50 100
Número y costo de los lápices
Tiempo
(horas)
1 2 3 4 5
Distancia (Km) 4 8
Tiempo y distancia recorrida
0 1 2 3 6
0 3 6 9 18
4 5
12 15
Longitud (cm) 0 1 2 3 4 5
Costo (yenes) 0 80
0 1 2 3 6
0 150
Longitud y costo del listón
4 5
…
• Expresar relaciones numéricas en una tabla.
・Entender el concepto de proporcionalidad directa.
・Expresar con palabras una relación matemática.
・Construir gráficas que representen relaciones.
• Resolver problemas de proporcionalidad directa.
Número de clavos 0 1 50 100 250
Peso de los clavos 0 300 600
150 200
900
(yenes)
(yenes)
(m)
(m)
2
1 1

Hay varias teorías acerca del tiempo en el que aumentará el nivel del mar.
Considera las tres predicciones siguientes y usa el concepto de proporcionalidad
directa para trazar una gráfica que permita pronosticar cuántos centímetros se
elevará el nivel actual de los océanos dentro de algunos años.
1
¿En cuántos años quedarán bajo
el agua los lugares que actualmente
están a 50 cm sobre el nivel del mar?
2
• Se prevé que el calentamiento global tendrá un impacto significativo en nuestras
vidas. Por ejemplo, al derretirse el hielo en los polos se elevará el nivel del mar,
lo cual reducirá la superficie de la tierra que las personas pueden habitar.
El nivel del mar se ha elevado 12 cm en los últimos 100 años y continuará
elevándose en esta proporción cada 100 años.
El nivel del mar se elevará 4 cm cada 10 años.
El nivel del mar se elevará 6 cm cada 10 años.
0
50
100
50 100
Predicciones sobre el aumento del nivel del mar(cm)
(año)
• Diariamente gastamos mucha agua y energía eléctrica en la escuela. Analicemos la
cantidad de energía y los sobrantes de alimentos y otras cosas más.
(Isla Funafuti en Tuvalu)
Valora lo que usas en la escuela
5958
Yo investigaré el consumo
de energía eléctrica.
Yo investigaré
el consumo de
agua.
Yo investigaré
el consumo de gas.
Hay muchos niños en el mundo
que carecen de alimentos. Yo
quiero investigar cuánta comida
se desperdicia en los almuerzos
escolares.
Pronósticos del
clima global

6160
La siguiente tabla muestra el volumen de agua que se consume en la
escuela. La lectura de abril indica el volumen de agua que se usó hasta
finalizar marzo, la de mayo el volumen que se usó hasta finalizar abril.
Consumo　de　agua　en　la　escuela
①　Si en la escuela hay 504 alumnos, calcula el consumo por
alumno en cada mes.
Abril m3
m3
m3
Julio m3
m3
Agosto
Mayo Junio
② ¿Qué muestra esta tabla?
Se gasta más agua en junio y julio porque inicia la temporada de
calor y se usa la alberca.
En agosto se usa menos agua porque son las vacaciones
de verano.
La siguiente información fue proporcionada por la
subdirección de la escuela y corresponde a los almuerzos del mes de abril.
Desperdicio de alimentos en la escuela
Menú
Sardinas cocidas
Frijol de soya
Arroz y cebada
Pescado frito
Espinacas con fideos y ajonjolí
Porcentaje consumido
100
99.0
93.8
90.4
77.2
Lectura　del　mes
anterior　(m3
)
Lectura　del　mes
actual　(m3
)
Consumo　de　agua　
por　mes　(m3
)
Abril 2354 3098
Mayo 3098 3752
Junio 3752 4890
Julio 4890 6243
Agosto 6243 6736
(m3
)
Completa　　en　la　siguiente　tabla　el　registro　del　consumo　mensual　de　agua
en　la　escuela.
Kenta investigó el desperdicio de comida durante el almuerzo escolar.
Escribe los números correctos en los de la siguiente página.

es 9 veces .es veces de .
6362
Los porcentajes en la tabla de la página anterior se calcularon como
se muestra a continuación:
(Peso total – Peso de los sobrantes) ÷ Peso total x 100
Con esos datos no podemos calcular cuánto alimento de cada
tipo se ha desperdiciado. Por lo que hemos calculado el peso del
desperdicio como sigue:
• Si la porción de arroz y cebada para cada alumno es 150 gramos,
para 504 alumnos el peso total es g.
El porcentaje de desperdicio es %.
El peso de los desperdicios es g.
Esta cantidad alcanza para aproximadamente alumnos.
Información que nos proporcionan estos datos
Pensábamos que alumnos consumían casi totalmente sus alimentos.
Nos sorprendimos al ver la cantidad de desperdicio.
Necesitamos ser cuidadosos con los alimentos que nos dan.
Una solución es usar el desperdicio para abonar las plantas o
alimentar a los animales.
Números y sus operaciones
Trata de resolver los siguientes problemas aplicando lo que has aprendido en los 6 años de la
primaria. Después de obtener las respuestas compáralas con las correctas en la sección
correspondiente de este libro. Si tuviste errores intenta resolverlos nuevamente.
Repasemos lo aprendido sobre los números enteros y los decimales.
① ¿Qué valores representan los dígitos 3, 5 y 7 en los siguientes números?
35,700 3,050,070
35.07 3.057
② ¿Cuántas veces debes repetir el número que está entre paréntesis para
formar las cantidades que se indican?
23,000 (100) 23,000 (1000)
2.3 (0.1) 2.3 (0.01)
1
Resumen de las fracciones
① Indica qué fracción es la mayor en cada una de las siguientes parejas.
2
② Escribe los números correctos en los .
3
，
2
5 5
3
，
6
115
2
，
2
5 7
13
5 5
9
7
40
grado
50
, 60
grado
En Japón hay 7,600,000 niños, si todos reciben 150 g de arroz y cebada y se
desperdicia el porcentaje que vimos, ¿a cuántos niños se podría alimentar si no
hubiera desperdicio?
Resumen
50
grado

Repaso de las operaciones.
① Realiza las siguientes operaciones.
4＋2×6−3 （4＋2）× 6−3 4＋2×(6−3)
4.2＋1.5 4.2−1.5 4.2×1.5 4.2÷1.5
6564
③ Expresa las siguientes fracciones impropias como números mixtos.
② Ordena los siguientes 5 números en orden desde el menor al mayor.
40
grado
40
, 50
, 60
grado
3 13
52
7
4
8
3
Resumen de la relación entre los números enteros, los decimales y las
fracciones.
① Expresa los números enteros y los decimales como fracciones, y las
fracciones como números decimales.
3
Repaso de las propiedades de los números enteros.
① Encuentra todos los números enteros que sólo tienen 3 divisores y son
menores que 50.
② Encuentra el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de las
siguientes parejas de números.
(12，18) ( 8，16)
5
4
4 0.7 3.08 13
25
1
3
4
0.41
2
5
1
3
7
15 0.3，，，，
2
＋
1
35
2
−
1
35
2
×
1
35
2
÷
1
35
50
grado
60
grado
Cantidad y medida
Repaso de las unidades de medida.
① Escribe en el las unidades que corresponden.
El área de la cubierta de un libro es de aproximadamente 470 .
La capacidad de un envase individual de leche es
aproximadamente 200 .
Un huevo de gallina pesa aproximadamente 50 .
El río más largo en Japón es el Shinano y mide aproximadamente
367 .
1
②　Responde las siguientes preguntas.
¿Cuántos metros le faltan por recorrer a Hiroko para alcanzar 2 Km
si ya caminó 1.6 Km?
¿De cuántos m2
es el área de una jardinera rectangular que mide
1 metro de ancho por 3 metros de largo? ¿A cuantos cm2
equivale?
Hay 4 botellas de agua con una capacidad de 500 ml cada una.
¿Cuántos litros de agua hay en total? ¿Cuántos decilitros son?
Repaso sobre el cálculo de áreas.
① Escribe la fórmula para calcular el área de las siguientes figuras.
Área de un rectángulo =
Área de un cuadrado =
Área de un paralelogramo =
Área de un triángulo =
Área de un círculo =
2 40
,50
grado
30
, 40
grado
×
×
×
× ÷
××
② Dibuja dos figuras cuya área mida 20 cm2
.

12 cm
10 cm
20 cm
15 cm12 cm
15B
12B12B
10 cm
8B8 cm
5cm
10 cm
10 cm
15 cm
12 cm
6 cm
2.3 cm
20B
4cm
3 cm
4.6cm
20cm
① Calcula el área de las regiones sombreadas.
6766
Hagamos un resumen de cómo calcular volúmenes.
① Escribe las fórmulas para calcular el volumen de un prisma rectangular
y de un cubo.
② Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.
3 60
grado
Figuras
Repasemos las propiedades de las figuras.
① De la siguiente lista, elige todas las propiedades que se puedan asociar
a un paralelogramo, a un rombo, a un rectángulo y a un cuadrado.
1
Tiene 2 lados paralelos.
Sus 4 ángulos son rectos.
Los 4 lados miden lo mismo.
Sus diagonales son perpendiculares.
La suma de cualesquiera dos de sus ángulos es 180 grados.
② Escribe los números que faltan en los .
Paralelogramo
50
grado
Repaso sobre el concepto de velocidad.
① Escribe la expresión matemática que relaciona la velocidad con la
distancia y el tiempo.
② Una persona quiere recorrer 8 Km durante una caminata. Si camina a una
velocidad de 4 Km por hora, a qué distancia estará de la meta en 1.5 horas?
4
Paralelogramo, Rombo, Rectángulo, Cuadrado
30
,50
grados
60
grado
Paralelogramo
Un hexágono formado por
6 triángulos equiláteros.

6968
① Considera el siguiente prisma rectangular.
¿Cuál de las caras es paralela a
la cara ABCD?
¿Cuál de los lados es paralelo
al lado AB?
60
grado
A
E
F
G
C
D
B H
Traza las siguientes figuras.
① Un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 centímetros respectivamente.
② Un paralelogramo cuyos lados adyacentes miden 6 cm y 8 cm.
El ángulo formado por ellos debe medir 60º.
③ Un rombo en el que uno de sus lados mide 5 cm y tiene un ángulo
de 30º.
2
3
3 cm 4 cm
2 cm
40
,50
grados
Relación entre cantidades
Repasemos cómo expresar las relaciones entre cantidades.
① ¿Qué tipo de gráfica es más útil para representar cada una de las
siguientes situaciones?
La distribución de las importaciones de acuerdo a su tipo y valor.
La variación en las exportaciones.
La producción de arroz en distintos países.
1
50
grado
18.3
14.1
1990 2000
58.4
26
16.5
13.3
59.4
29.6
Revistas
semanales
Libros
Total
Revistas
mensuales
（cien millones）
El Número de libros y revistas
② La siguiente tabla resume el porcentaje de libros y
revistas que se publicaron en
los años 1990 y 2000.
¿Cuál es el porcentaje total de revis-
tas que se publican mensualmente?
Usa los datos de la tabla para
construir una gráfica de barras y
anota tus observaciones.
③ Para preparar harina dulce de frijol de soya se necesitan 35 gramos
de harina 14 gramos de azúcar.
¿Cuánta harina dulce podemos hacer con 2 gramos de azúcar?
50
grado
60
grado
60
gradoDibuja el desarrollo plano para construir el
siguiente prisma rectangular.
Con los mismos datos del problema anterior, ¿cuántos gramos de
azúcar necesitamos para preparar 140 gramos de harina dulce?
＝
35
14 2

② Encuentra la relación matemática que hay entre las cantidades
registradas en las siguientes tablas.
De las relaciones que encontraste, ¿cuáles son directamente
proporcionales?
¿En cuál de ellas una de las cantidades decrece mientras la otra aumenta?
Construye la gráfica de las relaciones que son directamente
proporcionales.
60
grado
Juegos con la
calculadora
Ir a la página 72
¡Prueba tu suerte!
Ir a la página 87
Número de personas que reciben un tramo de cuerda. 2 3 4 6 8
Largo de cada tramo (m) 12 8 6 4 3
Largo de un cordón (m) 1 2 3 4 5
Peso del cordón (g) 8 16 24 32 40
¡Aquí encontrarás
historias y problemas para
resolver en grupo o
individualmente! Puedes
iniciar donde prefieras.
717171717171717171717171717171717170
Resuelve los siguientes problemas usando expresiones matemáticas y gráficas.
① ¿Cuánto miden la altura del triángulo y la base del paralelogramo?
2
20 cm2
68 cm2
8cm
8cm
50
grado
E
l mundo de la
s
marav
illas matem
áticas
Historia de las
matemáticas
Ir a la página 74
En busca de
regularidades
Ir a la página 85
Resolución
deproblemasusando
tablas
Ir a la página 83

7372
¿Qué tipo de número será el resultado?
78×77＝
78×777＝
78×7777＝
78×77777＝
78×777777＝
6×7＝
66×67＝
666×667＝
6666×6667＝
0×9＋1＝
1×9＋2＝
12×9＋3＝
123×9＋4＝
1234×9＋5＝
12345×9＋6＝
123456×9＋7＝
1234567×9＋8＝
1×1＝
11×11＝
111×111＝
1111×1111＝
11111×11111＝
1
4
Juegos con la calculadora
¿Qué pasará con
78×7777777?
¿Qué ocurre con
66666×66667?
¿Con qué operación
obtendremos
444444222222 ?
¡Podemos
obtener números
aún más grandes!
¡Hay muchas
operaciones que arrojan
resultados interesantes!
¿Qué observas en los
números que resultan de
estas multiplicaciones?
1
2
3

7574
En Japón medían las longitudes de las cosas usando como unidades partes
de su cuerpo.
Al ancho del pulgar se
le llamaba “sun” en
japonés.
Al ancho del puño se
llamaba “tsuka” en
japonés.
Al la distancia entre el pulgar y
el medio de una mano estirada se
le llamaba “ata” en japonés.
A la longitud de los brazos extendidos se le
llamaba “hiro”, un hiro es aproximadamente
la altura de la persona. El hiro se utilizaba
para medir la longitud de una cuerda y la
profundidad del agua.
A la distancia que abarcamos al
dar un paso con la pierna derecha y
uno con la pierna izquierda se le
llamaba “ho”; dos veces un ho es
aproximadamente 180 cm.
① ② ③
④ ⑤
Leibnitz
(Alemania 1646 ～1716)
En 1631, el inglés William Oughtred
publicó en un libro por primera vez
el símbolo “x”.
El matemático alemán Gottfried
Leibniz utilizó “·” en lugar de “x”
para no confundirlo con la letra equis
del alfabeto.
Origen de los símbolos matemáticos1
Historia de las matemáticas
El cuerpo humano como unidad de medida en la antigüedad2
La palabra “restar” proviene del término latino “minus”. Los
historiadores muestran que su representación gráfica cambió
como se muestra a continuación:
Otra teoría sobre el origen del símbolo de restar es que los
marineros marcaban los barriles con una línea horizontal
para indicar el nivel de agua contenida en ellos.
La palabra “más” proviene del latín “et”. Hace muchos años la
gente acostumbraba decir “2 et 3”.
Los documentos históricos indican que hace 1400 años se inició un
cambio en la escritura de “et” como se muestra en la siguiente figura.
−
×
×

7776
Hace muchos años el área se expresaba
en términos de la cantidad del producto
recolectado en la cosecha. A la superfi-
cie que se ocupaba para cultivar la
cantidad de arroz que un hombre
podía sostener entre sus brazos se le
llamaba “hitoshiro”, un hitoshiro
mide aproximadamente 20 m2
.
En Japón, en el año 701, se
estableció como norma expresar
el área de una superficie como
“largo por largo”. Con 6 “ho” de
largo y 60 ho de ancho se obtenía un tan. Tiempo después se estableció
que un tan es 5 ho x 60 ho, que es aproximadamente 1000 m2
.
En Inglaterra se le llamaba
“acre” al área que podía ser
cultivada con dos bueyes.
Hoy en día un acre es aproxi-
madamente 4000 m2
.
① Anota el tamaño de un Kyo Masu y un Furu Masu y calcula el
volumen de agua que pueden contener cada uno de ellos.
Desde China llegaron a Japón diversas vasijas para medir la cantidad de
granos o semillas, “Furu Masu”, “Kyo Masu” y “Edo Masu” estaban entre
algunas de esas vasijas, las cuales variaban de tamaño dependiendo de la
región en Japón. En el periodo Edo, se
asignó a Kyo Masu la categoría de
medida oficial.
Un Kyo Masu es 0.3 cm
más corto y 0.6 cm
más profundo que un
Furu Masu.
1 acre 京ますKyo masu
古ますFuru masu
15 cm
15 cm
14.7 cm
14.7 cm
8.1 cm
7.5 cm
Unidades de área que provienen de la agricultura3 Historia de recipientes y medidas4
1代
hitoshiro
60 歩
6歩

7978
56 56 4444
EdoKyo
480
Hermano mayor Hermano menor
Primer día Segundo día Primer díaSegundo día
Km Km Km
Km
Km
Durante el periodo Edo se desarrolló en Japón el sistema matemático
llamado “Wasan” (Matemáticas Japonesas). El ábaco llegó de China y en
Japón se publicó un libro que explicaba cómo usarlo. El ábaco se utilizaba
para hacer divisiones y posteriormente para resolver problemas cotidianos,
como calcular longitudes y áreas.
Posteriormente se pidió a personajes distinguidos que plantearan y
resolvieran problemas matemáticos para dedicarlos a santuarios, este
trabajo dio las bases para construir el “Sangaku” (cuadro matemático).
El matemático Takakazu Seki calculó la
razón entre la circunferencia y el diámetro
(pi) con 12 cifras decimales y realizó
grandes contribuciones al desarrollo del
Wasan. Mitsuyoshi Yoshida escribió el
libro “Jinkoki” basado en el Wasan.
Este libro fue muy popular y lo leyeron
muchas personas.
Este problema fue tomado del libro “Jinkoki”.
El siguiente problema apareció en otro libro japonés, las unidades
originales están expresadas en unidades actuales.
Cuatro personas van a recorrer 6 ri
con tres caballos, se turnan para mon-
tar el caballo. Si cada persona debe
recorrer la misma distancia a caballo,
¿qué distancia recorrerá cabalgando
cada uno?
1 ri es aproximadamente 4 Km.
② Inventa más problemas como éste y construye un “Sangaku” (cuadros
matemáticos).
▲Sangaku (Santuario Toengi)
▲Jinkoki
Matemáticas japonesas (Wasan)5
Había dos hermanos que trabajaban como mensajeros (hikyaku) viajando de
Edo a Kyo. La distancia entre estas dos poblaciones es 480 Km. El hermano
mayor podía recorrer 56 Km por día y el menor 44 Km. Si el hermano mayor
salió de Kyo rumbo a Edo al mismo tiempo que su hermano lo hacía de Edo
hacia Kyo, ¿cuántos días después se cruzarán en el camino?
Un hikyaku era un hombre que llevaba cartas en el
periodo Edo.
¿Cuántos kilómetros
se acercan uno al
otro cada día?
① Veamos cómo resolver el problema de los hikyaku.

8180
El matemático francés Blaise Pascal (siglo XVII) creó la frase
“un humano es un junco pensante”. Un junco es una planta que crece junto
a los ríos y se parece a la hierba de la pampa japonesa. Lo que Pascal
quería decir es que las personas somos criaturas frágiles como los juncos,
pero somos fuertes porque tenemos la capacidad de pensar. Otra más
de las muchas contribuciones de Pascal fue el triángulo que se muestra a
continuación, al que se le conoce como Triángulo de Pascal.
① ¿Qué regularidad observas en el orden de los números en este
triángulo? Escribe en los espacios en blanco los números que faltan.
② Observa la suma de cada renglón del triángulo de Pascal.
③ Usa el Triángulo de Pascal como referencia y completa la siguiente
tabla.
Encuentra una regla para construir los valores de la tabla.
Observa qué ocurre con la suma de los números cuando pasas
de un escalón al siguiente.
1 ＋＋4 6 ＋ 4 ＋ 1 ＝
1 ＋＋3 3 ＋ 1 ＝
1 ＋＋2 1 ＝
1 ＋ 1 ＝ 2
1
Triángulo de Pascal6
Escalón 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Suma 1 2 4 8 16
Si usamos flechas podemos des-
cubrir la estructura del triángulo de
Pascal como se muestra en la figura.
Explica por qué esta figura nos
permite encontrar la regla para
obtener los números que van en cada
escalón del Triángulo de Pascal.

8382
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11612056018204368800811440128701144080084368182056012016
151054551365300350056435643550053003136545510515
149136410012002300334323003200210013649114
137828671512871716171612877152867813
12662204957929247924952206612
11551653304624623301655511
10451202102522101204510
9368412612684369
828567056288
7213535217
61520156
510105
464
33
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
paso 15
paso 16
paso 17
④ Colorea todos los múltiplos de 5 en los 15 escalones del triángulo
de Pascal que se muestra a continuación.
⑤ A partir de lo que descubriste en el inciso ④, predice dónde estarán
ubicados los múltiplos de 5 en los escalones 18 y 19.
En un estanque hay cierto número de grullas y tortugas. En total hay 7
animales y 22 patas. ¿Cuántas grullas y cuántas tortugas hay?
Este tipo de problema se llama Tsurukamezan (problemas sobre grullas
y tortugas). Se cree que estos problemas fueron creados en China y llegaron
a Japón hace 360 años. En un principio se referían a gallinas y conejos
y hace 180 años fueron cambiados a grullas y tortugas; ambas especies
gozan de un largo periodo de vida.
Manzanas 0
Naranjas 10
Costo (yenes) 800 820
1
9
En la canasta hay 10 piezas de fruta; las
manzanas cuestan 100 yenes y las naranjas 80
yenes. El costo total de la fruta en la canasta es
920 yenes.
¿Cuántas manzanas y cuántas naranjas hay?
El número de grullas y tortugas1
Solving Problems with Tables
¿Puedes hacer lo
mismo para los
múltiplos de 2 y 3?
Resolución de problemas usando tablas

100
50
200
100
50
200
100
50
200
(cm2
)
(cm) (cm) (cm)
(cm2
) (cm2
)
B
B
8584
① Anota en las siguientes tablas cómo cambian las áreas de y de .
② Anota en la siguiente tabla cómo cambia la suma de + .
③ Expresemos gráficamente el cambio en las tres áreas.
¿Cuál gráfica corresponde a las tablas ⑴, ⑵ y ⑶?
Podemos formar triángulos equiláteros si acomodamos las fichas
como se muestra abajo.
El número de fichas en cada triángulo es 1, 3, 6, 10, 15, y así
sucesivamente. Construye más triángulos equiláteros como estos.
① Hay una regla que rige cómo va aumentando el número de fichas.
Analiza las figuras y descubre esa regla.
② Encuentra el número de fichas que forman los triángulos equiláteros
que van después del que tiene 15 y el que le sigue.
1，3，6，10，15，，
③ Si hay 10 fichas en la base
del triángulo, ¿cuántos fichas
hay en total?
Largo de la sección doblada (cm) 0
Área de (cm2
) 0
1 2 3
5 10 15
Área de (cm2
) 100
1 2 3
90 80 70
⑴
⑵
Área de + (cm2
) 100
1 2 3
95 90 85
⑶
10 ﬁchas
1 3 6 10 15
Arreglos de fichas1
En busca de regularidades
Área de figuras dobladas y sobrepuestas2
¿Cómo puedes doblar el rectángulo para que la suma de las áreas de
y sea la más pequeña?
Construye un rectángulo de 5 cm de largo y 20 cm de ancho y dóblalo como se
muestra a continuación. Llama al doblez que queda al frente y a la sección
que se alcanza a ver del doblez de atrás.
20 cm
5 cm

8786
Apilemos algunas piedras
Primer nivel Segundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel
El número de piedras en los primeros cinco niveles es:
1, 4, 9, 16, 25
① Descubre cuál es la regla que define cómo aumenta el número de
piedras en cada nivel.
② Encuentra el número de piedras que hay en los dos niveles que siguen al
que tiene 25 piedras. Usa la regla que descubriste en el inciso ①.
1，4，9，16，25，，
③ 1, 4, 9, 16, 25......
Analiza la serie numérica 1, 4, 9, 16, 25 y encuentra una regla distinta a
la del inciso 1. Estudia la figura, eso puede ayudarte a responder.
④ ¿Cuántas piedras hay en el décimo nivel?
Primer día
Segundo día
Tercer día
Cuarto día
① ¿Cuántos amigos serán paa el quinto día?
② ¿Cómo puedes expresar el aumento en el número de amigos?
③ ¿En cuántos días serán amigos todos los habitantes de Japón?
Supongamos que cada niño logra tener un nuevo amigo cada día.
Tengamos nuevos amigos1
¡Intenta resolver este reto!
Apilando piedras2
Puedes encontrar las respuestas
en la tabla de multiplicar.
Día 10 – Día 20
Día 20 – Día 30
Día 50 – Día 60
Día 150 – Día 160
En 2003, la población
en Japón era 127 millones
650 mil habitantes.
Predicciones

4cm
Línea
central
3
cm
HeightHeightAltura
8988
Área del Altura＝ ×
Dibuja a la mitad de la altura de un triángulo una línea paralela a la base.
Haz los dobleces que indican las flechas y formarás un rectángulo.
Si llamamos a la línea punteada “línea central”,
podemos escribir la siguiente expresión
matemática:
Línea central
largo × ancho es equivalente a Línea central × Altura
Línea central × Altura
Para este caso también se
expresa como
Dividiendo un
Altura×Línea central
(radio)(radio × 3.14)La línea central tiene la misma longitud
que la circunferencia de un círculo cuyo
radio es igual a la mitad del círculo original.
Diseñamos el siguiente desarrollo
plano de un cubo, en cuatro de sus caras
se deletrea la palabra “MATE”.
Escribe las letras faltantes en cada casilla de manera que al armar el
cubo siga leyéndose la palabra MATE.
① ②
③ ④
Escribe la letra “A” en otra casilla e intenta de nuevo.
① ②
y un
Esto también se cumple para un
también.
Línea central
HeightAltura
Línea central
HeightAltura
Central lCentral lLínea central
HeightAltura
A T
AM T E
Una fórmula única para obtener el área de las figuras2 Desarrollos planos3
2
en 8 partes
iguales,
obtenemos:
1
A
A
A
A

Características de las figuras de un sólo trazo
9190
Dibuja la siguiente figura sin levantar el lápiz del
papel y sin pasar una arista dos veces.
Estas figuras se estudian en una importante rama
de las matemáticas que se llama Teoría de Gráficas.
¿Cuál de las siguientes figuras se puede hacer sin levantar el lápiz y
sin pasar por una arista dos veces?
① ②
③ ④
(1) El número de líneas que se unen en cada
vértice es par.
(2) Si hay dos vértices con un número impar de líneas,
la figura puede trazarse de un sólo trazo si se
empieza desde un vértice impar.
(3) Una figura con otras características no puede
dibujarse en un solo trazo.
Otro reto: figuras de un sólo trazo4
¿Puedes encontrar la operación? Primera parte
¿Puedes encontrar la operación? Segunda parte
¿Qué está oculto?
Transformemos la división en multiplicación
- Números recíprocos -
Dividamos en una razón dada
¿Qué tipo de gráfica es?
- Proporcionalidad inversa -
1
10
11
8
10
8
7

¿Puedes encontrar la operación? Primera parte
Forma expresiones del tipo (fracción propia) x (número entero) cuyo resultado sea igual a 1.
¿Puedes encontrar la operación? Segunda parte
• Observa las siguientes tarjetas:
Colócalas en los para formar operaciones que correspondan a la
respuesta que se indica.
① ＝ 1× ②
③ ④
Forma expresiones del tipo (fracción propia) x (número entero) cuyo resultado sea igual a .2
①
1
6
②
③ ④
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
Acomódalas en los para formar expresiones del tipo
(fracción) x (fracción) de manera que el resultado sea un número entero.
①
＝ 1×
＝ 1×
＝÷
1
6
＝÷
1
6
1
6
＝÷
1
6
＝÷
• Observa las siguientes tarjetas:
＝×
③ ＝×
⑤ ＝×
⑦ ＝×
⑨ ＝×
⑪ ＝×
② ＝×
④ ＝×
⑥ ＝×
⑧ ＝×
⑩ ＝×
⑫ ＝×
1 2 3 4
Bueno★ Excelente★★
1 2 3 4
Bueno★ Excelente★★
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
★ ★★ ★★★ ★★★★
9392
＝ 1×
Colorea el número de
respuestas correctas
que obtuviste.
Marca el número de
que obtuviste.
Yo comprobaré formando
expresiones con fracción
x fracción.
Yo formaré las
expresiones a partir de
las respuestas.
Colorea el número de
que obtuviste.
¿Cuántas estrellas
lograste?
1

¿Qué está oculto?
1 Piensa en multiplicaciones cuyas respuestas sean 1. Escribe en
los los números correctos.
2
3 × ＝ 1 ×4 ＝ 1
① ¿Que características deben tener el multiplicador y el multiplicando
para que el resultado sea 1?
② Si el largo se acorta a m pero el área
sigue siendo 1 m2
, ¿cuántos metros debe
medir de ancho?
Cuando el producto de dos números es igual a 1, decimos
que uno de los números es el recíproco del otro.
2
El 6 puede expresarse como la fracción , por lo tanto .
El recíproco de 6 es .
0.4 puede expresarse como ＝ , por lo tanto
El recíproco de es 0.4 .
Encuentra los recíprocos de 6 y 0.4.
6
1
2
5
4
10
6
1
＝1×
2
5
＝ 1×
3 Encuentra los recíprocos de los siguientes números.
①　 ②　 ③　7 ④　0.6
4
5
1
8
Transformemos la división en multiplicación
-Números recíprocos-
1m
1m
m
m
2
3
m
1
3
• En las ventanas de un edificio se escribieron algunas razones. Colorea las
que son equivalentes.
9594
2
3

4 Veamos cómo calcular ÷ usando el concepto de números recíprocos.
La respuesta en una división es la misma si multiplicamos el dividendo y el
divisor por el mismo número. En este caso, multiplicamos ambos números
por , que es el recíproco de .
3
4
2
5 ÷
4
3
2
5 ×＝ ÷
＝
＝
( )
( )
( )
4
3
2
5 × ÷ 1
4
3
3
4 ×
4
3
2
5 ×
Una división se transforma en multiplicación si usamos el
recíproco del divisor.
5 Piensa cómo realizar los siguientes cálculos.
÷56 35 15 56× ＝＝
＝
× ×
1
15
56×15
5
8
× 1.6 ÷ ＝0.25
①
②
5
8 ×
16
10 ÷
25
100
＝
5
8 ×
16
10 ×
＝
＝
5×16×
8×10×
6 Realiza las siguientes operaciones.
① ②　
1
3
÷ 0.4 0.6××76 54 36÷
Dividamos en una razón dada
1 Dobla un alambre de 64 cm de largo para formar un rectángulo cuya
razón entre el largo y ancho sea .
① ¿Cuántos cm suman el largo y ancho?
② ¿Cuántos cm miden el largo y el ancho respectivamente?
La idea de Yukiko ▼
Yo calculo el ancho usando las razones entre el largo
y la suma y entre el largo y el ancho.
Largo ＝
La idea de Seiji ▼
Si pensamos el total del largo y
el ancho como 1, el largo es .
Entonces el largo es 32 × =
Si Kenji y su padre beben 750 ml en la razón . ¿Cuántos ml de leche
bebe Kenji?
Ancho
Largo
Largo 3 Ancho 5
cm
Largo Ancho
1
8
3
8
5
③ ¿Cuántos cm2
mide el área del rectángulo?
9796
El largo más
el ancho es
3　+ 5　＝ 8.
Podemos encontrar el ancho con el mismo
método, pero en este caso necesitamos restar
el largo a la suma.
2
5
3
4
3
4
3
5
3
8
3
8
3
8
2
3
4
3
32

Largo
Ancho
20
15
10
5
（B）
（B）
5 10 15 200
¿Qué tipo de gráfica es?
-Proporcionalidad inversa-
1 Imagina varios rectángulos que tienen un área de 24 m2
.
① La siguiente tabla resume la relación entre el ancho y el largo de varios
rectángulos cuya área es 24 m2
.
× ＝ 24
Largo
② Con los datos de la tabla dibuja algunos rectángulos en la siguiente página.
Usa una escala de 1 cm y dibuja los rectángulos partiendo de la esquina inferi-
or izquierda, en el punto 0.
③ Cuando el ancho se duplica, se triplica y así sucesivamente, ¿cómo
cambia el largo correspondiente?
Cuando dos cantidades cambian juntas y una de ellas disminuye
a la mitad, la tercera parte y así sucesivamente, mientras la otra
aumenta al doble, al triple y así sucesivamente, decimos que
esas cantidades varían de forma inversamente proporcional.
④ Observa los rectángulos que están en la gráfica y los que dibujaste.
Platica con tus compañeros sobre la
forma de la gráfica que representa una
relación de proporcionalidad inversa.
⑤ Busca dos magnitudes que varíen en forma inversamente proporcional.
Ancho　(cm) 1 2 3 4 6 8 12 24
Largo　(cm) 24
Ancho y largo de rectángulos de 24　m2
Ancho
1 2 3 4 6 8 12 24 Ancho (cm)
Longitud (cm)
2 veces
3 veces 2 veces
4 veces
veces
veces
veces veces
9998
Una gráfica de
proporcionalidad directa es
una línea recta que llega al 0,
pero la gráfica de la
proporcionalidad inversa
no es una línea recta.
Veamos cómo cambia
el largo cuando
disminuye el ancho.
La esquina superior derecha
de cada rectángulo es un punto
de la gráfica.
(cm)
(cm)

5　cm
101100
2,　3,　7,　　
5,　7,　3,　
Página 10
l
Página 16
Página 22
2,　7,　3,　4,
Kg
85　yenes
Página 25
① 15,　50,　0.3 ② 35,　50,　0.7
7,　14,　0.5,　6,　10,　0.6
El mejor registro fue el 13 de septiembre.
Página 37
① 2：1(100：50) ② 1：2(8：16)
Ejemplos 3：2,　6：4,　24：16
① 6 ② 20 ③ 128 ④ 75
12　cm
15　cm
Páginas 40-41
① 280 yenes ② 1960 yenes
El aeroplano viaja a una velocidad de
250 m por segundo.
El sonido viaja a una velocidad de
340 m por segundo.
El sonido es más rápido.
15　piezas
① 7 ② 6,　3
① ② ③6 cm 16 cm 18 cm
2
4 13,　33,　10
5.7,　2.7,　6.3,　2.8
5
Páginas 65-66
① cm2
g
ml
Km
② 400 m 3　m2
,　　30000　cm2
2 l，20 dl
1
2 ①Rectángulo … Largo, Ancho
Cuadrado … Un lado, Un Lado
Paralelogramo… Base, Altura
Triángulo … Base, Altura, 2
Círculo …Radio, Radio, 3.14
③ 6.9 cm2
6 cm2
157 cm2
Páginas 67-68
1 ① Paralelogramo, Rombo
Rectángulo, Cuadrado
Rombo, Cuadrado
Rombo, Cuadrado
Paralelógramo, Rombo
Páginas 69-70
1 ① Gráfica de barras, gráfica circular
Gráfica de línea
② 1985… cercano al 43%
1995… cercano al 48%
Gráfica de barras
② 15
③ Cara EFGH
Arista DC, Arista EF, Arista HG
120
68
60
③ 5　cm 56 g
① 8.5 cm
②
2
Páginas 72-73
6006，60606，606606，6066606，
60666606，606666606
42，4422，444222，44442222，
4444422222，666666×666667
1，11，111，1111，11111，
111111，1111111，11111111
1，121，12321，1234321，
123454321
①　
14
3
12
5
4
2
9
2
② ③
⑤ ⑥ ⑦
20
3 ④ 21
⑧ 30
6
7
5
2
5
21
5
24
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
① ② ③ ④
5
24
2
7
1
8
1
20
2
35
3
4
1
7
l
7
18
20
9
3
2
6
① ② ③
④　 ⑤ ⑥　
5
9
4
4
9
10
3
7
6
11
3
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
① ② ③ ④
1
12
6
35
3
8
2
5
5
21
1
4
20
3
Kg
5
8
3,　9,　4,　5,　
27
20
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
① ② ③ ④　
25
12
9
2
3
2
2
3
49
20
3
2
25
8
18
3
8
5
12① ② ③
④ ⑤ ⑥
6
35
5
6
15
16
4
3
y
2
3
2
5
①　 Kg ②　 Kg
2
3
7
3
① veces ② 360 cm
4
3
Página 56
① 3 4 5
150 200 250
② 3 4 5
12 16 20
2 3 4 5
160 240 320 400
3 × largo ＝Peso
80 × largo ＝ costo
①
②
Páginas 63-64
1 ① 3　grupos de 10　000,　5　grupos de
1000,7　grupos de 100
3　grupos de 1000　000,　5　grupos de
10　000,7　grupos de 10　
3　grupos de 10,　5　grupos de 1,
7　grupos de 0,01　
3　grupos de 1.　5　grupos de 0.01,
7　grupos de 0.001　
② 230　veces 23　veces
23　veces 230　veces
3
5
3
5
2
5①
3
77
25
4
1
7
10①
② 3
1
7
③ 1 2
3
5
1
2
1 2
2
3
3
4
0.52 1.75
0.3, ,　　　　　　,　0.41,
1
3
2
5
7
15
11
15
1
15
2
15
6
5
①
②
②
4，9，25，49
36,　　　6 16,　　　8
3 ①Prisma rectangular…Largo x Ancho x　Altura
Cubo…Arista x　Arista x　Arista
② 800 cm3
1728 cm3
3750 cm3
4 ①Velocidad x　Tiempo＝Distancia
2 Km②
2
7
3
Respuestas Respuestas
,
, , ,
1
2
3
4
2
1
6
5
4
3
2
1
1
8
9
6
5
4
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1 1
2
3
4
5

103102
②
③
4，8，16
32，64，128，256，512
2 veces
Página 83
6 manzanas, 4 naranjas
Página 84
① (1)
(2)
(3)
4 5 6 7 8 9 10 11
20 25 30 35 40 45 50 45
②
4 5 6 7 8 9 10 11
60 50 40 30 20 10 0 10
4 5 6 7 8 9 10 11
80 75 70 65 60 55 50 55
③ −(1)，　−(3)，　−(2)
Página 85
① Aumenta en 1, 2, 3, 4, 5, etc.
② 21,28 ③ 55 fichas
Página 86
① Aumenta en 2, 3, 5, 7, 9 etc.
② 36，49
③ Los números que están
en la diagonal de la tabla
de multiplicar.
④ 100 piedras
Página 87
① 32 niños
② 2 veces el número de ayer
③ Predicción de , Día 27
Página 89
① ②
③ ④
Página 90
①，③，④
Página 77
①
①
Furu masu 1687.5 cm3
Kyo masu 1750.329 cm3
Furu masu es mayor.
Página 79
Dia 5
Páginas 80-81
①
1 9 36 84 12612684 36 9 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Respuestas
¿Conoces la Montaña de las Matemáticas?
No se puede encontrar en un mapa, está en nuestra mente. Has estudiado
matemáticas por 6 años, ahora estás en la cima de la montaña.
Has desarrollado tus habilidades, esto es similar a escalar una montaña por ti
mismo, con tu esfuerzo y el apoyo de cada uno de tus compañeros. El camino no
siempre es plano. En ocasiones una cuesta te puede costar mucho sudor. Quizá te
perdiste o te equivocaste en varias ocasiones, pero has escalado la montaña paso a
paso con tus piernas, debes sentirte orgulloso de lo que has logrado.
Te presente que lo más importante al estudiar matemáticas es continuar desafián-
dote a ti mismo, no debes frustrarte al cometer un error. Disfrutas el poder real de
las matemáticas cuando descubres que encontrar las respuestas fue extremadamente
difícil al inicio y que ese esfuerzo te proporcioné nuevos y valiosos conocimientos.
Ahora puedes mirar atrás, son seis años que invertiste en escalar hacia la
cima de la montaña.
Pero puedes también mirar hacia delante, hacia una nueva Montaña de las
Matemáticas. ¿Qué descubrimientos interesantes habrá en ella?
¡Existe mucho más por aprender en el mundo de las matemáticas!
En la cima de la
montaña de las
matemáticas
1
1
MAT
E
E TMA
A
ATM
E
T E M

Tomo 6.2

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