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Tomo 5.2

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                                                                                                                      El área de una Figura
    1     ¿Cómo podrías calcular el área de las siguientes figuras?
          1cm
                                                                                            1     Área de un paralelogramo
    1cm
                                                                                           1     A continuación se muestran tres tipos de cuadriláteros.
                                                                                           ① Mide la longitud de los lados de los cuadriláteros ⓐ, ⓑ y ⓒ.
                                                                                                                                               1cm
                                                                                     1cm
                                                                                                                      ¿Todos los lados
                                                                               1cm
                                                                                                                                         1cm
                                                                                                                      tienen la misma
                                                                                                                      longitud?


                                                                                           ② Compara las áreas de
                                                                                                ⓐ, ⓑ y ⓒ.

                                                                                                            Parece que
                                                                                                            sus áreas son
                                                                                                            diferentes.
                                                                                                                            1cm

                     Cuenta los cuadrados                                                                             1cm
                     para calcular el área.

                                                                                            ¿Con qué figura se
                                                                                            relaciona el área de un
    2   Debes encontrar el área basándote en la longitud de los lados.
                                                                                            paralelogramo?

    ①                                           ②

                                                                                                                      1cm

                                                                                                               1cm




                                              El área de un rectángulo se
                                                                                           ③ Piensa cómo podrías calcular el área de cada cuadrilátero.
                                              calcula multiplicando “largo x
                                              ancho”. El área de un cuadrado
                                              se calcula “lado”x “lado”.                        Piensa cómo podrías calcular el área de los paralelogramos usando la
                                                                                                de los triángulos.

2                                                                                                                                                                      3
La idea de Yoshiko ▼                                                                      ④ Obtén las longitudes necesarias para encontrar el área del
                                                                               6 cm
          Como ⓐ es un rectángulo, el área                                                        paralelogramo ⓒ y calcula su área.
        se calcula aplicando la fórmula                                                                        1 cm
                ⓐ = largo  ancho                                                                       1 cm
                    =                                  5 cm

                    =   
                                 Respuesta :           cm2



         La idea de Akira ▼                                                                       ⑤    ¿Qué longitudes debes considerar para calcular el área de los
         Si transformamos el paralelogramo ⓑ en un rectángulo, podremos calcular
                                                                                                    cuadriláteros ⓐ, ⓑ y ⓒ?
    su área.
                    A                              D            A                         D   A                   D
                                                                                                                                 E                     I
                                                                                                                                                               J                             N




    B                                 C        B                 F                  C     E
                  (a)
                                                                                              B                   CF             G         HK                  L            M
         El área del paralelogramo ABCD es la misma que la del rectángulo AFED.
    Área del paralelogramo ⓑ = Área del rectángulo AFED.
                                                                                                                      Elijamos el lado BC como la base del paralelo-
                                          = AF  EF                                                             gramo. Los segmentos AG y EF son perpendiculares a
                                          =                                                                    la base BC, cualquier otra línea           A            E            D

                                          =                           Respuesta :       cm2                     trazada de la misma manera
                                                                                                                tiene la misma longitud que                    Altura       Altura

                                                                                                                AG y EF. La longitud de AG
                  Yo corto sobre esta línea.           Yo corto sobre esta línea.
                                                                                                                es la altura del paralelogramo     B       G            F       C
                                                                                                                                                               Base
                                                                                                                respecto a la base BC.

                                                                                                                        Área de un paralelogramo=base              altura


4                                                                                                                                                                                        5
2       Encuentra el área del siguiente paralelogramo.                                              3     Encuentra qué debes hacer para calcular el área de este

                                        A                      Mide las                                     paralelogramo utilizando BC como base.
                                                               longitudes que                                                                                     ¿Cuál es la
                                                               necesitas.                                                                     1cm                 altura?
                                                                                                                                          A   D 1cm


        B                                                                       D




                                                                                                                       B          C
                                               C

    ①       Elige al segmento BC como la base y mide la altura para calcular el área.
                                                                                                        ①    Analiza estas ideas para calcular el área del paralelogramo.
                  Área=                      =            (cm )
                                                               2

                                                                                                            La idea de Kaoru ▼                  La idea de Youichi ▼
    ②       Elige al segmento CD como la base y mide la altura correspondiente para calcular el área.
                  Área=                      =            (cm2)
                                                                                                                                 Altura


                         La altura depende de la base.

                                                                                                            Base                              Base                                      Altura




                                                                                                        ②     ¿Cuántos cm2 mide el área de este paralelogramo?

                                                                                                                        La distancia entre las rectas ⓐ y ⓑ
                                                                                                                                                                      A         D
                Calcula el área de estos paralelogramos.                                                             es la altura del
            ①                           ②                                                                            paralelogramo            Altura              Altura            Altura

                        2.5 cm                                                                                       ABCD si el lado
                                                                                    2.5 cm
                                 3 cm                         4 cm
                                                                                                                     BC es la base.
                 2 cm                                                                                                                                  B   Base   C
                                                                   4.5 cm




6                                                                                                                                                                                                7
4     Calcula el área de estos paralelogramos.                                   2    Área de un triángulo

                                                                                    1    Calculemos el área de este triángulo.

                                                                       8 cm         ① Trata de utilizar varios métodos para calcular el área.
                         ①                ②                 ③
                                                                                                           1cm
                                                                                                                       A
                                                                                                   1cm
                         4 cm        4 cm            4 cm


                       Los paralelogramos que tienen la misma base y altura
                     tienen áreas iguales.


    5     Construye un paralelogramo cuya área mida 48 cm2 y su altura sea 8 cm.                       B                                      C

        ¿Cuántos cm debe medir su base?                                                         ¿Podemos transformar el
                                                                                                                             Ya sabemos cómo calcular el
                                                                                                                             área de un paralelogramo.
                                                                                                triángulo en un rectángulo
                                                                                                                             ¿Será posible transformar un
                       ¡Podemos trazar                                                          tal y como lo hicimos con
                                                                                                                             triángulo en un paralelogramo?
                       muchos paralelogramos                                                    el paralelogramo?
                       cuyas áreas midan lo mismo!



                                                                                         Escribe tu idea.


                                                                              8




          Piensa en lo anterior utilizando la fórmula para calcular el área de un
        paralelogramo.

                        8 = 48
              base      altura     área




8                                                                                                                                                             9
④ Analiza las ideas que transforman el triángulo en un rectángulo o en
     ② Trata de explicar las ideas que                   ¿Alguna de las ideas es               paralelogramo e identifica los lados que tienen la misma longitud que
                                                         igual a la tuya?
       tuvieron estos cuatro alumnos.
                                                                                               en el triángulo original.
                                                                                           ⑤     Piensa cómo construir la fórmula que se necesita para calcular el área de
       La idea de Tomoko ▼                   La idea de Masaru ▼                               un triángulo.
                   A                                         A
                                                                                                     La idea de Tomoko ▼                    La idea de Masaru ▼


              E     F           G                                      E
                                                                                                      Como uno de los lados del rec-          Como la altura del paralelogramo
       D                                H            D
                                                                                       F
                                                                                                    tángulo es la mitad de AI, entonces:    es la mitad de AG, entonces:
                                                                                                      Área = (AI2)BC                          Área = base(AG2)
        B           I               C            B           G                     C

                                                                                                      La idea de Akira ▼                     La idea de Hitomi ▼
           La idea de Akira ▼                La idea de Hitomi ▼
        D          A                E                    A                             D              Como el área del triángulo es la
                                                                                                                                              Como el área del triángulo es la
                                                                                                    mitad de la del rectángulo DBCE y
                                                                                                                                            mitad de la del paralelogramo
                                                                                                    la longitud de uno de los lados del
                                                                                                                                            ABCD, por lo tanto:
                                                                                                    rectángulo es AF, por lo tanto:
                                                                                                                                              Área = basealtura2
                                                                                                    Área = (AFBC)2
        B          F                C        B                                C

                                                                                                2     Analiza las longitudes que necesitas para calcular el área del
                                                                                                    siguiente triángulo ¿Cuál es su área?
     ③ ¿Qué aspectos similares presentan estas cuatro ideas?
                                                                                                                   1cm
              ¿Cuál transforma el triángulo en un rectángulo?                                                1cm
              ¿Cuál transforma el triángulo en un paralelogramo?
              ¿Cuál transforma el triángulo en una figura con la misma área?
              ¿Cuál transforma el triángulo en una figura con el doble
              de área?




10                                                                                                                                                                               11
A
                                                                     A                       4     Piensa cómo calcular el área de
                    Desde el vértice A traza la recta
                                                                                                 este triángulo considerando el lado
                  perpendicular AD al lado BC. Si                                                                                                                       10 cm

                                                                       Altura
                                                                                                 BC como su base.
                  tomamos el lado BC como base,
                                                                                             ① Explica las ideas que propusieron
                  la longitud del segmento AD
                                                           B         D                   C       estos dos alumnos.                       B          8 cm       C 4 cm D
                  es la altura del triángulo.                            Base
                                                                                                 La idea de Hitoshi ▼                La idea de Yukie ▼
                        Área de un triángulo=base                    altura 2



                                                      3     Calcula el área de

                            A                             este triángulo midiendo las
                                                          longitudes necesarias.
                                                                                             ② Calcula el área de un triángulo cuya base mide 8 cm y su altura 10 cm.
                                                      ¿Qué es lo que pasa cuando cada
                                                      uno de los 3 lados se elige como
                                                                                             Utiliza la fórmula del área y luego compárala con el resultado obtenido en ①.
                                                      base? ¿Cuál sería la altura del
     B                                                triángulo en cada caso?

                                                                                                             Traza una recta paralela al lado BC que pase
                                                                                                             por el vértice A. La distancia entre las rectas
                                          C                                                                  ⓐ y ⓑ es la altura                                   A

                                                                                                             del triángulo si el
                                                                                                                                       Altura
                                                                                                                                                                   Altura Altura
                                                                                                             lado BC es la base.
                                                                                                                                                      Altura

                                                                         A
                                                                                                                                            B       Base    C
         Calcula el área del triángulo ABC como
     se indica.                                                                                                    ①                            ②
                                                          9 cm                   7. cm
                                                                                  2                                                                  7 cm
     ① Cuando el lado BC es la base.
                                                                                                  Calcula el área de                    6 cm
     ② Cuando el lado AB es la base.                              6 cm
                                                                  6
                                                                                                  las siguientes                                                             6 cm
                                                  B                               C
                                                                 7. cm
                                                                  5                               figuras.
                                                                                                                        5 cm                                    13 cm


12                                                                                                                                                                                  13
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Tomo 5.2

  • 1. 8 El área de una Figura 1 ¿Cómo podrías calcular el área de las siguientes figuras? 1cm 1 Área de un paralelogramo 1cm 1 A continuación se muestran tres tipos de cuadriláteros. ① Mide la longitud de los lados de los cuadriláteros ⓐ, ⓑ y ⓒ. 1cm 1cm ¿Todos los lados 1cm 1cm tienen la misma longitud? ② Compara las áreas de ⓐ, ⓑ y ⓒ. Parece que sus áreas son diferentes. 1cm Cuenta los cuadrados 1cm para calcular el área. ¿Con qué figura se relaciona el área de un 2 Debes encontrar el área basándote en la longitud de los lados. paralelogramo? ① ② 1cm 1cm El área de un rectángulo se ③ Piensa cómo podrías calcular el área de cada cuadrilátero. calcula multiplicando “largo x ancho”. El área de un cuadrado se calcula “lado”x “lado”. Piensa cómo podrías calcular el área de los paralelogramos usando la de los triángulos. 2 3
  • 2. La idea de Yoshiko ▼ ④ Obtén las longitudes necesarias para encontrar el área del 6 cm Como ⓐ es un rectángulo, el área paralelogramo ⓒ y calcula su área. se calcula aplicando la fórmula 1 cm ⓐ = largo ancho 1 cm =    5 cm =    Respuesta : cm2 La idea de Akira ▼ ⑤ ¿Qué longitudes debes considerar para calcular el área de los Si transformamos el paralelogramo ⓑ en un rectángulo, podremos calcular cuadriláteros ⓐ, ⓑ y ⓒ? su área. A D A D A D E I J N B C B F C E (a) B CF G HK L M El área del paralelogramo ABCD es la misma que la del rectángulo AFED. Área del paralelogramo ⓑ = Área del rectángulo AFED. Elijamos el lado BC como la base del paralelo- = AF EF gramo. Los segmentos AG y EF son perpendiculares a =    la base BC, cualquier otra línea A E D =    Respuesta : cm2 trazada de la misma manera tiene la misma longitud que Altura Altura AG y EF. La longitud de AG Yo corto sobre esta línea. Yo corto sobre esta línea. es la altura del paralelogramo B G F C Base respecto a la base BC. Área de un paralelogramo=base altura 4 5
  • 3. 2 Encuentra el área del siguiente paralelogramo. 3 Encuentra qué debes hacer para calcular el área de este A Mide las paralelogramo utilizando BC como base. longitudes que ¿Cuál es la necesitas. 1cm altura? A D 1cm B D B C C ① Elige al segmento BC como la base y mide la altura para calcular el área. ① Analiza estas ideas para calcular el área del paralelogramo. Área= = (cm ) 2 La idea de Kaoru ▼ La idea de Youichi ▼ ② Elige al segmento CD como la base y mide la altura correspondiente para calcular el área. Área= = (cm2) Altura La altura depende de la base. Base Base Altura ② ¿Cuántos cm2 mide el área de este paralelogramo? La distancia entre las rectas ⓐ y ⓑ A D Calcula el área de estos paralelogramos. es la altura del ① ② paralelogramo Altura Altura Altura 2.5 cm ABCD si el lado 2.5 cm 3 cm 4 cm BC es la base. 2 cm B Base C 4.5 cm 6 7
  • 4. 4 Calcula el área de estos paralelogramos. 2 Área de un triángulo 1 Calculemos el área de este triángulo. 8 cm ① Trata de utilizar varios métodos para calcular el área. ① ② ③ 1cm A 1cm 4 cm 4 cm 4 cm Los paralelogramos que tienen la misma base y altura tienen áreas iguales. 5 Construye un paralelogramo cuya área mida 48 cm2 y su altura sea 8 cm. B C ¿Cuántos cm debe medir su base? ¿Podemos transformar el Ya sabemos cómo calcular el área de un paralelogramo. triángulo en un rectángulo ¿Será posible transformar un ¡Podemos trazar tal y como lo hicimos con triángulo en un paralelogramo? muchos paralelogramos el paralelogramo? cuyas áreas midan lo mismo! Escribe tu idea. 8 Piensa en lo anterior utilizando la fórmula para calcular el área de un paralelogramo. 8 = 48 base altura área 8 9
  • 5. ④ Analiza las ideas que transforman el triángulo en un rectángulo o en ② Trata de explicar las ideas que ¿Alguna de las ideas es paralelogramo e identifica los lados que tienen la misma longitud que igual a la tuya? tuvieron estos cuatro alumnos. en el triángulo original. ⑤ Piensa cómo construir la fórmula que se necesita para calcular el área de La idea de Tomoko ▼ La idea de Masaru ▼ un triángulo. A A La idea de Tomoko ▼ La idea de Masaru ▼ E F G E Como uno de los lados del rec- Como la altura del paralelogramo D H D F tángulo es la mitad de AI, entonces: es la mitad de AG, entonces: Área = (AI2)BC Área = base(AG2) B I C B G C La idea de Akira ▼ La idea de Hitomi ▼ La idea de Akira ▼ La idea de Hitomi ▼ D A E A D Como el área del triángulo es la Como el área del triángulo es la mitad de la del rectángulo DBCE y mitad de la del paralelogramo la longitud de uno de los lados del ABCD, por lo tanto: rectángulo es AF, por lo tanto: Área = basealtura2 Área = (AFBC)2 B F C B C 2 Analiza las longitudes que necesitas para calcular el área del siguiente triángulo ¿Cuál es su área? ③ ¿Qué aspectos similares presentan estas cuatro ideas? 1cm ¿Cuál transforma el triángulo en un rectángulo? 1cm ¿Cuál transforma el triángulo en un paralelogramo? ¿Cuál transforma el triángulo en una figura con la misma área? ¿Cuál transforma el triángulo en una figura con el doble de área? 10 11
  • 6. A A 4 Piensa cómo calcular el área de Desde el vértice A traza la recta este triángulo considerando el lado perpendicular AD al lado BC. Si 10 cm Altura BC como su base. tomamos el lado BC como base, ① Explica las ideas que propusieron la longitud del segmento AD B D C estos dos alumnos. B 8 cm C 4 cm D es la altura del triángulo. Base La idea de Hitoshi ▼ La idea de Yukie ▼ Área de un triángulo=base altura 2 3 Calcula el área de A este triángulo midiendo las longitudes necesarias. ② Calcula el área de un triángulo cuya base mide 8 cm y su altura 10 cm. ¿Qué es lo que pasa cuando cada uno de los 3 lados se elige como Utiliza la fórmula del área y luego compárala con el resultado obtenido en ①. base? ¿Cuál sería la altura del B triángulo en cada caso? Traza una recta paralela al lado BC que pase por el vértice A. La distancia entre las rectas C ⓐ y ⓑ es la altura A del triángulo si el Altura Altura Altura lado BC es la base. Altura A B Base C Calcula el área del triángulo ABC como se indica. ① ② 9 cm 7. cm 2 7 cm ① Cuando el lado BC es la base. Calcula el área de 6 cm ② Cuando el lado AB es la base. 6 cm 6 las siguientes 6 cm B C 7. cm 5 figuras. 5 cm 13 cm 12 13
  • 7. 5 En la figura de abajo, las rectas AB y CD son paralelas. Calcula el área de 3 Cómo calcular el área de otras figuras cada uno de los triángulos. 1 Imagina cómo podrías calcular el área de este cuadrilátero. 3 cm A B D A 6 cm ④ ① ② ③ C D 3 cm 3 cm 3 cm B C Si la base y la altura de dos triángulos son respectivamente ① Divide el cuadrilátero en figuras de las cuales ya sepas cómo iguales, también sus áreas son iguales. calcular el área. ② Mide las longitudes que se requieren para calcular el área. A 6 La figura que se muestra a la derecha 6 cm 8 cm es un triángulo rectángulo. cm D ① Calcula su área. Es posible calcular el área de A ② Encuentra la altura del triángulo B C cuadriláteros y pentágonos 10 cm considerando que el lado BC es la base. dividiéndolos en triángulos. B C 10 2 = Area Base Altura 2 Mide las longitudes que sea necesario conocer y calcula el área de este trapecio. C D Calcula la altura de cada uno de 10 cm 5 cm los triángulos que se muestran a 4 cm la derecha, si los lados AD y BC son respectivamente sus bases. A 2 cm B 14 15
  • 8. 2 La altura de un triángulo se incrementa 4 Relación entre la longitud de los lados y el área en tramos de 1 cm como se muestra a la 1 Construyamos un paralelogramo más grande uniendo varios paralelo- derecha. (cm) gramos como se muestra en la figura de abajo. 4 ① Escribe la fórmula para calcular el área 3 2 de un triángulo. ¿Cuál de los dos elementos 1 de la fórmula cambia junto con el área? 6 cm 5 cm ¿Qué permanece sin cambios? =       3 cm ① Escribe la fórmula para calcular el área de un paralelogramo. ② Completa la tabla de abajo. ¿Cuál de los dos elementos de la fórmula cambia cuando el área cambia? Altura y área de un triángulo ¿Qué permanece sin cambios? Altura (cm) 1 2 3 =       Área (cm2) 3 ② Completa la siguiente tabla. Base y área de un paralelogramo ③ ¿Cuánto se incrementa el área cuando la base se duplica? Base (cm) 3 6 ¿Y cuando se triplica? Área (cm2) ④ Cuando el área de un triángulo es 30cm2 , ¿cuántos cm mide su altura? ③ ¿Cuánto se incrementa el área cuando la base se duplica? ¿Si se triplica? La base de un triángulo rectángulo se incrementa en tramos de 1 cm como se muestra en la figura de la derecha. La altura de un paralelogramo se incrementa en tramos ① Construye una tabla que muestre la relación de 2 cm como se muestra a la derecha. 6 cm que hay entre la base y el área de estos triángulos. 4 cm ① Construye una tabla que muestre la relación que 4 cm ② Si el área de un triángulo es de 16cm2, hay entre la altura y el área de esta figura. 2 cm ¿cuántos cm mide su base? 6 (cm) ② Analiza la tabla y escribe tus conclusiones. 3 cm 1 2 3 4 5 16 17
  • 9. 6 Tracemos paralelogramos cuya Páginas 16~17 1 Escribe la fórmula para Página 5 base mida 5 cm y su altura 2 cm para Altura calcular el área de un paralelogramo. construir un paralelogramo más grande, 2 cm Área del paralelogramo = como se muestra en la figura de abajo. Base 5 cm 2 Calcula el área de estos paralelogramos. Páginas 6 ~7 5 cm (cm) ① ② 10 4 cm 9 8 7 8 cm 6 5 2 cm 4 Página12 3 3 Escribe la fórmula para calcular el área 2 1 de un triángulo Altura Área del triángulo =    ① Escribe la fórmula para calcular el área de un paralelogramo. Base ¿Cuál de los dos elementos de la fórmula cambia junto con el área? 4 Calcula el área de los siguientes triángulos. Páginas 12~13 ¿Qué permanece sin cambios? ① ② ② Completa la tabla de abajo. 3 cm 9 cm Altura y área de un paralelogramo Altura (cm) 2 4 4 cm Área (cm2) 6 cm 9 cm 1 cm 5 Calcula el área de ③ ¿Cuánto se incrementa el área cuando la altura se duplica? este cuadrilátero. ¿Cuando se triplica? 7 cm 3 cm Página 15 18 19
  • 10. ¡Calculemos el área 1 Calcula el área de las siguientes figuras. ・Encontrar la base y la altura usando fórmulas. del parque! ① ② ¿Qué longitudes ¡La figura de abajo es el diagrama de un parque. ¡El reto es calcular su área! 3 cm 8 cm necesitas? 3.5 cm 5 cm 6 cm Paralelogramo 7 cm ③ ④ 3 cm 4 cm 8 cm 6 cm 2 cm 6 cm Paralelogramo 2 Traza un triángulo cuya área sea la misma que la del triángulo de la derecha. Explica por qué son iguales. • Trazar un triángulo con la misma área. 1 cm 3 El triángulo de la derecha tiene una 1 cm altura de 15 cm y su área es 135 cm . 2 ① El grupo de Hiroshi midió el ¿Cuántos cm mide su base? parque e hizo el diagrama que • Encontrar la altura o la base cuando se conoce el área. 15 cm 5.2 m muestra a la derecha. ¿Cuántos 135 cm 2 m2 mide esa área? 16.3 m 4 Calcula el área de las secciones coloreadas en las siguientes figuras. • Encontrar maneras para calcular el área. 17.8 m ① Paralelogramo ② ③ Trapecio 6 cm ② Formen equipos y calculen el área de diferentes lugares 1 cm 5 cm 7.4 m en su entorno. 10.1 m 6 cm 5 cm 5 cm 2 cm 1 cm 5 cm 4 cm 8 cm 10 cm Ir a la página 21 Ir a la página 86 Ir a la página 89 20 21
  • 11. 9 Fracciones 1 ¿Cuál es la longitud en metros en cada caso? Escribe la respuesta usando fracciones. ① 1m Vertimos jugo de naranja en m un recipiente graduado usando La respuesta se obtiene dividiendo 1 m en 5 partes iguales. fracciones. ① Encuentra la marca que indica exactamente 1 l. 2 1m ② m La longitud de la parte que excede a 1 m, nota que 5 segmentos forman 1 m. 1m ③ m El segmento que se obtiene al dividir 1 m en 10 partes iguales. 1 El tamaño de un objeto o el 2= = = volumen que está dividido en secciones iguales se expresa como una fracción. ② Encuentra la marca que indica exactamente 1 l. 3 2 Expresa las siguientes magnitudes usando fracciones impropias y fracciones mixtas. ① ② 1 dl 1 dl 1 dl 0 1 2 (m) dl dl m m Una fracción mixta es mayor que 1. Las fracciones también pueden Una fracción impropia es igual o usarse para expresar números mayor que 1. 1 3= = que son mayores que 1. 22 23
  • 12. 1 Fracciones equivalentes ③ Observa la recta numérica de la página anterior y encuentra fracciones que sean equivalentes. 1 Sigue las instrucciones de abajo usando la recta numérica. 1 2= = = = 1 3= = 3 4= ④ Observa la recta numérica y encuentra otras fracciones que sean equivalentes a las del inciso anterior. ⑤ Platica con tus compañeros sobre lo que has aprendido y haz un resumen. ① Cuando el denominador es el mismo, el valor de una fracción se incrementa si el numerador aumenta. ② Cuando el numerador es el mismo, el valor de una fracción disminuye cuando su denominador aumenta. ③ Algunas fracciones tienen el mismo valor aunque sus denominadores y numeradores sean diferentes. ① Lee en voz alta 1 , 1 , 1 ,1 ,1 ,1 , 1 , 1 y 1 hazlo de la 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fracción menor a la mayor. Encierra en un círculo la fracción que sea mayor en cada pareja. Si son iguales, ② Reemplaza con 2 los numeradores del inciso ① y vuelve a leer marca ambas fracciones. las fracciones en voz alta, de la menor a la mayor. El valor de la fracción disminuye ① ( 3 ,3 ) 5 8 ② ( 3 ,5 ) 7 7 ③ ( 1 ,4 ) 2 8 cuando el numerador es el mismo y el denominador aumenta. 24 25
  • 13. 2 Suma y resta con fracciones Cuando se suman fracciones con el mismo denominador, Suma con fracciones se suman los numeradores y los denominadores quedan 1 Akira y Yukie hacen café con leche. ¿Cuántos litros hizo cada uno? igual. ① Akira 3 5 l 1O l 1O l 1O 2 Piensa cómo hacer este cálculo: 8 + 8 . 1 2 Café : 5 l Leche : 5 l Café con leche : l 3 5 8+8= = 1 2 Piensa cuántas veces 5+5= se repite 1 5 Podemos comparar fácilmente el valor de una fracción si la expresamos como número mixto o como entero. ② Yukie l 2O 3 Construye sumas utilizando fracciones propias con el mismo denominador, + utiliza números del 1 al 9. Luego 1O l 1l O 1O l calcula los resultados. 3 4 Café : 6 l Leche : 6 l Café con leche : l 2 1 4 1 2 3 ①  4 + 4 ②  7 + 7 ③  8 + 8 3 4 6+6= = Puedo expresarlo como 2 2 2 4 3 6 un número mixto. ④  3 + 3 ⑤  5 + 5 ⑥  9 + 9 26 27
  • 14. Leche: 1l Leche: 1l Resta con fracciones 3 Fracciones, números decimales y números enteros 7 4 4 ¿Cuánto más grande es 8 de litro de jugo que 8 Cocientes y fracciones de litro de leche? Piensa cómo calcular la respuesta. 1 Si repartimos equitativamente 2 litros l 1O 1l O 1l O de leche entre alumnos, ¿cuántos litros recibirá cada uno? 2 − = ① Realiza estas operaciones utilizando los números del 1 al 5 en el 2 ,2 ,2 ,2 ,2 7 4 ② Agrupa las expresiones de arriba en los siguientes grupos dependiendo 8-8= La diferencia es cuántos octavos más hay. del tipo de resultado. Cocientes que sean números enteros. ( ) 5 Piensa cómo harías las siguientes restas. 4 2 5 ① 3-3 ② 1- 7 Cocientes que sean números decimales ( ) Cocientes que contengan un número indefinido de dígitos en su parte decimal ( ) 23 es 0.666... Este número tiene una cantidad indefinida de dígitos en su parte decimal. ③ Si repartimos equitativamente 2 litros entre 3 alumnos, Cuando hacemos restas con fracciones que tienen el ¿cuántos litros recibirá cada uno? l 1O l 1O mismo denominador, restamos los numeradores y los Colorea la porción que denominadores quedan igual. le toca a un alumno. 5 4 3 3 5 1 ¿Cuántos litros es esa porción? ①  8 - 8 ②  7 - 7 ③  6 - 6 3 2 13 5 2 ④  4 - 4 ⑤  12 - 12 ⑥  1 - 5 Analicemos cómo expresar el cociente de una división cuando tiene un número indefinido de dígitos en su parte decimal. 28 29
  • 15. 1l 1l 1l Fracciones, números decimales y números enteros l 3 Si dividimos una cinta de 2 metros en 5 partes iguales, ¿cuántos metros 1 1 l l medirá cada una de esas partes? 3 3 ① Expresa el cociente de estas divisiones como una fracción y después Cantidad para un alumno cuando 1 litro se divide en 3 partes iguales l como número decimal. La cantidad para un alumno cuando se reparten 2 litros en 3 partes iguales. l 25= 25= 23= ② Ubica en esta recta numérica la fracción 2 y también su 5 valor decimal. 2 ¿Cuántos metros mide cada tramo cuando una cuerda de 3 metros se 0 0.2 1 2 (m) divide en 4 partes iguales? 0 1 1 2 (m) 5 ① Escribe una expresión matemática para este problema. 3 ② ¿Cuál es la longitud de una parte? 34= 4 ¿Qué cantidad es mayor, ¿ l o 0.7 litros? 5 0 1 (m) 1l 1l 14 1 m 3 5= = 0 4 1 2 (m) 3 5 24 m 0 1 2 3 (m) 34 m Para expresar una fracción como número decimal o como número entero, dividimos el numerador entre el denominador. La división de un número entre otro 5 Expresa las siguientes fracciones como números decimales. ● puede expresarse como una fracción. ●■= ① 3 ■ 10 = 29 ② 100 = La división puede expresarse como una fracción. 12 ③ 4 = 124 = 3 8 ④ 5=5= Reescribe las siguientes divisiones como fracciones. 1 85 = ① 16 ② 58 ③ 43 ④ 97 30 31
  • 16. 6 Veamos cómo expresar 2 y 5 como fracciones. 8 Clasifica estas fracciones en los grupos que se indican. 2 8 1 4 3 3 1 6 2=21= 1 5=51= ① ② 1 ③ ④ ⑤ ⑥ 2 ⑦ 10 2 11 5 1 3 2 4 Números enteros. 2=42= 2 5=102= Con un número definido de dígitos decimales. 2=8 = 5=30 = Otro tipo de números decimales. 9 Dibuja una ↓ para indicar la posición de cada uno de los siguientes Los números enteros pueden expresarse como fracciones números en la recta numérica de abajo. usando cualquier denominador. 4 7 3 2 0.6 1 2 1.25 5 20 4 3 7 Expresa los números 0.19 y 1.7 como fracciones. ① Como 0.19 es lo mismo que 19 veces 0.01 Los números enteros, los números decimales y las 1 podemos pensarlo como 19 veces y obtenemos . fracciones pueden ubicarse en una recta numérica. Así es 100 más fácil compararlos. ② Como 1.7 es lo mismo que veces 0.1, Se facilita la comparación de fracciones si las expresamos como podemos pensarlo como 17 veces y obtenemos . números decimales. 2 3 = 23=0.666…➝aproximadamente 0.67 Muchos números decimales pueden expresarse como 1 1 fracciones si elegimos y como unidades. 10 100 1 Ordena los siguientes números del mayor al menor. 4 1 7 5 1.3 0.75 1 2 2 10 7 Escribe en los los números decimales y las fracciones que faltan. Decimales 2 Expresa los siguientes números decimales como fracciones y las fracciones como números decimales. Fracciones ① 0.9 3 24 2 ② 1.25 ③  ④  ⑤  1 4 6 5 32 33
  • 17. ¿Podemos hacer operaciones con números mixtos? 1 Analiza los siguientes pares de fracciones y página 25 en cada pareja encierra en un círculo la fracción de mayor valor. 1 La familia de Masako bebe 1 3 litros de leche en la mañana y 5 4 litros de leche en la tarde. ① ( 7 5 , 8 8 ) ② ( 8 3 , 8 5 ) ③ ( 2 3 , 6 9) 5 ① ¿Cuántos litros de leche bebieron en total? Escribe una operación que 2 Realiza las siguientes operaciones. páginas 26~28 represente esto. 1 1 2 3 5 3 ① ② ③ 3+3 5+5 6+6 ② Piensa cómo calcular la respuesta. 5 1 5 2 7 ④ - ⑤ - ⑥ 1- 7 7 4 4 8 3 4 5+5= 1 1 3 Expresa como fracciones las siguientes divisiones. 5 página 30 = (grupo) ① 17 ② 59 ③ 113 4 Expresa las siguientes fracciones como números decimalest. ③ ¿Cuánta leche bebieron más en la página 31 mañana respecto a la tarde? Escribe 5 31 18 1 una operación que represente esto. ① 10 ② 100 ③ 6 ④ 1 no puedo restar 4 5 página 32 Expresa los siguientes números decimales como fracciones. ④ Piensa cómo calcular la (cambio) ① 0.3 ② 1.9 ③ 0.61 ④ 1.11 respuesta. 6 Indica con una ↓ la posición en la recta numérica 3 4 4 5-5= 5 -5 1 de cada uno de los siguientes números. página 33 1 2 0.7 5 1.8 7 = 1 5 20 5 2 Realiza las siguientes operaciones. 2 6 2 3 ① 7 +1 7 ② 1 4-4 34 35
  • 18. ¿Será posible iniciar el 1 Expresa las siguientes divisiones como fracciones. cálculo con 3+4? ・Entender la relación  que hay entre la división con enteros y las fracciones. • ¿Cuál es el elemento que tienen en común las siguientes ① 45 ② 69 ③ 208 fracciones? 3 4 3 4 3 4 2 Expresa las siguientes fracciones como números decimales o como números 5+5 7+7 10 + 10 enteros y los números decimales como fracciones. ・Expresar cantidades como números decimales, como fracciones y como números enteros. 3 4 se resuelve sumando 3+4 si pensamos 1 como la unidad. 5+5 5 1 16 1 ① 2 ② 8 ③ 1 5 ④ 0.6 ⑤ 0.12 1 ¿Con qué unidades debemos resolver las siguientes operaciones 3 Resuelve las siguientes operaciones. para que se comporten como si calculáramos 3+4? ・Resolver  sumas y restas con fracciones que tienen  el mismo denominador ① 0.3+0.4 ................... La unidad es . 3 2 5 7 4 3 3 ① ② ③ ④ 1- 6+6 8+8 8-8 5 ② 3000+4000 ............. La unidad es . 4 Utiliza dos de las tarjetas 3 , 4 , 5 , 6 y 7 para crear 3 4 ③ 9+9 .................... La unidad es . fracciones. Clasifica las fracciones en tres grupos como se indica. ・Expresar fracciones como números decimales ó números enteros. 2 Encuentra otras operaciones cuyo proceso sea equivalente al que Fracciones que pueden expresarse como números enteros. realizamos con 3+4. ( ) Puedo pensar en cálculos Puedo hacer muchos cálculos como esos usando Fracciones que pueden expresarse como decimales con un número con números grandes, fracciones con distinto determinado de dígitos. como cien millones y denominador. un trillón. ( ) Fracciones que no pueden expresarse como decimales con un número determinado de dígitos. ( ) ■ Ir a la página 37 ■ Ir a la página 88 36 37
  • 19. 5 Calcula el área de las siguientes figuras. 8 6 1 Resuelve estas operaciones en la forma vertical. 6 ① ② ① 1.32 ② 5.117 ③ 94 ④ 1.43.5 ⑤ 6.94.6 ⑥ 3.62.4 6 cm 5 cm ⑦ 6.10.4 ⑧ 0.80.5 ⑨ 0.72.5 7 cm 4 cm 3 cm 2 Haz estas divisiones encontrando el cociente hasta 6 paralelogramo números enteros e indica cuál es el residuo. ① 6.11.7 ② 9.70.6 6 Encuentra cómo calcular el área de estas figuras. 8 ① ② 3 Tenemos 13.5 Kg de arroz. Si comemos 0.9 Kg en un día, 6 4 cm ¿cuántos días podremos comer arroz? 3 cm 5 cm 5 cm 3 cm 3 cm 8 8 cm 4 Escribe en el las medidas que faltan. Trapecio ① ② 7 Realiza las siguientes operaciones. 9 3 1 3 1 5 6 ① ② ③ 5+5 4+4 7+7 5 3 7 3 1 Triángulo isósceles ④ 4-4 ⑤ 9-9 ⑥ 1- 10 ③ 8 Necesitamos dividir equitativamente una cuerda de 3m 9 entre 8 alumnos. ¿Cuántos metros de cuerda recibirá cada uno? Paralelogramo 9 Cuál es mayor, ¿0.75 o 3 ? 9 5 38 39
  • 20. Círculos 1 Diámetro y circunferencia 1 Analicemos la relación entre la circunferencia y el diámetro en Recorta un pedazo de cartón para trazar los círculos ⓐ, ⓑ y ⓒ, cuyos diámetros miden 10cm, 20cm y 30cm, respectivamente. Después hazlos diferentes círculos. rodar una vuelta completa y mide cuánto avanzan. ① Veamos algunas formas para medir circunferencias y diámetros. Medida de la circunferencia Medida del diámetro ② Anota los datos en la siguiente tabla. Lata Círculo Círculo Círculo (longitud cinta) Circunferencia cm) ( Diámetro cm) ( 10 20 30 ① Discute con tus compañeros sobre la relación entre la distancia que avanza cada círculo y la longitud de sus diámetros. ③ ¿Existirá una fórmula para determinar la relación entre la ② Haz una estimación de cuántos cm avanzará en una vuelta un círculo circunferencia y el diámetro? cuyo diámetro mide 40cm y comprueba tu predicción. Cuando el diámetro se duplica, ¿Qué tanto ¿Cuántas A la línea curva que limita un círculo se le llama se incrementa la veces cabe el circunferencia? diámetro en la circunferencia. A un segmento de esa curva se le circunferencia? llama arco. Analiza la relación que hay entre el diámetro de un círculo y la longitud de su circunferencia. 40 41
  • 21. ④ ¿Cuántas veces cabe el diámetro en la circunferencia? 3 La circunferencia de una lata cilíndrica mide 62.8 cm. Usa tus datos para calcular redondeando ¿Cuántos cm mide el diámetro de la lata? al milésimo más cercano. ① Si el diámetro de la lata es cm, escribe una expresión Círculo de cartón Círculo de cartón Círculo de cartón Lata Cinta de embalaje matemática aplicando la fórmula que utilizaste en 2 . Circunferencia(cm) ② ¿Cuántos cm mide el diámetro Diámetro(cm) 10 20 30 de la lata? Circunferencia Diámetro 3.14=62.8 “Circunferencia ÷ Diámetro” da el mismo resultado para 1 Los datos de abajo son las longitudes de las circunferencias de círculos de cualquier tamaño. unos círculos. Calcula el diámetro de cada uno. ① 28.26 cm ② 31.4 cm ③ 37.68 cm A la división Circunferencia ÷ Diámetro se le llama razón 2 Esta fotografía muestra una imagen entre la circunferencia y el diámetro de una moneda antigua dibujada sobre Razón de la circunferencia y el diámetro = circunferencia diámetro arena en la Ciudad de Kannonji en el parque Kagawa. La circunferencia de La razón entre la circunferencia y el diámetro es 3.14159... esta moneda gigante es 345 m. Este es un número que continúa indefinidamente. Usualmente se Calcula su diámetro redondeado al décimo más cercano. emplea la aproximación 3.14. 2 ¿Cuántos centímetros mide la circunferencia de un ¿Cuántos metros mide el diámetro del tronco de este árbol? círculo de 8cm de diámetro? Se necesitan seis niños con sus brazos estirados para rodear el tronco del árbol en un parque. ¿Cuántos metros Circunferencia=Diámetro 3.14 medirá el diámetro de este árbol? Los brazos de cada niño cubren una longitud aproximada de 1.4 metros. Calcula el diámetro del tronco usando 3 como Calcula la circunferencia de los siguientes círculos. valor aproximado para la razón entre la circunferencia ① Un círculo cuyo diámetro mide 15 cm. ② Un círculo cuyo radio mide 25 cm. y el diámetro. 42 43