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Radicales en r
El documento explica conceptos básicos sobre radicales, incluyendo la definición de radicales de diferentes grados, radicales homogéneos y semejantes, así como la simplificación, homogenización, extracción e introducción de factores dentro y fuera del radical. Se detallan operaciones con radicales como la adición, sustracción, multiplicación y división, proporcionando ejemplos prácticos para cada caso. También se presentan ejercicios para practicar la simplificación de radicales y la extracción de factores.
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- 1.
- 2. n a RADICAL radicando índice Grado de unradical Raíz Grado 𝟓 Radical de grado 2 𝟑 −𝟏𝟐 Radical de grado 3 𝟒 𝟑𝟎 Radical de grado 4 𝐧 𝐛 Radical de grado «n» Coeficiente de un radical El coeficiente es el factor que multiplica al radical. 𝟑 𝟐→ indica 3 veces 𝟐 5 𝟑 𝟒→ indica 5 veces 𝟑 𝟒
- 3. Radicales homogéneos Son aquellosradicales que tienen el mismo índice de la raíz. 𝟑 𝟕; 𝟑 −𝟐; 𝟑 𝟐𝒂 , son radicales homogéneas de grado 3 Radicales semejantes Dos o más radicales son semejantes si son homogéneos y tienen el mismo radicando. 𝟒 𝟒 𝟓; −𝟑 𝟒 𝟓; 𝟐 𝟒 𝟓 , son radicales semejantes. Simplificación de radicales Es el procedimiento que consiste en descomponer el radicando en el producto de sus factores primos y luego extraer todos los factores posibles. Ejemplo: Simplifica 𝟒𝟖 48 2 48 =𝟐 𝟒. 𝟑 24 2 12 2 𝟒𝟖 = 𝟐 𝟒. 𝟑 6 2 3 3 𝟒𝟖 = 𝟒 𝟑 1
- 4. Homogenización de radicales Parahomogenizar radicales se procede de la siguiente manera: • Se determina el MCM de los índices de la raíz. • El MCM se convierte en el índice de la raíz de los radicales homogéneos. • Se aplica el teorema fundamental de los radicales: 𝒏 𝒂 𝒎 = 𝒏𝒌 𝒂 𝒎𝒌 • Para hallar el valor de «k» se divide el MCM entre cada uno de los índices de la raíz. Ejemplo: Homogeniza 𝟓; 𝟒 𝟑; 𝟓 𝟐 Calculamos el MCM de 2; 4 y 5. 2 - 4 - 5 2 1 - 2 - 5 2 1 - 1 - 5 5 1 - 1 - 1 MCM = 20 Entonces: 20:2=10 20:4=5 20:5=4 𝟐.𝟏𝟎 𝟓 𝟏𝟎 𝟒.𝟓 𝟑 𝟓 𝟓.𝟒 𝟐 𝟒 Luego, los radicales homogenizados son: 𝟐𝟎 𝟓 𝟏𝟎 ; 𝟐𝟎 𝟑 𝟓 ; 𝟐𝟎 𝟐 𝟒
- 5. Extracción de factoresfuera del radical Se extrae la raíz de los factores que tienen raíz enésima exacta y el resultado se extrae como factor común fuera del signo radical. Ejemplo: Extrae todos los factores posibles de 𝟑 𝟏𝟎𝟖. 108 2 108=𝟐 𝟐. 𝟑 𝟑 54 2 27 3 𝟑 𝟏𝟎𝟖 = 𝟑 𝟐 𝟐. 𝟑 𝟑 9 3 3 3 𝟑 𝟏𝟎𝟖 = 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 1 Introducción de factores dentro del signo radical Se escribe el factor a introducir elevado al exponente igual que el índice de la raíz y el resultado se multiplica por el radicando. Es decir: 𝒂 𝒏 𝒃 = 𝒏 𝒂 𝒏. 𝒃 Ejemplo: Introduce los coeficientes al radicando: 𝟓 𝟑 = 𝟓 𝟐. 𝟑 = 𝟕𝟓 𝟐 𝟑 𝟕 = 𝟑 𝟐 𝟑. 𝟕 = 𝟑 𝟓𝟔 𝟑 𝟓 𝟖 = 𝟓 𝟑 𝟓. 𝟖 = 𝟓 𝟏𝟗𝟒𝟒
- 6. Operaciones con radicales Adicióny sustracción con radicales • Radicales semejantes. Se suman y restan los coeficientes y se multiplican por el radical común. Ejemplo: Efectúa: 𝟏𝟓 𝟓 − 𝟏𝟏 𝟓 + 𝟑 𝟓 𝟏𝟓 − 𝟏𝟏 + 𝟑 𝟓 = 𝟕 𝟓 • Radicales no semejantes: Ejemplo: Efectúa 𝟐𝟎 + 𝟒𝟓 − 𝟖𝟎 𝟐 𝟐. 𝟓 + 𝟑 𝟐. 𝟓 − 𝟒 𝟐. 𝟓 = 𝟐 𝟓 + 𝟑 𝟓 − 𝟒 𝟓 = 𝟓 Multiplicación con radicales • Radicales homogéneos. 𝒏 𝒂. 𝒏 𝒃 = 𝒏 𝒂. 𝒃 Ejemplo: Efectúa: 𝟑 𝟐𝟓 × 𝟑 𝟓 = 𝟑 𝟐𝟓 × 𝟓 = 𝟑 𝟏𝟐𝟓 = 𝟓 • Radicales no homogéneos: Se homogenizan los radicales con: 𝒎 𝒙 𝒏 = 𝒎𝒌 𝒙 𝒏𝒌 Ejemplo: Efectúa: 𝟓 × 𝟑 𝟑 = 𝟔 𝟓 𝟑 × 𝟔 𝟑 𝟐 = 𝟔 𝟓 𝟑 × 𝟑 𝟐 = 𝟔 𝟏𝟏𝟐𝟓
- 7. División con radicales •Radicales homogéneos. 𝒏 𝒂 ÷ 𝒏 𝒃 = 𝒏 𝒂 ÷ 𝒃 Ejemplo: Efectúa: 𝟏𝟖 𝟓 𝟔𝟒 ÷ 𝟑 𝟓 𝟐 = 𝟏𝟖 ÷ 𝟑 𝟓 𝟔𝟒 ÷ 𝟐 = 𝟔 𝟓 𝟑𝟐 = 𝟔 × 𝟐 = 𝟏𝟐 • Radicales no homogéneos: Se homogenizan los radicales con: 𝒎 𝒙 𝒏 = 𝒎𝒌 𝒙 𝒏𝒌 Ejemplo: Efectúa: 𝟗 𝟑 𝟔 ÷ 𝟑 𝟓 = 𝟗 𝟔 𝟔 𝟐 ÷ 𝟑 𝟔 𝟓 𝟑 = (𝟗 ÷ 𝟑) 𝟔 𝟔 𝟐 ÷ 𝟓 𝟑 = 𝟑 𝟔 𝟑𝟔 𝟏𝟐𝟓 Potencia de un radical 𝒏 𝒂 𝒑 = 𝒏 𝒂 𝒑 Ejemplo: Efectúa: 𝟑 𝟕 𝟓 = 𝟑 𝟕 𝟓 = 𝟑 𝟕 𝟑 × 𝟕 𝟐 = 𝟕 𝟑 𝟒𝟗 Raíz de un radical 𝒎 𝒏 𝒂 = 𝒎𝒏 𝒂 Ejemplo: Efectúa: 𝟑 𝟒 𝟏𝟏 𝟔 = 𝟑.𝟒 𝟏𝟏 𝟔 = 𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟔 = 𝟏𝟏
- 8. Ejercicios 1. Simplifica lossiguientes radicales: 𝟏𝟐𝟖, 𝟑 𝟔𝟖𝟔 Solución: Descomponemos los radicando en el producto de sus factores primos. 128 2 686 2 64 2 343 7 32 2 49 7 16 2 7 7 8 2 1 4 2 2 2 1 𝟏𝟐𝟖 = 𝟐 𝟔 × 𝟐 = 𝟐 𝟑 𝟐 = 𝟖 𝟐 𝟑 𝟔𝟖𝟔 = 𝟑 𝟕 𝟑 × 𝟐 = 𝟕 𝟑 𝟐 2. Extrae todos los factores posibles del siguiente radical, luego simplifica: 𝟓 𝟐 𝟖 × 𝟑 𝟏𝟏 × 𝟓 𝟏𝟔 Solución: 𝟓 𝟐 𝟖 × 𝟑 𝟏𝟏 × 𝟓 𝟏𝟔 = 𝟓 𝟐 𝟓 × 𝟐 𝟑 × 𝟑 𝟏𝟎 × 𝟑 × 𝟓 𝟏𝟓 × 𝟓 = 𝟓 𝟐 𝟓 × 𝟓 𝟐 𝟑 × 𝟓 𝟑 𝟏𝟎 × 𝟓 𝟑 × 𝟓 𝟓 𝟏𝟓 × 𝟓 𝟓 = 𝟐 × 𝟑 𝟐 × 𝟓 𝟑 × 𝟓 𝟐 𝟑 × 𝟑 × 𝟓 = 𝟐𝟐𝟓𝟎 𝟓 𝟏𝟐𝟎 3. Introduce el coeficiente en el radical. 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟓 Solución: 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟓 = 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 × 𝟏 𝟓 = 𝟑 𝟖 𝟏𝟑𝟓
- 9. 4. Calcula elvalor de A.B, si: A =𝟑 𝟏𝟐 + 𝟐 𝟒𝟖 − 𝟒 𝟕𝟓 B =5 𝟖 − 𝟐 𝟑𝟐 + 𝟑 𝟏𝟖 Solución: A = 𝟑 𝟐 𝟐 × 𝟑 + 𝟐 𝟐 𝟒 × 𝟑 − 𝟒 𝟓 𝟐 × 𝟑 A = 𝟑 × 𝟐 𝟑 + 𝟐 × 𝟒 𝟑 − 𝟒 × 𝟓 𝟑 A = 𝟔 𝟑 + 𝟖 𝟑 − 𝟐𝟎 𝟑→A = −𝟔 𝟑 B = 5 𝟐 𝟐 × 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝟒 × 𝟐 + 𝟑 𝟑 𝟐 × 𝟐 B = 5 𝟐 𝟐 × 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝟒 × 𝟐 + 𝟑 𝟑 𝟐 × 𝟐 B =5× 𝟐 𝟐 − 𝟐 × 𝟒 𝟐 + 𝟑 × 𝟑 𝟐 B =𝟏𝟎 𝟐 − 𝟖 𝟐 + 𝟗 𝟐→B = 1𝟏 𝟐 Luego: A.B = −𝟔 𝟑 1𝟏 𝟐 = −𝟔𝟔 𝟔 Rpta.: −𝟔𝟔 𝟔 5. Si M = 𝟑 × 𝟑 𝟐 y N = 𝟑 𝟑 × 𝟒 𝟐, calcula el valor de: 𝟒 𝑴 × 𝑵. Solución: M = 𝟑 × 𝟑 𝟐→ MCM(2; 3) = 6 M = 𝟔 𝟑 𝟑 × 𝟔 𝟐 𝟐→ M = 𝟔 𝟑 𝟑 × 𝟐 𝟐 N = 𝟑 𝟑 × 𝟒 𝟐→MCM(3; 4) =12 N = 𝟏𝟐 𝟑 𝟒 × 𝟏𝟐 𝟐 𝟑→N = 𝟏𝟐 𝟑 𝟒 × 𝟐 𝟑 Luego: 𝟒 𝑴 × 𝑵 = 𝟒 𝟔 𝟑 𝟑 × 𝟐 𝟐 × 𝟏𝟐 𝟑 𝟒 × 𝟐 𝟑 = 𝟐𝟒 𝟑 𝟑 × 𝟐 𝟐 × 𝟐𝟒 𝟑 𝟒 × 𝟐 𝟑 = 𝟐𝟒 𝟑 𝟕 × 𝟐 𝟓 Rpta.: 𝟐𝟒 𝟑 𝟕 × 𝟐 𝟓