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Relaciones metricas en el triangulo
- 1. RELACIONES MÉTRICAS ENEL TRIÁNGULO PROFESOR: ALBERTO ATOCHE LÓPEZ
- 2. L 2 PROYECCIONES Se llama proyecciónortogonal de un punto sobre una recta, al pie de la perpendicular trazada desde el punto a la recta. P P´ P´ = Proyección de P sobre la recta L
- 3. L 3 PROYECCIÓN DE UNSEGMENTO La proyección de un segmento AB sobre una recta L es el segmento cuyos extremos son las proyecciones de los extremos de AB sobre L. A B C D E F H A´ B´ C´ D´ E´ G H´
- 4. SON EXPRESIONES QUERELACIONAN LAS MEDIDAS DE LOS ELEMENTOS DE LOS TRIÁNGULOS 4
- 5. 5 ELACIONES MÉTRICAS ENTRIÁNGULOS RECTÁNGULO Cuando en un triángulo rectángulo se traza la altura relativa a la hipotenusa, se forman los siguientes triángulos semejantes: A B C AHB ∼ BHC ∼ ABC H h α α a b c β β m n α h n a β m h c α h n a ⊥ c a b β m h c ⊥ c a b = = = = = = Efectuando los productos cruzados entre colores iguales se tendrá …
- 6. 1) TEOREMA DELCATETO n m c A C B b a a2 =mc b2 =nch 6
- 7. 2) TEOREMA DEPITAGORAS n m c A C B b a a2 +b2 =c2h 7 Sumando las dos relaciones del Teorema del Cateto:
- 8. 3) TEOREMA DELA ALTURA n m c A C B b a h2 =mn h 8
- 9. 4) TEOREMA DELPRODUCTO DE CATETOS n m c A C B b a ab=ch h 9
- 10. 5) TEOREMA DELA INVERSA DE LOS CATETOS n m c A C B b a h 1 1 1 a2 b2 h2 + = 10
- 11. 1) Hallar elvalor de “x·” en la figura 10 A C B x 8 a)10 b)8 c)5 d)6 e)9 solución 11
- 12. 2) Hallar elvalor de “x·” en la figura 9 A C B x a)11 b)15 c)12 d)9 e)6 16 solución 12
- 13. 3) Hallar elvalor de “x·” en la figura 4 x a)12 b)7 c) 9 d)8 e)11 6 solución 13
- 14. 4) Hallar elvalor de “x·” en la figura 8 A C B a)12 b)14 c)10 d)16 e)18 x 12 solución 14
- 15. 5) Hallar elvalor de “x·” en la figura A C B 24 a)6,72 b)6 c)5,36 d)1,5 e)6,3 25 x solución 15
- 16. Ejercicio 1 Utilizando elteorema de Pitágoras: x2 +82 = 102 x2 =102 - 82 x2 =100-64 x2 =36 x=6 Respuesta: d)6ir a ejercicio 2 16
- 17. Ejercicio 2 c=9+16=25 Utilizando elteorema del cateto: x2 =(9)(25) x2 =225 x=15 Respuesta: b)15 ir a ejercicio 3 17
- 18. Ejercicio 3 Utilizando elteorema del cateto: 62 = 4x 36= 4x 4x=36 x=9 Respuesta: c)9 ir a ejercicio 4 18
- 19. Ejercicio 4 Utilizando elteorema de la altura: 122 =8x 144=8x 8x=144 x=18 Respuesta: e)18 ir a ejercicio 5 19
- 20. ◦ Ejercicio 5 Utilizandoel teorema de Pitágoras y2 +242 = 252 y2 =252 - 242 y2 =49 y=7 Usando el teorema del producto del cateto (7)(24)=25x 168=25x x=6,72 Respuesta: a)6,72 20
- 21. HACIENDO USO DELTEOREMA DE PITÁGORAS, SE PUEDEN HALLAR: LAS RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
- 22. 1) TEOREMA DEEUCLIDES I a2 =b2 + c2 – 2bp c2 =a2 + b2 – 2bm 22
- 23. 2) TEOREMA DEEUCLIDES II a2 =b2 + c2 + 2bp 23
- 24. 3) TEOREMA DELA MEDIANA a2 +c2 =2BM2 + b2 /2 24
- 25. 4) TEOREMA DELA BISECTRIZ INTERIOR BD2 = a.c – m.n 25
- 26. 5) TEOREMA DELA BISECTRIZ EXTERIOR BD2 = m.n – a.c 26
- 27. 6) TEOREMA DESTEWART (CEVIANA) d2 a = nc2 + mb2 - nma 27
- 28. 7) TEOREMA DEHERÓN (ALTURA) 28 )cp)(bp)(ap(p b 2 h −−−= 2 cba p ++ =
- 29. 29 TRIÁNGULOS NOTABLES Son aquellosque: Son triángulos rectángulos Las medidas de sus ángulos son enteros Las relaciones entre sus lados son fracciones 30° - 60° A B C ∆ ABC = equilátero H 30° 60°60° L LL 2 L 2 3L También se presenta 30° 60° L 2L3L 30° 60° L 3 L 3 2L
- 30. 30 45° - 45° AB CD ABCD = cuadrado 45° 45° L L2L también puede ser 45° 45° L 2 L 2 L
- 31. 31 15° - 75° A B C 15° 15° M L H h 30° = 2 L en el BHM, h = 4 L 2 2/L 2 == 4 L h = )26L( + )26L( −
- 32. 32 TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS Son aquellostriángulos rectángulos cuyas longitudes de lados son números enteros En general, los lados de los triángulos pitagóricos obedecerán a la siguiente forma nm⋅ 2 nm 22 + 2 nm 22 − Donde m y n son números impares primos entre sí.
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