A continuación se exponen conceptos relacionados con la recta real, orden entre los números reales e intervalos

1. Recta real e intervalos
Francisco Niño Rojas

2. Recta real (orden entre los
números reales)
Lo números reales pueden ser representados por puntos sobre una recta, a esta
recta se le llama recta de los números reales o recta numérica o recta real. A cada
número real 𝑥 le corresponde exactamente un punto sobre la recta y a cada punto 𝐴
sobre la recta real, llamado coordenada, le corresponde un número real.
Inicialmente se escoge un punto de partida 𝑂, llamado el origen, y se le asigna el
número real 0 (cero). Las posiciones ubicadas a la derecha del origen se consideran
positivas (+) y las de la izquierda negativas (−), como se muestra a continuación,
el numero 0 no es ni positivo, ni negativo.

3. Ilustración
El punto 2 se ubica a la derecha del origen como lo muestra la figura. De manera
similar se ubican los números 2.33, 𝜋 y
23
5
. Análogamente la coordenada del punto
situado 1.5 unidades hacia la izquierda le corresponde le corresponde el número
− 1.5.

4. Orden entre los números reales
Es importante resaltar la diferencia entre un número real negativo y el negativo de
un número real. Por ejemplo, el negativo del número real −3 es − −3 = 3. Es así,
que el negativo de un número real, puede ser positivo. En términos generales
tenemos las siguientes relaciones.
 Si 𝑎 es un numero positivo, entonces – 𝑎 es negativo
 Si 𝑎 es un numero negativo, entonces – 𝑎 es positivo
A continuación definimos las nociones de mayor que y menor que para números
reales 𝑎 y 𝑏. Los símbolos > y < son signos de desigualdad, y las expresiones
𝑎 > 𝑏 y 𝑎 < 𝑏 se conocen como desigualdades.
El siguiente cuadro resume la notación, definición y terminología de las
desigualdades.

5. Orden entre los números reales
El siguiente cuadro resume la notación, definición y terminología de las
desigualdades.
Lo anterior manifiesta que si 𝑎 > 𝑏 entonces 𝒂 está a la derecha de 𝑏, asi mismo, si
𝒂 < 𝒃, entonces 𝑎 está a la izquierda de 𝑏.
Notación Definición Terminología
𝒂 > 𝒃 𝑎 − 𝑏 es positivo 𝑎 es mayor que 𝑏
𝒂 < 𝒃 𝑎 − 𝑏 es negativo 𝑎 es menor que 𝑏

6. Orden entre los números reales
Ilustración
 6 > 4, porque 6 − 4 = 2 es positivo.
 −5 < −2, porque −5 − −2 = −5 + 2 = −3 es negativo.

1
4
> 0,2, porque
1
4
− 0,2 =
1
20
es positivo.
 −3 < 0, porque −3 − 0 es negativo.
Frecuentemente se señala que si un número real 𝒂 es positivo, es porque 𝒂 > 0,
análogamente, si un número real 𝒂 es negativo, es porque 𝒂 < 0.

7. Orden entre los números reales
El conjunto de los números reales, es un conjunto ordenado. Esto quiere decir, que
dados dos números reales cualesquiera, se puede decir quien es mayor, menor o
igual. La siguiente ley permite comparar u ordenar, dos números reales.
Ley deTricotomía
Si 𝑎 y 𝑏 son números reales, entonces exactamente una de las expresiones
siguientes son verdaderas:
𝑎 = 𝑏, 𝑎 > 𝑏, o bien 𝑎 < 𝑏

8. Ejemplo ilustrativo
Indique el símbolo correcto (< , >, =) en el recuadro.
Se considera que el signo de un número real es positivo si la cifra es positiva, o
negativo si es negativa. Dos números reales tienen el mismo signo si ambos son
positivos o ambos son negativos. Los números tienen signos opuestos si uno es
positivo y el otro negativo.
<
Indique el símbolo correcto (< , >, =) en el recuadro.
2 72 0,05 120 3 1.4
Solución
2 < 72 0,05 = 120 3 > 1.4<
Indique el símbolo correcto (< , >, =) en el recuadro.
2 72 0,05 120 3 1.4
Solución
2 < 72 0,05 = 120 3 > 1.4<
Indique el símbolo correcto (< , >, =) en el recuadro.
2 72 0,05 120 3 1.4
Solución
2 < 72 0,05 = 120 3 > 1.4

9. Leyes de los signos
 A continuación se muestra algunas leyes de los signos.
 Si 𝑎 y 𝑏 tienen el mismo signo, entonces 𝑎𝑏 y
𝑎
𝑏
son positivos.
 Si 𝑎 y 𝑏 tienen el mismo opuestos, entonces 𝑎𝑏 y
𝑎
𝑏
son negativos.
 Si 𝑎𝑏 es positivo, entonces 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 ,o, 𝑎 < 0 y 𝑏 < 0
 Si 𝑎𝑏 es negativo, entonces 𝑎 > 0 y 𝑏 < 0 ,o, 𝑎 < 0 y 𝑏 > 0
 Si
𝑎
𝑏
es positivo, entonces 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 ,o, 𝑎 < 0 y 𝑏 < 0
 Si
𝑎
𝑏
es negativo, entonces 𝑎 > 0 y 𝑏 < 0 ,o, 𝑎 < 0 y 𝑏 > 0

10. Ejemplo ilustrativo
Determine el signo de
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
si 𝑎 > 0 y 𝑏 < 0.
Solución
Como 𝑎 es un número positivo y 𝑏 es un número negativo, 𝑎 y 𝑏 tienen signos
opuestos. Por lo tanto,
𝑎
𝑏
y
𝑏
𝑎
son ambos negativos. La suma de dos números
negativos es un número negativo. Es por eso que el signo de
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
es negativo.
Dicho de otra forma
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
< 0

11. Desigualdades “no estrictas”
Adicional a lo anterior, existe desigualdades “no estrictas”, esto quiere decir que se
puede considerar la igualdad, estas son
𝒂 ≥ 𝒃, 𝑎 es mayor o igual que 𝑏, significa que 𝑎 > 𝑏 o 𝑎 = 𝑏 (pero no ambos) y
𝒂 ≤ 𝒃, 𝑎 es menor o igual que 𝑏, significa que 𝑎 < 𝑏 o 𝑎 = 𝑏 (pero no ambos).
Una expresión de la forma 𝑎 < 𝑏 < 𝑐, se denomina desigualdad continua y quiere
decir que 𝑎 < 𝑏 y 𝑏 < 𝑐. Se dice que 𝑏 esta entre 𝑎 y 𝑐. Análogamente, la expresión
𝑎 > 𝑏 > 𝑐 significa que 𝑎 > 𝑏 y 𝑏 > 𝑐.

12. Ejemplo
Ilustración de ordenamiento de tres números reales
1 < 4 <
13
3
−3 <
1
2
< 2 0 > −2 > −10
Otros tipos de desigualdades continuas son:
 𝑎 ≤ 𝑏 < 𝑐, significa 𝑎 ≤ 𝑏 y 𝑏 < 𝑐
 𝑎 < 𝑏 ≤ 𝑐, significa 𝑎 < 𝑏 y 𝑏 ≤ 𝑐
 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐, significa 𝑎 ≤ 𝑏 y 𝑏 ≤ 𝑐

13. Ejemplo
Establezca el orden entre los números reales −1, 𝜋, 3.1,
3
3, −1.1 y 2
Solución
−1.1 < −1 < 2 <
3
3 < 3.1 < 𝜋
Ejercicio. Ubique los puntos anteriores sobre la recta real y verifique el orden.

14. Conjuntos e intervalos
Conjuntos e intervalos
A continuación se estudia la noción de conjunto con sus operaciones básicas como
son la unión e intersección. Además se revisan algunos conjuntos de números reales
llamados intervalos. La clasificación y representación en la recta real de los
intervalos y finalmente la unión e intersección de los mismos.

15. Conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos donde estos objetos son llamados
elementos del conjunto.
Si 𝐴 es un conjunto, la notación 𝑎 ∈ 𝐴, significa que 𝑎 es un elemento de 𝐴, y 𝑏 ∉ 𝐴,
quiere decir que no es un elemento de 𝐴. Por Ejemplo, si 𝑍 representa el conjunto
de números enteros, −5 ∈ 𝑍, pero −
1
5
∉ 𝑍.
Algunos conjuntos se representan mediante llaves. Por ejemplo, el conjunto 𝐵 que
tiene los primeros 5 números primos se puede representar
𝐵 = 2, 3, 5, 7, 11
También se puede representar el conjunto 𝐵 en notación constructiva de conjuntos
como
𝐵 = 𝑥|𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑦 1 < 𝑥 < 12

16. Unión e intersección entre conjuntos
Si 𝐴 y 𝐵 son conjuntos, entonces la unión, que se denota 𝐴 ∪ 𝐵, es el conjunto que
contiene todos los elementos que están en 𝐴 o 𝐵 (o en ambos).
La intersección de 𝐴 y 𝐵 es el conjunto 𝐴 ∩ 𝐵 y contiene los elementos que están en
𝐴 y 𝐵 a la vez. El conjunto vacío, denotado por ∅, es el conjunto que no contiene
elementos.

17. Ejemplo
Si 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; 𝐵 = 5, 6, 7 y 𝐶 = 7, 8, 9 , encontrar 𝐴 ∪ 𝐵; 𝐴 ∩ 𝐵; 𝐴 ∩
𝐶.
Solución:
𝐴 ∪ 𝐵 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Todos los elementos en 𝐴 o 𝐵
𝐴 ∩ 𝐵 = 5, 6 Elementos comunes a 𝐴 y 𝐵
𝐴 ∩ 𝐶 = ∅ 𝐴 y 𝐶 no tienen elementos en común

18. Intervalos
Algunos conjuntos de números reales, llamados intervalos, se presentan con
frecuencia en algunos temas de las matemáticas y corresponden a segmentos de
recta.
Dentro de los tipos de intervalos se distinguen el intervalo abierto y el intervalo
cerrado. El intervalo abierto de 𝑎 hasta 𝑏, está formado por todos los números
reales entre 𝑎 y 𝑏 y se denota (𝑎, 𝑏). El intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏 incluye los
puntos extremos, y se denota 𝑎, 𝑏 . Usando la notación constructiva se pueden
escribir
𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 [𝑎, 𝑏] = {𝑥|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
Los intervalos pueden incluir solo un extremo o se pueden extender hasta el
infinito. A continuación se muestra la lista de posibles intervalos.

19. Intervalos

20. Ejemplo
Exprese cada intervalo en términos de desigualdades y a continuación grafique el
intervalo

21. Ejemplo
Graficar los conjuntos a. 1, 4 ∩ 2, 8 b. 1, 4 ∪ 2, 8
La intersección consta de los números que están en los dos intervalos. Es decir,
1, 4 ∩ 2, 8 = 𝑥|1 < 𝑥 < 4 𝑦 2 ≤ 𝑥 ≤ 8
= 𝑥|2 ≤ 𝑥 < 4 = [2, 4)
Como se muestra a continuación

22. Ejemplo
La unión de un intervalo consta de los números que están en un intervalo o en el
otro (o en ambos). Es decir,
1, 4 ∪ 2, 8 = 𝑥|1 < 𝑥 < 4 𝑜 2 ≤ 𝑥 ≤ 8
= 𝑥|1 < 𝑥 ≤ 8 = (1, 8]
Como se ilustra a continuación