Diagonalización en blocke de las cartesianas del metano, elaboración de matriz simetria generadora y matriz total, comprobación analítica de resultados detalladamente, matriz posición, grupo Td

1. [1]
Las reducibles del metano
Las reducibles del Metano (Td)
By Hector L.Cervantes C.
Abstract.- Obtención de matriz simetrizadora para la diagonalización en bloque de Metano grupo Td;
comprobación analítica de algunas diagonalizaciones, utilizando orbitales S como bases para el carbono
(átomo quiral) y las coordenadas cartesianas como base para átomos de Hidrogeno; especificación de
posiciones matriciales de los UNO´s en la matriz posición de 20x20.
TABLA DE CARACTERES Td
TABLA T2 PARA METANO ORBITALES “S”

2. [2]
Las reducibles del metano
ELABORACIÓN DE LA MATRIZ ELEMENTAL SIMETRIZADORA PARA METANO
Cristo los vectores obtenidos en la tabla T2 no son ortogonales entre sipor lo que se debe de
escoger un vector (1) y elaborar dos vectores restantes que sean ortogonales entre si.
Cristo con la tabla A1 solamente obtuve el vector (5) para elaborar la matriz simetría y con las
tablas E y T1 no obtuve vector para las bases cartesianas.
Cristo con los vectores (1) al (5) se obtienen todos los vectores ortonormales para la matriz
simetrizadora.

3. [3]
Las reducibles del metano
Juntamente con el vector ( 𝟑𝑺 𝟏 − 𝑺 𝟐 − 𝑺 𝟑 − 𝑺 𝟒)/√𝟏𝟐(1)
Cristo con los vectores (1) (6) (9) (5) son suficientes y ortonormales entre si para construir la
simetrización completa de las cartesianas del metano que producirá diagonalización en bloque.
Los vectores (1) (6) (9) pertenecen a T2 puesto que fueron tomados de la tabla T2y el vector (5)
pertenece a la clase A1
La diagonalización del atomoquiral en este caso el carbono está dirigida por la posición de los
átomos de hidrogeno periféricos para cada operación de simetría.
La diagonalización de las cartesianas de los hidrógenos se realiza desfasando los vectores
mencionados, es decir cada coordenada cartesiana es tratada individualmente.
Matriz simetrizadora S para metano
JUSTIFICACIÓN DE LOS VECTORES UTILIZADOS EN LA MATRIZ S
La tabla a continuación es formada con bases cartesianas de los átomos de Hidrógeno para lo que
se muestra a la molécula de metano inscrita en un cubo con coordenadas originales propuestas al
azar.
Fig.1

4. [4]
Las reducibles del metano
Cristo de hecho solamente un vector en rojo resaltado dio directamente, los demás vectores se
obtienen con combinaciones lineales apropiadas de las bases mencionadas.
Los demás vectores estan como ejercicio para que los justifique el lector.
DIAGONALIZACIÓN DE BLOQUE DE REDUCIBLES PARA OPERACIÓN1𝑪 𝟑
𝟏
La matriz inferior es la matriz posición total y la matriz detalle en rojo es el detalle del bloque
diagonalizado.

5. [5]
Las reducibles del metano
La comprobación analítica de las rotaciones de cuerpo en eje inclinado se realiza mediante la
fórmula:
El eje de giro es un vector unitario dirigido en sentido positivo de los giros
COMPROBACIÓN ANALÍTICA DE LAS ROTACIONES EN EJES INCLINADOS
Requerimiento:
DETERMINACIÓN DE SENTIDO POSITIVO DE LOS EJES INCLINADOS
Cristo los vectores columna de la clase T2 se agruparon de manera arbitraria y ello produce, dentro
de la matriz simetría, una rotación automática ó acomodo de ejes coordenados que, en el ejemplo
mencionado ocurre que el eje Z queda orientado a lo largo de el enlace C-H1.

6. [6]
Las reducibles del metano
El sentido positivo de todo eje inclinado de rotación en simetría es desde el átomo periférico
Hidrogeno hacia el átomo quiral (Carbono)
DOS PISTAS PARA DETERMINAR POSICIÓN DE EJES COORDENADOS ORIENTADOS POR
LA MATRIZ ESCOGIDA “S”
1.-La operación 𝟏𝑪 𝟑
𝟏
es la única de las rotaciones en eje inclinado 𝒊𝑪 𝟑
𝟏,𝟐
cuyo resultado matricial
es en torno a un eje inclinado.En este caso la rotación es una rotación en torno al eje Z y por lo
tanto el eje Z esta alineado al enlace H1-C
2.-La reflexión 𝝈𝟔es la única de las 6 reflexiones 𝝈𝒊cuyo resultado es una matriz diagonal
simple. Y coloca al hidrogeno H4 en el plano 𝝈𝟔 y al eje coordenado Y perpendicular a ese
plano de reflexión. H1 x H4 =−𝒀para coordenadas de los hidrógenos del metano dados a
continuación y obtenidos multiplicando la matriz MUB (coordenadas originales dadas en fig.1
Cristo ahora obtengo la matriz de giro MUBútilpara alinear eje Z con dirección H1, giro 45° en
torno a Z de ejes de molécula completa,
Seguida de un giro en torno a X de ángulo de 54.7356° positivo
(
0.866 0.5 0
−0.5 0.866 0
0 0 1
) (
1 0 0
0 0.57735 0.81649
0 −0.81649 0.57735
) (
0.7071 0.7071 0
−0.7071 0.7071 0
0 0 1
) = 𝑀𝑈𝐵
𝑴𝑼𝑩 = (
𝟎. 𝟒𝟎𝟖𝟐 𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟒 𝟎. 𝟒𝟎𝟖𝟑
−𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏
𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑 −𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑 𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑
)
NUEVAS COORDENADAS DE LOS HIDROGENOS DEL METANO ORIENTADOS SEGÚN
MATRIZ “S”
𝑯𝟏𝒖𝒕𝒊𝒍𝟐 = (
𝟎
𝟎
𝟏
); 𝑯𝟐𝒖𝒕𝒊𝒍𝟐 = (
𝟎. 𝟒𝟕𝟏𝟒
𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟓
−𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟐
) ; 𝑯𝟑𝒖𝒕𝒊𝒍𝟐 = (
𝟎. 𝟒𝟕𝟏𝟑
−𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟓
−𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟒
) ; 𝑯𝟒𝒖𝒕𝒊𝒍𝟐 = (
−𝟎. 𝟗𝟒𝟐𝟖
𝟎
−𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟒
)
ORIENTACIÓN DE EJES INCLINADOS DE ROTACIÓN
La orientación de los ejes inclinados de giro 𝒊𝑪 𝟑
𝟏,𝟐
es entonces:
𝑼 𝟏 = (
𝟎
𝟎
−𝟏
) ; 𝑼 𝟐 = (
−𝟎. 𝟒𝟕𝟏𝟒
−𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟓
𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟐
); 𝑼 𝟑 = (
−𝟎. 𝟒𝟕𝟏𝟑
𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟓
𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟒
); 𝑼 𝟒 = (
𝟎. 𝟗𝟒𝟐𝟖
𝟎
𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟒
)
Estas orientaciones de ejes inclinados son obtenidos multiplicando por – 𝟏las nuevas coordenadas
de los hidrógenos.
REFLEXIONES FORMAN UN ANILLO MATEMÁTICO ENTRE SI CON EL PLANO σ6
Las reflexiones forman entre si un anillo matemático excepto el planoσ5 por ser
ortogonal al plano σ6, el cual funge como eigen matriz de ese conjunto

7. [7]
Las reducibles del metano
LA MATRIZ 4X4 ESQUINA SUPERIOR IZQUIERDA GENERADORA DE TODA LA MATRIZ
POSICIÓN
La matriz 4x4 es la generadora de posición de la matriz total 20x20 que es
diferente según la operación de simetría, así como la matriz 4x4 de la matriz
simetría total es generadora de toda la matriz 20x20 que es común a todas las
operaciones de simetría.
MATRIZ GENERADORA 4X4 PARA LA MATRIZ SIMETRIA TOTAL
La matriz generadora de simetría produce juntamente con la matriz generadora 4x4 los bloques de
la diagonalización.

8. [8]
Las reducibles del metano
MATRICES POSICIÓN 4X4 Y LOCALIZACIÓN DE UNOs
Cristo las matriz posición se elaboran colocando el átomo que ocupa el lugar vacante de una
posición dada, sin importar a donde se fue el átomo desplazado.
Cristo con el planoσ6se obtuvo el último de los movimientos para obtener la matriz MUBpara el
primer acomodo de vectores de la matriz 4x4 𝑺 𝟒𝒙𝟒 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓𝒂

9. [9]
Las reducibles del metano
MATRIZ BLOCK DIAGONAL 4x4 HECHO CO 𝑺 𝟒𝒙𝟒
𝑻
𝑮𝒊 𝟒𝒙𝟒 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒔 𝟒𝒙𝟒 = 𝑩𝒍𝒐𝒄𝒌
Cristo lo interesante de estos cálculos es que con una sola matriz simetría común se pueden
obtener todas las matrices numéricas para cada operación de simetría con solo multiplicar las
posiciones, es decir:𝑺 𝑻
⊗ 𝑷𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏 ⊗ 𝑺
Cristo el block rojo corresponde a la clase Td y el 1negrilla a la clase A1 que
corresponden a las bases (x,y,z) y (x2+y2+z2) respectivamente.

10. [10]
Las reducibles del metano
Cristo al final de esta sección se da la comprobación analítica de un plano de reflexión y del
plano σ5 para comparar ambos procedimientos.
AHORA EL TURNO DE EJES DE 180° DE GIRO OSEA DE MEDIA VUELTA
LOS EJES IMPROPIOS DE GIROS ∓𝟗𝟎°

11. [11]
Las reducibles del metano
Ejercicio 1.-Elabora un programa de computo que genere la matriz posición completa dando
solamente la matriz generadora 4x4
OBTENCIÓN DE PRIMER MATRIZ CON LA QUE SE ELABORÓ LA MATRIZ ROTACIÓN DE
EJES COORDENADOS
(
𝟎. 𝟖𝟔𝟔 𝟎. 𝟓 𝟎
−𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟖𝟔𝟔 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
) (
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑𝟓 𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟒𝟗
𝟎 −𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟒𝟗 𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑𝟓
) (
𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎
−𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
) = 𝑴𝑼𝑩
Las segunda y tercer matriz son para alinear el eje Z al enlace C-H1 pero cabe la pregunta:
¿Cómo se obtiene (
0.866 0.5 0
−0.5 0.866 0
0 0 1
) ?
El propósito de esta matriz es alinear el eje Y con la normal al plano σ6 de acuerdo a
información dada por la simetrización hecha y poder luego comprobar los resultados
analíticamente.
Entonces es obvio que se debe obtener el ángulo entre la normal al plano σ6 y el éje coordenado
Y obtenido provisionalmente con los dos movimientos:
(
1 0 0
0 0.57735 0.81649
0 −0.81649 0.57735
) (
0.7071 0.7071 0
−0.7071 0.7071 0
0 0 1
); que son para alinear al eje Z.
Una vez que se obtiene el ángulo mencionado se realiza una rotación en torno al eje Z para no
moverlo de su lugar. Y esa es la explicación de dicha matriz inicial.
(
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑𝟓 𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟒𝟗
𝟎 −𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟒𝟗 𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑𝟓
) (
𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎
−𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
) = 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒑𝒓𝒐𝒗𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒑𝒂𝒓𝒂 á𝒕𝒐𝒎𝒐 𝑯𝟒
COORDENADAS PROVISIONALES PARA H4
(
𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛
𝒑𝒓𝒐𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍
) ⊗ (
𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔
𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 𝑯𝟒
)
= (
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑𝟓 𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟒𝟗
𝟎 −𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟒𝟗 𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑𝟓
)(
𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎
−𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
) ⊗ (
−𝟏
−𝟏
−𝟏
) =
𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝑯𝟒 = (
−𝟏. 𝟒𝟏𝟒𝟐
−𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟓
−𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟒
)

12. [12]
Las reducibles del metano
Ahora tenemos:
𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒚 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝑯𝟏 = (
𝟎
𝟎
𝟏. 𝟕𝟑𝟐
)
Con ambos datos se obtiene la normal al plano σ6
𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝝈𝟔 = −𝟎. 𝟓𝒊 + 𝟎. 𝟖𝟔𝟔𝒋; Así pues el ángulo entre dicha normal
provisional y el eje coordenado Y también provisional es de 30°,Así es como se obtiene la primer
matriz que es una rotación de 30° en torno de Z para obtener MUB dado en pg.6
COMPROBACIÓN ANALÍTICA DE LAS MATRICES PARA PLANO DE REFLEXIÓN
Cristo a continuación las normales de vectores unitarios para cada plano de reflexión.σ(HixHj)
Cristo notamos que la normal del plano σ5 y el plano σ6 son ortogonales entre si a
diferencia de todos los demás planos ,que son oblicuos al plano σ6
Lo anterior hace que no sea la comprobación analítica como se hace para los demás planos
que se hace con una sola rotación en eje inclinado marcado con rojo en un ángulo marcado
con rojo seguido de multiplicación con matriz reflexión para eje Y.
Ejemplo.- Matriz Reflexión de plano σ1

13. [13]
Las reducibles del metano
PRECAUCIÓN.- Cristo normalmente no se hacen las reflexiones pero este es caso particular
para el conjunto de reflexiones de planos oblicuos (no-ortogonales) a σ6, por ello el plano de
reflexión σ5 es un procedimiento normal.
Ejemplo.- Plano de reflexión σ5
Cristo este es un resultado esperado
COMPROBACIÓN ANALÍTICA DE EJES IMPROPIOS DE SIMETRÍA

14. [14]
Las reducibles del metano
Ejemplo.- Calcular la matriz 𝟐𝑺 𝟒
𝟏
𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝟐𝑺 𝟒
𝟏
= (
𝟎
𝟏
𝟎
) ∴ 𝑴𝑼𝑩(
𝟎
𝟏
𝟎
) = (
𝟎. 𝟒𝟎𝟖𝟐 𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟒 𝟎. 𝟒𝟎𝟖𝟑
−𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏 𝟎 𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏
𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑 −𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑 𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑
) (
𝟎
𝟏
𝟎
) =
𝒏𝒖𝒆𝒗𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝟐𝑺 𝟒
𝟏
= (
𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟒
𝟎
−𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟑
)
Cristo la nueva dirección 𝟐𝑺 𝟒
𝟏
es ortogonal al eje coordenado Y, y según se observa
el paso 4 puede quedar violado si se escoge al eje Y como eje de alineación,
entonces se debe de escoger el eje X ó el eje Z para la alineación de 𝟐𝑺 𝟒
𝟏
y
obtención de la matriz B de reflexión.
Ejercicios 2.-Elaborar matrices para las operaciones de simetría restantes
USO DE LA MATRIZ DE SIMETRÍA
La matriz de simetría se usa para determinar las posiciones cartesianas de los átomos de Hidrógeno
una vez realizada la operación de simetría.
Ejemplo,- Átomo H1 operación de simetría 𝟐𝑺 𝟒
𝟏

15. [15]
Las reducibles del metano
PRECAUCIÓN.-Las coordenadas deben de ser dadas en los ejes para los que se elaboró la matriz.
𝑯𝟏 = (
𝟎
𝟎
𝟏
) 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒐𝒑𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏; 𝑯𝟏 = (
𝟎. 𝟒𝟕𝟏𝟒
−𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟓
−𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑
) 𝒒𝒖𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 𝒍𝒂 𝑯𝟑 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝟐𝑺 𝟒
𝟏