Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Explica que las ecuaciones trigonométricas relacionan funciones trigonométricas con variables angulares, y que su solución es encontrar el valor principal del ángulo. También cubre las inecuaciones trigonométricas y métodos para resolver inecuaciones elementales. Finalmente, propone 20 problemas de ecuaciones e inecuaciones trigonométricas para practicar estos conceptos.

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
‘‘ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS’’
Docente: Lic. Carrillo Velásquez Rodolfo
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son igualdades condicionales donde la
variable (x) o arcos de la forma (ax + b)
se encuentran afectados de algún
operador trigonométrico como el seno,
coseno, etc. Es de la forma:
F. T. (ax + b) = N … … (∗)
Donde el valor principal (Vp) es el valor
del ángulo o arco (ax + b) definido en el
"rango" de la función trigonométrica
inversa.
De (*): Vp = arc F. T. (N)
F.T. V.P.
sen [−
π
2
;
π
2
]
cos [0: π]
tan 〈−
π
2
;
π
2
〉
N debe pertenecer al dominio de la
función trigonométrica; a y b cte. a ≠ b .
Ejemplo:
sen3x =
√3
2
⇒ Vp = arcsen (
√3
2
) =
π
3
cos (2x +
π
4
) = −
1
2
⇒ Vp = arccos (−
1
2
) =
2π
3
tan (
3x
5
−
π
8
) = −1 ⇒ Vp = arctan(−1) = −
π
4
EXPRESIONES GENERALES DE TODOS
LOS ARCOS QUE TIENEN LA MISMA
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
ECUACION SOLUCION
Si: senx = N ⇒ x = kπ + (−1)k
Vp;
∀k ∈ 𝑍
Vp = arc sen(N)
ECUACION SOLUCION
Si: cosx = N ⇒ x = 2kπ ± Vp;
∀k ∈ 𝑍
Vp = arc cos(N)
ECUACION SOLUCION
Si: tanx = N ⇒ x = kπ + Vp;
∀k ∈ 𝑍
Vp = arc tan(N)
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Es una desigualdad condicional que
involucra funciones trigonométricas por
lo menos una.
Ejemplos:
 sen2x > 𝑐𝑜𝑠𝑥
 tan2x + cot2x > 𝑐𝑠𝑐𝑥
 sen2x <
1
3
INECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
ELEMENTAL:
Una inecuación trigonométrica se llamará
elemental, cuando es de la forma:
F. T. (kx + θ) ≶ a ; x: incognita
Ejemplos:
 senx >
1
2
 tan3x ≤ 1
Resolución de una Inecuación
Trigonométrica Elemental:
Se estila seguir dos métodos:
Semana Nº 12

2. Lic. Carrillo Velásquez Rodolfo Trigonometría.
2
Resuelve: 𝐒𝐞𝐧𝐱 >
𝟏
𝟐
Método I:
En la circunferencia trigonométrica,
ubicamos todos los arcos "x" cuyos senos
sean mayores que
1
2
, así:
Método II:
Graficamos en un mismo sistema
coordenado las funciones:
f(x) = Senx y g(x) =
1
2
Los puntos de intersección en un periodo
del Senx: osea en [0; 2𝜋], se obtienen con:
f(x) = g(x) ⟶ Senx =
1
2
∴ x =
π
6
∨
5π
6
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si 0 x 90º,  entonces la suma de las
raíces de la ecuación trigonométrica
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥 = 0 es:
A) 135° B) 162° C) 117°
D) 180° E) 72°
2. Resolver: sen42x + cos42x + sen22x = 1.
Indique un conjunto solución,  k 𝑅.
A)  2k 1
4

 B)  2k 1
4


C)  4k 1
8

 D)  3k 1
8

 E)  4k 1
2


3. Indicar un conjunto solución de la
ecuación: cos6x sen6x
2, k
cos3x sen3x
    
A)  4k 1
3

 B)  2k 1
4


C)  3k 1
6

 D)  4k 1
9

 E)  6k 1
9


4. Halle todos los valores de x para
los cuales se cumple que:
sen x cos x 2, k
4 4
    
       
   
A) k
2

  B) 2k
2

 
C) 2k
4

  D) k
4

  E) 2k
8

 
5. Resolver la ecuación:
𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
3𝑥 = 1 e indique
la suma de las soluciones en  0;2 .
A) 2  B) 3  C) 4 
D) 6  E) 10 
6. Resuelva la ecuación trigonométrica:
tan x tanx 2 0
4
 
    
 
.  k  𝑅.
A) x k
6

   B) x k
6

  
C) x k
3

   D) x k
3

   E) x k
3

  
7. Si x ;2 ;
2
 
   
halle la suma de todas las
soluciones que se obtienen al resolver la
ecuación trigonométrica
2
1
y
5
6

6
1
1
2
x
2
1)x(g 
f(x)=Senx
2
1
y
5
6

6
2 2x + y
=1

3. Lic. Carrillo Velásquez Rodolfo Trigonometría.
3
2 1
cos(2x) sen (x)
2
  .
A) 5
4
 B) 9
4
 C) 11
4
 D)
13
4

E)
15
4

8. Determine la suma de las soluciones de la
ecuación  3senx 1 cosx, x 0;2    .
A) 2
3
 B) 5
3
 C)  D)2 E) 4
3

9. Al resolver la ecuación trigonométrica
cos5x cosx
; k
cos7x cos3x
  , se obtiene como
solución general:
A) k
2
 B) k
3
 C)  2k 1
2

 D) k
4
 E) k
10. Si x 0;
2
 
   
resolver la ecuación:
2(sen4x + cos4x)+4(sen6x + cos6x) = 4.
A) ;
6 3
  B) ;
4 8
  C) 2
;
5 5
 
D) 3
;
8 8
  E) 
11. Al resolver el sistema:
x y   ; senx cosy 2 
Entonces, la solución de x,  k  𝑅 es:
A) 2k 1
8

 B)  4k 1
2


C)  4k 1
2

 D) 8k 1
4

 E)  8k 1
4


12. Resolver el sistema:
x y
12

  ; 2 2 3
sen x sen y
4
  .
Indique un conjunto solución de x,
 k  𝑅.
A)k
6

  B) k
4

 
C) k
4

  D) k
24

  E) k
24

 
13. Dado el sistema de ecuaciones
x y   , sen2x + sen2y = 1
Indique un valor de x.
A)
2 8
 
 B)
2 4
 
 C)
3 4
 

D)
3 4
 
 E)
2 8
 

14. Indique las soluciones del primer
cuadrante que verifican el sistema:
x y
6

  .
 2 3 tanx tany 
A) 5
x ; y=
12 4
 
 B) x ; y =
4 6
 

C) x ; y=
2 3
 
 D) x ; y =
4 12
 

E) x ; y =
3 6
 

15. Resuelva el sistema de ecuaciones
x y   , 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑦 = 2
Si x 0,  , dé como respuesta la
suma de los valores hallados para el
arco x.
A)
5
8
 B) 3
4
 C) 7
8
 D)
9
8
 E) 5
4

16. Halle (b2 – a2)𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 𝑦), si x e y
satisfacen el sistema de ecuaciones:
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑎, 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 𝑏
A) ab B) 2ab C) a
b
D) 2a
b
E) b
a
17. Dado el siguiente sistema:
2 2 1
sen x sen y
3
  , 1
sen(x y)
2
 
Halle el valor de : 𝐸 = 𝑐𝑠𝑐𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑦
A) 1 B) 8
7
C) 9
7
D) 11
7
E) 12
7
18. Resolver el sistema:
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) 𝑠𝑒𝑛(𝑥 – 𝑦) = –
1
2
𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) 𝑐𝑜𝑠(𝑥 – 𝑦) =
1
2
Indique el conjunto solución de y,
 k 𝑅.

4. Lic. Carrillo Velásquez Rodolfo Trigonometría.
4
A) k
8

  B) k
6

  C) k
3

 
D) k
4

  E) k
2

 
19. Si x  [0; 2], resolver: 1
0
2senx 1


A) ;
6 2
  
 
 
B) ;
6 2
 


C) 5
;
2 6
  
 
 
D) 5
;
2 6
  
 
 
E) 5
;
6 6
 
20. Si x  [0; ], resolver:2cos2x  1.
A)
;
6 3
  
 
 
B) 2
;
3 3
 
C) 4 5
;
3 3
  D) 2 5
;
3 6
  
 
 
E) A  D
21. Si x  0; 2, resolver:
sen2x + 3senx – cosx – 2cos2x > 0
A) ;
6

 B) 5
;
6 6
  C) 0 ; 
D) 5
0;
6
 E) 0;
2

22. Al resolver la inecuación:
 
1
senx tanx 1 0
2
 
   
 
. Un conjunto de
solución en el intervalo 0;  es:
A) 3
0;
4
 B) ;
6

 C) 5
;
6 6
 
D) 3
;
4

 E) 5
;
6


23. Si x  [ ; 2] resolver:
  3 tanx 1 tanx 3
0
tanx 1
 


A) 7 5 4 3
; ;
6 4 3 2
    
 
 
B) 7 5 4 3
; ;
6 4 3 2
     
  
  
C) 7 9 4 3
; ;
6 4 3 2
   

D) 7 4
;
6 3
  E) 7 4 5
;
6 3 4
     
   
   
24. Si x  0 ; 2, entonces al resolver la
inecuación trigonométrica
2senx 1
0
senx 2



, se obtiene:
A) 0; 2 B) 5
;
6 6
  C) 5
;
6 6
  
 
 
D) ;
6 2
  
 
 
E)
;
6


25. Si x ; 0
2
 
  
 
, resolver:
2sen3x 3
0
cos2x 3cosx 2


 
A) 2
;
2 9
 
 

B) 4
;
2 9
 
 

C) 2
;
2 9
  
  
 
D) 4
;
2 9
  
  
 
E) ;
2 3
  
  
 
26. Si x  0 ; 2, resolver:
sen(2x) 2
0
cos(2x) 3cos(x) 1


 
A) ;
5
6 6
  B) ;
11
6 6
 
C) ;
5
4 4
  D) ;
5
3 3
  E) ;
3
4 4
 
27. Sí 3
x 0;
2
 
  
 
; entonces al resolver la
inecuación 𝑣𝑒𝑟𝑠(𝑥) – 𝑐𝑜𝑣(𝑥) > 0 , se
obtiene:
A) ;
5
4 4
  B) 5
;
4 4
  
 
 
C) ;
5
6 6
 
D) ;
4 2
  E) ;
6 3
 