El documento define las relaciones, dominio, rango, relación inversa, relación idéntica, y varios tipos de relaciones (reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva) en un conjunto. Proporciona ejemplos de cada uno y teoremas relacionados. Explica que una relación es un conjunto de pares ordenados, y que el dominio es el conjunto de las primeras componentes mientras que el rango es el conjunto de las segundas componentes.

1. Relaciones.
Definición. Una relación es un conjunto de parejas ordenadas.
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólo
sí R es subconjunto de A x B.
Si R Ì A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente una
relación en A.
0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0 Ì A x B y A x B Ì A x B.
Si (x,y) Î R se escribe x R y y se lee "x está en relación con y".
Ejemplo 1:
Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.
R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.
R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B.
R3 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x > y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.
R4 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x + y £ 7}
= {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}.
R5 = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A.
R6 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A.

2. R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de B
en A.
R8 = {(x, y) / x Î A , y Î B, x - y = 0} = 0.
Dominio de una Relación.
Definición. Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por D(R)
al conjunto formado por todas las primeras componentes de las parejas
ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:
D(R) = { x / ($ y) (x, y) Î R}
En consecuencia,
xÎ D(R) Û ($ y)((x, y) Î R).
xÏ D(R) Û (" y)((x, y) Ï R).
Rango de una Relación.
Definición. Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por g(R) al
conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas
ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

3. g (R) = { y / ($ x) (x, y) Î R}
En consecuencia,
y Î g (R) Û ($ x)((x, y) Î R).
y Ï g (R) Û (" x)((x, y) Ï R).
Ejemplo 2. En las relaciones del ejemplo 1 se tiene:
D(R1) = {3, 1, 5} g (R1) = {2, 8, 4}
D(R2) = {3} g (R2) = {8}
D(R3) = {3, 5} g (R3) = {2, 4}
D(R4) = {3, 1, 5} g (R4) = {2, 4, 6}
D(R5) = {3, 1} g (R5) = {5, 3}
D(R6) = {2, 6} g (R6) = {3, 1}.
Ejemplo 3. Sea S = {(x, y) / x Î RÙy Î RÙy < x}.
El siguiente gráfico es un representación cartesiana de S. La recta y = x no
hace parte de S.

4. Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación:
"x es menor que y"
Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}.
D(R) = {1, 2}, g (R) = { 2, 3}.
Teorema. Sea R una relación, A y B dos conjuntos. R es una relación de A en
B sí y sólo sí D(R) Ì A y g (R) Ì B.

5. Relación inversa. Definición. Sea R una relación. Entonces la relación {(y, x)
/ (x, y) Î R} se denomina relación inversa y se denota R-1. En consecuencia,
(y, x) Î R-1 Û (x, y) Î R.
(y, x) Ï R-1 Û (x, y) Ï R.
Si R es una relación de A en B, entonces R-1 es una relación de B en A.
Relación Idéntica.
Definición. Sea A un conjunto. La relación dada por: {(x, y) / x Î A Ù y = x}
se denomina relación idéntica en A y se designa IA:
En consecuencia:
(x, y) Î IA Û x Î A Ù y = x.
(x, y) Ï IA Û x Ï A Ú y ¹ x.
Ejemplo 7.
IR es la relación idéntica en los reales, es decir el conjunto de todos los
pares ordenados de números reales que tienen ordenada y abscisa iguales.
Su gráfica es la recta bisectriz del primero al tercer cuadrante.

6. Relación reflexiva en un conjunto.
Definición. R es una relación reflexiva en un conjunto A sí y sólo sí R es una
relación en A y todo elemento de A está relacionado con sigo mismo. Es
decir R es reflexiva en A si y sólo sí,
R Ì A x A Ù (" x Î A) ((x, x) Î R).
R no es reflexiva en A si y sólo si,
R Ë A x B Ú ($ x Î A) ((x, x) Ï R).
Ejemplo 8.
Sea A = {1, 3, 5}.
R1 = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva en A.
R2 = {(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)} no es reflexiva en A.
Ejemplo 9.
IA es reflexiva en A cualquiera sea A ¹ 0.
Ejemplo 10.
A2 es reflexiva en A cualquiera sea A ¹ 0.
Teorema. R es reflexiva en A sí y sólo sí IA Ì R.
Relación simétrica en un conjunto.

7. Definición. R es una relación simétrica en A sí y sólo sí R es relación en A y
cualesquiera sean los elementos x,y de A se verifica que si x R y entonces y
R x. En consecuencia:
R es simétrica en A Û R Ì A x A Ù (" x)(" y) ( x R y Þ y R x).
R no es simétrica en A Û R Ë A x A Ú ($ x)($ y) (x R y Ù y x).
Ejemplo 11.
Las relaciones IA y A2 son simétricas en A cualquiera sea A.
Ejemplo 12
Sea A = {3, 4, 2} entonces:
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} es simétrica en A.
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)} no es simétrica en A.
Ejemplo 13.
La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î NÙx | y} donde la expresión "x| y"
significa x divide a y no es simétrica en N puesto que si x| y no
necesariamente y| x.
Teorema. R es simétrica en A sí y sólo sí R = R-1.
Relación antisimétrica en un conjunto.
Definición. R es una relación antisimétrica en A sí y sólo sí R es una relación
en A y cualesquiera que sean x,y de A se verifica que:
Sí x R y Ù y R x entonces x = y.

8. En consecuencia:
R es antisimétrica en A equivale a decir:
R Ì A x A Ù (" x)(" y) ( x R y Ù y R x Þ x = y)
R no es antisimétrica en A equivale a decir:
R Ë A x A Ú ($ x)($ y) ( x R y Ù y R x Ù x ¹ y)
Ejemplo 14.
I A es antisimétrica en A.
Ejemplo 15.
Sea A = {2, 4, 6} entonces:
R = {(2, 2), (4, 4)} es antisimétrica en A.
S = {(2, 4)} es antisimétrica en A.
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)} no es antisimétrica en A
Ejemplo 16.
La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î N Ù x|y} es antisimétrica en N, puesto
que x|y Ù y|x implica x = y.
Teorema. R es antisimétrica en A Û R · R-1 Ì IA.
Relación transitiva. R es una relación transitiva en A sí y sólo sí R es una
relación en A y cualquiera sean x, y, z pertenecientes a A se verifica que:
Sí x R y Ù y R z, entonces x R z.

9. En consecuencia:
R es transitiva en A equivale a decir:
R Ì A x A Ù (" x)(" y)(" z) ( x R y Ù y R z Þ x R z)
R no es transitiva en A equivale a decir:
R Ë A x A Ú ($ x)( $ y)($ z) ( x R y Ù y R z Ù x z).
Ejemplo 17.
I A es transitiva en A.
Ejemplo 18.
Sea = {2, 4, 6, 3} entonces:
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es transitiva en A.
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)} no es transitiva en A.
Ejemplo 19.
La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î N Ù x |y} es transitiva en N.