Este documento resume los conceptos fundamentales de las relaciones en teoría de conjuntos, incluyendo el producto cartesiano, tipos de relaciones como reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva, y clasificaciones como relación de equivalencia y relación de orden. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo de relación.

1. TEORÍA DE CONJUNTOS
RELACIÓN DE ORDEN
Ing. Wilson Villa

2. PRODUCTO CARTESIANO
El producto cartesiano de dos conjuntos A x B es
el conjunto de todos los pares ordenados que se
pueden formar con un elemento perteneciente al
conjunto A y un elemento del conjunto B.
Los elementos de A x B son pares ordenados.
Cada par que se forma con un elemento del
conjunto A y uno del conjunto B, en ese orden y
recibe el nombre de par ordenado. Sus elementos
se colocan entre paréntesis, separados por coma.

3. Ejemplo:

4. TIPOS DE RELACIÓN:
RELACIÓN REFLEJA ( O REFLEXIVA ): R es una
relación refleja en un conjunto A no vacío, si y sólo
si cada elemento de él está relacionado consigo
mismo: a R A Λ a R a Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 }
R ={ ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }
RELACIÓN SIMETRICA: R es una relación simétrica
en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada par de
elementos de él satisface lo siguiente:
aRbΛbRa
Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 } R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) ,
( 3, 2 ) , ( 3 , 3 ) }

5. RELACIÓN ANTISIMÉTRICA: R es una relación
antisimétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si
cada par de elementos de él satisface lo siguiente:
a R b Λ b R a → a = b Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 }
R = {(1,3),(2,1),(2,2),(3,2)}
RELACIÓN TRANSITIVA: R es una relación transitiva en
un conjunto A no vacío, si y sólo si cada trío de
elementos de él satisface lo siguiente: a R b Ù b R c
Þ aRc
Ejemplo: A = {1, 2, 3 } R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) ,
(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)}

6. CLASIFICACIÓN DE RELACIONES: RELACIÓN DE
EQUIVALENCIA R es una relación de equivalencia en un
conjunto A no vacío , si y sólo si es refleja, simétrica y
transitiva en ese conjunto A .
Ejemplo: La relación "igual que" ( = ) en el conjunto de
los números enteros. Sean a, b y c números enteros
cualesquiera, entonces:
a = a (Reflexividad)
a = b → b = a (Simetría)
a = b Λ b = c →a = c (Transitividad)

7. RELACIÓN DE ORDEN R es una relación de orden en un
conjunto A no vacío , si y sólo si es refleja,
antisimétrica y transitiva en ese conjunto A .
Ejemplo: La relación "menor o igual que" ( ≤ ) en el
conjunto de los números enteros. Sean a , b y c
números enteros cualesquiera, entonces:
a≤a ( Reflexividad )
a≤bΛ b≤ a → a = b ( Antisimetría )
a≤bΛ b≤ c → a ≤ c ( Transitividad )