1) El documento describe los conjuntos de números naturales, enteros y racionales, y cómo estos conjuntos están incluidos en el conjunto de los números reales. 2) Explica las propiedades básicas de las operaciones de adición y multiplicación en el sistema de números reales, como la conmutatividad, asociatividad y elemento neutro. 3) Cubre otras propiedades importantes como la ley cancelativa y que la división no está definida para un denominador igual a cero.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, elementos, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, conjuntos especiales como el conjunto vacío y conjunto unitario, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad y disyunción, y operaciones como unión e intersección de conjuntos.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, elementos, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, conjuntos especiales como el conjunto vacío y conjunto unitario, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad y disyunción, y operaciones básicas como unión e intersección de conjuntos.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Introduce conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. También define conjuntos numéricos y especiales como el conjunto vacío y conjunto potencia. Finalmente, presenta algunos problemas para practicar con estos conceptos.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, notación de conjunto, diagramas de Venn, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y tipos especiales de conjuntos como conjunto vacío, conjunto unitario y conjunto potencia. Explica cómo representar conjuntos y relaciones entre ellos de manera algebraica y gráfica.
Este documento proporciona una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y proporciona ejemplos de cómo definir conjuntos explícita e implícitamente. También explica las relaciones entre conjuntos como la pertenencia, la igualdad, la inclusión y el diagrama de Venn. Además, describe operaciones básicas con conjuntos como la unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Define conceptos básicos como conjunto, elemento, pertenencia, diagrama de Venn, determinación de conjuntos, relaciones entre conjuntos como inclusión e igualdad. También explica operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento, y presenta sus propiedades.
Este documento explica conceptos básicos sobre operaciones con conjuntos, incluyendo unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica. También presenta un ejemplo de la paradoja del barbero y explica cómo este problema ilustra la posibilidad de que un conjunto se contenga a sí mismo. Finalmente, proporciona ejercicios prácticos para aplicar estas operaciones con conjuntos.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Introduce conceptos básicos como elementos de un conjunto, notación de conjuntos, determinación de conjuntos por extensión y comprensión, diagramas de Venn, conjuntos especiales como el conjunto vacío y el conjunto unitario, relaciones entre conjuntos como inclusión e igualdad, y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
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Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Introduce conceptos básicos como elementos de un conjunto, notación de conjuntos, determinación de conjuntos por extensión y comprensión, diagramas de Venn, conjuntos especiales como el conjunto vacío y el conjunto unitario, relaciones entre conjuntos como inclusión e igualdad, y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Este documento presenta una unidad sobre conjuntos y funciones en Matemáticas 1: Álgebra. Incluye definiciones de conceptos básicos de conjuntos como subconjuntos, conjuntos iguales y potencia. También explica formas de expresar conjuntos y clasificarlos según su número de elementos y dimensión. Finalmente, introduce conceptos básicos de funciones como dominio, contradominio y regla de correspondencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos con características comunes. Explica que un conjunto está bien definido si es posible conocer todos sus elementos. Luego, describe los elementos de un conjunto, modos de representación de conjuntos, tipos de conjuntos según el número de elementos, operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia, y representación de conjuntos en un computador.
Este documento introduce los conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos llamados elementos, y que la pertenencia y no pertenencia de elementos a conjuntos son relaciones fundamentales. También define operaciones entre conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento.
Este documento describe la teoría de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos y sus elementos. Explica cómo representar conjuntos con letras mayúsculas y cómo describirlos por extensión o comprensión. Luego describe las relaciones entre conjuntos como pertenencia, contenencia y complemento. Finalmente, explica operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y propiedades como conmutatividad e idempotencia.
Este documento presenta los conceptos básicos de los conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos llamados elementos. Explica cómo representar conjuntos y determinarlos ya sea por extensión o comprensión. Luego describe las relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, diferencia y disyunción. Finalmente, introduce operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
El documento introduce los conceptos básicos de los conjuntos matemáticos. Explica que un conjunto es una agrupación de objetos llamados elementos, y que se representan usando llaves. Luego describe operaciones entre conjuntos como la unión, intersección y diferencia. Finalmente, cubre temas como subconjuntos, conjuntos finitos e infinitos, y diagramas para ilustrar relaciones entre conjuntos.
El documento describe conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la noción de conjunto, notación de conjuntos, relación de pertenencia, determinación de conjuntos, clases de conjuntos, cardinal de un conjunto, conjuntos especiales, relaciones entre conjuntos y operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se pueden expresar o denotar. Explica conceptos básicos como subconjuntos, conjuntos vacíos, universales, finitos e infinitos. Describe operaciones entre conjuntos como unión, intersección, complemento y diferencia. Finalmente, presenta un ejemplo para ilustrar estas operaciones.
Este documento describe las relaciones entre conjuntos, incluyendo parejas ordenadas, productos cartesianos, correspondencias y aplicaciones. Un producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) donde a pertenece a A y b pertenece a B. Una correspondencia entre dos conjuntos es un subconjunto de su producto cartesiano, y una aplicación es una correspondencia unívoca. Las propiedades clave de las relaciones binarias incluyen ser reflexiva, simétrica o transitiva.
Operaciones fundamentales con conjuntos definitivo (2)Giovanni Vielma
Las tres operaciones fundamentales con conjuntos son:
1) La unión de dos conjuntos A y B incluye todos los elementos que pertenecen a A, B o ambos.
2) La intersección de A y B incluye solo los elementos comunes a ambos conjuntos.
3) La diferencia de A menos B incluye los elementos de A que no pertenecen a B.
Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, notación, cardinalidad, pertenencia, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, conjuntos especiales como el conjunto vacío y unitario, inclusión, igualdad, disyunción, operaciones como unión e intersección, y diferencia de conjuntos. Explica estos conceptos a través de ejemplos matemáticos.
Este documento presenta conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Introduce la noción de conjunto y elemento, y explica dos formas de definir un conjunto: por extensión o enumeración, y por comprensión. También define conceptos como pertenencia, inclusión, conjunto vacío, conjunto universal, diagramas de Venn-Euler, y operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y complemento.
1) El documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjuntos, elementos, notación, conjuntos finitos e infinitos, igualdad, subconjuntos, conjunto universal, conjuntos disjuntos y diagramas de Venn. 2) También define operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento y presenta ejemplos ilustrativos de cada una. 3) El objetivo es introducir estos conceptos fundamentales de teoría de conjuntos que son una base para el estudio de la estadística y la probabilidad.
Este documento presenta una introducción a la teoría básica de conjuntos. Define lo que es un conjunto y sus elementos. Explica las nociones de pertenencia, subconjuntos e igualdad de conjuntos. También introduce los diagramas de Venn para representar gráficamente conjuntos y sus relaciones. Finalmente, define el conjunto universal como aquel que contiene a todos los conjuntos que se están considerando.
El documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define conceptos básicos como conjunto, elementos, pertenencia, inclusión, cardinalidad y tipos de conjuntos. Explica la notación y representación de conjuntos, así como operaciones entre ellos como unión, intersección y diferencia. Finalmente, incluye ejemplos de problemas resueltos utilizando estos conceptos.
Este documento define conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjuntos, elementos, pertenencia, notación, relaciones entre conjuntos, operaciones como unión e intersección, y propiedades. Explica conjuntos especiales como el conjunto vacío y los conjuntos numéricos. Finalmente, presenta ejemplos y problemas para aplicar estos conceptos.
Las leyes de de morgan son una parte de la lógica proposicional y analíticaSol Ramos
Las leyes de De Morgan establecen que la suma de variables proposicionales negadas globalmente es igual al producto de las mismas variables negadas individualmente, y viceversa para el producto y la suma. Augustus De Morgan creó estas leyes como parte de la lógica proposicional y analítica.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Explica conceptos fundamentales como elementos de un conjunto, relación de pertenencia, determinación de conjuntos, número cardinal, diagramas de Venn-Euler, relaciones entre conjuntos, operaciones entre conjuntos y conjuntos numéricos. También ofrece ejemplos para ilustrar estos conceptos matemáticos básicos.
El documento define los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la notación de conjuntos, elementos, cardinalidad, pertenencia, subconjuntos, igualdad de conjuntos, conjuntos disjuntos, conjuntos potencia, tipos de números y operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento.
Este documento describe progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una progresión aritmética es una lista de números donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, mientras que en una progresión geométrica la razón entre términos consecutivos es constante. También proporciona fórmulas para calcular la suma de los términos de una progresión aritmética o geométrica.
El documento describe la distribución de la evaluación de un curso que consiste en 3 exámenes parciales del 20% cada uno, 2 tareas de 10 preguntas cada una que representan el 10% cada una, y 2 bloques de 5 quices semanales promediados que representan el 10% cada uno.
Este documento presenta una unidad sobre conjuntos y funciones en Matemáticas 1: Álgebra. Incluye definiciones de conceptos básicos de conjuntos como subconjuntos, conjuntos iguales y potencia. También explica formas de expresar conjuntos y clasificarlos según su número de elementos y dimensión. Finalmente, introduce conceptos básicos de funciones como dominio, contradominio y regla de correspondencia.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos con características comunes. Explica que un conjunto está bien definido si es posible conocer todos sus elementos. Luego, describe los elementos de un conjunto, modos de representación de conjuntos, tipos de conjuntos según el número de elementos, operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia, y representación de conjuntos en un computador.
Este documento introduce los conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos llamados elementos, y que la pertenencia y no pertenencia de elementos a conjuntos son relaciones fundamentales. También define operaciones entre conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento.
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Este documento presenta los conceptos básicos de los conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos llamados elementos. Explica cómo representar conjuntos y determinarlos ya sea por extensión o comprensión. Luego describe las relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, diferencia y disyunción. Finalmente, introduce operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
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Operaciones fundamentales con conjuntos definitivo (2)Giovanni Vielma
Las tres operaciones fundamentales con conjuntos son:
1) La unión de dos conjuntos A y B incluye todos los elementos que pertenecen a A, B o ambos.
2) La intersección de A y B incluye solo los elementos comunes a ambos conjuntos.
3) La diferencia de A menos B incluye los elementos de A que no pertenecen a B.
Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, notación, cardinalidad, pertenencia, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, conjuntos especiales como el conjunto vacío y unitario, inclusión, igualdad, disyunción, operaciones como unión e intersección, y diferencia de conjuntos. Explica estos conceptos a través de ejemplos matemáticos.
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1) El documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjuntos, elementos, notación, conjuntos finitos e infinitos, igualdad, subconjuntos, conjunto universal, conjuntos disjuntos y diagramas de Venn. 2) También define operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento y presenta ejemplos ilustrativos de cada una. 3) El objetivo es introducir estos conceptos fundamentales de teoría de conjuntos que son una base para el estudio de la estadística y la probabilidad.
Este documento presenta una introducción a la teoría básica de conjuntos. Define lo que es un conjunto y sus elementos. Explica las nociones de pertenencia, subconjuntos e igualdad de conjuntos. También introduce los diagramas de Venn para representar gráficamente conjuntos y sus relaciones. Finalmente, define el conjunto universal como aquel que contiene a todos los conjuntos que se están considerando.
El documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define conceptos básicos como conjunto, elementos, pertenencia, inclusión, cardinalidad y tipos de conjuntos. Explica la notación y representación de conjuntos, así como operaciones entre ellos como unión, intersección y diferencia. Finalmente, incluye ejemplos de problemas resueltos utilizando estos conceptos.
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Las leyes de de morgan son una parte de la lógica proposicional y analíticaSol Ramos
Las leyes de De Morgan establecen que la suma de variables proposicionales negadas globalmente es igual al producto de las mismas variables negadas individualmente, y viceversa para el producto y la suma. Augustus De Morgan creó estas leyes como parte de la lógica proposicional y analítica.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Explica conceptos fundamentales como elementos de un conjunto, relación de pertenencia, determinación de conjuntos, número cardinal, diagramas de Venn-Euler, relaciones entre conjuntos, operaciones entre conjuntos y conjuntos numéricos. También ofrece ejemplos para ilustrar estos conceptos matemáticos básicos.
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Este documento describe progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una progresión aritmética es una lista de números donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, mientras que en una progresión geométrica la razón entre términos consecutivos es constante. También proporciona fórmulas para calcular la suma de los términos de una progresión aritmética o geométrica.
El documento describe la distribución de la evaluación de un curso que consiste en 3 exámenes parciales del 20% cada uno, 2 tareas de 10 preguntas cada una que representan el 10% cada una, y 2 bloques de 5 quices semanales promediados que representan el 10% cada uno.
Este documento presenta conceptos básicos de aritmética como razones, proporciones, sistemas numéricos, progresiones aritméticas y geométricas, y sumatoria y productoria. Se divide en cuatro módulos que cubren estas temáticas de manera introductoria, con ejemplos ilustrativos. El primer módulo se enfoca en razones y proporciones, definiendo conceptos como razón directa e inversa, extremos y medios de una proporción, magnitudes directa e inversamente proporcionales, y la reg
1) El documento describe los diferentes sistemas numéricos, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos. 2) Explica cómo surgieron estos sistemas numéricos para resolver diferentes tipos de ecuaciones. 3) Proporciona una tabla que resume la relación entre los sistemas numéricos y muestra cómo están incluidos unos dentro de otros.
Esta guía de estudio resume el primer capítulo del curso de Álgebra y trigonometría sobre elementos de aritmética. La guía presenta 25 pasos para estudiar tres módulos sobre razones y proporciones, sistemas numéricos y progresiones aritméticas y geométricas. La guía también incluye referencias bibliográficas y enlaces web para profundizar en los temas.
Este documento presenta el plan de estudios de un curso de álgebra y trigonometría dividido en 16 semanas. Cada semana se enfoca en un tema diferente a través de guías de estudio y actividades evaluativas como tareas, quizzes y tres exámenes parciales. El curso cubre temas como polinomios, funciones exponenciales, trigonometría y números complejos.
Este documento trata sobre conceptos aritméticos como razones, proporciones y la regla de tres. Explica cómo estos conceptos se relacionan y han influenciado diversos campos del saber humano. También introduce brevemente los diferentes sistemas numéricos y las progresiones aritméticas y geométricas, con sus aplicaciones en el cálculo de intereses y crecimiento exponencial.
Este documento trata sobre ecuaciones lineales o de primer grado. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones algebraicas mediante el uso de propiedades matemáticas como la distribución. Incluye ejemplos de cómo expresar situaciones del lenguaje cotidiano en forma simbólica y luego resolverlas utilizando ecuaciones lineales. El objetivo final es enseñar a los estudiantes a modelar y resolver problemas de la vida real mediante este tipo de ecuaciones algebraicas.
Este documento presenta 42 problemas de matemáticas que incluyen temas como productos notables, división de polinomios, cocientes notables, factorización, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Los problemas deben ser resueltos y calculan valores numéricos, sumas, diferencias y productos relacionados con las incógnitas de las ecuaciones dadas.
1) Un dado tiene 6 caras numeradas del 1 al 6. Se analizan varios casos de lanzamiento de dados, incluyendo la probabilidad de obtener números primos, menores a 3, o múltiplos de 3 al lanzar un dado.
2) Al lanzar dos dados hay 36 casos posibles. Se analiza la probabilidad de obtener diferentes sumas como 7 u obtener un 2 y un 5.
3) Al lanzar tres dados hay 216 casos posibles. Se plantea calcular la probabilidad de obtener una suma de 18.
Este documento describe los conceptos básicos de los conjuntos. Un conjunto se puede entender como una colección de objetos bien definida. Los elementos de un conjunto se escriben entre llaves y se separan por punto y coma. Existen diferentes tipos de conjuntos como conjuntos vacíos, unitarios, finitos e infinitos. También se explican conceptos como inclusión, igualdad, unión e intersección de conjuntos.
Este documento introduce la teoría de conjuntos, definiendo un conjunto como una colección de elementos. Presenta formas de definir conjuntos como por extensión (enumerando elementos) o por comprensión (mediante una propiedad). Explica conceptos como pertenencia, conjunto vacío, subconjuntos, operaciones entre conjuntos como unión e intersección, y propiedades de estas operaciones.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y sus elementos, y explica conceptos como la pertenencia, la determinación de conjuntos, conjuntos numéricos, relaciones entre conjuntos, representaciones gráficas, y operaciones entre conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, elementos, notación de conjuntos, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, conjuntos especiales como el conjunto vacío y conjunto unitario, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad y disyunción, y operaciones básicas como unión e intersección de conjuntos.
1. Se define un conjunto como una colección de objetos bien definidos llamados elementos o miembros. Se introducen conceptos como subconjunto, conjunto universal, conjunto potencia y conjunto vacío.
2. Se describen operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, complemento, diferencia y producto cartesiano.
3. Se establecen leyes de la teoría de conjuntos como asociatividad, conmutatividad, distribución, absorción e idempotencia.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, elementos de un conjunto, determinación de conjuntos, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, diferencia, operaciones entre conjuntos como unión e intersección, y clases de conjuntos como finitos e infinitos. Explica los conjuntos con ejemplos numéricos y gráficos para facilitar la comprensión de los conceptos.
1) Un conjunto es una colección bien definida de elementos llamados objetos o miembros. 2) Se utilizan letras mayúsculas para representar conjuntos y letras minúsculas para representar elementos. 3) Las operaciones básicas con conjuntos incluyen la unión, intersección, diferencia y complemento.
El documento define conceptos básicos sobre conjuntos en matemáticas. Explica que un conjunto es una colección de objetos y que se denota con letras mayúsculas entre llaves. Los elementos se separan por punto y coma. También describe las notaciones para indicar pertenencia o no pertenencia a un conjunto, y las formas de definir un conjunto mediante extensión o comprensión.
El documento describe diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos. También presenta ejemplos de expresar conjuntos utilizando notación de comprensión.
El documento describe diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos. También presenta ejemplos de expresar conjuntos utilizando notación de comprensión.
Este documento introduce conceptos básicos sobre conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos y explica cómo se denotan y representan conjuntos. Describe conjuntos especiales como el conjunto vacío, conjunto unitario y conjunto finito e infinito. También cubre operaciones con conjuntos como intersección, unión y diferencia, y propiedades como inclusión e igualdad.
El documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de conjuntos, incluidas las definiciones de conjunto, subconjunto, conjunto universal, determinación de conjuntos, conjunto de potencia, igualdad de conjuntos, unión e intersección de conjuntos, diferencia y complemento, álgebra de conjuntos, producto cartesiano, operaciones generalizadas, partición y cardinalidad.
Este documento presenta información sobre conjuntos y álgebra. Explica diferentes tipos de conjuntos como finitos, infinitos, vacíos, unitarios y universales. También cubre relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad y diferencia. Por último, proporciona ejemplos de operaciones con conjuntos como unión, intersección y complemento.
El documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de los conjuntos, incluidas las definiciones de conjunto, elementos de conjunto, notación de conjunto, determinación de conjuntos, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, conjuntos disjuntos y equipotentes, y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. También describe clases especiales de conjuntos como conjuntos vacíos, unitarios y universales, así como el conjunto potencia.
El documento presenta las definiciones y conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo: (1) la definición de conjunto, subconjunto y conjunto universal; (2) las operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia; y (3) leyes como asociatividad, conmutatividad y distribución. Además, introduce otros conceptos como conjunto potencia, conjunto vacío, diagramas de Venn y cardinalidad. Finalmente, incluye ejemplos resueltos de operaciones y propiedades de conjuntos.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, subconjuntos, conjunto universal, diagrama de Venn, igualdad de conjuntos, operaciones como unión, intersección y diferencia. También explica el conjunto vacío, conjunto potencia, complemento de conjuntos, y cardinalidad. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos fundamentales de teoría de conjuntos.
Este documento define conceptos básicos sobre conjuntos en matemáticas. Explica que un conjunto es una colección de objetos llamados elementos. Define la notación para conjuntos usando letras mayúsculas y minúsculas. También describe operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
1. El documento presenta ejemplos de conjuntos numéricos como N, Z, Q, R y C, y define lo que es un conjunto.
2. Explica cómo representar conjuntos mediante letras mayúsculas y elementos mediante letras minúsculas, y cómo indicar la pertenencia o no pertenencia de un elemento a un conjunto.
3. Introduce conceptos como subconjuntos, igualdad de conjuntos, unión, intersección y diferencia de conjuntos.
Este documento define los conceptos básicos de los conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos o entidades distinguibles. Los elementos de un conjunto pueden definirse explícitamente mediante la lista de sus elementos o implícitamente mediante las características que comparten. También introduce conceptos como la pertenencia, subconjuntos, conjuntos vacíos y universales, operaciones entre conjuntos como la unión e intersección, y diagramas de Venn para representar relaciones entre conjuntos.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Business Plan -rAIces - Agro Business Techjohnyamg20
Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
1. SISTEMA DE NÚMEROS REALES
1. BREVE REPASO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
En esta unidad utilizaremos las notaciones y la terminología de conjuntos. La idea de
“conjunto” se emplea mucho en matemática y se trata de un concepto básico del que no daremos
una definición formal.
Podemos decir que un conjunto es una agrupación de objetos distintos (pero con alguna
característica en común), los que reciben el nombre de elemento. Generalmente se nombra a un
conjunto con una letra mayúscula, y a un elemento de ese conjunto con una letra minúscula.
Un conjunto puede especificarse de dos maneras:
a) haciendo una lista de los elementos del conjunto (enumeración), en cuyo caso lo
describiremos utilizando una notación de uso universal.
Ejemplo:
Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8,
escribimos:
M = { 4, 6, 8}
b) estableciendo una propiedad que caracterice a los elementos del conjunto (comprensión).
Ejemplo:
Para indicar el mismo conjunto M escribimos:
M = {x / x es un número par comprendido entre 3 y 9}
o bien
M = {x / x ∈ N ∧ 3 < x < 9}
Recordar que: / : se lee “tal que”
∧: se lee “y”
∈ : se lee “pertenece”
< : se lee “menor que”
∨ : se lee “o”
1
2. A menudo resulta de gran utilidad para visualizar ciertos conjuntos, representarlos
mediante un recinto plano limitado por una línea cerrada, y cuando se representan los elementos
del conjunto se conviene en hacerlo marcando un punto interior.
Esta representación se llama “diagrama de Venn”.
Se emplea el símbolo ∈ para indicar que un elemento específico pertenece al conjunto; y
el símbolo ∉ para indicar que un elemento específico no es elemento de un conjunto.
Ejemplo:
A={1,2,3,4,5}
A = {x / x es un número natural menor que 6 }
A = {x / x ∈ N ∧ x < 6 }
donde 1∈ A ; 2 ∈ A ; 6 ∉ A
A
.
.1 .2
.3 .4
.5
Dados los conjuntos A y B, si todo elemento de A es elemento de B se indica A ⊂ B ( A
está incluído en B, o A es parte de B). Mientras que si A no es parte de B, es decir que hay
algún elemento de A que no es elemento de B, se escribe A ⊄ B.
Ejemplo:
A = { 1,2 }
B = { 1,2,3,4 }
B
A .1
.2 .3
.4
A⊂B
Se dice que dos conjuntos A y B son iguales ( y se escribe A = B ) si A y B poseen
elementos idénticos, es decir si A ⊂ B y B ⊂ A. Mientras que si hay algún elemento de A que
no es elemento de B ó si hay algún elemento de B que no es elemento de A se dice que A ≠ B.
2
3. El conjunto que no tiene elementos se denomina conjunto vacío y se representa con el
símbolo ∅ .
Ejemplos:
A={x/x∈N∧ 2x+4=0} ó A=∅
B = { x : x2 < 0 } ó B=∅
Se llama conjunto universal (o referencial) y se denota con U al conjunto que contiene a
todos los elementos de todos los conjuntos considerados del tema tratado.
Ejemplo:
U ={x / x ∈ N}
A = {x / x ∈ N ∧ x es par }
B = {x / x ∈ N ∧ x es impar }
Se llama complemento de A (respecto de U al conjunto de elementos de U que no están
en A. Para indicar el complemento del conjunto A, usaremos el símbolo A’.
Ejemplo:
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
U = A 1, {2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
{ = 2, 4, 6, 8} A’ = { 1, 3, 5, 7, 9}
A = {2,{1, 6, 8} 4, 5}
B = 4, 2, 3, A’ = B’1, 3, 5, 7, 9} 9 }
{ = { 6, 8,
B = {1, 2, 3, 4, 5} B’ = { 6, 7, 8, 9 }
Operaciones entre conjuntos
Algunas operaciones entre conjuntos que utilizaremos son: unión, intersección y
diferencia.
La unión de dos conjuntos A y B (representada A ∪ B ) es el conjunto de elementos que
se encuentran en A o en B o en ambos.
En símbolos: A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B }
3
4. Ejemplo:
A = {x / x ∈ Z ∧ -2 ≤ x < 3 } A = {-2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
B = {x / x ∈ Z ∧ 0 ≤ x ≤5} B={0,1,2,3,4,5}
A ∪ B = {-2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5}
La intersección de dos conjuntos A y B (representada A ∩ B ) es el conjunto de
elementos que se encuentran tanto en A como en B ( o sea los elementos comunes a A y B).
En símbolos: A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B }
Ejemplo:
A = {x / x ∈ Z ∧ -2 ≤ x < 3 } A = {-2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
B = {x / x ∈ Z ∧ 0 ≤ x ≤5} B={0,1,2,3,4,5}
A∩B={0,1,2}
La diferencia entre los conjuntos A y B (representada A – B ) es el conjunto formado por
los elementos de A que no son elementos de B.
En símbolos: A - B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B }
Ejemplo:
A = {x / x ∈ Z ∧ -2 ≤ x < 3 } A = {-2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
B = {x / x ∈ Z ∧ 0 ≤ x ≤5} B={0,1,2,3,4,5}
A - B = {-2 , -1 }
B - A = {3 , 4 , 5 }
4
5. A modo de resumen de las operaciones vistas,se presenta el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} B = {2, 4, 6, 10, 11}
1) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11}
2) A ∩ B = {2, 4, 6}
3) A – B = {1, 3, 5, 7, 8}
4) B – A = {10, 11}
Esta situación se puede representar mediante el diagrama de Venn siguiente.
A
.1 .7 B
.3 .8 .10
.2
.5 .4 .11
.6
Cada zona sombreada corresponde a la operación indicada
B
B
A A
A∪B A∩B
B B
A
A
A-B B-A
5
6. Usaremos los conceptos y operaciones vistas antes para resolver problemas.
Ejemplo.
En una encuesta realizada entre 120 estudiantes los resultados obtenidos fueron los siguientes:
28 alumnos practican rugby.
35 “ “ atletismo
46 “ “ fútbol
11 “ “ rugby y atletismo
15 “ “ rugby y fútbol
8 “ “ atletismo y fútbol
6 “ “ los tres deportes.
Indicar:
a) ¿Cuántos alumnos practican sólo fútbol?
b) ¿Cuántos alumnos practican sólo atletismo ?
c) ¿Cuántos alumnos practican sólo rugby ?
d) ¿Cuántos alumnos practican sólo fútbol y atletismo?
e) ¿Cuántos alumnos practican sólo fútbol y rugby?
f) ¿Cuántos alumnos practican sólo rugby y atletismo?
g) ¿Cuántos de los alumnos que practican atletismo y rugby, practican también fútbol?
h) ¿Cuántos alumnos no practicaban ninguno de estos deportes?
Solución
Para responder nos ayudaremos con el diagrama de Venn correspondiente a esta situación
a) 29 alumnos practican sólo fútbol.
R
b) 22 sólo atletismo.
22
c) 8 sólo rugby. 8 A
5
d) 2 sólo fútbol y atletismo.
6
e) 9 sólo fútbol y rugby. 9 2
f) 5 sólo rugby y atletismo.
g) 6 de los alumnos que practican rugby
y atletismo practican también fútbol
29
h) 39 alumnos no practican ninguno F
. 39
de estos deportes.
6
7. 2. LOS NÚMEROS REALES
2.1. Conjunto de los números reales
Aunque la Matemática va más allá del estudio de los números, comenzaremos trabajando
con el conjunto de los números reales.
Recordaremos que el conjunto de los números naturales o enteros positivos, se
compone de: N = { 1, 2 , 3 , 4 ,... }; y que N es un subconjunto del conjunto de los enteros:
Z = { ... –3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 ,3 , 4 ,...}. El conjunto Z incluye tanto los enteros positivos como
los negativos y el número cero, el cual no es ni negativo ni positivo.
A su vez el conjunto de enteros es un subconjunto del conjunto de los números racionales (que
denotaremos con Q):
p
Q={ / p y q son enteros, q ≠ 0 }. El conjunto Q está compuesto de todos los cocientes de dos
q
enteros, siempre que el denominador no sea cero.
El conjunto de los números racionales no es suficiente para solucionar ciertos problemas
elementales algebraicos y geométricos. Por ejemplo no hay un número racional p / q para el
2
p
que = 2, o sea que el número
q 2 no es un número racional, pertenece al conjunto de los
números irracionales, es decir al conjunto de números reales que no puede expresarse como
cociente de dos enteros.
Otros ejemplos de números irracionales: π , e, 3, - 7.
Luego podemos afirmar que: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
R
Q
Z
N
7
8. 2.2. Sistema de números reales
El sistema de números reales consiste en un conjunto de elementos denominados
números reales y dos operaciones conocidas como adición y multiplicación. El conjunto de
números reales se representa R. La operación de la adición se representa con el símbolo (+), y
la multiplicación por (⋅) . Si a y b son elementos del conjunto R, a + b designa la suma de a y
de b, mientras que a . b designa su producto.
El sistema de números reales se puede describir completamente por un conjunto de
axiomas (enunciado formal que se da por cierto sin necesidad de demostrarlo). Con estos
axiomas podemos deducir las propiedades de los números reales de las cuales siguen las
operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación y división.
PROPIEDADES BÁSICAS
Las propiedades básicas del sistema de números reales con respecto a las operaciones de adición
y multiplicación son las siguientes:
Sean a, b y c dos números reales:
Adición Multiplicación
1) Ley clausurativa (ley de cierre)
a + b es un número real a . b es un número real
2) La suma es asociativa El producto es asociativo
a + ( b + c) = ( a + b) + c a . ( b . c) = ( a . b) . c
3) La suma es conmutativa El producto es conmutativo
a+ b = b+a a. b = b.a
4) Existe elemento neutro para la suma Existe elemento neutro para el producto
A+0=0+a= a a.1=1. a= a
5) Para cada número real existe un único número Para cada número real a ≠ 0 existe un
real (llamado negativo o inverso aditivo de a), único número real (llamado recíproco
representado por (-a) tal que: o inverso multiplicativo de a),representado
a + (-a) = a - a = 0 por 1/a o también por a –1 tal que:
1 1
a. = .a=1
a a
8
9. 6) Propiedad distributiva ( el producto es distributivo respecto de la suma).
a ( b + c ) = (a.b) +( a.c) = ab + ac
( a + b ) c = (a.b) +( a.c) = ac + bc
OTRAS PROPIEDADES
Muchas otras propiedades de los números reales pueden demostrarse a partir de las propiedades
básicas. Algunas que utilizaremos son las siguientes:
a) Ley cancelativa ( o anulativa)
Si a + c = b + c entonces a = b Si a.c = b.c , entonces a = b
b) a . 0 = 0 . a = 0
( Si a = b , entonces a.c = b.c)
(Si a = b , entonces a + c = b + c )
c) Si a . b = 0 ⇒ a = 0 ó b = 0
Si b≠ 0, el cociente a/ b se define
d) Para los números a y b, la diferencia
1 a
a–b se define como: a – b = a + ( - b ) a:b=a. =
b b
a
En el cociente , a se llama numerador y b se llama denominador.
b
Con frecuencia el cociente de dos números reales se llama fracción.
a
Recordar que no está definida para b = 0.
b
No todas las propiedades que funcionan para la adición y la multiplicación son válidas
para la sustracción y la división. Haremos una lista de otras propiedades importantes.
e) ( -1) . a = - a
f) - (- a) = a
g) (- a) . b = a. (- b) = - (a.b) = = - a b
h) (- a) ( - b ) = ab
i) – ( a + b) = (- a) + (- b) = – a – b
j) ( a - 1) - 1 = a
k) ( a b)-1 = a – 1 b – 1
9
10. a c
Para todas las fracciones y donde b ≠ 0 y d≠0 :
b d
1 −
a a b
l) ≠0 ⇒ =
b b a
a c
m) = si y sólo si ad = bc (fracciones equivalentes)
b d
a −a a −a a
n) = = - también = (regla de los signos)
−b b b −b b
ac a
o) = , con c ≠ 0 ( ley cancelativa)
bc b
Operaciones
* Adición y sustracción con igual denominador.
a c a±c
± =
b b b
* Adición y sustracción con distinto denominador.
a c ad ± cb c ad + c
± = también a+ =
b d bd d d
* Multiplicación.
a c ac
. =
b d bd
* División.
a
a c ad b = ad
÷ = también
b d bc c bc
d
0÷b=0
a ÷ 0 no está definida.
0 ÷ 0 no está definida.
Utilizando la propiedad distributiva se puede probar que para todo a, b ∈ R:
a) (a + b) . (c + d) = ac + ad + bc + bd
a) (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
b) (a +b) . (a – b) = a2 – b2
c) si n ∈ N , n.a = ( 1 + 1 + 1 + ... + 1) . a = 1.a +44 24444 = a + a42+ ... + a
14 1.a 41.a + ... + 1.a
+ 3 14 + a 443
14424434 4
n veces n veces n veces
10
11. 2.3. Los números reales y la recta
Al conjunto R se le impone una condición denominada axioma de completitud (que no
estudiaremos ahora). Sin embargo daremos una interpretación geométrica al conjunto de
números reales asociándolos a los puntos de una recta horizontal llamada eje. El axioma de
completitud garantiza una correspondencia biunívoca (de uno a uno) entre el conjunto R y el
conjunto de puntos en el eje.
Se elige un punto en el eje para que represente el punto 0. Este punto recibe el nombre de
origen. Se selecciona luego una unidad de distancia. Entonces cada número positivo x quedará
representado por un punto situado a una distancia de x unidades a la derecha del origen, y cada
número negativo x se representará por un punto a una distancia de –x unidades a la izquierda
del origen.
Existe una correspondencia biunívoca entre R y los puntos del eje, es decir, a cada
número real le corresponde un único punto en el eje y a cada punto en el eje se le asocia un único
número real.
A la recta R se la denomina recta de números reales o recta numérica.
-1 0 1 2
2.4 Orden en los reales
Existe un ordenamiento en el conjunto R por medio de una relación denotada por los
símbolos < (“menor que”) y > (“mayor que”) que se definen así:
a < b si y sólo si b–a es positiva.
a > b si y sólo si a–b es positiva.
La relación de orden así definida verifica las siguientes propiedades.
PROPIEDADES BÁSICAS DEL ORDEN:
Sean a, b, c ∈ R, se cumple :
1) Una y sólo una de las siguientes afirmaciones es verdadera: a < b , ó a > b , ó a = b
2) Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0.
3) Si a > 0 y b > 0, entonces a b > 0.
11
12. Son de uso universal las siguientes notaciones:
• a≤b si y sólo si: a < b, o bien a = b.
• a≥b si y sólo si : a > b, o bien a = b.
• a<b<c para indicar que a<b y b < c.
• a≤b≤c para indicar que a ≤ b y b ≤ c.
OTRAS PROPIEDADES DEL ORDEN EN R
Muchas otras propiedades relativas al orden pueden demostrarse a partir de las básicas; algunas
son las siguientes:
O 1) a ≤ b y b≤a ⇒ a = b.
O 2) a≤b y b≤c ⇒ a ≤ c.
O 3) Si a > b y b > c, entonces a > c. (ley de transitividad)
Si a < b y b < c, entonces a < c.
O 4) Leyes de monotonía de la suma
a) Si a > b entonces a + c > b + c.
b) Si a < b entonces a + c < b + c.
c) Si a < b y c < d entonces a + c < b + d.
O 5) Leyes de monotonía del producto:
a) Si a > b y c > 0, entonces a c > b c.
b) Si a < b y c > 0, entonces a c < b c.
c) Si a > b y c < 0, entonces a c < b c.
d) Si a < b y c < 0, entonces a c > b c.
O 6) Si 0 < a < b y 0 < c < d, entonces a c < b d.
O 7) Si a < b , entonces - b < - a .
O 8) Si a > 0 , entonces - a < 0.
1 1
O 9) Si a y b son ambos positivos o ambos negativos, y a < b entonces > .
a b
O 10) Si 0 < a <b entonces a2 < b2, (donde a2 = aa y b2 = bb )
O 11) Si a< b< 0 entonces b2 < a2.
O 12) Si a ≠ 0 entonces a2 > 0..
O 13) Signos del producto (y del cociente):
12
13. a > 0 y b > 0
a) ab>0 ⇔ ó
a < 0 y b < 0
a > 0 y b < 0
b) a b < 0 ⇔ ó
a < 0 y b > 0
a > 0 y b > 0
a
c) >0 ⇔ ó
b a < 0 y b < 0
a > 0 y b < 0
a
d) >0 ⇔ ó
b a < 0 y b > 0
De a) y b) resulta que el producto de varios factores no nulos es positivo si hay un
número par de factores negativos, si el número de factores negativos es impar, el resultado es
negativo.
Esto nos resulta de utilidad si nos interesa saber, por ejemplo, qué valores del número
real x hacen que el producto: ( x – 2 ). (x + 1) sea mayor que cero (positivo), menor que cero
(negativo) ó igual a cero.
Una forma sencilla de resolver esta cuestión es la siguiente:
+++++++++
signo de ( x – 2) -1 0 2
++++++++++++++++ +++++++++
signo de ( x + 1) -1 0 2
++++ +++++++++
signo de ( x –2 ).(x + 1)
-1 0 2
O sea que el producto (x-2) (x+1) es positivo si x < -1 y también si x > 2 . Es negativo
cuando -1 < x < 2 Es cero cuando x = -1 y también cuando x = 2.
13
14. 2.5. Intervalos
Para indicar que un número x se encuentra entre a y b, o sea si a < x y x < b . Esto
puede escribirse de la siguiente manera: a < x < b.
También son utilizadas las expresiones: a ≤ x ≤ b , a ≤ x < b, a < x ≤ b.
Al conjunto formado por todos los valores reales de x que cumplen con alguna de las
condiciones anteriores se lo denomina intervalo, tiene una notación determinada y se lo puede
representar en la recta numérica.
(a , b) = { x ∈ R : a < x < b} (intervalo abierto)
[a , b] = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (intervalo cerrado)
(a , b] = { x ∈ R : a < x ≤ b} (intervalo semiabierto a la izquierda o semicerrado)
[a , b) = { x ∈ R : a ≤ x < b} (intervalo semiabierto a la derecha o semicerrado)
Ejemplos:
A = {x / x ∈ R ∧ -2 < x < 5} = (-2 , 5)
5
-2
B = {x / x ∈ R ∧ -2 ≤ x ≤ 5} = [-2 , 5]
-2 5
C = {x / x ∈ R ∧ -2 ≤ x < 5} = [-2 , 5)
5
-2
D = {x / x ∈ R ∧ -2 < x ≤ 5} = (-2, 5]
-2 5
Otros intervalos:
[a , + ∞ ) = { x ∈ R : x ≥ a }
a
(a , + ∞ ) = { x ∈ R : x > a }
a
(- ∞, a ] = { x ∈ R : x ≤ a }
a
(- ∞, a ) = { x ∈ R : x < a }
a
(- ∞, +∞) = { x ∈ R } = R
14
15. 2.6. Otras operaciones: potenciación y radicación
Potenciación
Así como una suma repetida x+x+x+x se podía escribir 4 x, el producto repetido se
puede escribir x .x .x .x = x4.
En general, para cualquier entero positivo n, el símbolo xn representa el producto de n factores
de x.
xn = 14x ....3.
x . x .24x donde n es el exponente y x es la base
n veces
1
También para cualquier entero positivo n definimos x- n =
xn
De las propiedades vistas del producto surgen las siguientes
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
a) xm . xn = xm + n
b) (xm) n = x m . n
c) (x. y) m = xm . ym
m
x xm
d)
y =
ym
xm
e) = x m −n
n
x
Ejemplos:
a5 1
−3
= .a 8 = .a − 2
−3 5
a a a
(a )−2 4
= .a −8 23 . 22 = 2.5
4
4 .4 4 5 54
(3 . 2) = 3 . 2 = 4
2 2.
15
16. Radicación
Las raíces de los números reales se definen por el enunciado
n
x = r si y sólo si rn = x
donde x y r son números reales no negativos y n es un entero positivo, ó x y r son números
reales negativos y n es un número entero positivo impar.
Al número n x se lo denomina la raíz enésima de x.
La expresión n x se llama radical; el número n es el índice del radical y x se llama radicando.
El símbolo se llama signo radical.
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Las propiedades siguientes se utilizan para operar y simplificar expresiones que contengan
radicales.
Sean m y n números positivos y x e y números reales. Entonces:
a) ( n x ) n = x
n
b) x. n y = n x.y
n
x x
c) =n
n y y
n m m .n
d) x = x
Ejemplos:
a)
3
53 = 5 b) 8. 8 = 64 = 8 ó 8. 8 = ( 8) 2
=8
8 8 3
c) = = 4 =2 d) 64 = 6
64 = 6
26 = 2
2 2
16
17. Al racionalizar un denominador estamos encontrando una expresión equivalente a la dada que
no tiene radicales en el denominador. Para ello basta multiplicar a la expresión dada por 1,
escrito en forma especial.
Ejemplo:
1 1 7 7 7
= . = =
7 7 7 ( 7) 2
7
Si una fracción contiene expresiones del tipo ( x+ ) (x − y ) bastará multiplicar por una
y ó
expresión conveniente para obtener otra expresión, equivalente a la dada, pero que no contenga
radicales en el denominador.
Ejemplos:
3 3 7+ 3 3 ( 7 + 3) 3 ( 7 + 3) 3 ( 7 + 3)
a) = . = = =
7− 3 7− 3 7+ 3 ( 7 ) − ( 3)
2 2
7−3 4
1 1 x+ y x+ y x+ y
b) = . = =
x− y x− y x+ y ( x) − ( y)
2 2
x−y
3 3 5− 2 3 ( 5 − 2) 3 ( 5 − 2)
c) = . = = = ( 5 − 2)
5+ 2 5+ 2 5− 2 ( 5) − ( 2)
2 2
5−2
17
18. Exponentes racionales
El concepto de raíz enésima de un número nos permite ampliar la definición de exponentes
enteros a exponentes racionales, y a veces es más cómodo trabajar con exponentes racionales que
con radicales.
n
Si el valor x está definido, diremos que:
1
n
x n = x
Análogamente
m
m 1
n
x n = xn = xm
Ejemplos:
2
a) 64 3 = 3
(64) 2 = 3
(2 ) 6 2
= 3
(2) 12 = 2 4 = 16
3
1 1 1 1 1
b) (32)− 5 = = = = =
5
(32) 3 5
(2 )5 2 3
2 15 2 3
8
5
3 5
c) x = x3
4
2 −
7
d) = y
7
y4
18
19. PROPIEDADES
Las propiedades de la potenciación vistas para exponentes enteros positivos también son válidas
para los exponentes racionales o sea si x e y son números reales adecuados, y r y p son
números racionales se cumple que:
a) xr . xp = xr + p
b) (xr) p = x r . p
c) (x. y) r = xr . yr
r
x xr
=
d)
y yr
xr
e) = xr− p
p
x
Ejemplos:
1 1 1 1 1 1
+ +
a.) 2 a2 2 a3 2 a6 = 8 a2 3 6 = 8 a
4 3
− 1 3 3
3 3 1 3 2 − 5 5 − 3 1 1 2
x 6 = 3 . 1 3 2 5 x 2 x 3 2 5
− −
b) x2 2 x4 x 2 = 12 x 3
2 3 2 2 3 3
19
20. Valor absoluto
El valor absoluto de un número real x se designa mediante |x| ,y se define como:
x si x ≥ 0
x =
− x si x < 0
Geométricamente el valor absoluto de un número x es la distancia entre ese número x y el
origen.
La expresión |x| = d representa a aquellos valores de x cuya distancia al origen es d.
Gráficamente:
-d d
0-d 0 0+d
Ejemplos
|x| = 4, esto puede interpretarse: “los números cuya distancia al origen es igual a 4 “
-4 4
0-4 0 0+4
|x| > 5, esto se lee: “los números cuya distancia al origen es mayor a 5 “
-d d
0-d 0 0+d
Análogamente, se define la distancia (no dirigida) entre dos números x y a como: |x - a|
En particular si a = 0, |x - 0| = | x | tendríamos la distancia al origen como se definió antes.
Ejemplo
La expresión |x - 3| = 5 se lee “los números cuya distancia a 3 es 5” . Los números que
satisfacen esta igualdad son: -2 y 8, tal como se muestra en la siguiente figura:
5 5 8
-2
3-5 3 3+5
20
21. Nota: Si a es un número negativo la expresión |x – (–a)| = |x + a|
Ejemplo:
La expresión |x + 3| < 4 se lee “los números cuya distancia a -3 es menor que 4” . Los
números que satisfacen esta desigualdad son los que pertenecen al intervalo: (-5,1) tal como
se muestra en la siguiente figura:
4 4
-7 1
-3 - 4 -3 -3 + 4
Propiedades del valor absoluto
1. |x| ≥ 0 ( |x| > 0 si x ≠ 0 y |x| = 0 si x = 0)
2. |x . y| = |x| . |y|
3. x + y ≤ x + y (desigualdad triangular)
Otras propiedades de valor absoluto
4. x−y ≥ x − y
5. |x|2 = x2
6. |x| < |y| ⇔ x2 < y2
x x
7. =
y y
Observación x2 = x
21