Este documento describe progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una progresión aritmética es una lista de números donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, mientras que en una progresión geométrica la razón entre términos consecutivos es constante. También proporciona fórmulas para calcular la suma de los términos de una progresión aritmética o geométrica.

1. 3
Progresiones aritméticas y geométricas
Zenón de Elea (s. V a. C.)
Introducción
Fue un filósofo griego de la escuela eleática, nacido en Elea
(Italia meridional). Fue discípulo de Parménides (uno de
En este módulo se estudiarán progresiones. Una progresión es una lista de núme- los filósofos griegos más importantes de la época y de los
ros que siguen una ley general de formación. Según como sea esa ley, las más señalados en la escuela eleática) y, según varios
progresiones que se verán serán aritméticas o geométricas. Se verá cómo estas escritores, enseñó en Atenas durante algún tiempo.
progresiones tienen aplicación en el cálculo de interés compuesto y en el crecimien-
Zenón trató de mostrar que la realidad es una e invariable
to exponencial de algunos seres vivos. y que todo movimiento es ilusorio. Era costumbre suya
mostrar lo absurdo de algunas creencias y frecuentemente
se valía de paradojas (expresión o situación que parece
absurda y sin embargo es razonable), en las que dice que
Objetivos todo movimiento es un engaño.
Contrastadas con la realidad, las pruebas de Zenón contra
1. Caracterizar sucesiones de números reales o complejos.
el movimiento se revelan al punto como paradojas y como
2. Deducir fórmulas compactas para la suma de estas sucesiones. auténticos paralogismos (argumento o contradicción falsa).
Preguntas básicas
1. ¿Cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una geométrica?
2. ¿Habrá progresiones que sean a la vez aritméticas y geométricas?
3. ¿Se puede conocer a qué valor tiende la suma de infinitos términos de una progre-
sión geométrica?
4. ¿Se puede conocer a qué valor tiende la suma de infinitos términos de una progre-
sión aritmética?
Contenido
3.1 Progresiones aritméticas
3.1.1 Suma de términos de una progresión aritmética Visite el sitio
3.2 Progresiones geométricas http://docencia.udea.edu.co/cen/
3.2.1 Suma de términos de una progresión geométrica AlgebraTrigonometria/
Vea el módulo 3 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Álgebra y trigonometría 37

2. Capítulo 1: Elementos de aritmética
3.1 Progresiones aritméticas
Escuche Historia del ajedrez Una progresión aritmética es una sucesión de números reales de la forma siguiente:
en su multimedia de
Àlgebra y trigonometría a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an , donde la diferencia entre cualquier par de números consecu-
tivos es siempre constante, es decir, an an 1 d para todo n. El término d se llama
diferencia constante.
En la notación anterior se tendrá que:
a1: primer término de la progresión.
d: diferencia común.
n: número de términos.
Según lo anterior, otra forma de escribir la progresión aritmética es:
a1 , a1 d , a1 2d , a1 3d ,..., a1 ( n 1) d . Como consecuencia de lo anterior, en
una progresión aritmética en la cual la diferencia común es d y el primer término es
a1 , se tiene que el enésimo término se denota por an a1 ( n 1) d .
Ejemplo 15
La sucesión 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 es una progresión aritmética en la cual el primer
término es 3 y la diferencia común es 3.
Ejemplo 16
Halle el término de lugar 12 de la progresión aritmética 10, 7, 4, ...
Solución
Se tiene que a1 = 10, d 3 . Se sabe que an a1 ( n 1) d . En consecuencia, para
n = 12 se tiene que a12 10 12 1

3. 3

4. , a12 23.
Ejemplo 17
Si el cuarto término de una progresión aritmética es 14 y el noveno es 34, encuentre
el primer término.
Solución
Como an a1 (n 1) d , se tiene entonces que:
para n = 4, 14 a1 3d.
para n = 9, 34 a1 8d .
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se concluye que a1 2 y d = 4.
Ejemplo 18
Encuentre una progresión aritmética de siete términos cuyo primer término es 1/2 y
cuyo último término es 13/2.
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5. Módulo 3: Progresiones aritméticas y geométricas
Solución
1
Se sabe que a1 ,n 7, an a1 n 1

6. d .
2
13 1
En nuestro caso se tiene que 7 1

7. d . Por tanto, 6 = 6d o sea que
2 2
d = 1. De lo anterior se concluye que la progresión aritmética es:
1 3 5 7 9 11 13
, , , , , , .
2 2 2 2 2 2 2
3.1.1 Suma de términos de una progresión aritmética
Dada una progresión aritmética con n términos, de la forma
a1 , a1 d , a1 2 d , a1 3d ,..., a1 ( n 1) d , de este modo su suma se expresa
como Sn a1 a1 d a1 2d a1 3d ... a1 ( n 1) d . Se puede fácilmen-
te demostrar que Sn viene dada por la siguiente fórmula compacta:
n
Sn ª 2a1 n 1