Este documento presenta varios teoremas y problemas sobre isometrías y curvatura en geometría diferencial. Aborda conceptos como superficies regulares, curvatura gaussiana constante, puntos umbilicos, geodésicas, superficies mínimas y más. Incluye 13 problemas que exploran estas nociones a través de la demostración de propiedades geométricas y topológicas de diversas superficies.

1. Geometría Proyectiva - 2◦
cuatrimestre de 2018
P 
I  T  H-R
“No hay 5 sin 6”
En esta guia, todas las superficies son regulares y todas las funciones y superficies son de clase C3
.
1. Justificar por qué las siguientes superficies no son localmente isométricas:
a) La esfera b) El cilindro
c) La silla de montar {z = x2
− y2
} d) La pseudeoesfera
2. Dado k > 0, considerar la superficie del elipsoide E = {(x, y, z) : x2
+ y2
+ z
k
2
= 1}.
a) Calcular la curvatura de Gauss K : E → R, probar que la curvatura calculada
K no depende del ángulo θ (en coordenadas esféricas) e interpretar geométri-
camente.
b) ¿Existe una isometría entre E y la esfera unitaria para cualquier k > 0? ¿Para
algún k > 0?
c) Calcular las curvaturas principales κ1, κ2, ver que las direcciones principales
de curvatura v1, v2 son las direcciones de los ángulos θ, ϕ (en coordenadas
esféricas), e interpretar geométricamente qué ocurre cuando k → ∞.
d) Hallar los puntos umbílicos de E.
3. Sea ϕ(u, v) = (f(v) cos(u), f(v) sin(u), g(v)) la parametrización de una superficie de
revolución con curvatura Gaussiana constante k. Para determinar f y g se elige v
de modo que (f )2
+ (g )2
= 1 (es decir que v es la longitud de arco de la curva
generatriz). Mostrar que:
a) f satisface f + k f = 0 y g = 1 − (f )2dv. Se toma 0 < u < 2π y el dominio
de v de modo que la última integral está definida.
b) Todas las superficies de revolución con curvatura constante k = 1 que interse-
can perpendicularmente el plano xy están dadas por
f(v) = C cos(v) y g(v) =
v
0
1 − C2 sen2(t)dt
donde C es una constante. Determinar el dominio de v y hacer un gráfico de
la curva cortada con el plano xz para los casos C = 1, C > 1 y C < 1 (notar que
el plano xz se obtiene tomando u = 0). Observar que C = 1 representa la esfera
unitaria S 2
.
c) Todas las superficies de revolución con curvatura constante k = −1 son de uno
de los siguientes tipos:
1) f(v) = C cosh(v) y g(v) =
v
0
1 − C2 senh2
(t)dt.
2) f(v) = C senh(v) y g(v) =
v
0
1 − C2 cosh2
(t)dt.
3) f(v) = ev
y g(v) =
v
0
√
1 − e2tdt.
Determinar el dominio de v y hacer un gráfico de cada superficie cortada con
el plano xz.
1

2. d) La última superficie del ítem previo es la pseudoesfera.
e) Las únicas superficies de revolución con k = 0 son el cilindro circular recto, y
el cono circular recto.
4. Sea M superficie regular conexa de clase C4
, supongamos que todos los puntos de
M son umbílicos. Si κp(v) es la curvatura normal en p en la dirección de v ∈ TpM,
probar:
a) κp(v) = κ es constante (no depende de la dirección ni del punto).
b) K(p) es constante (la curvatura de Gauss) e igual a κ2
.
c) Si κ = 0, M es una porción de un plano.
d) Si κ 0, M es una porción de una esfera de radio R = 1/|κ| (sug: tomar un
punto p ∈ M y c = p + 1/κN(p), probar que q − c = R para todo q ∈ M).
5. Probar que si una geodésica de M es una curva plana, es una línea de curvatura
(sug: n(s) = ±N ◦ α(s), y fórmulas de Frenet).
6. Probar que si todas las geodésicas de una superficie M son curvas planas, entonces
M está contenida en un plano o en una esfera.
7. Si C es una curva asintótica con curvatura nunca nula, entonces |τ| =
√
−K (sug:
verificar que el vector binormal a la curva es normal a la superficie).
8. Probar que si M es compacta existe un punto p ∈ M donde K(p) > 0.
9. Decimos que M es una superficie mínima si tiene curvatura media constantemente
nula, es decir κ1(p) + κ2(p) = 0 para todo p ∈ M. Probar que no hay superficies
mínimas compactas.
10. Sea f : M → S una isometría local, probar que si p, q ∈ M son suficientemente
cercanos, entonces distS ( f(p), f(q)) = distM(p, q). Dar un ejemplo donde no valga la
igualdad.
11. Dado p ∈ M, 0 < c < r(p) = ip(M). Probar
a) Expp(Bc(0p)) = Bc(p) = {q ∈ M : dist(q, p) ≤ c},
b) Si donde S c(x) denota la circunferencia centrada en x de radio c en el espacio
correspondiente, entonces S c(p) es una curva regular y además
Expp(S c(0p)) = S c(p) = {q ∈ M : dist(q, p) = c}.
c) Los rayos geodésicos que salen de p cortan S c(p) ortogonalmente.
12. Sea f : M → S de clase C1
tal que distS (f(p), f(q)) = distM(p, q) para todo p, q ∈ M.
Probar que f es una isometría (sug: usar entornos exponenciales).
13. Sea i : M → R≥0 el radio de inyectividad de la exponencial riemanniana. Probar que
i es continua.
14. Sea M superficie regular,
a) Probar que M es completa en R3
si y sólo si (M, dist) es completo.
b) Probar que (M, dist) es compacto si y sólo si M es compacta en R3
.
2