Este documento contiene 4 preguntas de una prueba de evaluación continua de variable compleja. La primera pregunta trata sobre determinar el radio de convergencia de una serie dada el radio de otra serie relacionada. La segunda pregunta pide estudiar la convergencia de dos sucesiones de funciones analíticas. La tercera pregunta identifica cual de tres afirmaciones sobre el índice de un camino es verdadera. La cuarta pregunta identifica cual afirmación sobre el límite del exponencial cuando z tiende a infinito es correcta.

1. RESOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE
EVALUACIÓN CONTINUA DE
VARIABLE COMPLEJA (PEC) 2017
1.Pregunta. Si el radio de convergencia de la serie de potencias
1X
n=0
anzn
es R , donde 0 < R < 1 , entonces se pide determinar el radio de convergencia
R1 de la serie
1X
n=1
n n
anzn
.
2. Pregunta. Dadas las sucesiones de funciones analíticas en D (0; 1)
i) fn (z) =
zn
n + zn
n 1
,
ii) fn (z) =
nzn
1 + zn
n 1
.
Se pide estudiar la convergencia y la convergencia uniforme de ambas suce-
siones.
3.Pregunta. Sea : [0; 1] ! B (0; 1) , un camino en el círculo unidad que
es diferenciable. Decir cual de las siguientes a…rmaciones es cierta:
i) Para un punto a 2 B (0; 1) no puede ocurrir Inda ( ) = 0:
ii) Para un punto a 2 C tal que jaj = 2 se tiene Inda ( ) = 0:
iii) Si dos puntos a; b en el complementario de satisfacen Inda ( ) =
Indb ( ) = 0 entonces a y b están en la misma componente de C= .
4.Pregunta. ¿Cual de las siguientes a…rmaciones sobre la función expo-
nencial es cierta?
i) lim
z!1
ez
= 1
ii) lim
z!1
ez
= 0 cuando z tiende a 1 y z 2 Y = fz = x + yi j 0 x 2 g
iii) lim
z!1
ez
= 0 cuando z tiende a 1 y z 2 X = fz = x + yi j x 0 , 0 y 2 , g
.
1

2. 1.Pregunta. Si el radio de convergencia de la serie de potencias
1X
n=0
anzn
es R , donde 0 < R < 1 , entonces se pide determinar el radio de convergencia
R1 de la serie
1X
n=1
n n
anzn
.
Solución. Para calcular el radio R1 de la serie
1X
n=1
n n
anzn
,
aplicamos la Fórmula de Cauchu-Hadamard utilizando el hecho que R es el radio
de convergencia de la serie dada
1X
n=0
anzn
.
Es decir sabemos que
1
R
= lim sup
n!1
n
p
janj
y tenemos que calcular R1 de tal forma que
1
R1
= lim sup
n!1
n
p
n n janj .
Es claro que
lim sup
n!1
n
p
n n janj = lim sup
n!1
n
p
janj
n
= 0 ,
es decir
R1 = 1 .
2. Pregunta. Dadas las sucesiones de funciones analíticas en D (0; 1)
i) fn (z) =
zn
n + zn
n 1
,
ii) fn (z) =
nzn
1 + zn
n 1
.
Se pide estudiar la convergencia en H (D (0; 1)) de ambas sucesiones.
2

3. Solución.
i) De la estimación
jfn (z)j
1
n 1
en D (0; 1) ,
deducimos la convergencia uniforme sobre compactos de fn (z) en D (0; 1) a la
función identicamente nula f0 (z) 0 cuando n ! 1:
ii) Sea D (0; r) el disco cerrado de radio r < 1:De la estimación en
D (0; r)
jfn (z)j
nrn
1 rn
,
donde
nrn
1 rn
! 0 , cuando n ! 1
concluimos de nuevo la convergencia uniforme sobre compactos de fn (z) en
D (0; 1) a la función identicamente nula f0 (z) 0 cuando n ! 1:
3.Pregunta. Sea : [0; 1] ! B (0; 1) , un camino en el círculo unidad que
es diferenciable. Decir cual de las siguientes a…rmaciones es cierta:
i) Para un punto a 2 B (0; 1) no puede ocurrir Inda ( ) = 0:
ii) Para un punto a 2 C tal que jaj = 2 se tiene Inda ( ) = 0:
iii) Si dos puntos a; b en el complementario de satisfacen Inda ( ) =
Indb ( ) = 0 entonces a y b están en la misma componente de C= .
Solución. La a…rmación correcta es ii) .
4.Pregunta. ¿Cual de las siguientes a…rmaciones sobre la función expo-
nencial es cierta?
i) lim
z!1
ez
= 1
ii) lim
z!1
ez
= 0 cuando z tiende a 1 y z 2 Y = fz = x + yi j 0 x 2 g
iii) lim
z!1
ez
= 0 cuando z tiende a 1 y z 2 X = fz = x + yi j x 0 , 0 y 2 , g
.
Solución. La a…rmación correcta es iii) .
3