Resolución de problemas paso a paso con el método polya.

2. *

3. *
Es una situación significativa de contenido
matemático que implica una dificultad, cuya
solución requiere de un proceso de reflexión,
búsqueda de estrategias y toma de decisiones.

4. ESTRATEGIAS PARA
TRABAJAR PROBLEMAS
ARITMETICAS DE
ENUNCIADO VERBAL
(PAEV)

5. ESTRUCTURA ADITIVA
COMBINACION
CAMBIO (TRANSFORMACION)
IGUALACION
DESDE UN PUNTO DE VISTA COGNITIVO, LOS ESTUDIOS
REALIZADOS ACERCA DE LOS PROBLEMAS ADITIVOS Y
SUSTRACTIVOS HAN SIDO DESCRITOS EN 4 CATEGORIAS.
CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS ADITIVOS:
COMPARACION

6. NOMBRE DE
LA
CATEGORIA
CARACTERÍSTICA EJEMPLO
Combinación
Implica relación estática entre conjuntos. Se
pregunta por el conjunto unión o por uno de
los dos sub conjuntos disjuntos.
Hay tres manzanas y 4
naranjas: ¿Cuantas frutas hay
en total?
Cambio
Describe el aumento o la disminución en algún
estado inicial para producir un estado final.
Juan tiene 6 figuras, perdió 2
de ellas. ¿Cuántas figuras
tienen ahora?
Igualacion
Comparación
Son aquellas situaciones en la que se expresa
una relacion entre cantidades ligadas por las
frases “tantos como” o ”igual que”
Implica comparación estática entre dos
conjuntos. Se pregunta acerca del conjunto
Diferencia o acerca de uno de los conjuntos
sobre los que actua el conjunto Diferencia.
Javier tiene 15 canicas. Si a
Pepe le regalan 6 canicas,
tendrá tantas canicas como
Javier ¿Cuántas canicas tiene
Pepe?
Tito tiene 6 figuras. Juan tiene
4 figuras. ¿Cuántas figuras tiene
Tito más que Juan?

7. CATEGORIAS FUNDAMENTALES
I Problemas de Combinación
Según Vergnaud, son problemas en los que dos cantidades de elementos de una
colección se combinan para hallar una tercera y responden a situaciones como la
siguiente:
“En una bolsa hay 13 chapitas rojas y 9 azules. Entonces tengo 22 chapitas”
Es el problema que plantea la adición por primera vez a los niños, desde la misma
construcción del número natural.
“De los 38 estudiantes de mi aula 17 son niñas ¿Cuántos varones hay?”
La situación es muy similar a la anterior y no presenta dificultades para entenderla.
Sin embargo su solución hace uso de la sustracción. Sin embargo, la similitud con
el problema anterior permite que la estrategia de solución de la primera se adapte a
este segundo problema con una adición que llamamos “con huecos”:
17 + … = 38

8. En este otro ejemplo de problemas:
Hay a varones. Hay b mujeres. ¿Cuántas personas hay?
Hay a varones. Hay b personas . ¿Cuántas mujeres hay?
La relación entre las proposiciones está dada a través de los
sustantivos “varones”, “mujeres” y “personas”, cuyos significados mantienen las
relaciones parte-parte-todo, que caracteriza a estos problemas.
En el primer caso, las partes constituirán los datos (D) del problema y el
todo será la incógnita (I). En el segundo caso, el todo y una de las partes
constituirán los datos del problema mientras que la otra parte será la incógnita.
En este contexto, según la operación de adición o sustracción que se requiera
utilizar para resolver el problema de combinación se generan dos posibilidades:
PROBLEMAS ESTRUCTURA
Parte Parte Parte
COMBINACIÓN 1 D D I
COMBINACIÓN 2 D I D

9. II PROBLEMAS DE CAMBIO (TRANSFORMACIÓN)
En estos problemas, se produce una modificación en el tiempo, se establecen
relaciones lógicas aditivas en una secuencia temporal de sucesos, pasando
de un estado inicial aun estado final mediante una transformación. Ejemplo:
ei. t ef.
“La caja de caramelos tenía 28 caramelos, nos hemos comido 13.
Quedan 15”
En esta clase de problemas es posible distinguir tres momentos diferentes
relacionados con el hecho de cómo una cantidad inicial es sometida a una
acción que la modifica. Las tres cantidades que aparecen en los enunciados
de esta clase de problemas reciben los nombres de cantidad inicial, final y de
transformación o cambio.
La pregunta del problema se hará acerca de la cantidad inicial, final o de la
transformación o cambio. Así, dos de las tres cantidades deben estar
contenidas en la parte informativa del enunciado del problema, es decir, serán
los datos del problema.

10. A partir de esta estructura se pueden identificar 6 subcategorías ,
dependiendo de la naturaleza de la transformación (o del cambio) que
aumente t+o que disminuya t- y del dato que se pregunte.
Ejemplos:
Incógnita
Estado final
ef
Incógnita
Transformación
(cambio)
Incógnita
Estado inicial
ei
t+ 1. Paty va a realizar 79
fotocopias, cuando empieza el
contador marca 347 ¿Cuánto
marcará el contador cuando
termine?
2. Estela tiene 38 globos, se ha
comprado una bolsa de globos y
ahora tiene 95. ¿Cuántos globos
se ha comprado?
3. En el último censo, mi
pueblo figura con 3 548
habitantes. Si en el último año
ha crecido 347. ¿Cuántos
habitantes, tenía hace un año?
t- 4. Yo guardaba 27 estampillas
en mi colección y he regalado
15 ¿Cuántas tengo ahora en mi
colección?
5. Manuel ha jugado a las
canicas. Tenía 23 antes de jugar
y ahora tiene 19. ¿Cuántas
perdió?.
6. Marcela ha sacado de su
cuenta 365 soles para hacer
unas compras. Si después le
quedan 1 743 soles en la
cuenta. ¿cuánto tenía antes?
Compare y responda:
¿Cree que el razonamiento que se pone en juego en los problemas 1 y 4 en
mas sencillo que en el de los otros? Justifique
________________________________________________________________
________________________________________________________________
__________________________________________________________

11. III. Problemas de Comparación
Son problemas en los que se establece una comparación, en términos aditivos de
dos cantidades, por ejemplo:
“Tengo 17 años y mi hermana tres menos”. Ella tiene 14 años.
Al igual que en el caso anterior también podemos contemplar seis casos
dependiendo del tipo de comparación positiva o negativa y según preguntemos por
la cantidad más grande, la más pequeña o por la comparación.
Por ejemplo, los problemas:
“José tiene 52 caramelos, 8 menos que María. ¿Cuántos tiene María?”
Corresponde a una comparación negativa y se pregunta sobre la cantidad más
grande.
“Ana ha gastado 35 soles en cosméticos y Claudia 15 soles. ¿Cuánto más ha
gastado Ana que Claudia?”
Es una comparación positiva y la incógnita es la misma comparación.

12. Según Puig y Cerdán , en los problemas de comparación a las cantidades “más
grande”, “más pequeña”, y la comparación, se les denominan cantidades de
referencia, cantidad comparada y de diferencia. La cantidad comparada aparece a la
izquierda de la expresión “más que” y ‘menos que” y la cantidad de referencia a su
derecha. Puesto que cualquiera de las cantidades pueden ser objetos de pregunta y
dado que el sentido de la comparación puede establecerse en más o menos, se nos
presenta este cuadro:
PROBLEMAS TIPO CANTIDAD COMPARACIÓN
Referencia Comparada Diferencia más menos
COMPARACIÓN 1 D D I *
COMPARACIÓN 2 D D I *
COMPARACIÓN 3 D I D *
COMPARACIÓN 4 D I D *
COMPARACIÓN 5 I D D *
COMPARACIÓN 6 I D D *

13. En el siguiente cuadro de ejemplos se han colocado los dos problemas de
comparación que hemos dado. Se pide que se construya otros ejemplos para los
casos restantes:
N PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
1 “Ana ha gastado 35 soles en cosméticos y Claudia 15 soles. ¿Cuánto más ha gastado Ana que Claudia? (b>a)
2
3
4
5
6 “José tiene 52 caramelos, 8 menos que María. Cuántos tiene María?”

14. Problemas de composición de transformaciones
Son problemas en los que dos transformaciones se componen en una tercera
resultante de las otras dos. Por ejemplo:
Panchito tiene una alcancía con dinero. Esta mañana sacó 18 soles
para comprar un libro. Por la tarde su mamá le dio 15 soles y los
guardó. Al final del día saca la cuenta que tiene una diferencia de 3
soles menos en su alcancía.
Esta estructura de problemas puede generar una variedad de problemas
dependiendo de la incógnita, sea de las transformaciones o de la resultante, o del
signo de las transformaciones.
Otros ejemplos:
Ana ganó 15 canicas esta mañana y también jugo en la tarde. Al finalizar el día
resultó que había perdido 5 canicas en total. ¿Qué paso por la tarde?.
Esta mañana he perdido 8 soles y por la tarde recibí 13 soles. ¿Cuál será el
balance del día?
Analice estos problemas dependiendo de las componentes y de la resultante. ¿Qué
puede concluir?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

15. Problemas de transformación sobre estados relativos
Se trata de problemas en los que una transformación actúa sobre un estado
relativo, para dar lugar a otro estado relativo.
“Antonio le debía a Panchito 13 canicas. Le dio 6 ahora le debe 7”.
También en esta categoría nos encontraremos en las seis clases de la categoría
II, pero con más casos debido al carácter positivo o negativo de los estados
relativos inicial y final.
Se llama estado relativo al resultado de una relación, (estado de cuentas entre las
canicas de dos niños por ejemplo). Matemáticamente deberían ser representados
con un número entero que comporta un signo: positivo o negativo. Pero los
enunciados y resoluciones de estos problemas pueden ser abordados Sólo con
números naturales. El contexto marcará el carácter positivo o negativo, de las
cantidades que entran en juego, por eso estos problemas pueden ser trabajados
por los niños sin necesidad de manejar explícitamente los números enteros.

16. IV PROBLEMAS ADITIVOS DE IGUALACIÓN
PROBLEMAS TIPO CANTIDAD COMPARACIÓN
Referencia Comparada Diferencia más menos
IGUALACIÓN 1 D D I *
IGUALACIÓN 2 D D I *
IGUALACIÓN 3 D I D *
IGUALACIÓN 4 D I D *
IGUALACIÓN 5 I D D *
IGUALACIÓN 6 I D D *
Con esta presentación de las categorías de problemas aditivos, se dan pistas
para que los estudiantes realicen correctamente el aprendizaje de las
operaciones de adición y sustracción y para que la construcción del sentido de la
adición y sustracción no se produzca de una manera sesgada y simplista.

17. TODOS A PRACTICAR
Lea los siguientes problemas aditivos:
1. Clasifique estos problemas agrupando aquellos que presentan similitudes en
la tarea y en el tratamiento matemático que las alumnas harán para
resolverlos.
2. Resuelve estos problemas y analícelos teniendo en cuenta las categorías
planteadas.
3. Formule los enunciados si es necesario (durante o después de la solución)

18. RESOLUCIÓN
DE
PROBLEMAS MEDIANTE EL MÉTODO
DE GEORGE POLYA

19. *
* A. La puerta de entrada de la panadería es amarilla.
* B. En la casa de la izquierda se vende carne.
* C. Los vecinos del panadero se apellidan Ramírez y López.
* D. La tienda de productos lácteos tiene un tono verde.
* E. El señor López no es carnicero.
* F. La puerta marrón no pertenece a la casa gris.
* G. A través de la puerta marrón se entra a la casa roja.

20. *1. Comprendiendo el
problema
• ¿De qué trata el problema?
• ¿Puedes relatarlo en otras palabras?
• ¿Cuáles son los datos?, ¿Son suficientes? ¿Son contradictorios?,
¿Tienen sentido?
• ¿Qué es lo que piden? ¿Qué datos son necesarios? ¿Hay datos
innecesarios? ¿Cuáles son las condiciones? ¿Cuál es la incógnita?
¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita?

21. *2. Ideando un plan
* ¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el
mismo problema planteado de forma ligeramente diferente?
¿Conoces un problema relacionado con este?
* ¿Has encontrado un problema relacionado con éste y que has
resuelto ya? ¿Puedes utilizar su método? ¿Puedes usar su
resultado?
* ¿Convendría reordenar los enunciados del problema?
* ¿Por cuál de ellos podrías iniciar?
* ¿Podría ser útil graficar las casas?

22. *3. Ejecutando el plan

23. * B.2. En la casa de la izquierda se vende
carne.
Carnicería

24. * C. Los vecinos del panadero se
apellidan Ramírez y López.
Carnicería
Ramírez
Ramírez
López
López
Panadería

25. * E. El señor López no es carnicero.
Carnicería Panadería
Ramírez López
Ramírez López
López Ramírez

26. * A. La puerta de entrada de la
panadería es amarilla.
Carnicería Panadería
Ramírez López

27. * D. La tienda de productos lácteos
tiene un tono verde.
Carnicería Panadería
Ramírez López
Productos
Lácteos

28. * G. A través de la puerta marrón
se entra a la casa roja.
Carnicería Panadería Productos
Lácteos
Ramírez López

29. * F. La puerta marrón no pertenece
a la casa gris.
Carnicería Panadería Productos
Lácteos
Espinoza
Ramírez López
¿De qué color es la casa del Señor Espinoza?

30. *4. Visión retrospectiva
• ¿Cómo has llegado a la solución? ¿Puedes verificar cada paso?
• Cómo funcionaron las cosas: ¿por qué este camino te llevó a la solución?
• ¿En qué momentos te quedaste bloqueado? ¿Cómo lograste salir del
bloqueo?
• ¿Qué te dio la pistas para decidir la estrategia a usar? ¿Algún dato? ¿Algún
problema semejante? ¿Algún modelo?
• Trata de aislarte del problema en sí y verifica los procesos generales de tu
solución.
• ¿Podrías hacer un esquema del proceso de solución, que sirva para
resolver problemas de este tipo?
• Reflexiona sobre tus emociones, y tus estrategias de pensamiento, tus
preferencias. Y saca experiencia para el futuro.

31. Estrategias heurísticas 31
Comprensión del problema
Diseño o adaptación de una
estrategia
Ejecución de la estrategia
¿Funciona?
Visión retrospectiva
SÍ
NO
1. Comprender el
problema
2. Concebir un plan
3. Ejecución del plan
4. Visión retrospectiva
G. Polya

32. Existen diversas técnicas:
1. Técnica de la lectura analítica y la
reformulación.
2. Técnica de la modelización.
3. Técnica de la determinación de problemas
auxiliares o del descubrimiento de
subproblemas
4. La técnica del tanteo inteligente o del
ensayo y error.
5. La técnica de la comprobación.
6. Otras

33. Modelar es reproducir a
través de esquemas, las
relaciones fundamentales
que se establecen en el
enunciado de un problema.
TÉCNICA DEL MODELADO

34. Los más usados son:
Los lineales, los tabulares,
los conjuntistas y los
ramificados.
¿Cuáles son
los modelos
más usados?

35. Luis y Pedro son más altos que Tomás, mientras que Alberto es menos
alto que Luis pero más bajo que Pedro. ¿Quién es el más alto de los
tres? ¿Quién es el más bajo?
Los modelos lineales se utilizan
cuando en el problema hay una sola
magnitud o información a manejar.
Se tienen los pictográficos, los
segmentados, entre otros.

36. María, Juana y Paqui tienen en total 16 animales domésticos, entre
estos 16 animales hay 3 perros, doble número de gatos y hay además,
canarios y loros. En casa de Juana tienen 4 gatos y dos canarios; en la
de Paqui solo hay 1 perro y dos gatos. En la de María hay 3 canarios y
otros animales. ¿Qué otros animales hay en casa de María?
Perros Gatos Canarios Loros TOTAL
MARÍA
JUANA
PAQUI
TOTAL 3 16
El modelo tabular se emplea cuando hay varias
magnitudes o informaciones en juego.

37. El modelo conjuntista se utiliza
cuando la información que se da se
refiere a diferentes propiedades o
características.
En un aula de 30 alumnos, 24 utilizan lapiceros y 18
lápices. ¿Cuántos utilizan ambos objetos de escribir?

38. Los ramificados: son
aconsejables en problemas de
combinaciones (productos
cartesianos), y en los de
multiplicación.
Un matrimonio tiene 4 hijos y cada hijo tiene 3 hijos.
¿Cuántos nietos tienen?

39. Distintas Estrategias para
resolver problemas
*

40. Estrategias heurísticas 40
*
Completa las siguientes series:
a. 5 ; 7 ; 9; ...
b. 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; ...
c. 1 ; 4 ; 9 ; ....
d. 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; ....

41. Estrategias heurísticas 41
*
¿Cuántos cubos se necesitan para hacer una
escalera como la mostrada, pero de diez
peldaños?

42. Estrategias heurísticas 42
*
Escalón Nº cubos
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
6 21
7 28
8 36
9 45
10 55

43. Estrategias heurísticas 43
*
En un recipiente hay el mismo número de arañas que de
insectos. Si en total hay 70 patas. ¿Cuántos artrópodos
hay en total?

44. *
30 70
40
5
24 56
32
4
18 42
24
3
12 28
16
2
6 14
8
1
Nº patas de
insecto
Total patas
Nº patas de
araña
Nº artrópodos de
cada tipo
Algunas estrategias heurísticas 44

45. Estrategias heurísticas 45
*
Tengo un palito de dientes, uno de helado y una cañita.
El palito de helado es el doble de largo que el de
dientes. La cañita es tan larga como el palito de dientes
y el de helado juntos. Si coloco los tres palitos en fila
uno junto al otro, los tres juntos miden 24 cm.
¿Cuánto mide cada uno de los objetos?

46. EVALUÁNDO MIS SABERES
¿Qué aprendí en esta capacitación?
¿Cómo aprendí?
¿Cómo puedo aplicar lo que aprendí en mi vida?