Resolucion de problemas aditivos

2
Módulo
Estrategias para la resolución
de problemas aditivos (PAEV)

Estimado(a) profesor(a), te damos la bienvenida al segundo módulo de este
curso virtual. En esta ocasión, queremos compartir contigo estrategias que
facilitarán tu ejercicio profesional, de modo que descubras nuevas formas de
ayudar a tus estudiantes en la resolución de problemas aditivos.
Para iniciar, abordaremos algunas definiciones y clasificaciones claves
para comprender este módulo; luego, responderemos algunas preguntas
sobre la práctica docente en el aula, que nos permitan identificar nuestras
oportunidades de mejora; finalmente, desarrollaremos problemas diversos
que permitirán profundizar en la estructura aditiva y compartiremos algunas
orientaciones para hacer más eficiente este trabajo con los estudiantes, en
particular en segundo y cuarto grado de primaria.
- ¿Por qué hablar de problemas aditivos?
- ¿Los problemas aditivos son los problemas de adición?
- ¿Qué significa PAEV aditivos?
Revisemos estos problemas:
El problema que la profesora ha presentado a la clase es claramente un
problema que podemos resolver mediante una adición, pues al ser frutas tanto
manzanas como plátanos, nos piden la cantidad que se forma al juntar los dos
tipos de frutas compradas. Es un problema de fácil comprensión, aun en una
primera lectura; por ello, la elección de la estrategia a usar es sencilla.
Módulo 2
Estrategias para la resolución
de problemas aditivos (PAEV)
Juana compró plátanos y
manzanas. Fueron 12 manzanas y
una mano de plátanos. ¿Cuántas
frutas compró Juana?
1

Veamos un segundo caso:
Es muy probable que muchos necesitemos leer al menos dos veces lo que
dice Ana, a fin de asegurarnos que hemos comprendido la relación que ella
establece entre las edades de sus dos hijos (el hijo es menor que la hija por 5
años) y así poder dar con la respuesta: la edad de su hijo es 10 años. En este
caso, muy probablemente, tengamos que emplear una sustracción para dar
con la respuesta.
Veamos un tercer caso:
Este problema tiene elementos muy parecidos al anterior; pero si leemos con
atención, toda la información está en referencia directa a la hija, mientras que
la pregunta es por la edad del hijo. Este simple pero importante hecho implica
que comprendamos que el hijo es 5 años mayor que su hermana (deducción);
establecida esta relación, podemos responder que la edad del hijo de Blanca
es 20 años.
Todos los casos presentados están dentro de la clasificación de problemas
aditivos, aunque al resolverlos empleemos operativamente una adición o una
sustracción, y es porque la clasificación se hace sobre la base de las situaciones
a las que hacen referencia, y en todos los casos son situaciones relacionadas
con acciones de juntar, reunir, agregar, quitar o separar. La literatura sobre
Tengo dos hijos. Mi hija
tiene 15 años y mi hijo es 5 años
más joven que mi hija.
Yo también tengo dos hijos.
Mi hija, que también tiene
15 años, es 5 años más joven
que mi hijo.
¿Cuántos años
tiene tu hijo?
¿Cuántos años
tiene tu hijo?
2

didáctica de la matemática nos dice que “problemas de estructura aditiva son
aquellos que se resuelven con una operación de suma o de resta” (Castro, Rico
y Castro, 1995, p. 37). En esta misma línea, autores como Vergnaud y Durand
(2002) manifiestan que la estructura aditiva es “la capacidad que se tiene para
identificar, comprender y abordar las situaciones en las que tiene aplicabilidad
las operaciones de suma y resta”.
Los problemas aritméticos elementales1
verbales (PAEV) que revisaremos en este
módulo responden al enfoque semántico del enunciado2
.
Según Rutas del Aprendizaje 2015, los problemas PAEV que se trabajan en el III
Ciclo son los siguientes:
Grado
Tipo de problema
Primero Segundo
Combinación 1 1, 2
Cambio 1, 2 1, 2, 3, 4
Comparación 1, 2
Igualación 1 1, 2
Los problemas PAEV para el IV Ciclo son los presentados a continuación:
Problemas aditivos de una etapa de adición o sustracción
Cambio (CA) Cambio 3 (CA3)
Cambio 4 (CA4)
3° grado
Cambio 5 (CA5)
Cambio 6 (CA6)
4° grado
Combinación (CO)
Combinación 1 (CO1)
Combinación 2 (CO2)
3° grado
Con cantidades hasta de tres
cifras
Comparación (CM) Comparación 3 (CM3)
Comparación 4 (CM4)
3° grado
4° grado
Igualación (IG) Igualación 1 (IG1)
Igualación 2 (IG2)
3° grado
Igualación 5 (IG5)
Igualación 6 (IG6)
4° grado
1 Se dicen elementales porque se trabajan durante la construcción y consolidación de la noción aditiva.
2 La semántica hace referencia al significado de las expresiones utilizadas en los enunciados verbales.
3

Problemas aditivos de dos etapas en cuya solución interviene la adición o sustracción
en forma consecutiva
Problemas aditivos-sustractivos.
Los problemas admiten 16 posibi-
lidades. Por ejemplo, se pueden
combinar problemas de
Cambio-cambio (CA, CA),
Cambio-combinación,
Cambio-comparación.
Cambio-igualación
Y en cada problema se dan
4 varianter referidos a las
operaciones involucradas.
Así en el problema de cam-
bio-cambio hay 4 posibilidades
de combinar las operaciones: (+,
+) (-, +) (-, -).
Problemas con la misma estructura
Repetida y las operaciones de (+, +) (-; -);
(+, -) (-, +).
Tenemos 8 problemas de:
(CA, CA); (CO, CO); (CM, CM); (IG, IG)
3° grado
Problemas donde se combina la
estructura y también se combina las
operaciones (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
Así tenemos 16 problemas para cambio:
(CA, CA) y la combinación de las dos
operaciones: (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
(CA, CO): (+, +) (+, -) (-, +) (-, -).
(CA, CM): (+, +) (+, -) (-, +) (-, -).
(CA, IG): (+, +) (+, -) (-, +) (-, -).
16 problemas para combinación:
(CO, CO) y la combinación de las dos
operaciones (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
(CO, CA): (+, +) (+, -) (-, +) (-, -).
(CO, CM): (+, +) (+, -) (-, +) (-, -).
(CO, IG): (+, +) (+, -) (-, +) (-, -).
4° grado
Problemas aditivo de dos o más etapas
o de varias etapas
Problemas
donde se repite
o se combina la
estructura
Se combinan la
estructura aditiva de
tal manera que se
repita, por ejjemplo:
CA, CA, CA
4° grado
4

Antes de pasar al siguiente punto, será de mucha utilidad leer el siguiente
extracto de la Guía Didáctica de Matemática Para Maestros, elaborada por el
programa Edumat-Maestros de la Universidad de Granada en España, bajo la
dirección del Dr. Juan Godino:
Los niños van dando significado a la suma y la resta a través del planteamiento
y resolución de las situaciones aditivas. Pero en un primer momento, el
desconocimiento de la tabla de sumar y restar impide a los alumnos resolver estas
situaciones mediante sumas o restas, necesitando recurrir al recuento. El hecho,
constatado una y otra vez por medio del recuento, de que si tenemos tres objetos y
añadimos dos más tendremos cinco objetos en total es lo que permite decir al niño,
en una fase posterior y sin necesidad de recuento, que tres más dos son cinco.
Ahora bien, el paso del recuento al conocimiento de las tablas no es inmediato, sino
que es un proceso paulatino con etapas intermedias que, en el caso de la suma,
detallamos a continuación:
• Recuento de todos. El niño representa las dos colecciones de objetos de las que
habla la situación mediante algún tipo de material (dedos, palotes, fichas, objetos
diversos), las junta y lo vuelve a contar todo de nuevo.
• Recuento de todos haciendo énfasis en el primer sumando. El niño recita los
números hasta llegar al primer sumando (sin construir una colección de objetos
que represente ese sumando) y continúa contando la colección de objetos que
representa al segundo sumando.
• Recuento de todos haciendo énfasis en el sumando mayor. Lo mismo que en el
caso anterior, pero eligiendo como primer sumando el sumando mayor.
• Recuento a partir del sumando mayor. El niño construye una colección de objetos
que representa el sumando menor y la cuenta partiendo del sumando mayor.
En el caso de la resta no nos encontramos con una secuencia de estrategias
de recuento que evolucionan en el tiempo, pasándose de unas a otras, sino con
estrategias de recuento diferentes en función de la situación que se propone y que
pueden ser simultáneas:
• Recuento de lo que queda. Se utiliza en situaciones de ETE (estado,
transformación, estado) en las que al conjunto inicial se le quitan elementos.
Consiste en representar mediante objetos el conjunto inicial, quitar los elementos
que indica la transformación y volver a contar lo que queda.
• Recuento hacia atrás. Se utiliza en las mismas situaciones que el caso anterior y
consiste en contar hacia atrás desde el minuendo tantas veces como indica el
sustraendo (representado mediante una colección de objetos, frecuentemente
dedos). Esta técnica se utiliza poco por la dificultad que supone para los niños
contar hacia atrás.
• Recuento de la diferencia. En las situaciones de ECE (estado, comparación,
estado) en las que la incógnita es el término de comparación, se construyen los
5

dos conjuntos, se emparejan y se cuentan los objetos que quedan sin pareja.
• Recuento desde el sustraendo hasta el minuendo. Se usa en las mismas situaciones
que el caso anterior y consiste en contar desde el sustraendo hasta el minuendo
llevando la cuenta con una colección de objetos (generalmente dedos) de las
palabras que se dicen. Posteriormente, se cuenta la colección de objetos.
Estas estrategias se superan cuando el niño memoriza las tablas o desarrolla técnicas
mentales (cálculo de dobles, complemento a cinco o a diez, sumar en vez de restar,
etc.) para obtenerlas con rapidez.
Godino, J. (2004), pp. 197-198
Este texto resume de manera clara cómo progresa el estudiante en su
formalización de la adición y sustracción. Describe cómo la primera
aproximación para afrontar estas situaciones aditivas es concreta y, lo que es
más importante, resuelve problemas aditivos sin la formalidad del algoritmo,
pero sí con la comprensión de la noción aditiva. Luego, se apoya en el
recuento más que en la manipulación y es la experiencia iterativa en este tipo
de casos lo que le da el dominio conceptual y procedimental de lo que es la
adición y la sustracción.
Cuando enseñamos estas nociones matemáticas, debemos entonces empezar
con problemas, con situaciones reales y de contextos cercanos que permitan
al estudiante transitar por el camino descrito hasta la formalización operativa
de la noción aditiva, valorando en el proceso sus construcciones, gráficos,
simulaciones y demás heurísticas que pueda emplear para resolver cada caso
propuesto:
Empezar el cálculo sin sentido para pasar después de estas técnicas al mundo real
es contrario a lo que sabemos de la manera de pensar de los niños (...) si uno de
los fines de la enseñanza de la aritmética es capacitar a los niños para la resolución
de problemas de la vida real hemos de animarles a tratar con problemas desde el
primer día de entrar en clase.
(Kamii, 1985)
Complementario a la lectura de Godino y al análisis hecho de la misma,
tenemos el aporte de las investigaciones realizadas por Encarnación y
Enrique Castro, bajo la dirección de Luis Rico, que nos señalan las principales
dificultades que afrontan los estudiantes al resolver problemas aditivos:
(…)
• Las dificultades aumentan a medida que aumentan los números.
• Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo ofrecen menos
dificultad que aquellas en las que el primer sumando es menor que el segundo.
6

• Las sumas cuyos sumandos son pares son más sencillas que aquellas que
presentan algunos de ellos impar.
• El caso de tener los dos sumandos iguales, presenta menos dificultad que en
cualquier otro caso.
Hemos revisado la clasificación de los PAEV aditivos y cómo estos se trabajan
gradualmente en los diferentes grados. Es momento de centrarnos en responder
preguntas como estas:
- ¿Cómo empezar a trabajar los PAEV aditivos?
- ¿Hay casos más complejos que otros o dependen de las
cantidades que se usen?
Revisemos algunos PAEV para determinar su mayor o menor complejidad para
los estudiantes.
Antes de continuar, hagamos una pausa para
reflexionar e identificar qué aspectos de la
progresión en la construcción de la noción aditiva
revisados tomamos en cuenta en nuestra práctica
docente y cuáles solemos obviar. Compartamos en
el foro del curso qué aprendizaje nos está dejando
el módulo para nuestra práctica en el aula.
Luis tiene 6 camioncitos y José 8 trompos. ¿Cuántos juguetes tienen los
dos juntos?
José, yo tengo 6
camioncitos.
Si los juntamos
¿cuántos juguetes
habrá en total?
Yo tengo
8 trompos.
7

8 trompos 6 camiones
14 juguetes
Tipo de PAEV
(información para
el/la docente)
Combinación 1 (conocemos las partes, preguntamos por el todo)
Acción a realizar
(respuesta que
debe brindar el
estudiante)
Juntar, unir, reunir
¿Qué estrategias
puede usar el
estudiante?3
• Usar materiales concretos que representen los dos tipos de
juguetes. Empezar a contar los trompos (mayor cantidad) y
luego realizar el conteo de los camiones (menor cantidad).
• Marcar en una hoja palitos o puntos por cada trompo hasta
llegar a 8 y seguir haciendo marcas y contando a continua-
ción del 8 hasta completar los 6 camiones.
• Empezar el conteo en 8 (cantidad mayor) y contar seguido
hasta que sean seis más por los camiones (cantidad menor).
• Sumar 8 + 6.
Gráficamente se
vería así
De acuerdo a lo revisado, hemos descrito en progresión las estrategias que
podría utilizar el estudiante. Lo más probable es que si trabajas en segundo
grado en estos momentos tus estudiantes ya hayan progresado en el uso de
estrategias para la adición, y si aún no muestran progresos es porque necesitan
mayor práctica de las estrategias previas (material concreto y recuento).
Veamos otro caso y completemos la tabla:
Carmen infló 28 globos para una fiesta. Minutos antes de empezar la
fiesta, se reventaron 7. ¿Cuántos globos quedaron inflados?
3 Se dicen elementales porque se trabajan durante la construcción y consolidación de la noción aditiva.
8

Docente, ¿qué
tipo de PAEV es?
Cambio 2
Acción a realizar
(propicia esta
respuesta en tus
estudiantes)
Quitar, reducir.
¿Qué estrategias
puede usar el es-
tudiante?
• Usar material concreto (estructurado o no estructurado) que
represente los 28 globos y quitar el material que represente los
globos que se revientan. Contar los que quedan o contar retro-
cediendo hasta llegar a 21. Responder el problema.
• Representar gráficamente los 28 globos (como globos, círculos
o puntos) y tachar los globos que se reventaron; finalmente,
contar los que quedaron sin tachar, y responder.
• Plantear una operación de sustracción (28 – 7) para responder
finalmente.
Gráficamente se
vería así
Los casos de combinación 1, cambio 1 y cambio 2 son las estructuras que
resultan más sencillas de comprender y resolver para los estudiantes, pues
presentan el valor incógnito como resultado final del proceso. Diversas
investigaciones corroboran este hecho.
Sigamos analizando el grado de complejidad de los PAEV aditivos. Veamos los
siguientes casos:
Figura 1 Figura 2
Juan tenía 13 figuritas. Su
hermano le regaló algunas
más, y ahora tiene 34.
¿Cuántas figuritas le regaló
su hermano?
En el aula hay 27
estudiantes. Doce son niñas.
¿Cuántos niños hay?
9

Completemos la tabla:
Problema Fig. 1 Fig. 2
Docente, ¿qué tipo de
PAEV es?
Cambio 4 Combinación 2
Acción a realizar
(propicia esta respuesta en
tus estudiantes)
Agregar Separar
¿Qué estrategias puede
usar el estudiante?
• Simular la situación des-
crita mediante el uso de
material concreto (cha-
pas, papel, etc.) para
representar las figuras.
• Representar con puntos
las 13 cartas y agregar
palitos de 5 en 5 hasta
completar 34 en total.
Contar los agregados y
responder.
• Plantear la operación:
34 – 13 = 21
• Usar material concreto
para representar a los
estudiantes e ir descon-
tando de los 27 a las 12
niñas.
• Graficar las 12 niñas e ir
aumentando con grá-
ficos a los niños hasta
llegar a 27; luego, contar
los gráficos de niños (15)
y responder el problema.
Gráficamente se vería así:
Cambio 4
21 figuritas
Gráficamente se vería así:
Combinación 2
15 niños
10

Si se sigue la secuencia de hechos, veremos que el valor incógnito ya no es
el final o el total. Este hecho significa para el estudiante un mayor grado de
análisis de la situación; por ello, los PAEV aditivos de combinación 2, cambio 3 y
cambio 4 son más complejos que los casos precedentes. De igual complejidad
para los estudiantes resultan los siguientes casos:
PAEV es?
Comparación 1
Acción a realizar
(propicia esta respuesta en
tus estudiantes)
Comparar para establecer diferencia.
usar el estudiante?
• Usar las regletas de Cuisenaire para representar el
eucalipto y el molle y contar las unidades que dife-
rencian ambas regletas.
• Graficar en su cuaderno líneas o barras que represen-
ten la medida de cada árbol (asumiendo una cua-
drícula como 1 m) y establecer las cuadrículas que
diferencian ambas medidas.
• Plantear una sustracción de 10 – 8 = 2. Responder
que el eucalipto mide 2 metros más que el molle.
Gráficamente se vería así
10
8 2
Observa el cartel y responde: ¿Cuántos metros más que el
molle mide el eucalipto?
Altura de los árboles
Ciprés ........... 5 metros
Cedro .......... 4 metros
Eucalipto ...... 10 metros
Molle ............ 8 metros
11

PAEV es?
Igualación 1
Acción a realizar
(propicia esta respuesta
en tus estudiantes)
Comparar para igualar.
usar el estudiante?
• Comparar uno a uno dos filas de botones en represen-
tación de las fichas de Ana y de Mariela. Completar
con botones uno a uno la fila de Mariela hasta que sea
de igual número que la de Ana. Contar los botones que
agregó y responder.
• Proponer la siguiente operación: 11 – 6 = 5. Responder
que Mariela tiene que ganar 5 fichas para tener tantas
como Ana.
Gráficamente, la primera estrategia se vería de la siguiente manera:
Ana tiene 11 fichas y Mariela tiene 6.
¿Cuántas fichas más tiene que ganar
Mariela para tener tantas como Ana?
12

Como hemos visto, los casos de comparación e igualación 1 y 2 son tan
complejos para los estudiantes como los casos de combinación 2, cambio 3 y 4.
Entonces, ¿qué casos son los más complejos de todo el grupo de PAEV?
Los problemas de comparación 3 y 4
Los problemas de cambio 5 y 6
Los problemas de comparación e igualación 5 y 6
Es preciso mencionar que este orden de complejidad se cumple si los PAEV
aditivos se presentan en su formato simple, es decir, casos que se pueden
resolver en una sola etapa. Esta gradualidad de la complejidad de los PAEV
varía si presentamos problemas de dos o más etapas o si se requiere usar más
de una estructura de PAEV en un mismo problema. Recordemos, también,
que usar cantidades grandes con estudiantes que aún no consolidan la
formalización operativa de adición y sustracción, o incluso la noción de orden
del sistema de numeración decimal, puede de por sí ser un obstáculo para su
buen desempeño aun en las estructuras simples de los PAEV.
Revisemos el caso de Rosa, quien debe planchar las 64 sábanas del hotel en el
que trabaja. El lunes planchó 26 sábanas. ¿Cuántas le quedan por planchar el
martes? Es muy probable que si realizas esta pregunta a tus estudiantes, ellos, al
estar familiarizados con la estructura, te digan que deben quitar las 26 sábanas
al total de 64 sábanas, con lo que resulta que para el martes tendrá 38 sábanas
por planchar. Hasta aquí, este sería un PAEV aditivo de una etapa, pero veamos
el problema formulado de la siguiente manera:
Para responder la pregunta que se formula, debemos, primero, descontar el
número de sábanas que plancha el lunes (26) y agregar a esa diferencia (38)
el número de sábanas que llega el martes (8). Con ello, obtendríamos como
Rosa debe planchar las 64 sábanas del hotel en
el que trabaja. El lunes planchó 26 sábanas. El
martes llegaron 8 sábanas más para planchar. Ese
día no pudo planchar. ¿Cuántas sábanas tendrá
por planchar el miércoles?
13

respuesta que para el miércoles Rosa tendrá 46 sábanas por planchar. Este
problema requirió de dos pasos u operaciones para dar con la respuesta. En
casos como este, decimos que estamos ante un PAEV aditivo de dos etapas.
Veamos otro caso:
Docente, ¿qué tipo
de PAEV es?
Combinación 1 y comparación
1
Cambio 2 (dos veces)
Acción a realizar
(propicia esta
respuesta en tus
estudiantes)
Juntar, comparar Quitar, separar
¿Qué estrategias
puede usar el
estudiante?
• Coger 13 cuentas (1.er día)
y agregarle 17 más (2.° día).
Luego, en el grupo de 50
cuentas, separar 30 (total
de páginas leídas).
• Esta misma secuencia a
nivel operativo:
13 + 17 = 30; 50 – 30 = 20.
• Coger 50 cuentas o frijoles y
retirar 13 (por el 1. er día) y
luego 17 (por el 2.° día).
• Esta misma secuencia a
nivel operativo:
50 – 13 = 37; 37 – 17 = 20
Gráficamente se
vería así
Descompone para quitar 13, le
quedan:
Ahora quita 17 (vuelve a
descomponer) y le quedan:
Fernando está leyendo un libro de 50 páginas. El
primer día leyó 13 páginas y el segundo día leyó
17 páginas. ¿Cuántas páginas le faltan leer para
terminar el libro?
14

Hemos concluido con la presentación de los distintos casos de PAEV que
puedes trabajar con tus estudiantes. En el siguiente punto, nos centraremos
en el estudio de las estrategias que puedes emplear para orientarlos y,
principalmente, en aquellas que podrían usar con más frecuencia. Esto te
ayudará a responder preguntas como las siguientes:
- ¿Qué estrategias metodológicas debo seguir para ayudar a
mis estudiantes a resolver PAEV aditivos?
- ¿Qué estrategias puede usar el estudiante?
- ¿Cuál es la mejor estrategia para resolver PAEV aditivos?
Según el enfoque de matemática propuesto en Rutas del Aprendizaje y en el
nuevo Diseño Curricular, se apuesta por trabajar en el área de Matemática
con el Enfoque Centrado en la Resolución de Problemas. Este enfoque permite
al estudiante aprender las nociones matemáticas a partir de situaciones que lo
problematizan y hacen necesario en él o en ella el aprendizaje de la noción
que deseamos que adquieran.
En Rutas del Aprendizaje se propone que ante todo problema desarrollemos
las siguientes etapas con los estudiantes: comprensión del problema, diseño o
adaptación de una estrategia, ejecución de la estrategia y reflexión sobre el
proceso de resolución del problema. Veamos cómo seguir estos pasos en el
aula mediante el siguiente problema:
Antes de compartir estrategias que
podrías usar en el aula con los estudiantes,
queremos que ingreses al siguiente enlace:
http://rpmatematicasegundoprim.blogspot.
pe/2012/01/los-problemas-aritmeticos-
elementales.html
15

1. Comprensión del problema
Esta fase es la más importante de todas, pues si el estudiante no logra
comprender cuál es la dificultad planteada, qué datos son relevantes para
la solución y qué relación existe entre los datos mostrados, no será capaz de
proponer una estrategia válida.
Se sugiere empezar con preguntas como estas: ¿Puedes contarme de qué trata
el problema sin leerlo exactamente?; ¿existen datos que no serán necesarios
usar en el problema?, ¿por qué?; ¿en qué animales debemos fijarnos para
responder la pregunta del problema?, ¿por qué?; ¿qué animal existe en mayor
cantidad?; ¿qué animal existe en menor cantidad?; ¿cuántas gallinas hay?;
¿cómo preguntarías lo mismo pero con otras palabras?
2. Diseño o adaptación de una estrategia
Esta fase —si se desarrolló adecuadamente la primera— se puede recoger
mediante lluvia de ideas y en dicha participación los estudiantes muestran
entusiasmo, pues se sentirán con la confianza de saber cómo pueden resolver
el problema, ya que habrán comprendido qué se pide y qué deben hacer. No
obstante, si escuchamos alguna estrategia que sabemos no sería correcta, es
Observa el cartel y responde: ¿Cuántas gallinas menos que
patos hay en la granja?
Cantidad
de animales
1
0
gallina conejo pato cuy
2
3
4
5
6
7
8
Animales
Animales de la granja
16

bueno permitir que el propio estudiante descubra por qué no era adecuada y
no decirlo nosotros.
En este problema podrían surgir (entre otras) las siguientes estrategias: hacer
comparaciones con material concreto, usar el modelo de barras para
comparar, efectuar una operación aritmética.
3. Ejecución de la estrategia
• Comparaciones con material concreto, haciendo correspondencias uno a
uno:
patos
1 2 Gallinas
• Comparaciones con el modelo de barras:
7 patos
2 5 Gallinas
• Plantear una operación aritmética:
7 – 5 = 2
4. Reflexión sobre el proceso de resolución del problema
En esta fase, además de verificar si la respuesta cumple con las condiciones
del problema, se debe redactar la respuesta con las unidades correspondientes
y revisar el proceso seguido, procurando encontrar (si es posible) una mejor
estrategia que la utilizada.
En estudiantes de primero a tercer grado, por lo general, la mejor estrategia
se identifica cuando comparan sus procedimientos con los de otros(as)
compañeros(as). Sin embargo, recordemos siempre que la mejor estrategia será
aquella que el estudiante domine y que tenga sentido para él.
Veamos otro caso:
17

1. Comprensión del problema
Siempre partamos pidiendo que los estudiantes cuenten de qué trata el
problema y qué pide, sin que lo lean. Incluso, podemos sugerirles que hagan
una representación de los personajes del problema y así puedan explicar lo que
han comprendido: un compañero podría representar a Alberto y otro al papá, y
explicar la relación entre las dos estaturas.
También, se pueden formular preguntas como estas: ¿Qué personajes nos
presenta este problema?, ¿son ambos de la misma talla o estatura?, ¿quién es
más alto?; por su estatura, ¿qué edad puede tener Alberto?
2. Diseño o adaptación de una estrategia
Comprendido el problema, es decir, las relaciones que existen entre los datos
presentados y qué se debe hallar, es sencillo proponer estrategias como las
siguientes: igualación con modelo de barras y material base 10, igualación en la
recta numérica, plantear una operación aritmética.
3. Ejecución de la estrategia
• Igualación con modelo de barras y material base 10:
Alberto mide 115 cm y su papá mide
178 cm. ¿Cuántos centímetros debe
crecer Alberto para ser tan alto
como su papá?
115
cm
¿?
178
cm
Papá
115 63
178
Alberto
18

Igualación en la recta numérica:
• Plantear una operación aritmética:
4. Reflexión sobre el proceso de resolución del problema
En esta fase, el estudiante revisa su proceso y verifica que la respuesta cumpla
con las condiciones del problema, además, debe redactarla y acompañarla
con las unidades correspondientes.
Se debe propiciar la socialización de distintas estrategias, a fin de que los
estudiantes descubran aquellas que son más óptimas y que comprendan
plenamente.
Es importante mencionar que los nombres de estas estructuras aditivas no son
materia de información para los estudiantes, es decir, no es pertinente indicar
que están trabajando problemas de igualación o de cambio, y si son del tipo 2
o 3. Esta clasificación solo es importante para ti como docente, porque es parte
del conocimiento didáctico que debes tener.
A continuación, proponemos otros casos en los que te orientamos con modelos
de estrategias que podrían usar tus estudiantes.
1.
Claudia tenía varios lápices. Regaló 3 a su hermano y ahora tiene 14.
¿Cuántos lápices tenía Claudia?
100 115 125 135 145 155 165 175
178
1 7 8 –
1 1 5
6 3
19

Tipo de PAEV Cambio 6
N.° de etapas Una etapa
Secuencia de resolución
del problema
• Comprensión del problema
¿Conocemos la cantidad inicial de lápices de
Claudia? ¿Qué hizo Claudia con los lápices que
tenía? ¿Antes tenía más o menos de 14 lápices?
• Diseño o adaptación de la estrategia
Empezar por el final.
• Ejecución de la estrategia
Representa los 14 lápices (con material concreto,
los dibuja o escribe en cifras) y agrega los 3 lápices
que Claudia regaló a su hermano; luego, cuenta el
total (si trabajo con material concreto o gráfico) o
suma si trabajó con adición.
• Reflexión sobre el proceso de solución
Revisa su procedimiento y confirma su respuesta:
Claudia tenía 17 lápices. Explica su procedimiento
a la clase y escucha el de otros(as) compañe-
ros(as). Responde si de las estrategias de sus com-
pañeros(as) hay alguna que le parezca mejor que
la que usó.
Esquema de la estrategia de empezar por el final, con cubinúmeros:
2. En un establo hay 34 animales, entre gallinas, vacas y cerdos. Si son 15
gallinas y 8 vacas, ¿cuántos cerdos hay?
Tipo de PAEV Combinación 2
N.° de etapas Dos etapas
20

Secuencia de resolución
del problema
• Comprensión del problema
¿Qué tipos de animales hay en el establo? ¿La
cantidad de qué animales se conoce? ¿Importa
para la solución del problema saber si son más cer-
dos que gallinas o que vacas? ¿Por qué?
• Búsqueda de la estrategia
Operaciones aritméticas
• Selección de la estrategia
Forma a: 15 + 8 = 23; 34 – 23 = 11
Forma b: 34 – 15 = 19; 19 – 8 = 11
Forma c: 34 – (15 + 8) = 34 – 23 = 11
• Visión retrospectiva
Redacta su respuesta indicando que hay 11 cerdos
en el establo y comprueba que la suma de los tres
tipos de animales da 34. Se socializan las tres for-
mas operativas y expresa sus dudas con preguntas
en cada caso; quizá opta por la forma c4
.
Los seres humanos han desarrollado tres sistemas paralelos para procesar la
información y para representarla: uno, por medio de la manipulación y de
la acción; otro, por medio de la organización perceptual y el manejo de
imágenes; y otro, por medio del aparato simbólico.
(Bruner, 1966, p. 28).
En esa misma línea, en las rutas de aprendizaje se expresa lo siguiente:
“Las ideas matemáticas adquieren significado cuando se usan diferentes
representaciones y se es capaz de transitar de una representación a otra, de
tal forma que se comprende la idea matemática y la función que cumple en
diferentes situaciones” (Rutas del aprendizaje 2015: III ciclo, IV ciclo y V ciclo,
pág.26).
4 Esta selección dependerá del grado del estudiante (usualmente, 5.° grado o más) y del dominio operativo
que posea.
21

Por consiguiente, se debe plantear al estudiante actividades que se
inicien con la manipulación y la acción; luego, pasar a las actividades de
percepción visual, de graficar; y, finalmente, actividades que lleven a la
formulación de operaciones simbólicas. Para el aprendizaje de cada nueva
noción matemática, se debe respetar esta secuencia de actividades.
Determinar el tiempo que estas deben durar dependerá del desarrollo de los
estudiantes. Lo cierto es que la evidencia sostiene que cuanto más se tenga
la posibilidad de experimentar y manipular, más rápido se irá transitando de
un estadio a otro, pues en la experimentación de un problema se empieza a
construir la noción matemática.
En esta línea, Castro (1995) refiere los siguientes resultados en los estudios
sobre dificultades en la iniciación de la resolución de problemas aditivos:
• Para los primeros grados es indispensable presentar los problemas con
materiales concretos (estructurados o no estructurados) o mediante
dibujos. Recordemos que se encuentran en una fase predominantemente
concreta de su aprendizaje.
• La extensión del enunciado o la complejidad de su redacción, así como
la posición de la pregunta, son variables que explican la dificultad del
problema para el estudiante. Se sugieren redacciones cortas de sujeto y
predicado, evitando los condicionales en los primeros años de primaria.
• El tamaño de los números y la presencia de simbología formal incrementa
la dificultad del problema, pues son lenguajes que aún están en
construcción para el estudiante.
• La relación entre el orden de aparición de los datos en el enunciado
y el orden en que deben ser colocados a la hora de realizar con ellos
una operación formal son también un factor de dificultad. Es decir, los
estudiantes tienden a operar con los datos en el orden en el que son
presentados, lo que además comunica que no hay una comprensión del
problema.
Pongamos en práctica los criterios revisados y analicemos las actividades que
se proponen en el siguiente texto de 4.° grado de primaria.
22

• ¿Qué estructuras aditivas de los PAEV se presentan?
- En ambos casos se trata de problemas aditivos de combinación 1.
• ¿Cuántas etapas tiene cada actividad?
- Ambos problemas son de una etapa, pues aunque en el segundo caso
haya tres sumandos, todo puede resolverse con un mismo proceso
operativo: la adición.
• ¿Dónde consideras que está la complejidad de estas actividades para el
estudiante?
- Las estructuras que abordan son las más sencillas según lo que reportan
las investigaciones. La dificultad no es de los problemas en sí, sino de las
cantidades que se deben sumar (son cantidades de varios dígitos).
• ¿Te parecen actividades apropiadas para 4° grado? ¿Por qué?
- Considerando que trabajan las estructuras aditivas más simples
de comprender y que solo se agrega dificultad por el tamaño de
los números que plantean, no son actividades demandantes para
estudiantes de 4° grado de primaria, pues no apelan a la comprensión
de la estructura aditiva, sino a desarrollar un algoritmo con números
grandes. Este tipo de problemas se consideran de baja demanda
cognitiva.
4. Resuelve las siguientes situaciones.
a. De Brasil se han importado 734 816
vacunas contra la Fiebre Amarilla y
184 736 vacunas de Hepatitis B de
Estados Unidos. ¿Cuántas de estas
vacunas se han importado?
b. Una empresa casta al año S/. 323
670 en pagar salarios. S/. 178 200 en
pago de servicios y S/. 250 090 en
mantenimiento de la maquinaria.
¿Cuánto gasta en total?
23

Analicemos una actividad más, también de un texto de 4.° grado de
primaria:
• ¿Qué estructuras aditivas de los PAEV se presentan?
- Actividad a: Comparación 3
- Actividad b: Comparación 3
- Actividad c: Comparación 4
- Actividad d: Comparación 3
• ¿Qué estrategia has estructurado para que sea usada por los estudiantes?
- En cada actividad, el estudiante debe usar el modelo de barras como
estrategia de solución.
• ¿Estas actividades permiten desarrollar las fases de resolución de problemas?
¿Por qué?
3. Completa los esquemas y resuelve.
a. Paola tiene
24 años.
Ella tiene 13
años más
que Hilda.
¿Cuántos
años tiene
Hilda?
a. Renzo tiene
45 años y
es 30 años
mayor que
su hijo.
¿Cuántos
años tiene
su hijo?
d. Bruno tiene
S/. 5 000, que.
son S/. 1 000
mas que los
que tiene
Diego.
¿Cuánto
dinero tiene
Diego?
Hilda tiene años. Tom tiene S/. .
Su hijo tiene años. Diego tiene S/. .
11
13
Hilda Paola
c. Liz tiene
S/. 800. Tom
tiene S/. 200
menos que
Liz.
¿Cuánto
dinero tiene
Tom?
24

- Tal como se presenta cada actividad, no da oportunidad para una
real comprensión de cada caso, y es más evidente aún que no permite
proponer una estrategia de solución al estudiante, pues ya brinda una
estructura a seguir. Este es un típico caso en el cual una estrategia no
algorítmica, sino heurística, como el modelo de barras, es reducida
a un mecanismo, lo que no ayuda a que el estudiante desarrolle su
pensamiento matemático ni su capacidad para resolver problemas.
• Lo más propicio sería presentar situaciones y problematizarla, como la que
muestra el cuaderno de trabajo de cuarto grado:
Este es un problema de Igualación 5, el ámbito numérico alcanza hasta las
unidades de millar. El cuaderno de trabajo propone:
a. Comenta, ¿qué datos
permiten resolver el problema?
Subráyenlos en la noticia.
b. Elaboren un esquema y
resuelvan con apoyo del
material Base Diez.
El año pasado asistieron .
Fiesta del Corpus Christi
en Cusco
4 de junio de 2015
Cusco. un año más en la plaza de
Armas de Cusco y las personas se
congregaron para celebrar la fiesta
del Corpus Christi. Se congregaron
en la plaza 2 305 personas, pero
si se hubieran congregado 1 295
personas más, se habría igualado la
cantidad de personas que asistieron
el año pasado. ¿Cuántas personas
asistieron el año pasado?
25

• Antes de la pregunta de los datos, que debe responder el estudiante, es
conveniente que ustedes propongan: Que los estudiantes les cuenten la
situación descrita sin mencionar ninguna cifra, esto con la intención de
destacar que la cantidad que asistió este año es menor a la cantidad que
asistió el año pasado, pues se dice que si hubieran asistido una cantidad más
de personas, serían tantos como el año anterior.
• Si de primera intención no expresan esta relación, intenta con las preguntas:
¿este año asistieron más o menos personas que el año pasado? ¿Cuántas
personas asistieron este año? ¿Qué cantidad de personas igualaría los
asistentes de este año con los del año pasado?
• Luego de esas preguntas, recién podrías pedir que completen lo que solicita
el cuaderno de trabajo, pues habrás cumplido con la fase más importante
en la solución de problemas: La comprensión. El cuaderno de trabajo sugiere
usar el material base 10, con la finalidad de seguir afianzando la construcción
del orden en el SND; sin embargo, se sugiere que luego animes a los
estudiantes a buscar y usar otra estrategia y socializarlas en clase. Es muy
probable que tus estudiantes opten por una estrategia operativa al tratarse
de cifras grandes.
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Referencias bibliográficas
Castro, E., Rico, L., & Castro, E. (1995). Estructuras aritméticas elementales y su
modelización. Bogotá: Grupo editorial Iberoamérica.
Godino, J., & otros. (2004). Didáctica de las matemáticas para maestros.
Universidad de Granada. Facultad de Ciencias de la Educación. Recuperado
de: http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/
Kamii, C. (1985). El niño reinventa la Aritmética. Madrid: Visor.
Ministerio de Educación del Perú. (2013). Rutas del Aprendizaje. Fascículo 1, III
Ciclo. Dirección de Educación Básica Regular. Lima: Autor.
Ministerio de Educación del Perú. (2014). ¿Cómo mejorar el aprendizaje de
nuestros estudiantes en Matemática? Informe para el docente. Unidad de
Medición de la Calidad Educativa. Lima: Autor.
Nesher, P. (1999). El papel de los esquemas en la resolución de problemas
de enunciado verbal. Suma, N.° 31, pp. 19-26. Recuperado de: http://
revistasuma.es/IMG/pdf/31/019-026.pdf
Nesher, P., & Katriel, T. (1977). A semantic analysis of adition and subtraction
word problems in arithmetic. En Nesher, P., & Katriel, T. Educational Studies in
Mathematics (pp. 251-269). doi: 10.1007/BF00385925
Puig, L., & Cerdán, F. (1988). Problemas aritméticos escolares. Madrid: Ed. Síntesis.
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