heber jimenez

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN MARACAIBO
INGENIRIA ELECTRICA Y ELECTRONICA
RESPUESTA EN FRECUENCIA
Integrantes :
• Heber Jimenez C.I 13.757.279
MARACAIBO, ENERO 2016

2. INTRODUCCION
Con el término respuesta en frecuencia, nos referimos a la respuesta de un
sistema en estado estable a una entrada sinodal. En los métodos de la
respuesta en frecuencia, la frecuencia de la señal de entrada se varía en un
cierto rango, para estudiar la respuesta resultante. Se puede decir que es una
cantidad tridimensional que consiste en amplitud vs fase vs frecuencia. Por eso
una gráfica verdadera de ella necesita tres dimensiones, una manera de
representar esto es con la gráfica de bode, que consiste en dos curvas, una de
amplitud vs frecuencia y una de frecuencia vs amplitud las cuales estudiaremos
a continuación.

3. RESPUESTA EN FRECUENCIA
La respuesta en frecuencia se define como la respuesta de un sistema, en
estado estacionario, ante una entrada sinusoidal. Tal como en capítulos
anteriores, los procesos estudiados en este capítulo son lineales, por lo que al
ser sometidos a este tipo de entrada presentan también una salida sinusoidal
pero con diferente amplitud y ángulo de fase, tal como se observa en la Fig.
1.1. Entre las ventajas que proporciona el análisis de un sistema a través de su
respuesta en frecuencia se encuentran la facilidad de reproducir señales de
prueba que permiten una identificación frecuencia, la existencia de criterios de
estabilidad a lazo cerrado, basados en la respuesta frecuencia del sistema a
lazo abierto y finalmente la disposición de técnicas de diseño para el control de
sistemas cuando las especificaciones de la respuesta son de carácter
frecuencia. Además, cabe mencionar, que es posible establecer una relación
entre la respuesta frecuencia y la temporal.
Figura 1.1: Entrada y salida sinusoidal de un sistema
Una vez alcanzado el estado estacionario se puede obtener, en forma analítica,
la respuesta frecuencia haciendo uso de la función de transferencia del sistema
G(s), sustituyendo s = jω en dicha función de transferencia tal como se muestra
a continuación.

4. G(jω) = Me jφ
(1.1)
Donde M corresponde con la relación de amplitudes de las sinusoidales de
salida y entrada, y φ viene a ser el ángulo de desfasaje. De la misma forma
G(jω) viene a ser un vector con módulo y fase, los cuales pueden expresarse
según las Ecs. 1.2 y 1.3, respectivamente.
G(jω) = |G(jω)| e jφ
(1.2)
(1.3)
Ahora, partiendo del hecho de que la función de transferencia de un sistema es
una relación entre entrada-salida, se pueden expresar el módulo y el ángulo en
función de la entrada R(s) y de la salida C(s), tal como lo expresan las Ecs. 1.4
y 1.5, respectivamente. De allí que, si se conoce G(s) es posible obtener, en
forma analítica, la respuesta frecuencial del sistema evaluando el módulo y la
fase para valores de frecuencia desde cero hasta infinito.
(1.4)

5. (1.5)
OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA A
PARTIR DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Una función de transferencia puede ser expresada como una relación de ceros
y polos que, en forma general, puede ser escrita tal y como se muestra en la
Ec. 1.6, donde K corresponde con la ganancia del sistema, z con los ceros, p
con los polos, m con el número de ceros y n con el número de polos. A partir de
allí, el módulo de la respuesta frecuencia y su fase, para un valor específico de
ω, se calcularan según las Ecs. 1.7 y 1.8, respectivamente.
(1.6)
(1.7)
(1.8)

6. Considerando una función de transferencia específica como la expresada por la
Ec. 1.9, es posible conocer su respuesta frecuencial tal como se muestra a
continuación, donde el módulo y la fase deberán evaluarse para ω desde cero
hasta infinito.
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
La representación de la respuesta frecuencial puede hacerse de diferentes
formas, entre las cuales se pueden nombrar los Diagramas de Bode y los
Diagramas Polares, los cuales serán estudiados a continuación.
DIAGRAMAS DE BODE
Los diagramas de bode se utilizan para representar la respuesta frecuencial de
un sistema haciendo uso de dos gráficos, el primero representa el logaritmo del
módulo versus la frecuencia y el segundo representa el ángulo de fase versus
la frecuencia. La magnitud logarítmica de G(jω) se representa como una
amplitud logarítmica y se calcula como el 20log|G(jω)|, siendo la unidad de
dicha amplitud los decibeles (dB). La principal ventaja de realizar un diagrama

7. logarítmico es que el carácter multiplicativo de los módulos en la función de
transferencia se convierte en aditivo, lo cual simplifica la representación en
cuestión. Para un sistema cuya función de transferencia sea la expresada por
la Ec. 1.13, se calculará su amplitud logarítmica y su fase tal como lo expresan
las Ecs.1.16 y 1.17, en las que se puede observar el carácter aditivo de ambas.
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
(1.17)

8. Partiendo del hecho de que, tanto la amplitud logarítmica como la fase, pueden
ser representadas como la suma de las contribuciones de cada uno de sus
factores, es posible obtener el diagrama de Bode de un sistema cualquiera si
se conocen los diagramas de Bode para los diferentes factores que la
conformen. Es decir, conocidos los diagramas de Bode para los distintos
factores que pueden componer una función de transferencia, será posible
obtener el diagrama de Bode de una función compuesta por dichos factores de
una forma muy sencilla. Para ello se desarrollará la representación de los
diagramas de Bode para los diferentes factores que conforman una función de
transferencia, los cuales son los siguientes:
→ Ganancia G(jω) = K
→ Polo y cero en el origen G(jω) = (jω) ±1
→ Factores de primer orden G(jω) = (1+τ jω) ±1
→ Factores cuadráticos G(jω) = h 1+2ζ (jω/ωn) + (jω/ωn) 2 i
A continuación se desarrollarán los diagramas de Bode de cada uno de dichos
factores, para lo cual se partirá de la función de transferencia de cada uno y se
seguirá el mismo procedimiento descrito con anterioridad para obtener la
amplitud logarítmica y la fase.
GANANCIA
La obtención del diagrama de Bode para el factor ganancia se realiza
sustituyendo s = jω en la función de transferencia, de forma tal que a partir de
allí se pueda obtener la amplitud logarítmica y la fase para los valores de
frecuencia requeridos, tal como se muestra a continuación.
(1.18)

9. (1.19)
(1.20)
En la Fig. 1.2 (a) se puede observar el vector que representa G(jω) en el plano
s, en el cual se aprecia que dicho vector siempre tendrá una fase igual 0o y un
módulo igual a K independiente del valor de la frecuencia. Adicionalmente, en
la Fig 1.2 (b) se puede apreciar el diagrama de Bode para los casos en que sea
K > 1 y K < 1, del cual destaca el hecho de que agregar un factor ganancia
tendrá como resultado una subida o bajada del diagrama de amplitud
dependiendo del valor de la ganancia, sin que ello modifique en lo absoluto la
fase.
(a) (b)
Figure 1.2: Diagrama de Bode. Ganancia G(s) = K

10. POLO Y CERO EN EL ORIGEN
Al igual que en el caso anterior, la obtención del diagrama de Bode para este
tipo de factor se realiza sustituyendo s = jω en la función de transferencia, de
forma tal que se pueda obtener la amplitud logarítmica y la fase para los
valores de frecuencia requeridos, tal como se muestra a continuación.
(1.21)
(1.22)
(1.23)
A partir de allí se puede concluir que el vector que representará la respuesta
frecuencial para variaciones de ω de cero a infinito, mostrado en la Fig 1.3,
tendrá siempre una fase igual a −900 , en tanto que su módulo variará desde
infinito a cero. En dicha figura es posible observar el siguiente comportamiento
para la fase, el cual confirma lo concluido respecto a la misma.

11. Figure 1.3: Polo en el origen (Plano s)
En cuanto a la amplitud logarítmica, descrita según la Ec. 1.22, se concluye
que la representación de la misma en escala semilogarítmica resulta ser una
recta, cuya pendiente puede conocerse evaluando la función para dos valores
de frecuencia, como por ejemplo ω1 y ω2 cuya diferencia es una década. En la
Ec. 1.25 se demuestra que en una década la recta a caído 20 dB por lo que se
concluye que la gráfica de la amplitud logarítmica corresponderá con una recta
cuya pendiente sea de −20 dB/dc. En la Fig. 1.4 se puede observar el diagrama
de Bode para un polo en el origen, en la cual también se incluye el diagrama
para un cero en el origen el diagrama de amplitud será una recta de pendiente
20 dB/dc y la fase será de 900 para toda la frecuencia. Ambos diagramas
pueden observarse.
(1.24)
(1.25)

12. Figure 1.4: Diagrama de Bode. Polo y cero en el origen G(jω) = (jω) ±1
Cabe destacar que si se tienen polos múltiples, G(s) = (s) ±n , la ganancia
logarítmica y la fase quedarán expresadas según las Ecs. 1.26 y 1.27,
respectivamente. De allí que se tendrá una gráfica de ganancia logarítmica
cuya pendiente será ±n(20dB/dcada) y una gráfica de fase cuyo valor será
(±n90o )
(1.26)
(1.27)

13. POLO Y CERO EN EL EJE REAL
La obtención del diagrama de Bode para un polo en el eje real se realiza en
forma semejante a los anteriores, de forma tal que el módulo y la fase
quedarán expresados según las Ecs. 1.31 y 1.32.
(1.28)
(1.29)
(1.30)
(1.31)
(1.32)
Para este caso se utilizarán aproximaciones para graficar el diagrama de Bode,
tanto para la amplitud logarítmica como para la fase, las cuales se conocerán
en adelante como aproximaciones asintóticas. Para ello se evaluarán las Ecs.
1.31 y 1.32 en ciertos valores que se muestran a continuación.

14. Como se puede observar, la amplitud logarítmica tiende a 0 dB cuando la
frecuencia es mucho menor que 1/τ y cuando la frecuencia es mucho mayor
que 1/τ tiende a una recta de pendiente −20 dB/dc, siendo 1/τ el punto donde
se cortan ambas asíntotas conocido como frecuencia de corte o de transición
de ganancias. En cuanto a la fase, también se observan unas tendencias en los
extremos de frecuencia en los cuales la misma no presentará cambios. En la
Fig. 1.5(a) se muestra tanto el diagrama de Bode exacto para un polo en el eje
real, como su aproximación asintótica y en la Fig. 1.5(b) se muestra el caso del
cero en el eje real.
Figure 1.5: Diagrama de Bode. Polo y cero en el eje real G(jω) = (1+τ jω) ±1

15. CONCLUSION
Podemos concluir que la respuesta en frecuencia es una representación de la
respuesta en sistema de entradas sinusoidales a frecuencia variable. La salida
de un sistema lineal a una entrada sinusoidal es una sinusoide de la misma
frecuencia pero con distinta magnitud y fase. El método de la respuesta en
frecuencia puede ser menos intuitivo que otros métodos, sin embargo tiene
ciertas ventajas, especialmente en situaciones reales como modelado de
funciones de transferencia a partir de datos físicos.