Resumen Derivadas

1. TASA DE VARIACIÓN:
Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número
real que corresponde al incremento de x (Δx).
Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas
correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.
y   f  a  h   f  a    
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
y y
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por ó , al cociente entre la tasa de variación
h x
y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:
y f  a  h   f  a 
TVM a , a  h  
h h
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.
f a  h  f a 
m
h
ya que en el triángulo PQR resulta que:
f a  h  f a
tg   
h
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la
variable tiende a cero.
y  f a  h  f a  
f ´ a   lim  lim  
h0 h h0  h 
Ejemplo:
2
Calcular la derivada de la función f(x) = x + 4x − 5 en x = 1.
 f  x  h  f  x     x  h 2  4  x  h   5   x 2  4 x  5 
y    lim  x  2 xh  h  4 x  4h  5  x  4x  5  
2 2 2
f ´ x   lim 
 lim    lim   
h 0 h h 0
 h  h0  
h  h0 
  h 

 2 xh  h2  4h 
 lim 
h0
  lim 2 x  h  4   2 x  4  f ´1   2  4  6
 h  h 0
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende
a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.
y
tg     lim  f ´ a 
h 0 h
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt  tg    = f '  a
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2. INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).
e e  t  t   e  t 
vm t   
t t
VELOCIDAD INSTANTÁNEA
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al
tiempo.
e e  t  t   e  t 
v  t   lim  lim
t  0 t t 0 t
Ejemplo:
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e  t   6t . Calcular:
2
a) la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].
e e  4   e 1  6  42  6  12 96  6
vm      30 m / s
t 3 3 3
a) La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.
e t  h   e t  6  t  h   6  t 2
2
6  t 2  12th  h2  6  t 2
v´ e´ lim  lim  lim  lim 12t  h   12t m / s
h 0 h h0 3 h0 h h0
v´ e´1   12 m / s
DERIVADAS LATERALES
Derivada por la izquierda
y  f a  h  f a  
 
f ´ a   lim
h
 lim 
h

h0 h0
 
Derivada por la derecha
y  f a  h  f a  
 
f ´ a   lim  lim 
h h0  h

h0

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas
laterales coinciden.
Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.
El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.
DERIVADA DE LAS FUNCIONES A TROZOS
En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.
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3. Derivadas polinómicas:
y  k  y´ 0
y  k   u  x    y´ k  u´ x 
y  x n  y´ n  x n1
y  u  x   y´ n  u  x   u´ x 
n n 1
m m mn
1 1 1 1
y  n x m  y  x n  y´  x n   x n
 y´
n n n  n x m n
1
y  n u  x    u´ x 
m
   y´
n ux
n mn
Derivadas logarítmicas y exponenciales:
1
y  Ln  x   y´
x
1
y  Ln  u  x    y´  u´ x 
ux
Ln  x 
 
y  Loga  x   a y  x  Ln a y  Ln  x   y  Ln  a   Ln  x   y 
Ln  a 
 y ´
1
x  Ln  a 
u´ x 
y  Loga  u  x    y´
u  x   Ln  a 
y  e x  y´ e x
u x  u x 
y e  y´ e  u´ x 
 
y  a x  Ln  y   Ln a x  Ln  y   x  Ln  a  
y´
y
 Ln  a   y ´ Ln  a   y  y´ Ln  a   a x
y  au x   y´ Ln  a   au x   u´ x 
Suma, diferencia, producto y cociente de funciones
y  u  x   v  x   y´ u´ x   v´ x 
y  u  x   v  x   y´ u´ x   v  x   u  x   v´ x 
ux u´ x   v  x   u  x   v´ x 
y  y´
vx v2  x 
Derivadas trigonométricas directas:
y  Sen  x   y´ Cos  x 
y  Sen  u  x    y´ Cos  u  x  
Sen  x  Cos  x   Cos  x   Sen  x     Sen  x   Cos2  x   Sen2  x 
y  tg  x   y   y´  
Cos  x  Cos  x 
2
Cos2  x 
 1
 y´  y´ Sec 2  x 
 Cos2  x 

 Cos2  x  Sen2  x 
y´ Cos2 x  Cos2 x  y´ 1  tg  x 
2
    
Cos  x  Cos  x 
y  Cosec  x   y  Sen1  x   y´  1  Sen2  x   Cos  x   y´  y´ 
Sen2  x  1  Cos2  x 
1 Cos  x 
 y´   y´ Cosec  x   Cotg  x 
Sen  x  Sen  x 
y  Cosec  u  x    y´ Cosec u  x    Cotg u  x    u´ x 
Sen  x  Sen  x 
y  Sec  x   y  Cos 1  x   y´   1  Cos 2  x   Sen  x   y´  y´ 
Cos2  x  1  Sen2  x 
1 Sen  x 
 y´   y´ Sec  x   tg  x 
Cos  x  Cos  x 
y  Sec  u  x    y´ Sec  u  x    tg  u  x    u´ x 
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4. Cos  x   Sen  x   Sen  x   Cos  x   Cos  x 
y  Cotg  x   y   y´ 
Sen  x  Sen2  x 
 1
 y´  y´ Cosec2  x 
 Sen2  x 

  Sen2  x  Cos2  x 
 y´ Sen2 x  Sen2 x  y´  1  Cotg  x 
   
2
 


y  Cotg  u  x    y´  1  Cotg2  u  x    u´ x  
Derivadas trigonométricas inversas:
1 1 1 1
y  Arcsen  x   Sen  y   x  y´Cos  y   1  y´    y´
Cos  y  1  Sen2  y  1  x2 1  x2
1
y  Arcsen  u  x    y´  u´ x 
1  u  x  
2
 
1 1 1 1
y  Arcos  x   Cos  y   x  y´Sen  y   1  y´    y´
Sen  y  1  Cos2  y  1  x2 1  x2
1
y  Arcsen  u  x    y´  u´ x 
1  u  x  
2
 

y  Arctg  x   tg  y   x  y´ 1  tg 2  y   1  y´  1

1
1  tg 2  y  1  x 2
 y´
1
1  x2
1
y  Arctg  u  x    y´  u´ x 
1  u  x  
2
 
 Cos  y    1  Sen2  y  
y  Arcocosec  x   Cosec  y   x  y´Cosec  y   Cotg  y    1  y´ 
    1  y´   1
 Sen  y    Sen2  y  
2
   
1 1
 Sen2  y    2
x2  x  1 1
 y´  y´  y´
1  Sen2  y  1 2
1 x2  1 x  x2  1 x  x2  1
x x2
1
y  Arcocosec  u  x    y´  u´ x 
u  x   u  x    1
2
 
 Sen  y    1  Cos2  y  
y  Arcosec  x   Cosec  y   x  y´ Sec  y   tg  y    1  y´
    1   y´   1
 Cos  y    Cos2  y  
2
   
1 1
Cos2  y  x2 x2  1 1
 y´  y´   y´
1  Cos2  y  1
1 x2  1 x  x2  1 x  x2  1
x2 x2
1
y  Arcosec  u  x    y´  u´ x 
u  x   u  x    1
2
 
1 1 1
y  Arcocotg  x   Cotg  y   x  y´ 1  Cotg2  y   1  y´   
1  Cotg 2  y  1  x 2
 y´
1  x2
1
y  Arcocotg  u  x    y´  u´ x 
1  u  x  
2
 
REGLA DE LA CADENA
g  f ´ x   g´ f  x   f ´ x 
 
Ejemplo:
f  x   x2  1 
   g x  Sen x   y  h g f x  y´ h´ g f x  g´ f x  f ´ x  y´ e Sen x2 1  Cos x 2  1  2x
              
Sen x2 1
ye    
h  x   ex 

DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA
Si f y g son funciones inversas, es decir g  f  f  g  i . Entonces: g´ x   1
f ´ x 
Ejemplo: Derivar, usando la derivada de la función inversa: y  arcsen  x 
1 1 1
y  arcsen  x   x  Sen  y   y´ 
  
   Cos  y  1  Sen2  y  1  x2
g x  f x g ´ x  
  
 1 
 
  f ´ x  
 
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5.
OPERACIONES CON FUNCIONES
u  u  x  ;v  v  x 
y  k  u  y ´ k  u´ y  u  v  y´ u´v´
u u´v  u  v´
y  u  v  y´ u´v  u  v´ y   y´
v v2
FUNCIONES POLINOMICAS
u  ux
y k y ´ 0
n 1
yx n
y´ n  x y  un y´ n  u n 1  u´
1 1
y x y y u y  u´
2 x 2 u
m m
y  n xm y y  n um y  u´
n m n n mn
n x n u
FUNCIONES LOGARITMICAS
1 1
y  Ln  x  y y  Ln  u  y   u´
x u
1 1
y  Loga  x  y y  Loga  u  y  u´
x  Ln  a  u  Ln  a 
FUNCIONES EXPONENCIALES
y e x
y´ e x
y  eu y  eu  u´
y  ax y  Ln  a   a x y  au y  Ln  a   au  u´
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
y  Sen  x  y´ Cos  x  y  Sen  u  y´ Cos  u   u´
y  Cos  x  y   Sen  x  y  Cos  u  y   Sen  u   u´
1 u´
y´ y´
y  tg  x  Cos2  x  y  tg  u  Cos2  u 
y´ 1  tg  x  2
y´ 1  tg  u    u´
 
2
1
y  Cosec  x   y´ Cosec  x   Cotg  x  y  Cosec  u  y´ Cosec  u   Cotg  u   u´
Cos  x 
1
y  Sec  x   y´ Sec  x   tg  x  y  Sec  u  y´ Sec  u   tg  u   u
Cos  x 
1 y´ Cosec 2  x  y´ Cosec 2  u   u´
y  Cotg  x   y  Cotg  x 
tg  x  
y´  1  Cotg 2  x   
y´  1  Cotg 2  u   u´ 
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
1 1
y  Arcsen  x  y´ y  Arcsen  u  y´  u´
1  x2 1  u2
1 1
y  Arcos  x  y´ y  Arcos  u  y´  u´
1  x2 1  u2
1 1
y  Arctg  x  y´ y  Arctg  u  y´  u´
1  x2 1  u2
1 1
y  Arcocosec  x  y´ y  Arcocosec  u  y´  u´
x  x2  1 u  u2  1
1 1
y  Arcosec  x  y´ y  Arcosec  u  y´  u´
x  x2  1 u  u2  1
1 1
y  Arcocotg  x  y´ y  Arcocotg  u  y´  u´
1  x2 1  u2
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