Este documento resume los principales conceptos y métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. En primer lugar, explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables, exactas y lineales. Luego, presenta ejemplos de aplicación en diversos problemas físicos. Finalmente, detalla métodos como variación de constantes y coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales y no lineales.

1. Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
Curso: Ecuaciones Diferenciales
RESUMEN EDO’S Así: (a) f ( x, y)   M ( x, y)dx  g ( y)
1.- ECUACIONES DIFERENCI ALES f ( x, y)   N ( x, y)dx  h( y)
(b)
DE PRIMER ORDEN
1.1.- ECUACIONES DE VARIABLES De no cumplirse la igualdad dada en (*), la ecuación no
SEPARABLES es exacta y se busca el factor integrante
dy dy
 g (t )  h( y )    M N 
h( y ) 
 g (t )dt  c 1
dt (a) Si 
 y  x   f ( x) entonces se tiene el

N  
factor integrante:
1.1.1.-ECUACIONES QUE SE REDUCEN A
ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
u ( x, y)  h( x)  e 
f ( x ) dx
dy
(a)  f (ax  by  c)  1  M N 
dx
(b) Si     g ( y ) entonces se tiene el
M  y
 x 

Hacemos z  ax  by  c 
dz dy
ab factor integrante:
dx dx
Remplazando se obtiene:
u( x, y)  h( y)  e 
f ( y ) dy
dz
 a  bf (z ) *ecuación de variables separables
dx
dy  y 1.3.- ECUACIONES LINEALES
(b)  f 
dx x Son de la forma:
dy
x y dy
y dz dx  a(t ) y  b(t )
Hacemos z    dt
x dx x2
y (t )  e   e  a (t ) dt  b(t )dt  c 

a ( t ) dt
Remplazando se obtiene:
 

dz f ( z )  z
 *ecuación de variables separables *Fórmula de Leibniz
dx x
1.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES 1.4.- ECUACIONES QUE SE REDUCEN AL CASO
EXACTAS Y FACTOR INTEGRANTE LINEAL
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 1.4.1.- ECUACIÓN DE BERNOULLI
es exacta ssi: dy
M N  p( x) y  f ( x) y n con n  1
 dx
y x
(*) n
Multiplicando la ecuación por y y luego haciendo el
Luego, existe una función f tal que: 1 n
cambio z  y se obtiene:
f ( x, y) f ( x, y ) dz
 M ( x, y )  N ( x, y )  (1  n) p( x)  z  (1  n) f ( x) *Ecuación Lineal
x y dx

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Curso: Ecuaciones Diferenciales
1.4.2.- ECUACIÓN DE RICCATI 1.5.3.- LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
dy “La velocidad con que se enfría una sustancia en el aire
 p( x) y  q( x) y 2  f ( x) Se requiere de solución es proporcional a la diferencia de la temperatura de la
dx
sustancia y el aire”
particular y1 ( x) . Así, hacemos el cambio de
Se tiene :
1
coordenadas y ( x)  y1 ( x)  y obtenemos una
z ( x) Ts (t ) : Temperatura de la sustancia en el instante t Tm :
ecuación lineal. Temperatura del medio(aire) constante
Luego, la ecuación diferencial que modela el fenómeno
1.5.- APLICACIÓN DE ECUACIONES DE es:
PRIMER ORDEN
 k Ts (t )  Tm 
dTs
dt
1.5.1.- REACCIONES QUÍMICAS DE PRIMER  Ts (t )  Tm  Ts (0)  Tm e kt
ORDEN Y DESINTEGRACIÓN
Se tienen los siguientes parámetros y condiciones: 1.5.3.- PROBLEMAS DE MEZCLAS
x 0 : Cantidad inicial en gramos
x(t ) : Número de gramos presentes en el instante t
dx
: Ritmo de crecimiento de x
dt
dx
 : Ritmo de decrecimiento de x
dt
k : Constante de proporcionalidad
De esta forma, si k>0, la ecuación diferencial que
describe el proceso químico es:
dx
  kx  x(t )  x0 e  kt
dt
Denominamos semivida al tiempo requerido para que x(t ) : Cantidad de soluto en el estanque en el tiempo t
la sustancia reduzca su masa a la mitad, el cual está V e : Velocidad de entrada del fluido al estanque
dado por: V s : Velocidad de salida del fluido del estanque
ln( 2) C e : Concentración de entrada del soluto al estanque
T
k C s : Concentración de salida del soluto del estanque
Vo : Volumen inicial de fluido en el estanque
1.5.2.- CRECIMIENTO DE BACTERIAS
x 0 : Cantidad inicial de soluto en el estanque
N (t ) : Cantidad de bacterias en el instante t
x' (t )  Ve  Ce  Vs  C s
dN
 nacimiento s  muertes  a(t ) N  b(t ) N x(t )
dt Donde: C s  ; v(t )  Vo  (Ve  Vs )  t
v(t )
 N (t )  N (0)e 
( a ( t ) b ( t )) dt
Con a(t ) y b(t ) proporción de nacimientos y muertes
respectivamente

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Para los 2 tanques de la figura: Conociendo y1(x), la otra solución particular y2(x) la
calculamos según:
e 
 p1 ( x ) dx
y2 ( x)  y1 ( x)  dx * Fórmula de Abel
y1 ( x) 2
2.3.- ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS
DE COEFICIENTES CONSTANTES
x1 (t ) : Cantidad de soluto en el estanque 1 de
capacidad V1 en el tiempo t. a 0 y' 'a1 y'a 2 y  0
x 2 (t ) : Cantidad de soluto en el estanque 2 de Calculamos:
capacidad V2 en el tiempo t.
a0 k 2  a1k  a2  0 * Ecuación Característica
Considerando:
Entrada de fluido por la llave A a razón de b lts/min,
entonces por la llave B y C sale solución a razón de b (a)   0 k1, k2 raíces reales y distintas
lts/min.
Tenemos así el sistema de ecuaciones diferenciales:
Luego y h ( x)  c1e k1x  c 2 e k2 x
b
x1 ' (t )   x1
V1 (b)   0 k1=k2 raíces reales iguales
b b
x2 ' (t )  x1  x2
V1 V2 Luego yh ( x)  c1e k1x  c2 xe k1x
Resolviendo la primera ecuación se encuentra x1(t)
para remplazar en la segunda ecuación. (c)   0 k1, k2 raíces complejas con: k    i
2.- ECUACIONES DIFERENCI ALES DE Luego yh ( x)  e x [c1 cos(x)  c2 sen(x)]
SEGUNDO ORDEN
2.4.- ECUACIÓN DE EULER
2.1.- ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO
ORDEN a0 x 2 y' 'a1 x  y'a2 y  0
a0 ( x) y' 'a1 ( x) y'a 2 ( x) y   ( x) Con: a0,a1,a2 constantes reales, a0≠0
FORMA NORMAL dx dt
Hacemos: x  e t   et   e t
dt dx
y' ' p1 ( x) y' p2 ( x) y  g ( x)
Además :
d  dy dt  d  dy t  d  dy t  dt
2.1.2.- ECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEA y' '       e    e 
dx  dt dx  dx  dt  dt  dt  dx
y' ' p1 ( x) y' p2 ( x) y  0
 d 2 y t dy t  t  2t  d y
2
dy 
y' '   2  e 
 dt  e e  e  2  
  dt
y h ( x)  c1 y1 ( x)  c2 y 2 ( x)  dt   dt 

Donde: y1 e y2 soluciones particulares LI

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Remplazando se obtiene una ecuación de 2.6.- MÉTODO DE COEFICIENTES
coeficientes constantes cuya ecuación INDETERMINADOS
característica es:
Se aplica para encontrar una solución particular de
a0 k  (a1  a0 )k  a 2  0
2 ecuaciones del tipo:
(a)   0 k1, k2 raíces reales y distintas a0 y' 'a1 y'a2 y   e ri x Pi ( x) cos(qi x)  Qi ( x) sen(qi x)
Luego yh ( x)  c1 x k1  c2 x k2 donde a0 a1 a2 ri y qi ctes reales, Pi(x) y Qi(x)
polinomios.
(b)   0 k1=k2 raíces reales iguales En la siguiente tabla se ilustra algunos ejemplos
específicos de f(x) de la ecuación con su respectiva
yh ( x)  c1 x k1  c2 x k1 ln x 
forma de solución particular.
Luego Suponiendo que ninguna función en la solución
(c)   0   0 k1, k2 raíces complejas con: particular supuesta es una solución de la ecuación
k    i diferencial homogénea asociada.
Luego
yh ( x)  x [c1 cos(  ln( x))  c2 sen(  ln( x))]
2.5.- MÉTODO DE VARIACIÓN DE
CONSTANTES
y' ' p1 ( x) y' p2 ( x) y  f ( x)
Buscamos solución particular de la ecuación anterior
del tipo:
y p ( x)  c1 ( x) y1 ( x)  c2 ( x) y 2 ( x)
Luego, c1(x) y c2(x) deben satisfacer el sistema:
Regla de multiplicación: Si alguna yp contiene
c1 ' ( x) y1 ( x)  c2 ' ( x) y2 ( x)  0 términos que duplican los términos en yh, entonces yp
c1 ' ( x) y1 ' ( x)  c2 ' ( x) y2 ' ( x)  f ( x) se debe multiplicar por xn, donde n es el entero
positivo mínimo que elimina esa duplicación.
Cuyas soluciones son:
f ( x) y 2 ( x) f ( x) y1 ( x)
c1 ( x)    dx c 2 ( x)   dx
W ( x) W ( x)
y1 ( x) y 2 ( x)
Con: W ( x) 
y1 ' ( x) y 2 ' ( x)