Este documento resume los principales conceptos y métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. En primer lugar, explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables, exactas y lineales. Luego, presenta ejemplos de aplicación en diversos problemas físicos. Finalmente, detalla métodos como variación de constantes y coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales y no lineales.
Este documento resume los temas fundamentales del curso de Cálculo Avanzado impartido por el profesor Carlos Silva en la Universidad de Santiago de Chile, incluyendo funciones reales de varias variables, límites y continuidad, derivadas parciales, diferenciabilidad, regla de la cadena, derivación implícita y algunas ecuaciones en derivadas parciales.
Este documento resume los conceptos fundamentales de las series de potencias y su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. 1) Explica cómo determinar el radio de convergencia de una serie de potencias usando el criterio del cociente. 2) Distingue entre puntos ordinarios y singulares de una ecuación diferencial. 3) Describe cómo obtener soluciones analíticas en torno a un punto ordinario usando series de potencias.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre series y integrales de Fourier. En la primera sección se define la serie de Fourier de una función periódica y se describen sus propiedades de diferenciación e integración. Luego, se explican conceptos como convergencia de series, funciones seccionalmente continuas y suaves. Finalmente, se introducen las integrales de Fourier para funciones no periódicas y su aplicación en el análisis de señales.
Este documento describe diferentes aplicaciones del cálculo integral para calcular áreas, volúmenes y longitudes de arco. Explica cómo calcular el área de una región plana entre dos curvas integrando la diferencia de las funciones. También describe métodos como el de los discos y el de las arandelas para calcular volúmenes de revolución, así como el cálculo de áreas y volúmenes en coordenadas polares y paramétricas. Por último, introduce conceptos como integrales impropias y criterios de convergencia.
Este documento trata sobre integrales dobles. Explica la definición de integral dobles como la suma del área de particiones infinitesimales de una región rectangular. También presenta el teorema de integrabilidad, el cual establece que una función es integrable si es continua excepto en un número finito de curvas, y el teorema de Fubini, el cual permite calcular una integral doble invirtiendo el orden de integración. El objetivo es aprender a calcular integrales dobles y volúmenes usando estas herramientas.
Este documento contiene las respuestas a varios ejercicios propuestos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Se dividen en 8 secciones que abordan temas como ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, de Bernoulli, lineales y no lineales. Cada sección contiene entre 1 y 14 ejercicios resueltos con detalle.
Este documento describe las rectas en R3, incluyendo su definición, ecuaciones y representaciones paramétricas. Explica que una recta se define por un punto y un vector director paralelo, y proporciona las fórmulas para encontrar las ecuaciones de una recta dados estos elementos o dados dos puntos. También incluye ejemplos y ejercicios para que el estudiante practique encontrar ecuaciones de rectas en R3.
1. El documento explica cómo calcular integrales dobles e integrales iteradas de funciones de dos variables sobre un rectángulo. 2. Las integrales dobles representan el volumen bajo una superficie y sobre un rectángulo, y se calculan como un límite de sumas dobles de Riemann. 3. El Teorema de Fubini permite calcular una integral doble como una integral iterada, integrando primero respecto a una variable y luego a la otra, o viceversa.
Este documento resume los temas fundamentales del curso de Cálculo Avanzado impartido por el profesor Carlos Silva en la Universidad de Santiago de Chile, incluyendo funciones reales de varias variables, límites y continuidad, derivadas parciales, diferenciabilidad, regla de la cadena, derivación implícita y algunas ecuaciones en derivadas parciales.
Este documento resume los conceptos fundamentales de las series de potencias y su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. 1) Explica cómo determinar el radio de convergencia de una serie de potencias usando el criterio del cociente. 2) Distingue entre puntos ordinarios y singulares de una ecuación diferencial. 3) Describe cómo obtener soluciones analíticas en torno a un punto ordinario usando series de potencias.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre series y integrales de Fourier. En la primera sección se define la serie de Fourier de una función periódica y se describen sus propiedades de diferenciación e integración. Luego, se explican conceptos como convergencia de series, funciones seccionalmente continuas y suaves. Finalmente, se introducen las integrales de Fourier para funciones no periódicas y su aplicación en el análisis de señales.
Este documento describe diferentes aplicaciones del cálculo integral para calcular áreas, volúmenes y longitudes de arco. Explica cómo calcular el área de una región plana entre dos curvas integrando la diferencia de las funciones. También describe métodos como el de los discos y el de las arandelas para calcular volúmenes de revolución, así como el cálculo de áreas y volúmenes en coordenadas polares y paramétricas. Por último, introduce conceptos como integrales impropias y criterios de convergencia.
Este documento trata sobre integrales dobles. Explica la definición de integral dobles como la suma del área de particiones infinitesimales de una región rectangular. También presenta el teorema de integrabilidad, el cual establece que una función es integrable si es continua excepto en un número finito de curvas, y el teorema de Fubini, el cual permite calcular una integral doble invirtiendo el orden de integración. El objetivo es aprender a calcular integrales dobles y volúmenes usando estas herramientas.
Este documento contiene las respuestas a varios ejercicios propuestos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden. Se dividen en 8 secciones que abordan temas como ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, de Bernoulli, lineales y no lineales. Cada sección contiene entre 1 y 14 ejercicios resueltos con detalle.
Este documento describe las rectas en R3, incluyendo su definición, ecuaciones y representaciones paramétricas. Explica que una recta se define por un punto y un vector director paralelo, y proporciona las fórmulas para encontrar las ecuaciones de una recta dados estos elementos o dados dos puntos. También incluye ejemplos y ejercicios para que el estudiante practique encontrar ecuaciones de rectas en R3.
1. El documento explica cómo calcular integrales dobles e integrales iteradas de funciones de dos variables sobre un rectángulo. 2. Las integrales dobles representan el volumen bajo una superficie y sobre un rectángulo, y se calculan como un límite de sumas dobles de Riemann. 3. El Teorema de Fubini permite calcular una integral doble como una integral iterada, integrando primero respecto a una variable y luego a la otra, o viceversa.
Este documento presenta un capítulo sobre funciones de varias variables. Introduce conceptos como funciones vectoriales, escalares y curvas. Explica cómo graficar funciones de dos variables y define el dominio de una función escalar. Proporciona ejemplos de funciones de dos variables y cómo determinar su dominio natural analizando la regla de correspondencia y la forma de su gráfico. El objetivo es conceptualizar estas funciones, describir conjuntos de niveles, establecer límites, continuidad y derivadas.
Este documento introduce las funciones de varias variables y discute cómo graficarlas. Presenta ejemplos de funciones de R2 a R, R3 a R y R4 a R. Explica que la gráfica de una función se define como el conjunto de puntos (x, y) tales que y = f(x) para x en el dominio, y solo puede representarse gráficamente para n = 1, 2.
1) Los vectores en R3 se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos con una magnitud, dirección y sentido.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial.
3) El producto escalar mide la proyección de un vector sobre otro, mientras que el producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
El documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini que permiten evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de cálculo de integrales dobles. El objetivo general es enseñar a los estudiantes a calcular integrales dobles y aplicar los conceptos a problemas de volúmenes, áreas y cambio de variables.
Este documento presenta el capítulo 3 sobre la integral definida. Introduce la definición de integral definida como el límite de la suma de Riemann al dividir el área bajo una curva en rectángulos e ir sumando sus áreas. También expone el teorema de integrabilidad para determinar cuándo una función es integrable, y proporciona un ejemplo de cálculo de área bajo una curva.
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
El documento resume los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo cómo convertir una ecuación diferencial de orden mayor en un sistema de primer orden. Explica que existe una única solución para un problema de valor inicial dado y provee ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento introduce la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n con coeficientes constantes. Define conceptos como el operador diferencial lineal, el núcleo del operador diferencial, y el principio de superposición. También explica que el producto de operadores diferenciales es conmutativo cuando los coeficientes son constantes, pero no necesariamente cuando los coeficientes son variables. Finalmente, define las condiciones iniciales como una o más condiciones colocadas en una ecuación diferencial en un punto.
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
Este documento describe funciones de varias variables. Explica que una función de varias variables asigna un único valor a cada par ordenado de sus variables y que su dominio es el conjunto de pares ordenados. También describe cómo graficar funciones de dos variables en 3D y mediante curvas de nivel, las cuales son conjuntos de puntos donde la función es constante.
1) Se define una ecuación diferencial (E.D.) como una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
2) Se distinguen las E.D. ordinarias (E.D.O.), que contienen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, de las ecuaciones en derivadas parciales, que contienen derivadas parciales.
3) Se presentan ejemplos de E.D.O. lineales y no lineales,
Funciones en varias variables, una introduccioneecoronado
Este documento introduce conceptos básicos sobre funciones en varias variables como:
1) Define el espacio vectorial Rn y sus propiedades como suma y producto escalar de vectores.
2) Explica conceptos geométricos como distancia, ortogonalidad y representaciones gráficas en Rn.
3) Presenta definiciones topológicas como rectas, hiperplanos, vecindades y conjuntos convexos.
4) Introduce los conceptos de límite, continuidad y diferenciabilidad de funciones f: D⊆Rn→R.
1. Se describen diferentes tipos de funciones de primer, segundo y tercer grado, así como funciones constantes, valor absoluto, exponenciales, logarítmicas, raíz cuadrada y funciones definidas a trozos.
2. Se explican conceptos como funciones pares e impares, periódicas y racionales. También se diferencian funciones algebraicas de funciones trascendentes.
3. Se proveen ejemplos gráficos de diferentes funciones y se explican algunos de sus comportamientos y propiedades fundamentales.
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en R3 definidas por funciones vectoriales de una variable real. Explica funciones vectoriales, dominio, límite, continuidad y trayectorias. Luego define gráficas, trazas y curvas como la traza de una trayectoria. Presenta ejemplos de curvas comunes como hélices y discute derivadas y conceptos asociados a derivadas de funciones vectoriales.
Este documento presenta una introducción a las series de potencias y su intervalo de convergencia. Explica que una serie de potencias converge absolutamente si la suma de los términos absolutos converge, y que el radio de convergencia se puede calcular usando el criterio de la razón. También resume algunas expansiones en series de funciones importantes como ex, sen(x), cos(x), y sus dominios de convergencia.
Este documento introduce la definición de la derivada de una función. Define la derivada como el límite de la razón de incrementos de la función y el argumento cuando este último tiende a cero. Explica la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la tangente a la curva gráfica de la función en un punto, e ilustra esto con un ejemplo. También presenta algunas aplicaciones físicas de la derivada, como la velocidad y la intensidad de corriente eléctrica.
1) El documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y explica cómo resolverlas mediante el método de diferencial total. 2) Se definen las ecuaciones diferenciales exactas y se presenta el criterio de exactitud para verificar si una ecuación lo es. 3) Se explican los pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración.
Este documento presenta conceptos topológicos básicos como normas, distancias y bolas para funciones de varias variables. Define dominios, rangos y continuidad para funciones de varias variables. Explica representaciones geométricas como gráficas y curvas de nivel.
Este documento describe el movimiento armónico simple (MAS). Explica que el MAS ocurre cuando una masa sujeta a un muelle oscila libremente alrededor de su posición de equilibrio. La ecuación que describe este movimiento es una ecuación diferencial del segundo orden con solución de la forma x(t) = Acos(ωt + φ), donde A es la amplitud, ω la frecuencia angular y φ la fase. También se describen las expresiones para la velocidad y aceleración de la masa oscilante.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias:
Un resumen sobre conceptos básicos.
Clasificación.
Fundamentos requeridos en las diversas técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
Este documento presenta un capítulo sobre funciones de varias variables. Introduce conceptos como funciones vectoriales, escalares y curvas. Explica cómo graficar funciones de dos variables y define el dominio de una función escalar. Proporciona ejemplos de funciones de dos variables y cómo determinar su dominio natural analizando la regla de correspondencia y la forma de su gráfico. El objetivo es conceptualizar estas funciones, describir conjuntos de niveles, establecer límites, continuidad y derivadas.
Este documento introduce las funciones de varias variables y discute cómo graficarlas. Presenta ejemplos de funciones de R2 a R, R3 a R y R4 a R. Explica que la gráfica de una función se define como el conjunto de puntos (x, y) tales que y = f(x) para x en el dominio, y solo puede representarse gráficamente para n = 1, 2.
1) Los vectores en R3 se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos con una magnitud, dirección y sentido.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial.
3) El producto escalar mide la proyección de un vector sobre otro, mientras que el producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
El documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini que permiten evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de cálculo de integrales dobles. El objetivo general es enseñar a los estudiantes a calcular integrales dobles y aplicar los conceptos a problemas de volúmenes, áreas y cambio de variables.
Este documento presenta el capítulo 3 sobre la integral definida. Introduce la definición de integral definida como el límite de la suma de Riemann al dividir el área bajo una curva en rectángulos e ir sumando sus áreas. También expone el teorema de integrabilidad para determinar cuándo una función es integrable, y proporciona un ejemplo de cálculo de área bajo una curva.
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
El documento resume los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo cómo convertir una ecuación diferencial de orden mayor en un sistema de primer orden. Explica que existe una única solución para un problema de valor inicial dado y provee ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento introduce la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n con coeficientes constantes. Define conceptos como el operador diferencial lineal, el núcleo del operador diferencial, y el principio de superposición. También explica que el producto de operadores diferenciales es conmutativo cuando los coeficientes son constantes, pero no necesariamente cuando los coeficientes son variables. Finalmente, define las condiciones iniciales como una o más condiciones colocadas en una ecuación diferencial en un punto.
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
Este documento describe funciones de varias variables. Explica que una función de varias variables asigna un único valor a cada par ordenado de sus variables y que su dominio es el conjunto de pares ordenados. También describe cómo graficar funciones de dos variables en 3D y mediante curvas de nivel, las cuales son conjuntos de puntos donde la función es constante.
1) Se define una ecuación diferencial (E.D.) como una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
2) Se distinguen las E.D. ordinarias (E.D.O.), que contienen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, de las ecuaciones en derivadas parciales, que contienen derivadas parciales.
3) Se presentan ejemplos de E.D.O. lineales y no lineales,
Funciones en varias variables, una introduccioneecoronado
Este documento introduce conceptos básicos sobre funciones en varias variables como:
1) Define el espacio vectorial Rn y sus propiedades como suma y producto escalar de vectores.
2) Explica conceptos geométricos como distancia, ortogonalidad y representaciones gráficas en Rn.
3) Presenta definiciones topológicas como rectas, hiperplanos, vecindades y conjuntos convexos.
4) Introduce los conceptos de límite, continuidad y diferenciabilidad de funciones f: D⊆Rn→R.
1. Se describen diferentes tipos de funciones de primer, segundo y tercer grado, así como funciones constantes, valor absoluto, exponenciales, logarítmicas, raíz cuadrada y funciones definidas a trozos.
2. Se explican conceptos como funciones pares e impares, periódicas y racionales. También se diferencian funciones algebraicas de funciones trascendentes.
3. Se proveen ejemplos gráficos de diferentes funciones y se explican algunos de sus comportamientos y propiedades fundamentales.
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en R3 definidas por funciones vectoriales de una variable real. Explica funciones vectoriales, dominio, límite, continuidad y trayectorias. Luego define gráficas, trazas y curvas como la traza de una trayectoria. Presenta ejemplos de curvas comunes como hélices y discute derivadas y conceptos asociados a derivadas de funciones vectoriales.
Este documento presenta una introducción a las series de potencias y su intervalo de convergencia. Explica que una serie de potencias converge absolutamente si la suma de los términos absolutos converge, y que el radio de convergencia se puede calcular usando el criterio de la razón. También resume algunas expansiones en series de funciones importantes como ex, sen(x), cos(x), y sus dominios de convergencia.
Este documento introduce la definición de la derivada de una función. Define la derivada como el límite de la razón de incrementos de la función y el argumento cuando este último tiende a cero. Explica la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la tangente a la curva gráfica de la función en un punto, e ilustra esto con un ejemplo. También presenta algunas aplicaciones físicas de la derivada, como la velocidad y la intensidad de corriente eléctrica.
1) El documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y explica cómo resolverlas mediante el método de diferencial total. 2) Se definen las ecuaciones diferenciales exactas y se presenta el criterio de exactitud para verificar si una ecuación lo es. 3) Se explican los pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración.
Este documento presenta conceptos topológicos básicos como normas, distancias y bolas para funciones de varias variables. Define dominios, rangos y continuidad para funciones de varias variables. Explica representaciones geométricas como gráficas y curvas de nivel.
Este documento describe el movimiento armónico simple (MAS). Explica que el MAS ocurre cuando una masa sujeta a un muelle oscila libremente alrededor de su posición de equilibrio. La ecuación que describe este movimiento es una ecuación diferencial del segundo orden con solución de la forma x(t) = Acos(ωt + φ), donde A es la amplitud, ω la frecuencia angular y φ la fase. También se describen las expresiones para la velocidad y aceleración de la masa oscilante.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias:
Un resumen sobre conceptos básicos.
Clasificación.
Fundamentos requeridos en las diversas técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.
El documento resume los conceptos fundamentales de la integral: determina antiderivadas, interpreta la integral como el área bajo una curva, y define la integral definida como un límite de sumas. Calcula áreas de regiones limitadas en el plano usando la integral definida y el segundo teorema fundamental del cálculo.
1. Este documento presenta 34 reglas generales de derivación y 65 reglas generales de integración de funciones. 2. Incluye fórmulas para derivar e integrar funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y racionales. 3. También presenta criterios para determinar puntos de máximos, mínimos y puntos de inflexión basados en el análisis de la derivada primera y segunda de una función.
EXTREMADURA Selectividad MATEMÁTICAS II sep 12KALIUM academia
Este documento presenta varios problemas de matemáticas relacionados con cálculo. El primer problema involucra calcular el límite de una función cuando x se acerca a cero. El segundo problema trata de encontrar la primitiva de una función. El tercer problema calcula el valor de una matriz. El cuarto problema determina una expresión para calcular un parámetro c.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica que mientras las situaciones estáticas se pueden describir con ecuaciones algebraicas, las situaciones dinámicas requieren ecuaciones diferenciales. Define conceptos clave como el orden y grado de una ecuación diferencial, y describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo métodos para ecuaciones de variables separables, homogéneas y de diferencial exacto.
El documento trata sobre el cálculo de integrales dobles. Explica la definición de integral doble, el teorema de integrabilidad, el teorema de Fubini para evaluar integrales dobles como integrales iteradas, y cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales no rectangulares. Además, presenta ejemplos para ilustrar el cálculo de integrales dobles.
Este documento trata sobre los conceptos básicos de las integrales dobles. Explica la definición de una integral doble como el límite de la suma de áreas de particiones rectangulares de una región. También presenta el teorema de integrabilidad, el cual establece las condiciones para que una función sea integrable, y el teorema de Fubini, que permite calcular una integral doble invirtiendo el orden de integración. El objetivo es calcular integrales dobles y volúmenes utilizando estas herramientas.
Este documento trata sobre integrales dobles. Explica la definición de integral dobles como el límite de la suma de áreas de particiones rectangulares de una región. También presenta el teorema de integrabilidad, el cual establece que una función es integrable si es continua excepto en un número finito de curvas. Finalmente, introduce el teorema de Fubini, el cual permite calcular una integral doble invirtiendo el orden de integración.
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, así como problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) También se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a velocidades constantes.
El documento explica los conceptos básicos de las integrales definidas y el cálculo de áreas. Define la integral definida como el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación bajo la curva. Explica el Teorema Fundamental del Cálculo y algunas propiedades importantes de las integrales definidas como la linealidad y la propiedad aditiva respecto al intervalo de integración. Finalmente, presenta ejemplos de cómo calcular el área entre curvas y bajo curvas.
El documento presenta información sobre derivadas de funciones, incluyendo ejemplos de funciones derivadas, propiedades de derivadas, reglas para calcular derivadas como la regla de la cadena, y aplicaciones de derivadas como determinar el crecimiento de una función. Se explican conceptos como máximos, mínimos, concavidad, puntos de inflexión y optimización.
El documento resume los conceptos fundamentales de la integral: define la integral definida y la antiderivada, explica que la integral calcula el área bajo una curva, y presenta propiedades clave como la linealidad y la relación con la derivada según el Teorema Fundamental del Cálculo.
El documento resume los conceptos fundamentales de la integral: define la integral definida y la antiderivada, explica la relación entre ambas a través del Teorema Fundamental del Cálculo, y describe cómo calcular áreas entre curvas mediante la integral definida.
1) El documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y explica cómo resolverlas mediante el método de diferencial total. 2) Se definen las ecuaciones diferenciales exactas y se presenta el criterio de exactitud para verificar si una ecuación lo es. 3) Se explican los pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración.
Este documento define las funciones, sus propiedades y operaciones básicas. Una función asigna un único valor de llegada a cada valor de salida en su dominio. Las funciones pueden ser pares, impares o periódicas dependiendo de sus simetrías. Se pueden sumar, multiplicar por un número o componer funciones. No todas las funciones tienen inversa.
Este documento presenta una serie de ejercicios de cálculo integral. Incluye problemas sobre técnicas básicas de integración como sustituciones, integración por partes e integración trigonométrica. El documento evalúa integrales definidas e indefinidas de funciones como racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
a) Resume el documento sobre ejercicios de cálculo integral propuestos por el profesor Antonio Chong. Incluye 11 problemas que abarcan conceptos como integral definida, suma de Riemann, funciones continuas e integrables.
Este documento resume los conceptos fundamentales sobre integrales definidas, incluyendo las propiedades, interpretación geométrica como área bajo una curva, teoremas como el valor medio y el fundamental del cálculo. También explica métodos como el cambio de variable y cómo calcular el área de una región delimitada por funciones.
Este documento presenta fórmulas y conceptos clave de cálculo diferencial e integral. Incluye fórmulas para derivadas, integrales definidas e indefinidas, transformaciones trigonométricas, sumas de Riemann, y aplicaciones como volúmenes de revolución, áreas, trabajo y movimiento. También cubre conceptos como velocidad, aceleración, coordenadas y longitudes de arcos.
Este documento describe el estado del arte y las aplicaciones de las redes de sensores inalámbricos (WSN). Explica brevemente los elementos clave de las WSN como nodos sensores, gateway y estación base. También resume los principales sistemas operativos para WSN como TinyOS, PalOS y SOS, así como algunas empresas líderes en hardware y software para WSN.
Este documento presenta un resumen del estado del arte de las redes de sensores inalámbricas (WSN). Describe brevemente los orígenes militares de las WSN, sus características clave como la auto-organización y cooperación entre nodos sensores, y algunas de sus aplicaciones más comunes como la monitorización ambiental y médica. Además, analiza elementos fundamentales de las WSN como los nodos sensores, protocolos y tecnologías utilizadas.
Un cable de masa m y largo L pasa por 3 puntos que forman un triángulo ABC bajo la acción de su propio peso y un campo gravitacional uniforme. Se busca la ecuación que describe la trayectoria del cable desde el punto A hasta el punto B.
Este informe describe el desarrollo de la tercera experiencia de un laboratorio de control y microcomputadores. Los estudiantes programaron un PLC digital para controlar un brazo mecánico usando bloques funcionales. El brazo mecánico tiene 3 cilindros hidráulicos y un motor hidráulico controlados por electroválvulas de 4 vías y 3 posiciones. El PLC se programó para operar el brazo en modo manual y automático usando el lenguaje de programación Ladder. Diagramas muestran las conexiones, el
Este documento resume conceptos básicos sobre sucesiones y series infinitas en cálculo. Explica que una sucesión converge a un límite L si para cualquier ε>0 existe un N tal que si n>N, entonces an-L<ε. Define sucesiones crecientes, decrecientes y monótonas. Luego, introduce series infinitas y criterios de convergencia como el criterio de comparación y el criterio de comparación por paso al límite. Finalmente, presenta ejemplos como las series geométricas y armónicas.
1. Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
Curso: Ecuaciones Diferenciales
RESUMEN EDO’S Así: (a) f ( x, y) M ( x, y)dx g ( y)
1.- ECUACIONES DIFERENCI ALES f ( x, y) N ( x, y)dx h( y)
(b)
DE PRIMER ORDEN
1.1.- ECUACIONES DE VARIABLES De no cumplirse la igualdad dada en (*), la ecuación no
SEPARABLES es exacta y se busca el factor integrante
dy dy
g (t ) h( y ) M N
h( y )
g (t )dt c 1
dt (a) Si
y x f ( x) entonces se tiene el
N
factor integrante:
1.1.1.-ECUACIONES QUE SE REDUCEN A
ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
u ( x, y) h( x) e
f ( x ) dx
dy
(a) f (ax by c) 1 M N
dx
(b) Si g ( y ) entonces se tiene el
M y
x
Hacemos z ax by c
dz dy
ab factor integrante:
dx dx
Remplazando se obtiene:
u( x, y) h( y) e
f ( y ) dy
dz
a bf (z ) *ecuación de variables separables
dx
dy y 1.3.- ECUACIONES LINEALES
(b) f
dx x Son de la forma:
dy
x y dy
y dz dx a(t ) y b(t )
Hacemos z dt
x dx x2
y (t ) e e a (t ) dt b(t )dt c
a ( t ) dt
Remplazando se obtiene:
dz f ( z ) z
*ecuación de variables separables *Fórmula de Leibniz
dx x
1.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES 1.4.- ECUACIONES QUE SE REDUCEN AL CASO
EXACTAS Y FACTOR INTEGRANTE LINEAL
M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 1.4.1.- ECUACIÓN DE BERNOULLI
es exacta ssi: dy
M N p( x) y f ( x) y n con n 1
dx
y x
(*) n
Multiplicando la ecuación por y y luego haciendo el
Luego, existe una función f tal que: 1 n
cambio z y se obtiene:
f ( x, y) f ( x, y ) dz
M ( x, y ) N ( x, y ) (1 n) p( x) z (1 n) f ( x) *Ecuación Lineal
x y dx
2. Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
Curso: Ecuaciones Diferenciales
1.4.2.- ECUACIÓN DE RICCATI 1.5.3.- LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
dy “La velocidad con que se enfría una sustancia en el aire
p( x) y q( x) y 2 f ( x) Se requiere de solución es proporcional a la diferencia de la temperatura de la
dx
sustancia y el aire”
particular y1 ( x) . Así, hacemos el cambio de
Se tiene :
1
coordenadas y ( x) y1 ( x) y obtenemos una
z ( x) Ts (t ) : Temperatura de la sustancia en el instante t Tm :
ecuación lineal. Temperatura del medio(aire) constante
Luego, la ecuación diferencial que modela el fenómeno
1.5.- APLICACIÓN DE ECUACIONES DE es:
PRIMER ORDEN
k Ts (t ) Tm
dTs
dt
1.5.1.- REACCIONES QUÍMICAS DE PRIMER Ts (t ) Tm Ts (0) Tm e kt
ORDEN Y DESINTEGRACIÓN
Se tienen los siguientes parámetros y condiciones: 1.5.3.- PROBLEMAS DE MEZCLAS
x 0 : Cantidad inicial en gramos
x(t ) : Número de gramos presentes en el instante t
dx
: Ritmo de crecimiento de x
dt
dx
: Ritmo de decrecimiento de x
dt
k : Constante de proporcionalidad
De esta forma, si k>0, la ecuación diferencial que
describe el proceso químico es:
dx
kx x(t ) x0 e kt
dt
Denominamos semivida al tiempo requerido para que x(t ) : Cantidad de soluto en el estanque en el tiempo t
la sustancia reduzca su masa a la mitad, el cual está V e : Velocidad de entrada del fluido al estanque
dado por: V s : Velocidad de salida del fluido del estanque
ln( 2) C e : Concentración de entrada del soluto al estanque
T
k C s : Concentración de salida del soluto del estanque
Vo : Volumen inicial de fluido en el estanque
1.5.2.- CRECIMIENTO DE BACTERIAS
x 0 : Cantidad inicial de soluto en el estanque
N (t ) : Cantidad de bacterias en el instante t
x' (t ) Ve Ce Vs C s
dN
nacimiento s muertes a(t ) N b(t ) N x(t )
dt Donde: C s ; v(t ) Vo (Ve Vs ) t
v(t )
N (t ) N (0)e
( a ( t ) b ( t )) dt
Con a(t ) y b(t ) proporción de nacimientos y muertes
respectivamente
3. Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
Curso: Ecuaciones Diferenciales
Para los 2 tanques de la figura: Conociendo y1(x), la otra solución particular y2(x) la
calculamos según:
e
p1 ( x ) dx
y2 ( x) y1 ( x) dx * Fórmula de Abel
y1 ( x) 2
2.3.- ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS
DE COEFICIENTES CONSTANTES
x1 (t ) : Cantidad de soluto en el estanque 1 de
capacidad V1 en el tiempo t. a 0 y' 'a1 y'a 2 y 0
x 2 (t ) : Cantidad de soluto en el estanque 2 de Calculamos:
capacidad V2 en el tiempo t.
a0 k 2 a1k a2 0 * Ecuación Característica
Considerando:
Entrada de fluido por la llave A a razón de b lts/min,
entonces por la llave B y C sale solución a razón de b (a) 0 k1, k2 raíces reales y distintas
lts/min.
Tenemos así el sistema de ecuaciones diferenciales:
Luego y h ( x) c1e k1x c 2 e k2 x
b
x1 ' (t ) x1
V1 (b) 0 k1=k2 raíces reales iguales
b b
x2 ' (t ) x1 x2
V1 V2 Luego yh ( x) c1e k1x c2 xe k1x
Resolviendo la primera ecuación se encuentra x1(t)
para remplazar en la segunda ecuación. (c) 0 k1, k2 raíces complejas con: k i
2.- ECUACIONES DIFERENCI ALES DE Luego yh ( x) e x [c1 cos(x) c2 sen(x)]
SEGUNDO ORDEN
2.4.- ECUACIÓN DE EULER
2.1.- ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO
ORDEN a0 x 2 y' 'a1 x y'a2 y 0
a0 ( x) y' 'a1 ( x) y'a 2 ( x) y ( x) Con: a0,a1,a2 constantes reales, a0≠0
FORMA NORMAL dx dt
Hacemos: x e t et e t
dt dx
y' ' p1 ( x) y' p2 ( x) y g ( x)
Además :
d dy dt d dy t d dy t dt
2.1.2.- ECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEA y' ' e e
dx dt dx dx dt dt dt dx
y' ' p1 ( x) y' p2 ( x) y 0
d 2 y t dy t t 2t d y
2
dy
y' ' 2 e
dt e e e 2
dt
y h ( x) c1 y1 ( x) c2 y 2 ( x) dt dt
Donde: y1 e y2 soluciones particulares LI
4. Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
Curso: Ecuaciones Diferenciales
Remplazando se obtiene una ecuación de 2.6.- MÉTODO DE COEFICIENTES
coeficientes constantes cuya ecuación INDETERMINADOS
característica es:
Se aplica para encontrar una solución particular de
a0 k (a1 a0 )k a 2 0
2 ecuaciones del tipo:
(a) 0 k1, k2 raíces reales y distintas a0 y' 'a1 y'a2 y e ri x Pi ( x) cos(qi x) Qi ( x) sen(qi x)
Luego yh ( x) c1 x k1 c2 x k2 donde a0 a1 a2 ri y qi ctes reales, Pi(x) y Qi(x)
polinomios.
(b) 0 k1=k2 raíces reales iguales En la siguiente tabla se ilustra algunos ejemplos
específicos de f(x) de la ecuación con su respectiva
yh ( x) c1 x k1 c2 x k1 ln x
forma de solución particular.
Luego Suponiendo que ninguna función en la solución
(c) 0 0 k1, k2 raíces complejas con: particular supuesta es una solución de la ecuación
k i diferencial homogénea asociada.
Luego
yh ( x) x [c1 cos( ln( x)) c2 sen( ln( x))]
2.5.- MÉTODO DE VARIACIÓN DE
CONSTANTES
y' ' p1 ( x) y' p2 ( x) y f ( x)
Buscamos solución particular de la ecuación anterior
del tipo:
y p ( x) c1 ( x) y1 ( x) c2 ( x) y 2 ( x)
Luego, c1(x) y c2(x) deben satisfacer el sistema:
Regla de multiplicación: Si alguna yp contiene
c1 ' ( x) y1 ( x) c2 ' ( x) y2 ( x) 0 términos que duplican los términos en yh, entonces yp
c1 ' ( x) y1 ' ( x) c2 ' ( x) y2 ' ( x) f ( x) se debe multiplicar por xn, donde n es el entero
positivo mínimo que elimina esa duplicación.
Cuyas soluciones son:
f ( x) y 2 ( x) f ( x) y1 ( x)
c1 ( x) dx c 2 ( x) dx
W ( x) W ( x)
y1 ( x) y 2 ( x)
Con: W ( x)
y1 ' ( x) y 2 ' ( x)