Este documento describe las funciones trigonométricas y sus propiedades fundamentales. Introduce las funciones seno, coseno y tangente y explica que son periódicas y fueron sistematizadas por Newton, Leibniz y Euler. Define el dominio y rango de una función y ofrece sugerencias para calcularlos. También define funciones pares, impares, crecientes y decrecientes y explica la notación gráfica de ampliaciones, reflexiones y desplazamientos de funciones sinusoidales.

1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Introducción  y  cot x  sen 2 x cos x ; x  R  k 
Dominio de una función
Las funciones
trigonométricas son Es el conjunto de valores que admite la variable
funciones muy utilizadas independiente.
en las ciencias naturales
para analizar fenómenos NOTACIÓN: Dom, D.
periódicos tales como:
movimiento ondulatorio, Sugerencias para calcular dominio
corriente eléctrica a) Para cociente:
alterna, cuerdas
O
vibrantes, oscilación de
f x  
Leonhard Euler k
; k constante
péndulos, ciclos g x 
EJ
comerciales, movimiento periódico de los
planetas, ciclos biológicos, etc. Hacemos: g x   0 .
LL
IA
Las funciones trigonométricas fueron Ejemplos: Calcular dominio
EM
sistematizadas por Newton y Leibniz, quienes
* f x   sec x .
AD
habían dado expansiones en forma de serie para
VA
las mismas.
AC
* f x   csc x
sen x  

 1 k
x 2 k 1 Observación:
k 0 2k  1!

R
Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo y * tan x , sec x están definidas para x  2k  1
2
sistemático a las funciones trigonométricas. La
SA
, k Z
periodicidad de estas funciones y la introducción
de la medida de los ángulos por radianes, fue * cot x , csc x están definidas para x  k ,
realizada por Euler en su Introductio in Analysis k Z .
CE
Infinitorum en 1748.
b) Para radicación
Concepto: Las funciones trigonométricas son
funciones reales de variable real cuya variable f x   2 n g x  , n  N
dependiente “y” es el valor obtenido al evaluar el
operador trigonométrico en un número real “x” Hacemos: g x   0
adecuado.
Ejemplos: Calcular el dominio
Ejemplos:
* f x   senx
 Función seno: y  senx ; x  R .
 Función tangente:  
* f x  
1
 cos x ; x   ,
 
y  tan x ; x  R  2k  1  2 2 2
 2

2. Observación: Cuando queremos calcular el
dominio de una función tipo:
f x  
1
g x 
Consideramos los x  R tales que g x   0 .
Ejemplo: Calcular el dominio de:
g x  
1
; x  0 ,
1  2 senx
O
Función impar
Rango de una función
f es una función par si:
EJ
Es el conjunto de valores que toma la variable
dependiente. f  x    f x  x , x  Domf
NOTACIÓN: Ran, Im.
LL
IA
Gráficamente una función impar es simétrica
EM
Sugerencias para calcular rango respecto al origen de coordenadas.
AD
VA
 Obtener el dominio de la función
AC
 Simplificar la regla de correspondencia
 A partir del dominio construir la regla de
correspondencia simplificada.
R
Ejemplos: Calcular rango
 
SA
* f x   cos 2 x  sen 2 x  sen 2 2 x .
2
1  cos 2 x
* h x  
CE
1  cos x
Función par
Ejemplos: Indicar si es una función par e impar
f es una función par si:
* ( ) ( ( ))
f  x   f x  x , x  Domf
* ( )
Gráficamente una función es par si es
* ( )
simétrica respecto al eje Y.

3. Función Creciente Función periódica
f es una función creciente si para todo f es una función periódica si existe
tal que entonces tal que para todo se cumple:
( ) ( ) ( ) ( )
Función Decreciente Gráficamente se repite cada cierto intervalo de
longitud T
f es una función creciente si para todo
tal que entonces
( ) ( )
O
En la figura se representa la gráfica de la función f
en el intervalo[ ] donde se puede observarse
EJ
que la función f es:
1.) Creciente en los intervalos 〈 〉〈 〉 T T T T
LL
IA
2.) Decreciente en los intervalos〈 〉〈 〉
EM
AD
Nota:
VA
AC
Sea ( ) ( )
Donde F. T :
R
Funciones Exponente Periodo
sen, cos, Si es
SA
sec, csc impar | |
Observación:
Si es par
CE
| |
* Sea ( ) [ ] una función creciente
entonces se tiene: tan, cot Para
cualquier | |
( ) ( ) ( )
* Sea ( ) [ ] una función
decreciente entonces se tiene:
( ) ( ) ( )
Ejemplos: Calcular el rango de la función
* ( ) 〈 〉

4. Gráfica de las funciones trigonométricas B>0 ampliación o reducción horizontal
Grafica de la función seno B<0 reflexión respecto al eje Y
D desplazamiento vertical
C desplazamiento horizontal
FUNCIONES SINUSOIDALES
Son funciones relacionadas con las funciones
O
seno y coseno
CARACTERISTICAS
EJ
f x   A cosBx  C   D
 Dominio: . f x   AsenBx  C   D ,
 Rango: ( ) [ ]
LL
IA
 Periodo: o una combinación de ellas.
EM
 Es una función impar
AD
 Es una función continua en su dominio. El periodicidad de las funciones seno y coseno
VA
AC
 Es una función creciente 〈 juegan un rol importante en la obtención de las
〉 y es decreciente gráficas de estas funciones.
〈 〉, donde
Puntos de inflexión: x  n ; n Z . (En
R

estos puntos hay un cambio de concavidad1) CARACTERÍSTICAS
SA
Análisis gráfico de las funciones de la forma:  Amplitud: A
f x   A F .T Bx  C   D
CE
Para graficar estas funciones vasta tener en
cuenta:
A>0 ampliación o reducción vertical  Periodo de la función: T
A<0 reflexión respecto al eje X
1
Se puede decir un cambio en la curvatura de la
gráfica de la función.

5.  Cambio de fase o número de fase: 
 Desplazamiento horizontal
  0 Desplazamiento horizontal hacia la
derecha.
  0 Desplazamiento horizontal hacia la
O
izquierda.
EJ
 Desplazamiento vertical: D
D>0 desplazamiento vertical hacia arriba.
LL
IA
EM
D<0 desplazamiento vertical hacia abajo.
AD
VA
AC
Ejemplos: Graficar:
a) ( )
R
b) ( ) ( )
SA
CE