Este documento resume los temas fundamentales del curso de Cálculo Avanzado impartido por el profesor Carlos Silva en la Universidad de Santiago de Chile, incluyendo funciones reales de varias variables, límites y continuidad, derivadas parciales, diferenciabilidad, regla de la cadena, derivación implícita y algunas ecuaciones en derivadas parciales.

1. Universidad de Santiago de Chile Profesor: Carlos Silva Cornejo
Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
Curso: Cálculo Avanzado
RESUMEN PEP2 CÁLCULO AVANZADO
FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES LÍMITES Y CONTINUIDAD
Son de la forma: Para comenzar el estudio de límites, se define el análogo
bidimensional de lo que era un intervalo en la recta .
f : D  n   Usando la fórmula de la distancia entre 2 puntos (x,y) y
( x1 , x2 ,.........., xn )  f ( x1 , x2 ,.........., xn ) (x0,y0) podemos definir el -entorno centrado en (x0,y0)
como el disco centrado en (x0,y0) de radio .
f representa a una función real de “n” variables.

Disco abierto: ( x, y) : ( x  x0 )  ( y  y0 )  
2 2

REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Para el resto de las definiciones topológicas, es posible
imaginarlas según la siguiente figura.
1.-Gráfico de f
G( f )  ( x, f ( x)) : x  D   n1
*Si f es una función de 2 variables con dominio D,
entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los punto
(x,y,z) en R3 tal que z=f(x,y) y (x,y) está en D
2.- Líneas de Nivel de f (2 variables)
Sea f : D     , para cada valor de C
2
( x, y) : f ( x, y)  C
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE 2 VARIABLES
Sea f una función de 2 variables definida en un disco
abierto centrado en (x0,y0), excepto quizás en el punto
(x0,y0), y sea L un número real. Entonces :
lím f ( x, y)  L si   0,  ( )  0 tal que si
( x , y )( x0 , y0 )
f ( x, y)  L    0  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  
3.- Superficies de Nivel
Desigualdades Importantes
f : D  3  
Sea
( x, y , z )  f ( x, y , z ) x  x2  y2 ; x2  x2  y2 ; sen( f ( x, y))  1
Nota: Una manera de obtener un POSIBLE valor de el
límite L es mediante trayectorias o direcciones.
Las direcciones clásicas a verificar son:
a)eje x: L1  lím f ( x,0)
x0
b)eje y: L2  lím f (0, y )
y0
c)recta y=mx: L3  lím f ( x, mx)
x0
d)Parábola y=x2: L4  lím f ( x, x 2 )
x0
Si alguno de los límites por direcciones es distinto
inmediatamente concluimos que el límite no existe.
De cumplirse que el valor de los límites por direcciones es
el mismo, probamos por definición el posible valor de L.
Revisar resumen de las cuádricas.

2. DERIVADAS PARCIALES Para el caso de funciones de n-variables se tiene:
Del cálculo elemental sabemos que la idea de derivada nos Sea U   un conjunto abierto, y f : U   n   una
n
permite ahondar en la gráfica de la función pudiendo función con valores reales. Entonces las derivada parcial
calcular por ejemplo máximos y mínimos. Una función
de f respecto a la variable xj es:
diferenciable de 2   debe ser tal que su gráfica no
esté “rota”, pero además debe tener bien definido un plano  
tangente a la gráfica en cada punto. f f ( x  he j )  f ( x )
( x1 , x2 ,..., xn )  lím
x j h 0 h
Así, no debe haber dobleces, esquinas o picos en la gráfica.
En otra palabras, la gráfica debe ser suave.
El vector canónico ej corresponde a: (0,….,1,….,0).
La posición j del vector indica la variable respecto a la cual
derivamos f.
f f (( x, y)  h(1,0))  f ( x, y)
Así: ( x, y)  lím
x h 0 h
Derivada Direccional

f f ( P  h u )  f ( P)

( P)  lím
u h0 h
Nota: SI f es diferenciable, el valor máximo de la derivada
direccional es f
Teorema(Schwartz): Igualdad de las derivadas
parciales cruzadas
Si f es una función de 2 variables con derivadas parciales
cruzadas continuas en un disco abierto R, entonces, para
todo (x,y) se tiene:
f xy  f yx
DIFERENCIABILIDAD DE f
Definiciones de diferenciabilidad
1.- f es diferenciale en P si existe una aplicación lineal
T : n   tal que:
f ( P  h))  f ( P)  T (h)
lím 0
h 0 h
En 2 variables se tiene:
Nota: Si T existe, es única y se llama diferencial de f el
f f ( x  h, y)  f ( x, y) punto P a: T  f P
( x, y)  lím
x h 0 h
f f ( x, y  k )  f ( x, y )
( x, y)  lím 2.- Para funciones en 2 variables, la función z=f(x,y) es
y k 0 k diferenciable en P(x0,y0) si existen A y B tales que:
Para derivadas de orden superior, las notaciones que f ( x, y)  [ f ( x0 , y0 )  A( x  x0 )  B( y  y0 )]
encontramos son las siguientes: lím 0
( x , y )( x0 , y0 )
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2
    2 f
Ej:  
 y  xy  f yx
x  

3. Para que la función f sea diferenciable en (x0,y0) es
necesario que existan sus derivadas parciales en ese REGLA DE LA CADENA (VERSIÓN GENERAL)
punto. En ese caso:
Suponga que una función u es una función diferenciable de
z  f ( x0 , y0 )  A( x  x0 )  B( y  y0 )
las n variables x1,x2,…………,xn y cada xj es una función
f
z  z0  P ( x  x0 )  f ( P)( y  y0 ) diferenciable respecto
t1,t2,…………,tm. Entonces:
de las m variables
x y
z  z0  f x ( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 ) u u x1 u x2
   ........ 
u xn
t j x1 t j x2 t j xn t j
Es el plano tangente a f en el punto P.
Para cada j=1,2…..,m
Teorema 1: Si f es diferenciable en P, entonces f es
continua en P.
Teorema 2: Si f es diferenciable en P, entonces:
f ( P )
a)Todas las derivadas parciales existen para
xi
todo i=1,….,n
Además, podemos definir el vector gradiente por:
 f ( P) f ( P) f ( P) 
T  D f ( P)  f ( P)  
 x , ,.......,  DERIVACIÓN IMPLÍCITA
 1 x2 xn  
b)Todas las derivadas direccionales de f en P existen y: Para 2 variables x e y podemos considerar el sistema
F(x,y)=F(x,f(x))=0
f ( P)  f ( P) f ( P) f ( P)   
 x , ,.......,   u  DP f (u ) dy F ( x, y )
u

 x2 xn   Así:  x
1 dx Fy ( x, y )
f ( P)  n
f ( P)

 P f , u     ui
u i 1 xi
Teorema 3: Sea f : U  n   y P
( interior de )
Si las derivadas parciales existen en una vecindad de P y
son continuas en P, entonces f es diferenciable en P .
DIFERENCIAL TOTAL
La diferencial dz que en ocasiones se usa la notación df
para llamar al diferencial total se define por:
dz  f x ( x, y)dx  f y ( x, y)dy
INCREMENTO DE f
Si f es una función de 2 variales z=f(x,y), entonces el
incremendo de z viene dado por:
z  f ( x  x, y  y)  f ( x, y)

6. ALGUNAS ECUACIONES EN DERIVADAS
PARCIALES
Ecuación del calor
La temperatura de un cuerpo en el espacio (x,y,z) en el
tiempo t. Fourier demostró que T debe satisfacer :
  2T  2T  2T  T
k 2  2  2  
 x
 y z  t

Ecuación del potencial
Consideremos el potencial gravitacional V(con frecuencia
llamado de Newton) de masa m en un punto (x,y,z)
 2V  2V  2V
  0
x 2 y 2 z 2