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Definiciones:
El puntoesel iniciode todo.
Existeninfinitospuntose infinitasrectas.
Un punto pertenece ainfinitasrectas.
Dos puntosdeterminanunaúnicarectaenel planoal cual pertenecen.
La rectadeterminadapordospuntosenun plano, pertenece al mismoplano.
Distancia entre dos puntos:
Cuando conocemos las coordenadas de dos puntos podemos hallar la distancia entre ellos de la
siguiente manera:
Si A tiene coordenadas (x1, y1) y B tiene coordenadas (x2, y2), entonces la distancia entre A y B,
está dada por:
d(A, B) = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2
Ejemplo:
Determine la distancia entre los puntos, A(1,2) y B(-2,3)
d(A, B) = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2
d(A, B) = √(1 − (−2))
2
+ (2 − 3)2
d(A, B) = √9 + 1
d(A, B) = √10
Punto medio de un segmento de recta:
Si las coordenadas de los extremos del segmento 𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅ son 𝑃1(𝑥1 − 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2 − 𝑦2), entonces
las coordenadas del punto medio Mde 𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅ son:
(
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
)
Ejemplo:
Con los puntos anteriores encontrar el punto medio del segmento 𝐴𝐵̅̅̅̅,
(
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
)
(
1 − 2
2
,
2 + 3
2
)
M(
−1
2
,
5
2
)
Ecuación de la Recta:
La ecuación general de la Recta está dada por:
Ax+By+C=0
Pendiente de una Recta:
Conociendo dos puntos de una recta, se puede definir su pendiente de la siguiente manera:
m=
𝑦1−𝑦2
𝑥1−𝑥2
, con 𝑥1 ≠ 𝑥2
Ecuación pendiente ordenada en el origen:
y=mx+b
La ecuación de la Recta que pasa por dos puntos se encuentra con la siguiente ecuación:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Ejemplo:
Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3,2) y (5,-2)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦1 − 𝑦2
𝑥1 − 𝑥2
(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 2 =
2 − (−2)
−3 − 5
(𝑥 − (−3))
𝑦 − 2 =
4
−8
(𝑥 + 3)
𝑦 =
4
−8
( 𝑥 + 3) + 2
𝑦 = −
1
2
𝑥 −
3
2
+ 2
𝑦 = −
1
2
𝑥 +
1
2
Distancia de un punto a una recta:
Ejemplo:
Circunferencia:
Conjunto de puntos en el plano cartesiano que se encuentran a una distancia fija r, de un punto
fijoO(h,k).La distanciafijares denominada longitud del radio y el punto fijo O(h, k) es el centro
de la circunferencia.
Forma Canónica de la ecuación de una circunferencia:
Considérese la circunferencia centrada en O(h, k) y de longitud de radio r. La condición para que
un punto P(x, y) pertenezca a la misma es:
d(O,P) = r
Es decir:
𝑟 = √( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2
𝑟2 = ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2
Si el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas (0, 0), la forma canónica de la
ecuación de la circunferencia es:
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2
Forma General de la ecuación de una circunferencia:
𝑟2 = 𝑥2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2
𝑥2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 − 𝑟2 = 0
Considerandoque loscoeficientes de los términos cuadráticos son iguales, se los puede agrupar
con un factor común A y obtener:
De aquí se deduce que,unacondición necesariaparaque unaecuación cuadrática represente una
circunferencia, es que los coeficientes de 𝑥2 + 𝑦2 sean iguales.
Ejemplo:
Ejercicios Propuestos para repaso de Examen final:
1. Dados los puntos A(-4,0) , B(0-4) y C(5,5)
a) Dibujar en el Plano
b) Demostrar que es Isósceles
c) Hallar la ecuación del lado BC
d) Hallar la ecuación de la mediana que pasa por el vértice A (aplicar distancia de un
punto a una recta)
e) Valor de ángulo A
f) Ecuación de la recta AB
2. La ecuación 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 3 = 0 representa en el plano:
a) Un punto con coordenadas (2, −3).
b) Una circunferencia con centro en (−2, 3) y radio 2.
c) Una circunferencia con centro en (2, −3) y radio 16.
d) Una circunferencia con centro en (2, −3) y radio 4.
e) Un conjunto vacío.
Respuesta: (d)
3. Se conoce que una circunferencia tiene como extremos de uno de sus diámetros, los
puntos (5, −2) y (−3, −2). Determine su radio y su ecuación canónica.
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Resumen geometria analitica

  • 1. Definiciones: El puntoesel iniciode todo. Existeninfinitospuntose infinitasrectas. Un punto pertenece ainfinitasrectas. Dos puntosdeterminanunaúnicarectaenel planoal cual pertenecen. La rectadeterminadapordospuntosenun plano, pertenece al mismoplano. Distancia entre dos puntos: Cuando conocemos las coordenadas de dos puntos podemos hallar la distancia entre ellos de la siguiente manera: Si A tiene coordenadas (x1, y1) y B tiene coordenadas (x2, y2), entonces la distancia entre A y B, está dada por: d(A, B) = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2 Ejemplo: Determine la distancia entre los puntos, A(1,2) y B(-2,3) d(A, B) = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2 d(A, B) = √(1 − (−2)) 2 + (2 − 3)2 d(A, B) = √9 + 1 d(A, B) = √10 Punto medio de un segmento de recta: Si las coordenadas de los extremos del segmento 𝑃1 𝑃2 ̅̅̅̅̅̅ son 𝑃1(𝑥1 − 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2 − 𝑦2), entonces las coordenadas del punto medio Mde 𝑃1 𝑃2 ̅̅̅̅̅̅ son: ( 𝑥1 + 𝑥2 2 , 𝑦1 + 𝑦2 2 ) Ejemplo: Con los puntos anteriores encontrar el punto medio del segmento 𝐴𝐵̅̅̅̅, ( 𝑥1 + 𝑥2 2 , 𝑦1 + 𝑦2 2 ) ( 1 − 2 2 , 2 + 3 2 ) M( −1 2 , 5 2 ) Ecuación de la Recta: La ecuación general de la Recta está dada por: Ax+By+C=0
  • 2. Pendiente de una Recta: Conociendo dos puntos de una recta, se puede definir su pendiente de la siguiente manera: m= 𝑦1−𝑦2 𝑥1−𝑥2 , con 𝑥1 ≠ 𝑥2 Ecuación pendiente ordenada en el origen: y=mx+b La ecuación de la Recta que pasa por dos puntos se encuentra con la siguiente ecuación: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) Ejemplo: Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3,2) y (5,-2) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑦1 − 𝑦2 𝑥1 − 𝑥2 (𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 2 = 2 − (−2) −3 − 5 (𝑥 − (−3)) 𝑦 − 2 = 4 −8 (𝑥 + 3) 𝑦 = 4 −8 ( 𝑥 + 3) + 2 𝑦 = − 1 2 𝑥 − 3 2 + 2 𝑦 = − 1 2 𝑥 + 1 2 Distancia de un punto a una recta: Ejemplo:
  • 3. Circunferencia: Conjunto de puntos en el plano cartesiano que se encuentran a una distancia fija r, de un punto fijoO(h,k).La distanciafijares denominada longitud del radio y el punto fijo O(h, k) es el centro de la circunferencia. Forma Canónica de la ecuación de una circunferencia: Considérese la circunferencia centrada en O(h, k) y de longitud de radio r. La condición para que un punto P(x, y) pertenezca a la misma es: d(O,P) = r Es decir: 𝑟 = √( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 𝑟2 = ( 𝑥 − ℎ)2 + ( 𝑦 − 𝑘)2 Si el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas (0, 0), la forma canónica de la ecuación de la circunferencia es: 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 Forma General de la ecuación de una circunferencia: 𝑟2 = 𝑥2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 𝑥2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 − 𝑟2 = 0
  • 4. Considerandoque loscoeficientes de los términos cuadráticos son iguales, se los puede agrupar con un factor común A y obtener: De aquí se deduce que,unacondición necesariaparaque unaecuación cuadrática represente una circunferencia, es que los coeficientes de 𝑥2 + 𝑦2 sean iguales. Ejemplo: Ejercicios Propuestos para repaso de Examen final: 1. Dados los puntos A(-4,0) , B(0-4) y C(5,5) a) Dibujar en el Plano b) Demostrar que es Isósceles c) Hallar la ecuación del lado BC d) Hallar la ecuación de la mediana que pasa por el vértice A (aplicar distancia de un punto a una recta) e) Valor de ángulo A f) Ecuación de la recta AB 2. La ecuación 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 3 = 0 representa en el plano: a) Un punto con coordenadas (2, −3). b) Una circunferencia con centro en (−2, 3) y radio 2. c) Una circunferencia con centro en (2, −3) y radio 16. d) Una circunferencia con centro en (2, −3) y radio 4. e) Un conjunto vacío. Respuesta: (d) 3. Se conoce que una circunferencia tiene como extremos de uno de sus diámetros, los puntos (5, −2) y (−3, −2). Determine su radio y su ecuación canónica. Respuesta: (r=4)