El documento explica conceptos básicos de circunferencias como su ecuación canónica, centro y radio. También presenta ejemplos de cómo encontrar la ecuación de una circunferencia dados puntos o tangencia con otra curva.

1. UNIVERSIDAD PEDAGOGICA
DE EL SALVADOR
MATEMATICA II

2.  Si C(h,k) es un punto del plano coordenado, se puede
definir a la circunferencia con centro C y radio > 0,
como el conjunto de todos los puntos que equidistan r
unidades de C.
r
 Ecuación de una circunferencia con radio r y centro en
(h,k) o Ecuación Canónica:
P(x,y)
C(h,k)
 Un punto P(x,y) se encuentra
sobre la circunferencia si y solo
si d(P,C) = r
x  h  y  k  r 2 2
 2  2 2 x  h  y  k  r

3.  Ahora vamos a suponer que queremos encontrar el
lugar geométrico de los puntos que equidistan 5
unidades del punto Q(4, 3).
4
3
5
 Vamos a llamar P(x, y) a uno de los puntos del lugar
geométrico. Entonces, tenemos que la distancia de
este punto a Q debe ser 5, es decir d(P, Q)=5

4.  Que se escribe como  ,   4  3 5 2 2 d P Q  x   y  
 De donde,  4  3 25 2 2 x   y  
 La forma canónica o estándar del círculo de
radio r y con centro en C(a, b) es:
    2 2 2 x  a  y  b  r

5.  Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anterior
2 2 2 2 x - 2xa  a  y - 2yb  b
2 2 2 2 x  y  (-2a)x  (-2b)y  a  b
 Notamos que: 2 2 2 a  b  r
 Si 2 2 2 D  2a E  2b F  a  b  r
x 0 2 2  y  Dx  Ey  F 
 Esta es la forma general de la
ecuación de la circunferencia.

6.  Problema individual: Encontrar el centro y radio del círculo
cuya ecuación es
4x 4y - 12x 40y 77 0 2 2    
4(x - 3x) 4(y 10y) 77 2 2    
77
4
(x - 3x) (y 10y) 2 2    
25
9
(x - 3x 2 2        
4
77
4
9
) (y 10y 25)
4
3
(x - 2 2   
) (y 5) 8
2
Por tanto
 El centro es:
 El radio es:





3
,-5
2
8  2 2

7.  Ejercicio: Deducir una ecuación de la circunferencia que
pasa por los puntos (1,5), (-2,3), (2,1).
 Solución: Sabemos que la ecuación deseada tiene la
forma siguiente:
x2+y2+Dx+Ey+F=0
 Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del
círculo por estar en él, tenemos
1+25+D+5E+F=0
4+9-2D+3E+F=0
4+1+2D-E+F=0

8.  Es decir, D+5E+F=-26
-2D+3E+F=-13
2D-E+F=-5
Resolviendo el sistema tenemos,
D=-9/5, E=19/5, F=-26/5
Por lo tanto la ecuación del círculo es:
5x2+5y2-9x-19y-26=0

9.  Encontrar la ecuación de la recta tangente al círculo
(x-3)2+(y-12)2=100 en el punto P(-5,6).
 Encontrando la pendiente del radio que une a P con
el centro que tiene coordenadas (3,12). La pendiente
buscada es m=3/4.
 La pendiente de la recta tangente a la cincunferencia
en P es –4/3; por tanto su ecuación es
 y-6=-4/3(x-(-5)), o bien 4x+3y+2=0
12
6
-5 3

10.  Encontrar la ecuación del círculo que es tangente a la
recta x-2y+2=0 en el punto P(8,5) y pasa por Q(12,9)
 El centro C(xo, yo) debe estar en la recta L que es
perpendicular a la recta dada y que pasa por P. Como la
recta dada tiene pendiente ½ , la recta L tiene pendiente
m=-2; por tanto su ecuación es y-5=-2(x-8) 2x+y-21=0
 Por tanto las coordenadas de C satisfacen
 2xo+yo-21=0 (1)
 Como la distancia de C(xo, yo) a P(8,5) debe ser igual a la
distancia de C(xo, yo) a Q(12,9), se tiene que

11.        2
x0  8  y  5  x 12  y  9
0
2
0
2
0
2
 Elevando al cuadrado y simplificando tenemos
xo+yo-17=0 (2)
 Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por
(1) y (2) encontramos las coordenadas del centro
C(4,13) y el radio r=80
 Así la ecuación de la circunferencia es
 (x-4)2+(y-13)2=80, o bien x2+y2-8x-26y+105=0
8
5
4
13