Este documento presenta información sobre trigonometría. Brevemente discute la propiedad fundamental de las razones trigonométricas y cómo se calculan las razones de la mitad de un ángulo agudo. También incluye ejemplos de problemas resueltos sobre estas ideas.

1. Semana 8
Trigonometría

2. Material DidácticoAcademia ADUNI
semana
08
b
2b
5b
53°/2
k
3k
10k
37°/2
n
3n(2+ )
15°
Nota
Reforzamiento II
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS RAZONES TRIGO-
NOMÉTRICAS
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son independien-
tes de los lados del triángulo rectángulo que lo contiene y depen-
den únicamente de la magnitud de dicho ángulo.
A B D
C
E
G
F
θ
Los triángulos rectángulos ABC, ADE y AFG son semejantes pues
tienen los mismos ángulos.
Por ejemplo, el senq es igual en los tres triángulos; es decir
CB
AC
ED
AE
FG
AG
= = = senθ
CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA
MITAD DE UN ÁNGULO AGUDO
Partimos de un triángulo rectángulo ABC, recto en C. Si queremos
las razones trigonométricas de
A
2
, entonces prolongamos el cateto
CA hasta un punto D, tal que AD=AB. Luego, el triángulo DAB es
isósceles tal que mS DBA
A
=
2
.
Ac b
c
a
CD
B
A/2
A/2A/2
Por tanto, del triángulo DCB, tenemos
cot cot csc cot
A c b
a
A
A A
2 2
=
+
→ = +
Análogamente
tan tan csc cot
A a
c b
c b
a
A
A A
2 2
=
+
=
−
→ = −

3. Anual Virtual ADUNI Trigonometría
Problemas resueltos
1. Sean a y b las medidas de dos ángulos agudos
complementarios tales que
sen y cosα β=
+
=
+
2
4 1
3
2 3x x
Calcule el valor de x.
Resolución
Como a y b son ángulos agudos y complemen-
tarios, entonces sena=cosb.
Reemplazamos.
2
4 1
3
2 3x x+
=
+
Multiplicamos en aspa.
2(2x+3)=3(4x+1)
4x+6=12x+3
→ 3=8x
∴ x =
3
8
2. Sabiendo que
sen(30°+x)tan(70°+x)tan(20°–x)=cos(2x)
cot(3y)tan(2x–y)=1; 0° < y < x < 22°
Calcule M x
y
x y= +



 + +( )sec csc2 2
2
2
.
Resolución
Por la propiedad de ángulos complementarios
tenemos
tan(20°–x)=cot(70°+x)
Reemplazando en la primera condición
sen tan cot cos30 70 70 2
1
°+( ) °+( ) °+( )= ( )x x x x
sen(30°+x)=cos(2x)
→ 30°+x+2x=90°
3x=60°
x=20°
De la segunda condición, por las razones
recíprocas
cot(3y)tan(2x–y)=1
→ 3y=2x–y
4y=2(20°)
y=10°
Finalmente
M = °( ) +
°


 + ° + °( )sec csc2 2
2 20
10
2
20 10
M=sec2
(45°)+csc2
(30°)
M = ( ) + ( )2 2
2 2
∴ M=6
3. En el triángulo ABC del gráfico mostrado, M
es punto medio del segmento BC y AM=AB. Si
mS BAC=120°, calcule sen(B–C).
A
M
C
B
Resolución
Ubicamos los datos.
3
A
B–C
B
C
B
4a
4a
TH
M
C
B
30°
60°
120°
2a
3a
Como AM=AB=4a, entonces el triángulo ABM
es isósceles.
En el triángulo AMC, aplicamos el teorema del
ángulo exterior.
C+(B – C)=B
Luego, prolongamos la longitud CA hasta el
punto H y desde el vértice B trazamos la per-
pendicular BH para formar un triángulo nota-
ble (30° y 60°). Trazamos MT ⊥ AC, el cual es
base media del triángulo BHC.
En el triángulo ATM, resolvemos.
∴ sen B C−( ) =
3
4

4. Academia ADUNI Material Didáctico
Práctica dirigida
1. Sea
(5tan40° – 2cot50°)cot40°=csc45°secq;0 q 90°
Halle el valor de E=cot2
q+csc2
q.
A)
2
7
B)
11
7
C)
9
7
D)
5
7
2. La Cruz Roja encarga a una compañía textil
que le proporcione una cantidad de tela “jean”
suficiente para hacer 15 000 carpas como la
que se muestra en el gráfico. Dicha compañía
precisa que cobrará S/1,2 por m2
de esta tela.
Además, dará de cortesía el 1% más de tela,
del total calculado. ¿Cuánto costará a la Cruz
Roja la adquisición de su pedido?
37°
,
A) S/42 000 B) S/45 000
C) S/50 000 D) S/54 000
3. Un plato de sopa con forma de hemisferio
cuyo diámetro mide 16 cm es llenado hasta
la mitad de su profundidad como se observa
en el gráfico. ¿Cuál es el mayor ángulo que el
plato puede ser inclinado sin derramar sopa?
4
8 8
4
A) 15° B) 30°
C) 45° D) 60°
4. Si a y b son los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo, calcule el valor de sec
π
x



 sabiendo
que tana=x5
y tanβ =
+
1
64 3
x x
A) 3 B) 2
C) 2 3 D) 3
UNMSM 2017 - I
Práctica domiciliaria
1. El valor numérico de x representa la edad de
un profesor de matemáticas
tan(2x–5)°=cos2
60°+cos2
30°
Martín resolvió la igualdad correctamente e in-
dicó la edad del profesor. ¿Qué edad indicó?
A) 15 B) 25
C) 45 D) 60
2. Si 2cosa=cota, 0 a 90°. Halle el valor de la
siguiente expresión:
M=(sena+cosa)2
–(1+cosa)
A) 1 B) –1
C) 2 D) 0
3. Si se cumple que
tan 2x cot(x+20°)=1, x: ángulo agudo
cos 5y sec x=1, y: ángulo agudo
calcule el valor de sen csc
x y+


 °
2
12 .
A)
1
2
B)
1
4
C) 3 D) 1

5. Anual Virtual ADUNI Trigonometría
01 - B
02 - D
03 - D
04 - C
05 - D
06 - B
07 - C
08 - A
09 - A
10 - A
4. En el gráfico mostrado, calcule la longitud BC a
partir de la siguiente condición:
sen(q+10°)–cos(q+20°)=0
D A
C
B
θ
θ
6 cm
A) 4 cm B) 8 cm
C) 12 cm D) 12 3 cm
5. Si tan 90
4
9
° −( ) =α αcot y a: ángulo agudo,
calcule el valor de 13 sen cosα α−( ).
A) –1 B) 2 C) – 2 D) 1
6. Una escalera de 6 m de longitud se encuentra
apoyada sobre una pared y forma un ángulo a
con el piso, cuya secante es 3. Calcule la dis-
tancia entre el pie de la escalera y la pared.
A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m
7. En el gráfico se cumple que
tan θ + °( ) =
+
75
y z
x
Calcule el valor de la expresión
K=sen(3q)cos(2q+30°)sec5q
y
z
θ
x
A)
3
2
B)
3
5
C)
1
2
D)
4
5
8. Si (3a – q) y (2a+3q) son ángulos agudos, tal
que tan tan sen3 2 3 2 45 0α θ α θ−( ) +( ) − ° = ,
calcule el valor de la expresión
J = −
+( )
+( )
+
+



2 5
2
4
3
5 2
2
sen
cos
sec
csc
tan
α
θ
α θ
α θ
α θ
A) 4 B) 1 C) 2 D) 3
9. Si q es la medida de un ángulo agudo que ve-
rifica la igualdad
tan sen cot
π
θ
π
4 8
1



 =
calcule el valor de tan2q . tanq.
A) 1 B) 2 C)
1
2
D)
3
3
10. Una baldosa de forma cuadrada ABCD es di-
vidida para que sus partes sean pintadas de
diferentes colores, de acuerdo con un cierto
diseño. Para dividirla se consideran los tra-
zos BD y AM, siendo M punto medio de BC. Si
AB=40 cm, halle tanq.
θ
B M C
A D
A) 3 B) 2 C) 1,5 D) 4
UNMSM 2019 - II