S02 ad4001

Sesión 2
Funciones de Probabilidad
TLC e Intervalos de confianza
Estadística en las
organizaciones CD4001
Dr. Jorge Ramírez Medina

Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Nuestro interés es el número de éxitos
que ocurren en los n intentos.
Tomamos x como el número de éxitos
que ocurren en los n intentos.
Distribución Binomial

donde:
f(x) = La probabilidad de x éxitos en n intentos
n = el número de intentos
p = la probabilidad de éxito de cualquier intento
Función de probabilidad binomial
)(
)1(
)!(!
!
)( xnx
pp
xnx
n
xf

Función de probabilidad binomial
Probabilidad de una
secuencia particular de resultados
con x éxitos en n intentos
Número de resultados
experimentales que dan
x éxitos en intentos
)(
)1(
)!(!
!
)( xnx
pp
xnx
n
xf

Ejemplo
La empresa está preocupada por la alta rotación
de sus empleados. Para un empleado seleccionado
al azar, se estima una probabilidad de 0.1 de que la
persona no esté el próximo semestre trabajando. Si
se seleccionan 3 empleados al azar ¿cuál es la
probabilidad de que uno de ellos no esté trabajando
el próximo semestre en el CITEC?

Diagrama de árbol
1st Worker 2nd Worker 3rd Worker x Prob.
Leaves
(.1)
Stays
(.9)
3
2
0
2
2
Leaves (.1)
Leaves (.1)
S (.9)
Stays (.9)
Stays (.9)
S (.9)
S (.9)
S (.9)
L (.1)
L (.1)
L (.1)
L (.1) .0010
.0090
.0090
.7290
.0090
1
1
.0810
.0810
.0810
1

Utilizando la función de probabilidad Binomial
tome: p = .10, n = 3, x = 1
)(
)1(
)!(!
!
)( xnx
pp
xnx
n
xf
243.0)81)(.1(.3)1.01(1.0
)!13(!1
!3
)1( )13(1
f

utilizando Tablas de Probabilidad Binomial
n x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50
3 0 .8574 .7290 .6141 .2430 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .1250
1 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .3750
2 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .3750
3 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250
p
X P(X)
0 0.729
1 0.243
2 0.027
3 0.001
Utilizando excel
Binomial

El valor esperado;
La varianza;
La desviación estándar, =
Var(x) = 2 = np(1-p)
E(x) = = np
)1( pnp

E(x) = np = 3(.1) = .3 empleados de 3
Var(x) = 2 = 3(.1)(.9) = .27
empleados52.)9)(.1(.3

La larga cola

Una variable aleatoria con una distribución Poisson
es útil para estimar el número de ocurrencias sobre
un intervalo especificado de tiempo o espacio.
Es una variable aleatoria discreta que puede tomar
una secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).
Distribución Poisson

Ejemplo de variables aleatorias con
distribución Poisson
La cantidad de fugas en 10 km. de un
gaseoducto
Los automóviles que pasan por
una caseta en una hora

Propiedades de los experimentos Poisson
La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier
intervalo es independiente de la ocurrencia o
no-occurrencia en cualquier otro intervalo.
La probabilidad de una ocurrencia es la misma
para dos intervalos cualesquiera de igual longitud

Función de
probabilidad Poisson
en donde:
f(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervalo
µ= media de ocurrencias en un intervalo
e = 2.71828
!
)(
x
e
xf
x

MERCY
• Ejemplo: Hospital López Mateos
Los fines de semana en la tarde
a la sala de emergencias del
Hospital LM llegan en promedio
6 pacientes por hora .
Cuál es la probabilidad de que
lleguen 4 pacientes en 30 minutos
en la tarde de un fin de semana?

Utilizando la Función de Probabilidad Poisson
MERCY
= 6/hora = 3/media-hora, x = 4
1680.0
!4
)71828.2(3
)4(
34
f

Utilizando las tablas de probabilidad Poisson
MERCY
Utilizando excel; =POISSON(4,3,FALSO)

ITESM EGADE Zona Centro
MERCY
 Poisson Distribution of Arrivals
Poisson Probabilities
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de llegadas en 30 Minutos
Probabilidad
La secuencia
continua:
11, 12, …

Una propiedad de la distribución Poisson es que
La media y la varianza son iguales.
= 2

MERCY
 Varianza de las llegadas durante el periodo de 30
minutos.
= 2 = 3

Distribución de
probabilidad exponencial
• Útil para describir el tiempo que toma el completar
una tarea.
• Las variables aleatorias exponenciales pueden ser
utilizadas para describir:
Tiempo de llegada
Entre vehículos
a una caseta.
Tiempo requerido
para llenar un
cuestionario
Distancia entre
baches en una
autopista

• Función de densidad
donde: = media
e = 2.71828
Para x ≥0, μ≥0
Distribución de
x
exf
1
)(

• Probabilidades
acumulativas
donde:
x0 = algún valor específico de x
Distribución de
ox
exxP 1)( 0

• Ejemplo; gasolinera las Torres
El tiempo entre carros que llegan a
la gasolinera las Torres sigue una
distribución de probabilidad
exponencial con una media entre
llegadas de 3 minutos. Se
quiere saber cuál es la probabilidad
de que el tiempo entre 2 llegadas
sea menor o igual de 2 minutos.
Distribución de

x
f(x)
.1
.3
.4
.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo entre llegadas (mins.)
P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3 = 1 - .5134 = .4866
Distribución de

Una propiedad de la distribución exponencial es
que la media, , y la desviación estándar, , son iguales
La desviación estándar, , y la varianza, 2, para el
tiempo entre llegadas en la gasolinera las Torres:
= = 3 minutes
2 = (3)2 = 9
Distribución de probabilidad
exponencial

La distribución exponencial está sesgada positivamente.
La medición del sesgo para la distribución
exponencial es 2.
Distribución de probabilidad
exponencial

La distribución Poisson
da una descripción apropiada
del número de ocurrencias
por intervalo
La distribución exponencial
da una descripción apropiada
de la longitud del intervalo
entre las ocurrencias
Relación entre las
distribuciones exponencial
y Poisson

x
Distribución Normal

Valores Z
Se interpreta como la cantidad de desviaciones
estándar que dista xi del promedio.
s
xx
z i
i

Z-scores
¿cómo
comparar
peras con
manzanas?

Un ejemplo
60 en estadística 60 en ética

Para entender;
Grafiquémoslo
• Tipo de datos
– Numéricos
– Medidas de tendencia central (media)
– Medidas de variabilidad (desviación estándar)

Primera idea
Nada es verdad, nada es mentira
Todo es según el cristal en que se mira
(Popular)

Segunda idea
X X
z
SD

Tercera idea

Cuarta idea
Z = (Score - Mean)/SD
Z = (60 - 50) / 10
Z = 1
Z = (Score - Mean)/SD
Z = (84 - 50) / 10
Z = 3.4
Z = (60 - 70) / 10
Z = -1.0

Z-scores
• Z-score puede ser positivo o negativo
– Positivo es arriba de la media
– Negativo es abajo de la media
• La media de un Z-score es siempre cero
• Si se tiene el promedio, el Z-score =0
• La desviación estándar de una distribución Z =1

425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
Para el ejemplo
de la sesión 1
= .865

Valores z
• z-Score del valor más pequeño (425)
-1.20 -1.11 -1.11 -1.02 -1.02 -1.02 -1.02 -1.02 -0.93 -0.93
-0.93 -0.93 -0.93 -0.84 -0.84 -0.84 -0.84 -0.84 -0.75 -0.75
-0.75 -0.75 -0.75 -0.75 -0.75 -0.56 -0.56 -0.56 -0.47 -0.47
-0.47 -0.38 -0.38 -0.34 -0.29 -0.29 -0.29 -0.20 -0.20 -0.20
-0.20 -0.11 -0.01 -0.01 -0.01 0.17 0.17 0.17 0.17 0.35
0.35 0.44 0.62 0.62 0.62 0.81 1.06 1.08 1.45 1.45
1.54 1.54 1.63 1.81 1.99 1.99 1.99 1.99 2.27 2.27
Valores estandarizados

0
z
La letra z es utilizada para designar a la variable
normal aleatoria estandarizada.
Distribución de
probabilidad Normal
estandarizada
x
z

Distribución de
probabilidad Normal
estandarizada
Función de densidad normal estándar
donde:
z = (x – )/
= 3.14159
e = 2.71828
2
2
2
1
)(
z
exf

Asignación para
la siguiente sesión
Dr. Jorge Ramírez Medina

S02 ad4001

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