1. 1.-DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA<br />1.- Sea: 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, una población, si se extrae una muestra aleatoria de tamaño 46 con reemplazo de esta población.<br />Calcular:<br /> P (3.5X4..8)<br />n : 35 <br /> u=Xinu=1,1,1,1,2,3,4,5,6,610<br /> X : 1, 2, 3, 4, 5, 6 Px: 410,110,110,110,110,110<br /> Ex= x.Pxi 1410+2110+3110+4110+5110+6110=2 Ex2=xi2. Pxi 12410+22110+32110+42110+52110+62110 =9<br />2=E(x2(E(x))2 = 9-4 = 5 <br />Como: XN(u ; 2/n) XN(3; 5/46)<br />Estandarizando: <br /> P (4.6 X 4.4) = P ( 3.5-3546 Z 4.8-3546 <br />P(1.51 Z 5.45) = P(Z 5.45 ) – P(Z 1.5)<br /> = 1 – 0.93448 <br />= 0.06552<br />2.-Sea una población que sigue la distribución normal (200,30), si se toma uan muestra de tamaño 40, la probabilidad de que la muestra tenga una media inferior a 205, seria: <br />XN (200,30)<br />La probabilidad sería:<br />n= 40 XN (200,30/40)<br />P (X205 )<br />Estandarizando: <br />PZ<205-2003040 P Z<53040 <br />P (Z<5,77) P= 1 <br />3.-De una producción diaria de grageas; el peso medio de las grageas es de 4.5 miligramos y la varianza 0.98, sea la media de los pesos 61 grageas: Halle la probabilidad de que si:<br />a) Peso medio de las grageas sea menos de 5.6 miligramos.<br />b) Peso medio de la grageas sea menos de 5.6 miligramos.<br />c) Peso medio de las grageas este entre 4,48 y 3,57 miligramos.<br />Solución: <br />P ( X< 5.6 )<br />PZ<5.6-4.50.9861=8.67 <br />P ( Z< 8.67 ) = 1<br />u = 4.5<br /> = 0.98<br />n = 61 <br /> X N 4.5 o.9861<br />P( X< 4.79) = 1 – P ( Z< 4.79 ) <br /> P X > 4.79-4.50.9861 = 2.28 <br />1 – P ( Z< 2.28 ) 1 – 0.98870 = 0.01013<br />u = 4.5 <br />n = 61<br /> = 0.98 <br /> P( 4.48 X 3.57 ) <br />P 4.48-4.5 0.9861 Z 3.57-4.5 0.9861 <br />P( -0.16 Z -7,34 ) <br />P( Z 0.16) – P(Z -7.34) <br />P = 0.56356 – 1 P = 0.4364<br /> 2.-DISTRIBUCION DE LA DIFERECIA DE DOS MEDIAS MUESTRALES<br />1.- Una muestra aleatoria de tamaño 38 se toma de una población normal con media de 82 y una desviación estándar de 7, una segunda muestra de tamaño 66, se toma una población normal con media 77 y una desviación estándar de 5.Hallar la probabilidad de que la media de 38 observaciones exceda a la media de 66 observaciones en por lo menos 3.6 pero menos de 6.1.<br />Población 1:Población 2:<br />n = 38 n = 66<br />X 1 N( 82.49) X2 N ( 77. 25 ) <br />Estandarizando:<br />P(3.6 < X1 – X2 < 6.1 ) <br />Z= X1-X2- (u1-u2)2n1+2n2<br />P= 3.6-5 –82-774938+2566 Z 6.1-5-82-774938+2566 <br />P = (-4.95 < Z< - 3.02) <br />P ( Z < -3.02) – P( Z< -4.95)<br />P = 0 – 0.00126 P = -0. 00126 <br /> <br />2. Sea X la vida media de equipos de venoclisis de marca A que tiene una distribución normal con media de 2000 horas y una varianza de 3500 horas y sea Y la vida media de equipos de venoclisis demarca B que tiene una distribución normal con media de 800 horas y una varianza de 2600 horas. <br />Hallar: <br />La distribución de la diferencia de medias.<br />A N( 2000;35000 )BN( 800,2600) <br />X1 N ( 2000; 3500)<br />X2 N (800, 2600)<br />X1-X2 N200,350040+260050 <br />Halle la probabilidad de que la diferencia de las vidas medias entre 90 y 100 horas, para muestras de tamaño 40 y 50 respectivamente.<br />P (90< X1 – X2 < 100)<br />P90-200139.5< Z<100-200139.5<br />P ( -9.31 < Z < -8.47)<br />P ( Z< -8.47) - P( Z < - 9.31) P(O)<br />3.- DISTRIBUCIÓN PARA LA PROPORCIÓN MUESTRAL<br />EJEMPLO 1: Una compañía farmacéutica tiene un número grande de empleos. La probabilidad de que un empleado seleccionado aleatoriamente participe en un programa de inversión de acciones en la compañía es de 0,6. Si se escogen aleatoriamente 20 empleados. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de participantes sea exactamente 0,8?<br />n= 20 , P= 0,6, Q= 0,4<br />p N(0,6 ; 0,012)<br />p (p= 0,8)<br />0,109P Z= 0,8 – 0,6 <br />P(Z= 1.83) = 0,96638<br />EJEMPLO 2: De los ingresantes a farmacia de la Universidad Nacional de Trujillo, el 5/8 son mujeres. Si de esta población se toma una muestra aleatoria de 240. Calcular:<br />P(p > 0,54) n= 240 P= 0,625 Q= 0,375<br />0,03 P Z > 0,54 – 0,625<br />P(Z > -2,83) = 0,00233<br />EJEMPLO 3: Por experiencia se sabe que el 12% de un embarque grande de cajas de fármacos es defectuosa. Suponga que el embarque ahora consta de 1000 cajas. Si se selecciona muestras sin reemplazo de 600 cajas. ¿Qué proporción de cajas de fármacos tendrá entre el 7% y 9% de cajas defectuosas?<br />P= 0,12 n= 600 Q= 0,88<br />P( 0,07 < p < 0,09)<br />P 0,07 – 0,12 < Z < 0,09 – 0,12 = P(-3,85 < Z < -2,31) = P(Z < -2,31) – P(Z < -3,85)<br /> 0,12x0,88600 0,12x0,88600 0,01044 – 0,00006 = 0,01038<br />4.- DISTRIBUCIÓN PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES<br />EJEMPLO 1: Los hombres y mujeres de una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinatos. Si se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que solo el 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos m.a. de 100 hombres y 100 mujeres su opinión al respecto. Determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea menos 3% mayor que el de las mujeres.<br />X: Población de hombres<br />Y: Población de mujeres<br />Característica de interés: A favor de la pena de muerte<br />Px = 0,12 Qx = 0,88 nx= 100<br />Py = 0,1 Qy = 0,9 ny = 100<br />P( p1 – p2 ≥ 0,03)<br />*Estandarizando:<br />Px – Py = 0,02<br />P Z ≥ 0,03 – 0,02= P( Z ≥ 0,23) = 1- P(Z ≤ 0,23) = 1 – 0,59095 = 0,41<br /> 0,12x0,88100+0,1x0,9100<br />EJEMPLO 2 : Se sabe que 3 de cada 6 productos fabricados por una máquina I son defectuosas y que 2 de cada 5 objetos tomados por la máquina II son defectuosos. Se toman muestras de 120 objetos de cada máquina. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos por la máquina II rebase a la máquina I en por lo menos 0,1?<br />X = Producción de la máquina I<br />Y = Producción de la máquina II<br />Característica de interés: Producciones defectuosas<br />P1 – P2 = 0,1<br />P( P2 – P1 ≥ 0,1) = 1 - P( P2 – P1 ≤ 0,1) = 1 – P Z < 0,1 – (o,4 – 0,5)<br /> 0,5x0,5120+0,4x0,6120<br />1 – P(Z < 3,33) = 1 – 0,99957 = 0,0043<br />EJEMPLO 3: Se tiene que el grupo A de estudiantes de farmacia el 45% son mujeres, se toma una muestra aleatoria de 25 estudiantes de los cuales 10 son mujeres y en el grupo B el 38% son estudiantes mujeres, si se toma una muestra aleatoria de 18 estudiantes de los cuales 8 son mujeres. Halle la probabilidad de que la diferencia de proporciones de la muestra sea menor que la diferencia de las proporciones poblacionales.<br />Grupo A Grupo B<br />P1 = 0,45 P2 = 0,38<br />n1 = 25 n2 = 18<br />a1 = 10 a2 = 8<br />Q1 = 0,55 Q2 = 0,62<br />p1 = 0,4 p2 = 0,44<br />P( p1 – p2 < 0,05) = p1 – p2 n(0,07 ; 0,023)<br />P Z < -0,04-0,070,152 = P( Z < -0,72) = 0,23576<br /> 6. ESTIMACION DE LA MEDIA POBLACIONAL<br />Ejemplo:1<br />Una muestra aleatoria de 60 personas tiene una media de 235mg/dl de colesterol. Suponiendo que la desviación típica de 28.halle el intervalo de confianza por la media poblacional a nivel de confianza de 99%.<br />24441155080DATOS:<br />n=60<br />X=235<br />σ =28<br />∫%=99%<br />0.995<br />2.58<br />Z(z)=0.995=2.58<br />P(X - Zα/2*σ√n ≤Û≤X+ Zα/2* σ√n )<br />P(235-2.5828√60≤ Û≤235+2.58*28√60)<br />P(225.67≤ Û≤241.19)=0.99<br />INTERPRETACION:<br />El nivel de colesterol de un grupo de personas tiene un intervalo de 225.67 y 241.19 en un nivel de confianza de 99%.<br />b) Se tiene que el porcentaje de vitamina b en grageas es el siguiente:<br />3% 3.3% 1.2%1.9%1.5% 2.3%<br />n=6<br />X=2.2<br />S2 =0.69<br />S=0.83<br />∫%=95%<br />0.0250.0250.95<br />P(t<tn-1)=0.975=2.571<br />P(X - t*s√n ≤Û≤X+ t* s√n )<br />P(2.2-2.571*0.83√6≤ Û ≤2.2+2.5710.83√6)<br />P(1.33≤ Û ≤3.07)<br />INTERPRETACION:<br />El porcentaje de vitamina b en grageas es de 1.33 y 3.07 por el niver de confianza de 95%<br />c) Tiene una muestra aleatoria de tamaño de 40 fármacos sabiendo que la media muestral es de 70 y una varianza poblacional de 9.halle el intervalo de confianza de u al 95% de confianza.<br />n=40<br />X=70<br />σ2 =9<br />∫%=95%<br />0.95<br />0.0250.025<br />P(X - Zα/2*σ√n ≤Û≤X+ Zα/2* σ√n )<br />P(70-11.96*3√40≤ Û ≤70+1.963√40)<br />P(69≤u≤70.93)=0.95<br />INTERPRETACION:<br />El numero medio de tamaño de fármacos esta alrededor de 69 y 70.93 para el nivel de confianza de 9%<br />7. ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES<br />Estimación Puntual: <br />μ1 - μ2 = x1– x2<br />Estimación Interválica:<br /> <br />2.1 Cuando σ21 , σ22 son conocidos y, n2 ≥ 30 <br />P (x1– x2) – Zα/2 σ21n1+ σ22n2 < μ1 - μ2+ Zα/2 σ21n1+ σ22n2 = 1-α<br /> Ejemplo 01.<br />Una muestra de 150 bombillos de la marca A mostró un tiempo de vida media de 1, 400 horas y una desviación estándar de 120 horas. Una muestra de 200 bombillos de la marca B mostró un tiempo de vida media de 1, 200 horas y una desviación estándar de 80 horas. Encontrar los límites de confianza de 95%, para la diferencia de los tiempos de vida media de las poblaciones de la marca A y B. Para un nivel de confianza de 95%.<br />Solución: <br />Marca AMarca Bn1 = 150 bombillosx1 = 1.400 horasδ1= 120 horasn1 = 200 bombillosx1 = 1.200 horasδ1= 80 horas<br />α = 0.05<br />0.250.025 0.95α/2α/2Z=-1.96Z=1.96..96666<br /> μA - μB=P (1.400 –1.200) ± 1.96 1202150+ 802200 = 200 ± 1,96 * 11,31 = 200 ± 22,16<br />177,8 < μA - μB < 222,16<br />Interpretación: <br />La diferencia de los tiempos de vida media de las poblaciones de la marca A y B oscila entre 177,8 y 222,16 para un nivel de confianza de 95%.<br />Ejemplo 02.<br />Los cinescopios para televisión del fabricante A tienen una duración media de 6.5 años y una desviación estándar de 0.9 años mientras que los fabricantes B tienen una duración media de 6.0 años y una desviación estándar de 0.8 años ¿Cuál es la diferencia de medias de años de duración entre la muestra aleatoria de 36 cinescopios del fabricante A y la muestra de 49 cinescopios del fabricante B para un nivel de confianza de 99%?<br />Solución: <br />Población 1Población 2n1 = 36x1= 6.5δ1= 0.9n1 = 49x1= 6.0δ1= 0.8<br />α = 0.05<br />Z<br />μA - μB=P (6.5 – 6.0) ± 1.96 0.9236+ 0.8249 = 0.5 ± 1,96 * 0.189 = 0.5 ± 0.37<br />0,13 < μA - μB < 1.87<br />Interpretación: <br />La diferencia de medias entre la muestra aleatoria de 36 cinescopios del fabricante A y la muestra de 49 cinescopios del fabricante B oscila entre 0.13 y 1.87 para un nivel de confianza de 95%.<br />Ejemplo 03.<br />El banco del Estado de Río desea estimar la diferencia entre las medias de los saldos de las tarjetas de crédito de dos de sus sucursales. Una muestra independiente de tarjetahabientes generaron los resultados que aparecen en la siguiente tabla. Determine un intervalo de confianza de 99% para la diferencia entre las medias de los saldos.<br />Sucursal 1Sucursal 2n1 = 32x1 = $ 500δ1= $ 150n1 = 36x1 = $ 375δ1= $ 130<br />0.050.05 0.90α/2α/2z=-1.65z1.65α = 0.10<br /> μA - μB=P (500 –375) ± 1.65 150232+ 130236 = 125 ± 1,65 * 34.24 = 125 ± 56.5<br />68.5 < μA - μB < 181.5<br />Interpretación: <br />El intervalo de confianza de 99% para la diferencia entre las medias de los saldos oscila entre 68.5 y 181.5.<br />8.ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA POBLACIONAL<br />Estimación Puntual: <br />σ2= δ2<br />Estimación Interválica:<br /> <br />2.1 Cuando σ21 , σ22 son conocidos y, n2 ≥ 30 <br />P (n-1)δ2x2(n-1,1-α2) < σ2 < - (n-1)δ2x2(n-1,1-α2)= 1-α<br /> Ejemplo 01.<br />Una muestra aleatoria de 15 tabletas para el dolor de estómago tiene una desviación típica de 0.8% en la concentración del ingrediente activo. Hállese un intervalo de confianza del 90% para la varianza y para la desviación poblacional.<br />Solución: <br /> n = 15 δ = 0.8<br />α = 0.10<br />0.050.05 0.90α/2α/2-Z = -1.65Z = 1.65<br />Px214<a= 0.05a = 23.68Px214<b= 0.95b = 6.57<br />P (15-1)0.8223,68 < σ2 < - (15-1)0.826.57= 1-α0.379 < σ2 < 1.364<br />Interpretación: <br />Con una confianza de 90%, la varianza poblacional de la concentración del ingreso activo está entre 0.378 y 1,364 (% al cuadrado) <br />Ejemplo 02.<br />Un fabricante de detergente líquido está interesado en la uniformidad de la máquina utilizada para llenar las botellas. De manera específica, es deseable que la desviación estándar del proceso de llenado sea menor que 0.5 onzas de líquido. De otro modo, existiría un porcentaje mayor del deseable de botellas con un contenido menor de detergente. Supóngase que la distribución del volumen de llenado es aproximadamente normal. Al tomar una muestra aleatoria de 20 botellas, se obtiene una varianza muestral de 0.00153 (onzas de fluido)2. Calcule un intervalo de confianza del 90% para la desviación estándar. <br />n = 20δ2= 0.00153<br />- α = 0.10<br />0.050.05 0.90α/2α/2-Z = -1.65Z = 1.65<br />Px219<a= 0.05a = 23.68Px219<b= 0.95b = 10.117<br />P (21-1)0.00153 23,68 < σ2 < - (21-1)0.00153 10.117= 1-α0.0123 < σ2 < 0,0289<br />Así, un intervalo de confianza de 90% para la desviación típica poblacional es: <br />0.1109 < σ < 0,17<br />Interpretación: <br />Debido a que σ < 0.17, con una confianza del 95%, podemos decir que los datos no apoyan la afirmación de que la desviación estándar del proceso es menor que 0.5 onzas de líquido<br />9. ESTIMACION DE LA DIFERENCIA DEBMEDIAS POBLACIONALES CON t DE STUDENT <br />Ejemplo: 1<br /> En el departamento de control de calidad de un laboratorio, se quiere determinar si ha habido un descenso significativo de la calidad de un fármaco entre las producciones de dos semanas consecutivas a consecuencia de un incidente ocurrido durante el fin de semana. Deciden tomar una muestra de la producción de cada semana, si la calidad de cada fármaco se mide en una escala de 100, obtienen los resultados siguientes:<br />Semana 19386909094919296Semana 2 9387979088878493<br />Suponiendo que las varianzas de la puntuación en las dos producciones son iguales,<br />construye un intervalo de confianza para la diferencia de medias al nivel de 95% de confianza.<br />SOLUCIÓN:<br />PRIMERA SEMANA SEGUNDA SEMANA<br /> x1 : 91.5 x2 : 89.9 <br />n1 : 8 n2 : 8 <br />S1 2 : 90.1 S22 : 17.8<br /> <br /> <br /> Sc = 2 n1-1S12+(n2-1) S22n1+ n2 -2 <br /> <br /> Sc = 2 8-190.1+8-188+ 8 -2 = 13.4 <br /> <br /> <br />P((x1-x2) - tn1+ n2 -2;t∝/2Sc 1n1+1n2 < µ1-µ2 < P(x1-x2) + tn1+ n2 -2;t∝/2Sc 1n1+1n2 )= 0,95<br />t14 ;0,975=2.145<br />P((1.6) -2.145x13.4 18+18 < µ1-µ2 < (1.6) +2.145x13.4 18+18 ) = 0,95<br />(-2.31< µ1-µ2 < 5.56) = 0,95<br />En consecuencia no podemos afirmar que ha habido un descenso significativo de la calidad entre las dos semanas.<br />Ejemplo: 2<br /> Se lleva a cabo un pequeño estudio para investigar la capacidad de los monocitos para matar ciertas células selladas a pacientes de cáncer.<br />Para lo cual se toma muestras de sangre de 15 pacientes con cáncer y 13controles, se obtienen los siguientes resultados:<br />PACIENTES CON CANCER PACIENTES EN CONTROL <br /> x1 : 15,04 x2 : 13.56<br />n1 : 15 n2 : 13 <br />S1 2 : 8.02 S22 : 6.72<br />S1 : 2,83 S2 : 2,59<br />a) Construya el intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales para el 95% de confianza.<br /> Sc = 2 n1-1S12+(n2-1) S22n1+ n2 -2 <br /> Sc = 2 15-18,02+13-16,7215+13 -2 = 7,42<br /> <br /> SC = 2,72<br /> P((x1-x2)- tn1+ n2 -2;tα2 Sc 1n1+1n2 < µ1-µ2 < P(x1-x2)+ tn1+ n2 -2;tα2 Sc 1n1+1n2)= 0,95<br /> t26 ;0,975= 2.056<br /> <br />P((15,05 -13,56) – 2,056x2,72 x 115+113 < µ1-µ2 < (15,05 -13,56) + 2,056x2,72 x 160+140) = 0,95<br />(-0,56< µ1-µ2 < 3,61) = 0,95<br />Ejemplo: 3<br /> Para estudiar la efectividad de un medicamento contra la diabetes se mide la cantidad de glucemia en sangre antes y después de la administración de dicho medicamento, obteniéndose los resultados siguientes:<br />Antes7.27.36.54.23.15.35.6Después5.25.45.34.74.15.44.9<br /> <br />Estimar la reducción producida por el medicamento para una confianza de 90% .<br />ANTES DESPUES <br /> <br />x1 : 5,6 x2 : 5<br />n1 : 7 n2 : 7 <br />S1 2 : 2,43 S22 : -4,635<br />S1 : 1,56 S2: -2,15<br /> Sc = 2 n1-1S12+(n2-1) S22n1+ n2 -2 <br /> Sc = 2 7-12,43+7-1(4,635)7+7 -2 = 1,1025<br /> <br /> SC = 1.05<br />P((x1-x2)- tn1+ n2 -2;tα2 Sc 1n1+1n2 < µ1-µ2 < P(x1-x2)+ tn1+ n2 -2;tα2 Sc 1n1+1n2)= 0,95<br /> t12 ;0,95= 1,782<br /> <br />P((5,6 -5) – 1,782x1,05 x 17+17 < µ1-µ2 < (5,6 -5) + 1,782x1,05 x 17+17) = 0,95<br />(-0,401< µ1-µ2 < 1,601) = 0,95<br />10. ESTIMACION DE DIFERENCIA DE PROPORCIONES<br />Ejemplo: 1<br />En un estudio del uso de cortico esteroides para el tratamiento del asma se tiene que 40 pacientes tratados con este medicamento por sufrir con esta enfermedad, solo 2 sufrieron opresiones, mientras que 42 pacientes que sufren de asma recibieron otro medicamento y 12 pacientes sufrieron opresión.<br />a) Halle el intervalo de diferencia de proporciones para el 95% de confianza,<br /> suponga δ12 ≠ δ22<br />P((p1-p2) - Z∝2P1 .Q1n1+P2 .Q2n2 < P1-P2 < P((P1-P2) + Z∝2P1 .Q1n1+P2 .Q2n2) =1- α<br />P1-P2= p1-p2 α= 0,95 a1= 2 a2=12<br />p1=a1n1 ; p2=a2n2 q1= 1 - p1 ; q2= 1 - p2 n1=40 n2=42<br /> P (Z≤z) = 0,975<br /> Z = 1,96<br />p1=240 = 0,05 q1= 1 – 0,05 = 0,95<br /> q2= 1 – 0,29 = 0,71<br />p2=1242 = 0,29<br />P((p1-p2) - Z∝2P1 .Q1n1+P2 .Q2n2 < P1-P2 < P((P1-P2) + Z∝2P1 .Q1n1+P2 .Q2n2) =1- α<br />P((0,05-0,29) – 1,96(0,05.)(0,95)40+(0,29)(0,71)42 < P1-P2 < P((P1-P2) +(0,05-0,29) + 1,96(0,05.)(0,95)40+(0,29)(0,71)42) =0,95<br />-0,036< P1-P2 <0,19<br />Ejemplo: 2<br />Se considera cierto cambio en la elaboración de ciertos fármacos. Se toman muestras del medicamento existente y del nuevo para determinar si este tiene como resultado una mejoría. Se encuentra que 75 de 1500 fármacos de la elaboración actual son defectuosos y 80 de 2000 fármacos de la elaboración también lo son.<br /> a) Halle el intervalo de diferencia de proporciones para el 90% de confianza<br />P((p1-p2) - Z∝2P1 .Q1n1+P2 .Q2n2 < P1-P2 < P((P1-P2) + Z∝2P1 .Q1n1+P2 .Q2n2) =1- α<br />P1-P2= p1-p2 α= 0,90 a1= 75 a2=80<br />p1=a1n1 ; p2=a2n2 q1= 1 - p1 ; q2= 1 - p2 n1=1500 n2=2000<br /> P (Z≤z) = 0,95<br /> Z = 0,82894<br />p1=751500 = 0,005 q1= 1 – 0,005 = 0,995<br /> q2= 1 – 0,04 = 0,96<br />p2=802000 = 0,04<br />P((p1-p2) - Z∝2P1 .Q1n1+P2 .Q2n2 < P1-P2 < P((P1-P2) + Z∝2P1 .Q1n1+P2 .Q2n2) =1- α<br />P((0,005-0,04) - 0,83(0,005.)(0,995)1500+(0,04)(0,96)2000< P1-P2 < (0,005-0,04) + 0,83(0,005.)(0,995)1500+(0,04)(0,96)2000) =0,90<br />-0,0397< P1-P2 < -0,0303<br />Ejemplo: 3<br />Se observa que en el Hospital Belén de Trujillo de 200 recién nacidos 150 son hombres y en el Hospital Regional de 150 nacidos solo 50 son hombres. Calcular un intervalo de diferencia de proporciones con una confianza de 95%.<br />P((p1-p2) - Z∝2P1 .Q1n1+P2 .Q2n2 < P1-P2 < P((P1-P2) + Z∝2P1 .Q1n1+P2 .Q2n2) =1- α<br />P1-P2= p1-p2 α= 0,95 a1= 150 a2=50<br />p1=a1n1 ; p2=a2n2 q1= 1 - p1 ; q2= 1 - p2 n1=200 n2=150<br /> P (Z≤z) = 0,975<br /> Z = 1,96<br />p1=150200 = 0,75 q1= 1 – 0,75 = 0,25<br /> q2= 1 – 0,33 = 0,67<br />p2=50150 = 0,33<br />P((p1-p2) - Z∝2P1 .Q1n1+P2 .Q2n2 < P1-P2 < P((P1-P2) + Z∝2P1 .Q1n1+P2 .Q2n2) =1- α<br />P((0,75-0,33) – 1,96(0,75.)(0,25)200+(0,33)(0,67)150< P1-P2 < (0,75-0,33) + 1,96(0,75.)(0,25)200+(0,33)(0,67)150 ) =0,90<br /> 0,231< P1-P2 < 0,609<br />11. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL<br />Ejemplo: 1<br />Estamos estudiando el efecto del estrés sobre la presión arterial. Nuestra hipótesis es que la presión sistólica media en varones jóvenes estresados es mayor que 18 cm de Hg Estudiamos una muestra de 36 sujetos. Puede concluirse que el efecto del estrés es mayor de 18 cm de Hg Un nivel de signifacion de 5%. La media poblacional es de 18.5 y su desviación estándar es 3.6.<br />Solución:<br />Datos: <br />X = 18.5 <br />S = 3.6<br />n = 36<br />H0 : =18<br />H1: >18 <br /> <br /><br /> z= x-uσn <br /> <br /> <br /> Valor experimental:<br />z= 18.5-183.636 =0.833<br />Puntos críticos:<br />RA/H0z = 1.69 RR/H0H0.950.05 P (Z>z)=1-P (Z<z)= 0.95 z= 1.69<br />Decisión :<br />Como z0 RA/H0 se rechaza H1 y se acepta H0<br />Conlcusion:<br />Existe evidencia suficiente para decir que no hay efecto de estrés a mayor de 18,5 Hg de presión arterial en un nivel de significación de 5%.<br />Ejemplo: 2<br />Suponga una variable aleatoria X para designar el peso de una gragea, que se interesa en conocer el peso promedio de todas las grageas en un frasco. Como hay limitaciones de tiempo y dinero para pesarlos a todos, se toma una muestra de 36 grageas de la cual se obtiene una media muestral x= 160 g. Suponga además que la distribución de los pasajeros tenga una distribución normal con desviación estándar de 30, con un nivel de significancia de 0,05. Se puede concluir que el peso promedio de todos las grageas es menor que 170mg?<br />Solución: <br />Datos: <br /> = 160<br />n = 36<br /> = 30<br />0.05<br /> H0 : =170<br />H1: <170<br /> 0.05<br />z= x-uσn <br />4.Valor experimental :<br /> <br />z= 160-1703036 <br />z= -2<br />Puntos críticos <br />RA/HoRR/Ho1.651.650.950.05<br />Decisión :<br />Como z0 RR/H0 se rechaza H0 y se acepta H1<br />Conclusion:<br />Hay evidencia suficiente para decir que el promedio de peso es igual a 170 mg con una evidencia del 5 %.<br />Ejemplo: 3<br />. Cuando un proceso de producción fármacos correctamente produce grageas para la gripe con un peso promedio de 200 mg. Una muestra aleatoria de una remesa presentó los siguientes pesos: 214; 197; 197; 206; 208; 201; 197; 203; 209. Asumiendo que la distribución de los datos es normal, pruebe con un nivel de confianza del 5% si el proceso está funcionando correctamente.<br />Solución:<br /> Datos:<br />n = 9<br />0.05<br />x=209+203+197+ 201+208+ 206+ 197+ 197+ 214 9<br />x=18329= 203.56<br />2 = (373214 - 183229 )/ 8 = 37.53<br />= 6.13<br />1. H0: =200<br /> H1: ≠200<br /> 0.05<br /> <br />Valor experimental:<br />t= 203.56-2006.139=1.75 <br />Punto críticos :<br />0.0250.0250.95<br />2.306-2.306RR/HoRR/Ho<br />P(t8 < t ) = 0.975<br />t 0 = 2.306 <br />Decisión :<br />Como t 0 RA/H0 se rechaza H1y se acepta H0<br />Conclusión:<br /> <br />Hay evidencia suficiente para decir que no hay diferencia significativa entre el promedio de peso de grageas contra la gripe con una evidencia del 5 % de confianza.<br />12. PRUEBA DE HIPOTESIS DE DIFERENCIAS DE MEDIAS POBLACIONALES<br />Ejemplo: 1 Dos procesos de producción se utilizan para producir tubos de ensayo. Con un nivel de confianza de 0.01. Pruebe la hipótesis de que hay diferencia en las longitudes promedio de los tubos producidos por estos dos métodos?<br /> Los datos son los siguientes (las unidades de medición son en pulgadas): <br />Proceso 1Proceso 2= 100= 100= 27.3= 30.1 = 10.3 = 5.2<br /> <br />Solución:<br /> 1. H0: 1-2 =0<br /> H1: 1-2≠0<br /> 0.01<br />z= X1-X2-(1-2)12n1+22n2 <br />Valor experimental:<br /> <br />z0= 27.3-30.1-(0)10.32100+5.22100 <br />Z0 = -1.44<br />Punto crítico:<br />0.0050.0050.99<br />RA/H0RR/HoRR/Ho<br />Z=2.58Z= -2.58<br />P( Z<z)= 0.995<br />Z= 2.58<br />Decisión: <br />Como Z0 RA/H0 , se rechaza H1 y se acepta H0<br />Conclusión:<br />Existe evidencia suficiente para afirmar que no existe diferencia significativa entre en las longitudes promedios de los tubos de ensayo de los dos procesos para el nivel de significancia de 1%.<br />Ejemplo: 2<br /> En el departamento de control de calidad de un laboratorio químico, se quiere determinar si ha habido un descenso significativo de la calidad de su producto entre las producciones de dos semanas consecutivas a consecuencia de un incidente ocurrido durante el fin de semana. Deciden tomar una muestra de la producción de cada semana, si la calidad de cada artículo se mide en una escala de 100, obtienen los resultados siguientes:<br />Semana 19386909094919296Semana 29387979088878493<br />Suponiendo que las varianzas de la puntuación en las dos producciones son casi iguales, con nivel de significación de 1%. Interpreta los resultados obtenidos.<br />Solución:<br />Datos:<br />n1_= 8n2 = 8<br />X1 = 732/8 X2 = 719/8<br /> =91.5 = 89.9<br />1= 290.1 22=90<br /> 1 H0: 1-2 =0<br /> H1: 1-2≠0<br />0.01 <br /> 3. <br />t= X1-X2-(1-2)Sp( 1n1+1n2)<br /> <br />Sp2= n1-1.σ2+ n2-1.σ2n1+ n2- 2<br />4. Valor experimental: <br /> <br />Sp2= 8-1.90.12+ 8-1.9028+ 8- 2=8109.005<br /> SP = 90.05<br />t= 91.5-89.9-(0)90.05( 18+18)=0.34<br />5. Punto crítico :<br />0.0050.0050.99<br />RA/H0RR/HoRR/Ho<br />t= 2.921t= -2.921<br />P( t 14< t) = 0.995<br /> t = 2.921<br />6. Decisión:<br />Como t0 RA/H0, se rechaza H1 y se acepta H0<br />Conclusión: <br />Existe evidencia suficiente para afirmar que no existe diferencia significativa entre la calidad de su producto entre las producciones de dos semanas consecutivas a consecuencia de un incidente ocurrido durante el fin de semana para el nivel de significancia de 1%.<br />3. Los químicos farmacéuticos están interesados en la cantidad promedio de carbamazepina en la sangre. Un equipo de vigilancia observa dos grupos de estos pacientes , la información en mg del grupo 1 fue: 176-289-181-226-265-174-260-260-325-145-207-245-228-144, y de la grupo 2 fue: 129-212-213-191-157-143-136-148-138-167. Con un nivel de significación de 8 % suponga que las desviaciones poblacionales son iguales a 46.51.<br />Solución: <br />n1_= 14n2 = 10<br />X1 = 3125/14 X2 = 1634/10<br /> =223.21 = 163.4<br />Sp = 46.51<br /> 1 H0: 1-2 =0<br /> H1: 1-2≠0<br />0.08<br />3.<br />t= X1-X2-(1-2)Sp2( 1n1+1n2)<br />4. Valor experimental: <br />t= 223.21-163.4-(0)2163.1801( 114+110)=3.11<br />5. Punto critico:<br />0.040.040.92<br />RA/H0RR/HoRR/Ho<br />t= 1.717t= -1.717<br />P( t 22< t) = 0.96<br /> t = 1.717<br />6. Decisión: <br />Como t0 RR/H0 , se rechaza H0 y se acepta H1<br />Conclusión: <br />Existe evidencia suficiente para afirmar que existe diferencia significativa entre la cantidad promedio de carbamazepina en la sangre calidad de su producto entre los dos grupos de pacientes nivel de significancia de 8%.<br />13. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNA PROPORCION<br />EJERCICIO 1 <br />El expendio Pollos Deliciosos asegura que 90% de sus órdenes se entregan en menos de 10 minutos. En una muestra de 100 órdenes, 82 se entregaron dentro de ese lapso. Puede concluirse en el nivel de significancia 0,01, que menos de 90% de las órdenes se entregan en menos de 10 minutos?<br />Solución<br />n=100 a=82<br />p=0.82 P=0.90<br />1. H0=P≥0.90 2.α=0.01<br />H1=P<0.90<br />3. Z=p-P0P.Qn 4.z=0.82-0.900.90(1-0.90)100=-2.66<br />5. Puntos críticos.<br />1295402540<br />0.99<br />0.01RA/H0<br />RR/H0<br />-2.32=-z<br />6. Decision.Como z0ԐRR/H0 se rechaza H0 y se acepta H1<br />7. Conclusion.existe evidencia suficiente para afirmar que no existe diferencia significativa en la entrega de órdenes que se entregan en menos de 10minutos para el valor de significanciadel1%.<br />Ejemplo: 2<br />Un artículo reciente, publicado en el diario USA today, indica que solo a uno de cada tres egresados de una universidad les espera un puesto de trabajo. En una investigación a 200 egresados recientes de su universidad, se encontró que 80 tenían un puesto de trabajo. Puede concluirse en el nivel de significancia 0,02, que en su universidad la proporción de estudiantes que tienen trabajo es mayor?<br />Solución:<br />n=200p=0.40<br />P=0.33a=80<br />1. H0:P≤0.332 .α =0.02<br />H1: P>0.33<br />3. z=p-P0P.Qn 4. Z=0.40-0.330.33(1-0.33)200=2.12<br />5. Puntos críticos<br />20250154445<br />0.98<br />0.02<br />RA/H0RR/H0<br />6. Decision: Como z0Ԑ RR/H0 se rechaza H0 y se acepta H1<br />7. Conclusion: Existe evidencia suficiente para afirmar que no existe diferencia significativa para la proporción de estudiantes que tienen trabajo con un nivel de significancia de 2%<br />14. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES<br />Ejemplo1.<br />. Una muestra de 87 mujeres trabajadoras profesionales<br />mostró que la cantidad promedio que pagan a un fondo de pensión<br />privado el 5% de su sueldo. Una muestra de 76 hombres trabajadores<br />profesionales muestra que la cantidad que paga a un fondo de pensión<br />privado es el 6.1% de su sueldo. Un grupo activista de mujeres desea<br />demostrar que las mujeres no pagan tanto como los hombres en fondos<br />de pensión privados. Si se usa alfa = 0.01 ¿Se confirma lo que el grupo<br />activista de mujeres desea demostrar o no?<br />Solución:<br /> n1=87 n2=76<br /> <br /> a1=0.05 a2=0.061<br /> p=870.05+76(0.061)87+76=0.0551288<br /> q=0.9448712<br /> 1.:H0=P1-P2=0.05<br /> H1=P1-P2>0.05<br /> 2: α=0.01<br /> 3: Z=p1-p2-(P1-P2)p.q(1n1+1n2) 4:z=0.05-0.061-0(0.055129X0.94487187+(176)<br /> <br /> Z=-0.30697<br />18249901250955.Puntos críticos:<br />0.99<br />RA/H0<br />0.01<br />RR/H0<br /> Z=-2.32<br /> <br />6. Decisión: Como Z0Ԑ RA/H0 se acepta la H0 y rechazamnosH1.<br />7: Conclusion: Existe evidencia suficiente para afirmar que no existe diferencia significativa en el grupo activista de mujeres para el nivel de significancia del 1%.<br />Ejemplo2<br />Se seleccionó una muestra aleatoria de 100 hombres y 100 mujeres de un departamento de Colombia; se halló que de los hombres 60 estaban a favor de una ley de divorcio y de las mujeres 55 estaban a favor de dicha ley. Con base en ésta información, pruebe que la proporción de hombres que favorece ésta ley es mayor que la proporción de mujeres. asume un nivel de confianza del 99 por ciento.<br />Solución<br /> <br /> n1= 100 n2=100<br /> p=990.6+99(0.55)200=0.56925<br />a1=60 a2=55<br /> p1=0.6 p2=0.55 <br /> <br /> q=0.43075 <br />1. H0=P1-P2=100 2.α=0.99<br /> H1=P1-P2>100<br />1729740359410 3. Z=p1-p2-(P1-P2)p.q(1n1+1n2) 4. Z=0.6-0.55-1000.569250.43075(1100+1100)=2.33<br /> 5.Puntos críticos:<br />0.99<br />0.01<br />RA/H0RR/H0<br />Z=2.33<br /> 6. Discusion:<br />Como z0Ԑ RR/H0 se rechaza H0 y se acepta H1.<br />7. Conclusion: existe evidencia suficiente para afirmar que si existe diferencia significativa en la proporción de hombres y mujeres que favorecen esta ley con un nivel de significancia 99%.<br />