S03

Sesión 3
Distribuciones Discretas, Continuas y
Muestreo
Fundamentos Estadísticos
para Finanzas
FZ4013
Dr. Jorge Ramírez Medina

Agenda del día de hoy
• Acerca de este curso
• Todo es saber contar
• La distribución normal
• Estandarización
• Dos teoremas importantes
• Muestreo
EGADE Business School

Acerca de este curso
Tomadop de; The Cartoon guide to Statistics. Larry Gonick and Woollcott Smith

Acerca de este curso
NASDAQReturn=FinancialData["^IXIC","FractionalChange",{{1995},{2000},"Month"}][[All,
2]];
AAPLReturn= FinancialData["AAPL","FractionalChange",{{1995},{2000},"Month"}][[All,2]];
CoeficienteVariacion[data_]:=StandardDeviation[data]/Mean[data]
{CoeficienteVariacion[NASDAQReturn],CoeficienteVariacion[AAPLReturn]};
PairedHistogram[Style[NASDAQReturn,Orange],Style[AAPLReturn,Red],Automatic,"Coun
t",ChartElementFunction-> "FadingRectangle",LabelingFunction->Right,ChartLabels->
Placed[Style[#,12,FontFamily-> "Verdana"]&/@{"NASDAQ Return","AAPL
Return"},Above],BarSpacing->None, ImageSize->Large];

Todo es saber contar
• Una empresa tendrá Perdidas (P) o ganancias (G) en la
Bolsa dependiendo de la condiciones de mercado en los
próximos tres años.
• El espacio muestral es

Todo es saber contar
Combinaciones
Binomial[3,2];
Permutaciones
Permutations[{a,b,c},{2}];
Length[Permutations[Range[3],{2}]];

Propiedades de los
experimentos Binomiales
1- El experimento consiste en n intentos (pasos) idénticos.
2- Cada intento tiene solamente dos resultados posibles: "éxito" o
"fracaso".
3- Nuestro interés es el número de éxitos que ocurren en los n intentos.
4- Tomamos x como el número de éxitos que ocurren en los n intentos.
5- Las probabilidad de éxito, denotada por p, no cambia de un intento a
otro.
6- Los intentos son independientes

Dr Jorge Ramírez Medina
Nuestro interés es el número de éxitos
que ocurren en los n intentos.
Tomamos x como el número de éxitos
que ocurren en los n intentos.
Distribución Binomial

donde:
f(x) = La probabilidad de x éxitos en n intentos
n = el número de intentos
p = la probabilidad de éxito de cualquier intento
Función de probabilidad binomial
)(
)1(
)!(!
!
)( xnx
pp
xnx
n
xf 




El valor esperado;
La varianza;
La desviación estándar, s =
Var(x) = s 2 = np(1-p)
E(x) =  = np
)1( pnp 

Una empresa tendrá Perdidas (P) o ganancias (G) en
la Bolsa dependiendo de la condiciones de mercado
en los próximos tres años. Si el mercado es
favorable tendrá una ganancia de 80 MDD y hay una
probabilidad de 10% de que esto pase. Si el mercado
esta a la baja tendrá una pérdida de 20 MDD con
una probabilidad de 90%. ¿Cuál es la probabilidad
de que la empresa tenga ganancias en la Bolsa en
sólo un año?.

Diagrama de árbol
1st Year 2nd Year 3rd Yeard x Prob.
Gain
(.1)
Loss
(.9)
3
2
0
2
2
Gain (.1)
Gain(.1)
L (.9)
Loss(.9)
Loss (.9)
L (.9)
L (.9)
L (.9)
G (.1)
G (.1)
G (.1)
G (.1) .0010
.0090
.0090
.7290
.0090
1
1
.0810
.0810
.0810
1

Utilizando la función de probabilidad Binomial
tome: p = .10, n = 3, x = 1
)(
)1(
)!(!
!
)( xnx
pp
xnx
n
xf 



243.0)81)(.1(.3)1.01(1.0
)!13(!1
!3
)1( )13(1


 
f

utilizando Tablas de Probabilidad Binomial
n x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50
3 0 .8574 .7290 .6141 .2430 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .1250
1 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .3750
2 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .3750
3 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250
p
X P(X)
0 0.729
1 0.243
2 0.027
3 0.001

E(x) = np = 3(.1) = .3 empleados de 3
Var(x) = s 2 = 3(.1)(.9) = .27
empleados52.)9)(.1(.3 s

Binomial usando Mathematica

Resolución en Mathematica
Para el ejemplo de la clase tomamos p=.1, n=3, x=1
PDF[BinomialDistribution[n,p],x];
Mean[BinomialDistribution[n,p]];
StandardDeviation[BinomialDistribution[n,p]];
Función de densidad de probabilidad
Manipulate[PDF[BinomialDistribution[3,.1],X],{X,{0,1,2,3}}];
Función acumulada
Manipulate[CDF[BinomialDistribution[3,.1],X],{X,{0,1,2,3}}];

Una variable aleatoria con una distribución Poisson
es útil para estimar el número de ocurrencias sobre
un intervalo especificado de tiempo o espacio.
Es una variable aleatoria discreta que puede tomar
una secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).
Distribución Poisson

Ejemplo de variables aleatorias con
distribución Poisson
La cantidad de fugas en 10 km. de un
gaseoducto
Los automóviles que pasan por
una caseta en una hora

Propiedades de los experimentos Poisson
La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier
intervalo es independiente de la ocurrencia o
no-occurrencia en cualquier otro intervalo.
La probabilidad de una ocurrencia es la misma
para dos intervalos cualesquiera de igual longitud

Función de probabilidad
Poisson
en donde:
f(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervalo
µ= media de ocurrencias en un intervalo
e = 2.71828
!
)(
x
e
xf
x 
 


Una propiedad de la distribución Poisson es que
La media y la varianza son iguales.
 = s 2

Una propiedad de la distribución exponencial es
que la media, , y la desviación estándar, s, son iguales
s = 
Distribución de probabilidad
exponencial

• Ejemplo:
Una sucursal bancaria recibe en
promedio tres cheques sin fondos al
día. Calcule la probabilidad de que
en un día cualquiera
a) el Banco reciba al menos un cheque
sin fondos
b) el Banco reciba exactamente tres
cheques sin fondos

Utilizando la Función de Probabilidad Poisson
MERCY
 = 3, x = 4
1680.0
!4
)71828.2(3
)4(
34


f

Poisson utilizando Mathematica

La distribución Poisson
da una descripción apropiada
del número de ocurrencias
por intervalo
La distribución exponencial
da una descripción apropiada
de la longitud del intervalo
entre las ocurrencias
Relación entre las distribuciones
exponencial y Poisson

s

x
Distribución Normal
𝑓(𝑥) =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−(𝑥−𝜇)2
2

s
Distribución Normal
𝑓(𝑥) =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−(𝑥−𝜇)2
2

Sesgo

Curtosis

Propiedades

Valores Z
Se interpreta como la cantidad de desviaciones
estándar que dista xi del promedio.
s
xx
z i
i



Z-scores
¿cómo
comparar
peras con
manzanas?

Un ejemplo
60 en estadística 60 en ética

Para entender; Grafiquémoslo
• Tipo de datos
– Numéricos
– Medidas de tendencia central (media)
– Medidas de variabilidad (desviación estándar)

Primera idea
Nada es verdad, nada es mentira
Todo es según el cristal en que se mira
(Popular)

Segunda idea
X X
z
SD



Tercera idea

Cuarta idea
Z = (Score - Mean)/SD
Z = (60 - 50) / 10
Z = 1
Z = (Score - Mean)/SD
Z = (84 - 50) / 10
Z = 3.4
Z = (60 - 70) / 10
Z = -1.0

Z-scores
• Z-score puede ser positivo o negativo
– Positivo es arriba de la media
– Negativo es abajo de la media
• La media de un Z-score es siempre cero
• Si se tiene el promedio, el Z-score =0
• La desviación estándar de una distribución Z =1

s  1
0
z
La letra z es utilizada para designar a la variable
normal aleatoria estandarizada.
Distribución de probabilidad Normal
estandarizada
s


x
z

Distribución de probabilidad Normal
estandarizada
Función de densidad normal estándar
donde:
z = (x – )/s
 = 3.14159
e = 2.71828
2
2
2
1
)(
z
exf


s

Normal estandarizada
Ejemplo: “El tuercas”
• Punto de reorden 20 litros
• La demanda durante el tiempo de resurtido
esta distribuida normalmente
• Media 15 lts, desv. est. 6 lts
El
tuercas
5w-20
Motor Oil

z = (x - )/s
= (20 - 15)/6
= .83
Paso 1: Convierta x a la distribución normal estándar
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil
Paso 2: encuentre el área bajo la curva normal
estandarizada a la izquierda de z = .83.

Tabla de probabilidad acumulada para la distribución
normal estandarizada
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
. . . . . . . . . . .
.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224
.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549
.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852
.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133
.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389
. . . . . . . . . . .
P(z < .83)
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil
http://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal.htm

P(z > .83) = 1 – P(z < .83)
= 1- .7967
= .2033
Step 3: Calcule el área bajo la curva normal estandar
a la derecha de z = .83.
Probabilidad de
faltantes P(x > 20)
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil

0 .83
Area = .7967
Area = 1 - .7967
= .2033
z
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil

Si se desea que la probabilidad de
faltantes no sea más de 0.05, cuál
deberá ser el punto de reorden?
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil

0
Area = .9500
Area = .0500
z
z.05
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil

Paso 1: encuentre el valor de z que corta un área de .05
en la cola derecha de la distribución normal
estándar.
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
. . . . . . . . . . .
1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441
1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545
1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633
1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706
1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767
. . . . . . . . . . .
Buscamos el complemento de
el área en la cola (1 - .05 =
.95)
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil

paso 2: Convierta z.05 al correspondiente valor de x.
x =  + z.05s
= 15 + 1.645(6)
= 24.87 o 25
Un punto de reorden de 25 litros llevará la probabilidad
de faltantes durante el reabasto (poco menos de) .05.
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil

Resolución en Mathematica

ITESM EGADE Zona Centro
Un uso de esto?
Teorema de Chebychev
Cuando menos (1 - 1/z2) de los elementos
en cualquier conjunto de datos debe estar
a menos de z desviaciones estándar
de separación respecto a la media,
siendo z cualquier valor mayor que 1.

Teorema de Chebyshev
Cuando menos (1 - 1/z2) de los elementos
en cualquier conjunto de datos debe estar
a menos de z desviaciones estándar
de separación respecto a la media,
siendo z cualquier valor mayor que 1.

Ejemplo
Tome z = 1.5 con = 490.80 and s = 54.74x
Al menos (1 - 1/(1.5)2) = 1 - 0.44 = 0.56 or 56%
de los valores deben estar entre
xx - z(s) = 490.80 - 1.5(54.74) = 409
y
x + z(s) = 490.80 + 1.5(54.74) = 573
(de hecho, 86% de los valores
están entre 409 y 573.)

Distribución de muestreo de la media
muestral
• Es la distribución de probabilidad de la población de
todas las posibles medias muestrales que pueden ser
obtenidas de todas las posibles muestras del mismo
tamaño.

Forma de distribución
muestral de x

Si se usa una muestra aleatoria simple grande
(n > 30) el teorema del límite central nos permite
concluir que la distribución de puede ser
aproximada como una distribución normal.
Cuando la muestra aleatoria simple es pequeña
(n < 30), la distribución de muestreo de puede ser
considerada normal sólo si asumimos que la
población tiene una distribución normal.
Forma de distribución
muestral de x
x
x

x
 – 3s  – 1s
 – 2s
 + 1s
 + 2s
 + 3s
68.26%
95.44%
99.72%
Regla Empírica

Valores atípicos
(outlier)

Asignación para
la siguiente sesión

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