S05

Sesión 5
Distribución muestral
de la media
Estadística en las organizaciones
AD4001
Dr. Jorge Ramírez Medina

Para la sesión de hoy
Problema de “El tuercas”
El
tuercas
5w-20
Motor Oil
Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School

Resolución de
problemas de tarea

s
Distribución Normal
𝑓(𝑥) =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−(𝑥−𝜇)2
2

Sesgo

Curtosis

Propiedades

Z-scores
¿cómo
comparar
peras con
manzanas?

Valores Z
Se interpreta como la cantidad de desviaciones
estándar que dista xi del promedio.
s
xx
z i
i



Un ejemplo
60 en estadística 60 en ética

Para entender;
Grafiquémoslo
• Tipo de datos
– Numéricos
– Medidas de tendencia central (media)
– Medidas de variabilidad (desviación estándar)

Primera idea
Nada es verdad, nada es mentira
Todo es según el cristal en que se mira
(Popular)

Segunda idea
X X
z
SD



Tercera idea

Cuarta idea
Z = (Score - Mean)/SD
Z = (60 - 50) / 10
Z = 1
Z = (Score - Mean)/SD
Z = (84 - 50) / 10
Z = 3.4
Z = (60 - 70) / 10
Z = -1.0

Z-scores
• Z-score puede ser positivo o negativo
– Positivo es arriba de la media
– Negativo es abajo de la media
• La media de un Z-score es siempre cero
• Si se tiene el promedio, el Z-score =0
• La desviación estándar de una distribución Z =1

425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
Para el ejemplo
de la sesión 1
= .865

Valores z
• z-Score del valor más pequeño (425)
-1.20 -1.11 -1.11 -1.02 -1.02 -1.02 -1.02 -1.02 -0.93 -0.93
-0.93 -0.93 -0.93 -0.84 -0.84 -0.84 -0.84 -0.84 -0.75 -0.75
-0.75 -0.75 -0.75 -0.75 -0.75 -0.56 -0.56 -0.56 -0.47 -0.47
-0.47 -0.38 -0.38 -0.34 -0.29 -0.29 -0.29 -0.20 -0.20 -0.20
-0.20 -0.11 -0.01 -0.01 -0.01 0.17 0.17 0.17 0.17 0.35
0.35 0.44 0.62 0.62 0.62 0.81 1.06 1.08 1.45 1.45
1.54 1.54 1.63 1.81 1.99 1.99 1.99 1.99 2.27 2.27
Valores estandarizados
20.1
73.54
8.490425





s
xx
z i
i

ITESM EGADE Zona Centro
Un uso de esto?
Teorema de Chebychev
Cuando menos (1 - 1/z2) de los elementos
en cualquier conjunto de datos debe estar
a menos de z desviaciones estándar
de separación respecto a la media,
siendo z cualquier valor mayor que 1.

Ejemplo
Tome z = 1.5 con = 490.80 and s = 54.74x
Al menos (1 - 1/(1.5)2) = 1 - 0.44 = 0.56 or 56%
de los valores deben estar entre
xx - z(s) = 490.80 - 1.5(54.74) = 409
y
x + z(s) = 490.80 + 1.5(54.74) = 573
(de hecho, 86% de los valores
están entre 409 y 573.)

x
m – 3s m – 1s
m – 2s
m + 1s
m + 2s
m + 3sm
68.26%
95.44%
99.72%
Regla Empírica

s  1
0
z
La letra z es utilizada para designar a la variable
normal aleatoria estandarizada.
Distribución de probabilidad
Normal estandarizada
s
m

x
z

Función de densidad normal estándar
donde:
z = (x – m)/s
 = 3.14159
e = 2.71828
2
2
2
1
)(
z
exf


s

Ejemplo: “El tuercas”
• Punto de reorden 20 litros
• La demanda durante el tiempo de resurtido esta
distribuida normalmente
• Media 15 lts, desv. est. 6 lts
El
tuercas
5w-20
Motor Oil

z = (x - m)/s
= (20 - 15)/6
= .83
Paso 1: Convierta x a la distribución normal estándar
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil
Paso 2: encuentre el área bajo la curva normal
estandarizada a la izquierda de z = .83.

Tabla de probabilidad acumulada para la distribución
normal estandarizada
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
. . . . . . . . . . .
.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224
.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549
.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852
.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133
.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389
. . . . . . . . . . .
P(z < .83)
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil
http://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal.htm

P(z > .83) = 1 – P(z < .83)
= 1- .7967
= .2033
Step 3: Calcule el área bajo la curva normal estandar
a la derecha de z = .83.
Probabilidad de
faltantes P(x > 20)
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil

0 .83
Area = .7967
Area = 1 - .7967
= .2033
z
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil

Si se desea que la probabilidad de faltantes
no sea más de 0.05, cuál deberá ser el
punto de reorden?
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil

0
Area = .9500
Area = .0500
z
z.05
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil

Paso 1: encuentre el valor de z que corta un área de .05
en la cola derecha de la distribución normal
estándar.
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
. . . . . . . . . . .
1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441
1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545
1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633
1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706
1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767
. . . . . . . . . . .
Buscamos el complemento de el
área en la cola (1 - .05 = .95) El
Tuercas
5w-20
Motor Oil

paso 2: Convierta z.05 al correspondiente valor de x.
x = m + z.05s
= 15 + 1.645(6)
= 24.87 o 25
Un punto de reorden de 25 litros llevará la probabilidad
de faltantes durante el reabasto (poco menos de) .05.
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil

Distribución de muestreo de
la media muestral
• Es la distribución de probabilidad de la
población de todas las posibles medias
muestrales que pueden ser obtenidas de
todas las posibles muestras del mismo
tamaño.

Forma de distribución
muestral de x

Si se usa una muestra aleatoria simple grande
(n > 30) el teorema del límite central nos permite
concluir que la distribución de puede ser
aproximada como una distribución normal.
Cuando la muestra aleatoria simple es pequeña
(n < 30), la distribución de muestreo de puede ser
considerada normal sólo si asumimos que la
población tiene una distribución normal.
Forma de distribución
muestral de x
x
x

Una estimación del intervalo se puede calcular
por sumar y restar un margen de error del estimador
puntual:
Estimador puntual +/- Margen de Error
Margen de Error y
estimación de intervalos
Por ejemplo la forma general de una estimación del
intervalo para una media poblacional es:
Margen de Error
x

Margen de Error y
estimación de intervalos

• Estimación de intervalo de m
donde: es la media muestral
1 - es el coeficiente de confidencia
z/2 es el valor z que provee un área de
/2 en la cola superior de la distribución
de probabilidad normal estandarizada
s es la desviación estándar de la población
n es el tamaño de la muestra
Estimación de intervalo de la
media de una Población : s
conocida
x
n
zx
s
 2/

Asignación para
la siguiente sesión

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