Este documento presenta información sobre distribuciones muestrales. En la sesión se explican tres temas: 1) distribución muestral de la diferencia de dos medias con varianza poblacional conocida, 2) distribución muestral de la diferencia de dos medias con varianza poblacional desconocida, y 3) distribución muestral de la proporción poblacional. Se proponen ejercicios para aplicar estos conceptos.

1. ESTADISTICA INFERENCIAL
SESION N°4

2. SUMARIO
1. Distribución Muestral de la diferencia de dos
medias con varianza poblacional conocida.
2. Distribución Muestral de la diferencia de dos
medias con varianza poblacional desconocida.
3. Distribución Muestral de la Proporción

3. • Actividad: Los estudiantes comparten con el docente las
dudas que hubieran existido en la tercera sesión.
• El estudiante responde con atención sobre los
conocimientos que tiene sobre las distribuciones
muestrales de la diferencia de medias y proporción
poblacional.
• El estudiante busca en internet el concepto asociado a
Distribucion Muestral de Diferencia de Medias y lo
comparte en el chat al grupo
Inicio (10min)
Principio pedagógico :Aprendizaje autónomo, Aprendizaje para la era digital
Inicio

4. SABERES PREVIOS
INTERVALO DE CONFIANZA
Haz escuchado hablar sobre distribucion muestral de la diferencia
de medias o de una proporción?
Encuentra en Internet un concepto sobre distribucion muestral de
diferencia de medias y compártelo en el chat del curso

5. Logro de la Sesión
Al finalizar la sesión el estudiante conoce los cálculos relacionados a la
distribución muestral de dos medias con varianza conocida y desconocida
asi como de la proporcion para así poder aplicarlos en el campo de la
ciencia e investigación

6. • Actividad: A continuación el estudiante va revisar los conceptos básicos
correspondientes a Distribución Muestral de la diferencia de medias así
como de la proporción poblacional y se van a plantear ejercicios para
poder desarrollar los conceptos revisados en clase.
TRANSFORMACIÓN (60 min)
Principio pedagógico: Aprendizaje autónomo y Aprendizaje colaborativo.
Transformación

7. Datos/Observaciones
DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL
CONOCIDA
VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA
Sean ( ത
𝑋11, ത
𝑋12,. . , ത
𝑋1𝑘) y ( ത
𝑋21, ത
𝑋22,. . , ത
𝑋2𝑘) dos muestras aleatorias simples e independientes de
tamaños 𝑛1𝑥 y 𝑛2𝑥 procedentes de 𝑁 𝜇1𝑥, 𝜎1𝑥 y 𝑁(𝜇2𝑥, 𝜎2𝑥) respectivamente. Entonces la
distribución muestral de la diferencia de medias se distribuye:
ത
𝑋1− ത
𝑋2~𝑁 𝜇1 − 𝜇2,
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑍𝐶 =
൯
(𝑋1 − ത
𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
~𝑁(0,1)
Estandarización:

8. 1.
DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA
POBLACIONAL CONOCIDA
PROBLEMA 1:
Se tiene la siguiente información de una determinada
empresa:
Salario medio hombres = 129.000 ptas., σ2=2.500
Salario medio mujeres = 128.621 ptas., σ2=3.000
Si tomamos una muestra aleatoria de 36 hombres y 49
mujeres ¿cuál es la probabilidad de que el salario
medio de los hombres sea al menos 400 ptas. mayor al
de las mujeres?
PRACTICA Nª1( 20 Minutos)

9. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA
POBLACIONAL CONOCIDA
SOLUCIÓN: 𝑋1: Salario de los hombres
𝑋2: Salario de las Mujeres
𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒: ത
𝑋1− ത
𝑋2~𝑁 𝜇1 − 𝜇2,
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
Piden: 𝑃 ത
𝑋1 − ത
𝑋2 ≥ 400
Estandarización:
𝑃 𝑍 ≥
400 − (129 000 − 128 621)
2 500
36
+
3 000
49
𝑃 𝑍 ≥ 1.84 = 1 − 𝑃(𝑍 < 1.84)
𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
La probabilidad de que el salario medio de los
hombres sea al menos 400 ptas. mayor al de las
mujeres será de 3.3%
1 - 0.96712 = 0.03288
Datos: Población
1. hombres
𝜇1 = 129 000
σ1
2= 2 500
(conocido)
2. Mujeres
𝜇2 = 128 621
σ2
2
= 3 000
(conocido)
Datos Muestra
1. hombres
𝑛1 = 36
2. Mujeres
𝑛2 = 49
𝐴 = 𝜋𝑟2

10. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA
POBLACIONAL CONOCIDA
PROBLEMA 2:
Los cinescopios para la televisión del fabricante A tiene una duración
media de 6.5 años y una desviación estándar de 0.9 años, mientras
que los del fabricante B tienen una duración media de 6.0 años y
una desviación estándar de 0.8 años. ¿Cuál es la probabilidad de
que una muestra aleatoria de 25 cinescopios del fabricante A tenga
una duración media que sea al menos de un año más que la
duración media de una muestra de 26 cinescopios del fabricante B?

11. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL
CONOCIDA
SOLUCIÓN: 𝑋1: Cinescopio fabricante A
𝑋2: Cinescopio fabricante B
𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒: ത
𝑋1− ത
𝑋2~𝑁 𝜇1 − 𝜇2,
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
Piden: 𝑃 ത
𝑋1 − ത
𝑋2 ≥1
Estandarización:
1 - 0.98169 = 0.01831
Datos: Población
Datos Muestra
𝑃 𝑍 ≥
1 − (6.5 − 6)
0.81
25
+
0.64
26
𝑃 𝑍 ≥ 2.093 = 1 − 𝑃(𝑍 < 2.09)
𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
La probabilidad de que la duración de el cinescopio del fabricante A
sea al menos 1 año mayor al del cinescopio del fabricante B será de
0.01831
1. fabricante A
𝜇1 = 6.5 años
σ1
2
= 0.81
(conocido)
2. fabricante B
𝜇2 = 6 años
σ2
2= 0.64
(conocido)
1. A
𝑛1 = 25
2. B
𝑛2 = 26

12. Datos/Observaciones
DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL
DESCONOCIDA
VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA
Se sabe que:
𝑋1~𝑁 𝜇1, ? → 𝑛1
𝑋2~𝑁 𝜇2, ? → 𝑛2
caso: Las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales: 𝜎2
1 = 𝜎2
2 = 𝜎2
𝑇 =
൯
(𝑋1 − ത
𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2
𝑆𝑃
2 1
𝑛1
+
1
𝑛2
~𝑡𝒏𝟏+𝒏𝟐−𝟐
Tiene una distribución t student con grado de libertad: 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 −2
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑆𝑃
2
=
ቀ𝑛1 − 1) 𝑆1
2
+ (𝑛2 − 1) 𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2

13. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA
POBLACIONAL DESCONOCIDA
PROBLEMA 3:
Se realiza una investigación sobre la calidad del aire en
Av. Abancay y Wilson. Un indicador de la calidad es el
número de partículas en suspensión por 𝑚3 de aire, que
se asume siguen distribuciones Normales
independientes de media 62.037 en Av. Abancay, 61.022
en Av. Wilson. En la primera Avenida se realizan 12
mediciones, obteniéndose una varianza de 8.44 y en la
segunda 15 mediciones, con una varianza de 9.44.
Obtener la probabilidad de que la media muestral de Av.
Abancay sea como mínimo tres unidades mayor a la
media muestral de Av. Wilson. Considere homogeneidad
de varianzas.
PRACTICA Nª2( 20 Minutos)

14. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA
POBLACIONAL DESCONOCIDA
SOLUCIÓN:
Piden:
Datos: Población
Datos Muestra
𝑋1: Partículas en suspensión abancay
𝑋2: Partículas en suspensión Wilson
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑃( ത
𝑋1 − ത
𝑋2 > 3) =? la probabilidad de que la media muestral de Av. Abancay sea
como mínimo tres unidades superior a la media muestral de
Av. Wilson.
𝑃( ത
𝑋1 − ത
𝑋2 >3) 𝑃 𝑡𝒏𝟏+𝒏𝟐−𝟐
>
3−(62.037−61.022)
(9)
1
12
+
1
15
1. Abancay
𝜇1 = 62.037
2. Wilson
𝜇2 = 61.022
1. Abancay
𝑛1 = 12
𝑆1
2
= 8.44
2. Wilson
𝑛2 = 15
S2
2
= 9.44
Donde:
𝑆𝑃
2
=
(12 − 1)8.44 + (15 − 1)9.44
12 + 15 − 2
𝑆𝑃
2
= 9
𝑃 𝑡25 > 1.708 = 1 − P(𝑡25 ≤ 1.708)
𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑡
Interpretación:
= 1 − 0.95 = 0.05

15. Datos/Observaciones
DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL
DESCONOCIDA
VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA
Se sabe que:
𝑋1~𝑁 𝜇1, ? → 𝑛1
𝑋2~𝑁 𝜇2, ? → 𝑛2
b. Las varianzas poblacionales son desconocidas pero diferentes: 𝜎2
1 ≠ 𝜎2
2
𝑇 =
൯
(𝑋1 − ത
𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
~𝑡𝑣
v =
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
2
𝑠1
2
𝑛1
2
𝑛1 − 1 +
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑛2 − 1
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
Tiene una distribución t student con grado de libertad: 𝒗

16. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA
POBLACIONAL DESCONOCIDA
PROBLEMA 4:
Un equipo de psicólogos está investigando si existen o no
diferencias entre dos métodos de relajación para reducir
la ansiedad. Para lo cual se seleccionan dos muestras de
tamaño 10 cada una, a las que se les aplico el método X
e Y respectivamente. Obteniéndose que las varianzas
muéstrales son de 3.7 y 4.2 puntos respectivamente.
Suponiendo que las puntuaciones de ansiedad de ambas
poblaciones siguen distribuciones muéstrales con medias
poblacionales de 90 y 87.3 puntos respectivamente y que
las varianzas poblacionales son desconocidas pero se
sabe que son diferentes. Hallar la probabilidad de la
media muestral de puntuación del método X sea como
mínimo 6 unidades mayor que el método Y.

17. 1. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS
MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA
SOLUCIÓN:
Piden:
Datos: Población
Datos Muestra
𝑋1: Puntuación del método X
𝑋2: Puntuación del método Y
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑃( ത
𝑋1 − ത
𝑋2 > 6) =?
𝑃( ത
𝑋1 − ത
𝑋2 > 6)
𝑃 𝑡𝑣 >
6−(90−87.3)
3.7
10
+
4.2
10
v =
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
2
𝑠1
2
𝑛1
2
𝑛1 − 1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑛2 − 1
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑
𝑣 =
3.7
10
+
4.2
10
2
3.7
10
2
9
+
4.2
10
2
9
= 17.9 = 18
𝑃 𝑡18 > 3.71 = 1 − P(𝑡18 ≤ 3.71)
𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑡 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
1 − 0.9995 = 0.0005
1. X
𝜇1 = 90
2. Y
𝜇2 = 87.3
1. X
𝑛1 = 10
𝑆1
2
= 3.7
2. Y
𝑛2 = 10
𝑆2
2
= 4.2

18. 1. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA
POBLACIONAL DESCONOCIDA
PROBLEMA 5:
Debido a los avances tecnológicos incorporados en cuanto a
la fabricación de los cinescopios para la televisión estos
tiene una mayor duración de vida es así que los cinescopios
del fabricante A tiene una duración media de 7.5 años,
mientras que los del fabricante B tienen una duración media
de 7.0 años. Se tomo una muestra aleatoria de 36
cinescopios del fabricante A y una muestra de 38
cinescopios del fabricante B obteniéndose las desviaciones
muéstrales de 0.8 y 0.7 años respectivamente. ¿ Cual es la
probabilidad que los cinescopios fabricados por el fabricante
A tengan una duración media de vida que sea al menos un
año mas que la de los cinescopios fabricados por la fabrica
B?

19. 1. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA
POBLACIONAL DESCONOCIDA
SOLUCIÓN: 𝑋1: Cinescopio fabricante A
𝑋2: Cinescopio fabricante B
Piden: 𝑃 ത
𝑋1 − ത
𝑋2 ≥1
Estandarización:
Datos: Población
Datos Muestra
𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒: ത
𝑋1− ത
𝑋2~𝑁 𝜇1 − 𝜇2,
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
𝑃 𝑍 ≥
1 − (7.5 − 7)
0.64
36
+
0.49
38
𝑃 𝑍 ≥ 2.854 = 1 − 𝑃(𝑍 < 2.85)
𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
La probabilidad de que la duración de el
cinescopio del fabricante A sea al menos 1 año
mayor al del cinescopio del fabricante B será de
0.00219
= 1 - 0.99781 = 0.00219
1. fabricante A
𝜇1 = 7.5 años
2. fabricante B
𝜇2 = 7 años
1. A
𝑛1 = 36
𝑠1
2
= 0.64
2. B
𝑛2 = 38
s2
2
= 0.49

20. 1. DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCION
𝑃~𝑁 𝜋 ,
𝜋 1 − 𝜋
𝑛

21. 1. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCION
Una distribución binomial está estrechamente relacionada con la distribución
muestral de proporciones; pues una población binomial es una colección de éxitos ó
fracasos, mientras que una distribución muestral de proporciones contiene las
proporciones de todos los números posibles de éxitos en un experimento binomial.
Para tamaños de muestra mayores a 30 por el teorema del límite central se puede
asegurar que la proporción muestral, p, tiene una distribución normal con media 𝜇 =
𝜋 y Desviación estándar 𝜎 =
𝜋(1−𝜋)
𝜋
, es decir: 𝑃~𝑁 𝜋 ,
𝜋 1−𝜋
𝑛
Estandarización
Z =
𝑝 − 𝜋
𝜋 1 − 𝜋
𝑛

22. 1. PROBLEMA 1
Una máquina fabrica piezas para autos. En su producción habitual, se fabrica 3
piezas defectuosas de cada 100 piezas. Un cliente recibe una caja de 500 piezas
procedentes de la fábrica. Calcular la probabilidad de que haya más de un 5% de
piezas defectuosas en la caja
Solución:
𝑃: 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎𝑠
𝑃(𝑃 > 0,05) → 𝑃 𝑍 >
𝟎. 𝟎𝟓 − 𝟎. 𝟎3
0.03 1 − 0.03
500
= 𝑃 𝑍 > 2,62
1 − 𝑃 𝑍 ≤ 2.62 = 1 − 0,996 = 0,004
𝜋 =
3
100
𝜋 = 0.03
Población Muestra
𝑛 = 500
PRACTICA Nª3( 10 Minutos)

23. Actividad:
• Lluvia de Ideas: El estudiante responde en el chat sobre 2
principales preguntas del docente sobre su aprendizaje en
la clase de hoy.
CIERRE (15 min)
Principio pedagógico: Aprendizaje autónomo.
Cierre

24. Datos/Observaciones
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
1. ¿Cuál es la distribución que
consideramos para la diferencia de dos
medias muestrales con varianza
poblacional conocida o desconocida?.
2. Como podríamos aplicar en nuestra
investigación o campo profesional la
diferencia de dos medias muestrales
con varianza poblacional conocida o
desconocida?