Este documento contiene 10 problemas resueltos sobre cálculo de integrales definidas. Los problemas cubren temas como sustitución, integración por partes, funciones de costo y aplicaciones a problemas de la vida real como regar una casa de campo o el número de aficionados que entran a un estadio.

1. Integral Definida Cálculo 2 – Ingeniería
1
BANCO DE PREGUNTAS
Sesión 1: Integral Definida
1) Calcule
1
0
cos3xdx

SOLUCIÓN
Sea 3u x , entonces 3 ,du dx de aquí
3
du
dx  .
Además, ya que 0x  luego 0u  y si 1x  entonces 3u  . Ahora sustituyendo, se obtiene
1 3
0 0
1
cos3 cos
3
xdx u du
 
3
0
1
3
senu
 
1
(3) (0)
3
sen sen 
1
(3)
3
sen
2) Calcule
2
2
0
(5 6 ) (5 3 )x sen x x dx 

SOLUCIÓN
Sea 25 3u x x   (5 6 ) ,du x dx 
Además, ya que 0,x  luego 0u  y si 2x  entonces 2,u   ahora sustituyendo, se
obtiene
2 2
2
0 0
(5 6 ) (5 3 )x sen x x dx senu du

  
 
2
0
cos( )u

 
cos( 2) cos(0)   
cos(2) 1  
3) Calcule 2
1
(ln )
e
x dx

SOLUCIÓN
Expresamos el integrando de la siguiente forma,

2. Integral Definida Cálculo 2 – Ingeniería
2
2
1 1
(ln ) (ln )(ln )
e e
x dx x x dx
 
Sea ( )u ln x 
1
du dx
x
 y dv ln x dx  ( n 1)v x l x 
Ahora aplicando la fórmula de integración por partes: udv uv vdu   ,
1
1 1
1
(ln )(ln ) ( 1) ( 1)
e e
e
x x dx xln x ln x x ln x dx
x
 
     
  
1 1
( 1) ( ( ) 1)
ee
xln x ln x ln x dx   
1 1 1
( 1) ( )
e ee
xln x ln x ln x dx dx    
   
 1
ln (ln 1) 1ln1(ln1 1) ( )( 1)
e
e e e x lnx x      
 (1 1) ( (ln 1) ) (1(ln1 1) 1)e e e e       
2e 
4) Calcule
5
2
3
9x x dx
SOLUCIÓN
Sea 2
9,u x  entonces 2 .du xdx Ahora obtenemos los nuevos límites de integración, ya
que 3,x  luego 0u  , además si 5x  , entonces 16u  .
5
5
2 2
3
3
1
9 9 (2 )
2
x x dx x x dx   
16
0
1
2
u du 
1
16
2
0
1
2
u du 
16
3
2
0
1 2
2 3
u
 
  
 
16
3
0
1
3
u
31
16
3

64
3


3. Integral Definida Cálculo 2 – Ingeniería
3
5) Calcule 4
1
ln(sin )cosx xdx


SOLUCIÓN
Sea u senx entonces cos ,du xdx
Ahora sustituyendo, se obtiene
2
4 2
1 1
ln(sin )cos ln( )
sen
x xdx u du

 
Integrando por partes.
Sea lnt u , su diferencial es
1
.dt du
u
 Además, sea ds du , integrando sería s u
Ahora aplicando la definición tds ts sdt   , se obtiene
22 2
22 2
11 1
1
ln( ) ln sensen sen
u du u u u du
u
 
   
 
 
2 2
2 2
1 1
ln sen sen
u u u 
2 2 2
ln( ) (1)ln( (1)) (1)
2 2 2
sen sen sen   
6) Costo de Fábricar Hard disc. La función costo marginal en dólares de un fabricante de
discos duros para laptop está dada por '( ) 0.8 4C q q  . Si actualmente la fábrica produce
50q  unidades al día, ¿Cuánto costará doblar la producción?
SOLUCIÓN
La función costo, ( )C q , se halla integrando la función costo marginal, '( )C q , puesto que nos
piden el costo de doblar la producción, se tiene:
100
0
( ) (0.8 4)C q q dq 
Integrando
100
2
0
0.8
4
2
q
q
 
  
 
Evaluando la integral
2 2
0.8(100) 0.8(0)
(100) (0) 4(100) 4(0)
2 2
C C    

4. Integral Definida Cálculo 2 – Ingeniería
4
80 50 4 100x x 
4400
Por lo tanto el costo de doblar la producción a 100 unidades, será de 4400 dólares.
7) Incremento de la Producción. El administrador de una fábrica de zapatas para frenos de
automóviles, determina que la función de costo marginal en dólares por la fabricación de
estas zapatas está dada por 0.02 30
dC
q
dq
  . Si la producción actual es q = 70 unidades por
semana, ¿cuánto más costará incrementar la producción a 100 unidades por semana?
SOLUCIÓN
La función costo, ( )C q , se halla integrando la función costo marginal, '( )C q , así
100
70
( ) (0.02 30)C q q dq 
100
2 2 2
70
0.02 0.02(100) 0.02(70)
( ) 30 30(100) 30(70) 951
2 2 2
q
C q q
 
       
 
Por lo tanto, un incremento de la producción de 70 a 100 unidades, costará 951 dolares.
8) Depreciación de equipos. Los operarios de la fábrica de pernos Riel Motor S.A. creada en el
año 2000 ven como poco a poco empieza a desgastarse los equipos, por lo que los costos de
mantenimiento de esta empresa empieza a aumentar. El gerente de esta empresa determina
que el incremento de esos costos viene dada por la función 2
'( ) 140 9800A t t  en euros por
año. ¿qué costo total tendrá esta fábrica desde el año 2010 al 2015?
SOLUCIÓN
La función incremento de costo de mantenimiento, ( )A t , se halla integrando la función
incremento de costo, '( )A t .
5
0
2'( ) (140 9800)A t t dt 
Integrando
5
3140
( ) 9800
3
0
t
A t t
 
 
 
 
 
Evaluando la integral, obtenemos

5. Integral Definida Cálculo 2 – Ingeniería
5
3 3140(5) 140(0)
(5) (0) 9800(5) 9800(0)
3 3
A A    
5833.33 49000 
54833.33
Por lo tanto, el costo total que tendrá esta fábrica desde el año 2010 al 2015, es de 54833.33
euros.
9) Regando la casa de campo. Una persona desea regar sus siembras en su casa de campo,
para ello deja el grifo abierto a las ocho de la mañana, mientras se va al mecanico a darle
manteniento a su camioneta. Se sabe que el agua sale a razón de 50 20
dG
t
dt
  litros por
hora, si no cierra el grifo hasta la hora que regresa a su casa, exactamente a las tres de la
tarde, ¿Cuántos litros de agua se habrá consumido en regar sus siembras?
SOLUCIÓN
La razón a la que se sale el agua, ( )G t , se halla integrando la función, '( )G t , así
7
0
( ) (50 20)G t t dt 
Calculando esta integral queda la función
7
2
0
50
( ) 20
2
t
G t t
 
  
 
Evaluando la integral, obtenemos
2 2
50(7) 50(0)
(7) (0) 20(7) 20(0)
2 2
G G    
25 49 20 7x x 
1365
Por lo tanto la cantidad de litros de agua consumida en regar la casa de campo será de 1365
litros.
10) Partido de Futbol. En un partido de futbol entre Mannucci de Trujillo y Cienciano del
Cuzco, las puertas del estadio mansiche se abren a las 16:00 horas, y los aficionados entran
en él a razón de: 3 2
5(1 ) 185(1 )t t    aficionados por hora, t horas después de la apertura de
las puertas de acceso. ¿cuántos aficionados entrarán hasta las 18:00 horas, cuando está
previsto el comienzo del partido?
SOLUCIÓN

6. Integral Definida Cálculo 2 – Ingeniería
6
La cantidad de aficionados que entran V(t), se halla integrando la función de la razón en la
que entran, V’(t)
2
3 2
0
( ) 5(1 ) 185(1 )V t t t dt      
Para calcular esta integral, solo se integra su primer y segundo componente, quedando la
función costo, C (q) de esta forma:
2
4 3
0
5(1 ) 185(1 )
4 3
t t   
  
 
Para hallar la cantidad de aficionados que entrarán en dos horas, se da de la siguiente
manera:
4 3 4 3
5(3) 185(3) 5(1) 185(1)
4 3 4 3
    
      
   
405 4995 5 185
4 3 4 3
    
      
   
405 5 4995 185
4 4 3 3

   
400 4810
4 3
  
4510
3

Por lo tanto la cantidad de aficionado que entran hasta las 18:00 horas, es 1503
aproximadamente.