Este documento presenta varios ejercicios resueltos relacionados con la aplicación del Teorema del Límite Central. En los ejercicios se calculan probabilidades para variables aleatorias con distribuciones normales dados diferentes tamaños de muestra. Por ejemplo, se calcula la probabilidad de que el diámetro promedio de una muestra de anillos esté dentro de un rango específico y cómo esta probabilidad cambia con un tamaño de muestra mayor.

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EJERCICIOS RESUELTOS 9
TEMA: Teorema del Límite Central
1. El diámetro interior de un anillo de pistón seleccionado al azar es una variable aleatoria con valor
medio de 12cm y desviación estándar de .04cm
a) si x es el diámetro medio de la muestra para una muestra aleatoria de n=16 anillos,
¿dónde está centrada la distribución muestral de x , y cuál es la desviación estándar de la
distribución de x ?
σX =
σ
=
0.04
n
= 0.01
16
b) Conteste las preguntas formuladas en el inciso a) para un tamaño muestral de n=64 anillos
σX =
σ
=
0.04
n
= 0.005
64
c) ¿para cuál de las dos muestras aleatorias, una del inciso a) y otra del inciso b), es más
probable que x esté dentro de .01cm alejado de 12cm? Explique su razonamiento.
La muestra del inciso b) ya que el tamaño de muestra es mayor y por lo tanto es más
probable que esté dentro del rango.
Nota: el símbolo Φ(Z) se interpreta como buscar en tablas el área a la izquierda del valor de
Z que se esta manejando.
2. Consulte el ejercicio 2 y suponga que la distribución del diámetro es normal.
a) calcule P(11.99≤ x ≤12.01) cuando n=16
(
)
⎡11.99 − 12.00 ⎤
⎡12.01 − 12.00 ⎤
P 11.99 ≤ X ≤ 12.01 = Φ ⎢
⎥ − Φ⎢
⎥ = Φ (1.00) − Φ (−1.00)
0.01
0.01
⎣
⎦
⎣
⎦
(
)
P 11.99 ≤ X ≤ 12.01 = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826
b) ¿cuál es la probabilidad de que el diámetro medio muestral exceda 12.01 cuando n=25?
σX =
(
σ
=
n
0.04
)
= 0.008
25
⎡12.01 − 12.00 ⎤
P X > 12.01 = 1 − Φ ⎢
⎥ = 1 − Φ[1.25] = 0.1056
0.008
⎣
⎦
3. Represente con X1,X2,.....X100 los pesos netos reales de 100 bolsas de 50 libras de fertilizante,
seleccionadas al azar.
a) Si el peso especificado de cada bolsa es 50 y la varianza 1, calcule
P(49.75≤ x ≤50.25)(aproximadamente) empleado el TLC
σX =
σ
n
=
1
= 0. 1
100
1

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(
)
P (49.75 ≤ X ≤ 50.25) = 0.9938 − 0.0062 = 0.9876
⎡ 49.75 − 50.00 ⎤
⎡ 50.25 − 50.00 ⎤
P 49.75 ≤ X ≤ 50.25 = Φ ⎢
⎥ = Φ(2.50) − Φ (−2.50)
⎥ − Φ⎢
0.1
0.01
⎦
⎦
⎣
⎣
b) Si el peso esperado es 49.8 lb, en lugar de 50 lb, de modo que en promedio las bolsas
tienen menos peso, calcule P(49.75≤ x ≤50.25)
(
)
P (49.75 ≤ X ≤ 50.25) = 1 − 0.3085 = 0.6915
⎡ 49.75 − 49.8 ⎤
⎡ 50.25 − 49.8 ⎤
P 49.75 ≤ X ≤ 50.25 = Φ ⎢
⎥ = Φ ( 4.50) − Φ (−0.50)
⎥ − Φ⎢
0 .1
0 .1
⎦
⎣
⎦
⎣
4. La resistencia a la ruptura de un remache tiene un valor medio de 10 000 lb/pulg2 y una
desviación estándar de 500 lb/pulg2
a) ¿cuál es la probabilidad de que la resistencia media a la ruptura de la muestra, para una
muestra aleatoria de 40 remaches, esté entre 9 900 y 10 200?
σX =
(
σ
500
=
n
= 79.1
40
)
⎡ 9900 − 10000 ⎤
⎡10200 − 10000 ⎤
P 9900 ≤ X ≤ 10200 = Φ ⎢
⎥ = Φ ( 2.56) − Φ (−1.26)
⎥ − Φ⎢
79.1
79.1
⎦
⎣
⎦
⎣
(
)
P 9900 ≤ X ≤ 10200 = 0.9943 − 0.1031 = 0.8912
b) Si el tamaño muestral hubiera sido 15, en lugar de 40, ¿podría calcularse la información
pedida en el inciso a) a partir de la información dada?
No ya que la muestra es pequeña y se desconoce la distribución de la población original.
5. Se sabe que la dureza Rockwell de pernos, de cierto tipo, tiene un valor medio de 50 y
desviación estándar de 1.2
a) si la distribución es normal, ¿cuál es la probabilidad de que la dureza muestral media para
una muestra aleatoria de 9 pernos sea por lo menos 51?
σX =
(
σ
=
n
1. 2
= 0 .4
9
)
⎡ 51 − 50 ⎤
P X ≥ 51 = 1 − Φ ⎢
⎥ = 1 − Φ (2.50) = 1 − 0.9938 = 0.0062
⎣ 0 .4 ⎦
b) ¿cuál es la probabilidad (aproximada) de que la dureza muestral media para una muestra
aleatoria de 40 pernos sea al menos 51?
σX =
(
σ
=
n
)
1 .2
= 0.19
40
⎡ 51 − 50 ⎤
P X ≥ 51 = 1 − Φ ⎢
⎥ = 1 − Φ (5.26) = 1 − 1.000 = 0.0000
⎣ 0.19 ⎦
6. Suponga que la densidad del sedimento (g/cm) de un espécimen seleccionado al azar, de cierta
región, está normalmente distribuida con media 2.65 y desviación estándar .85 (sugerida en
2

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“Modeling Sedimental anda Water Column Interactions for Hydrophobic Pollutants”. Water
Research, 1984, pp. 1169-1174).
a) si se seleccionan una muestra aleatoria de 25 especimenes, ¿cuál es la probabilidad de
que la densidad promedio de sedimento muestral sea a lo sumo 3.00? y ¿entre 2.65 y
3.00?
σX =
(
σ
n
=
)
0.85
= 0.17
25
⎡ 3.00 − 2.65 ⎤
P X ≤ 3.00 = Φ ⎢
⎥ = Φ ( 2.06) = 0.9802
⎣ 0.17 ⎦
⎡ 2.65 − 2.65 ⎤
⎡ 3.00 − 2.65 ⎤
P 2.65 ≤ X ≤ 3.00 = Φ ⎢
⎥ − Φ ⎢ 0.17 ⎥ = Φ (2.06) − Φ (0.00) =
⎦
⎣
⎣ 0.17 ⎦
P (2.65 ≤ X ≤ 3.00 ) = 0.9802 − 0.5000 = 0.4802
(
)
b) ¿Qué tan grande se requería un tamaño muestral para asegurar que la primera
probabilidad del inciso a) sea por lo menos .99?
⎡
⎤
⎢ 3.00 − 2.65 ⎥
P X ≤ 3.00 = Φ ⎢
⎥ = 0.99
0.85
⎢
n ⎥
⎣
⎦
(
)
Φ (Z ) = 0.99 ⇒ Z = 2.33
3.00 − 2.65
⎡ (2.33)(0.85) ⎤
Z=
⇒n=⎢
⎥ = 33
0.85
⎣ 3.00 − 2.65 ⎦
n
2
7. Se sabe que el tiempo de espera para ser atendido en una oficina es una variable aleatoria
exponencial con β = 17 minutos.
a) Encuentre la probabilidad de que una persona que se selecciona al azar haya tenido que
esperar más de 30 minutos.
30
30
⎡
− ⎤
−
17
17
P ( X > 30) = 1 − F (30) = 1 − ⎢1 − e ⎥ = e = 0.1712
⎢
⎥
⎣
⎦
b) Si se extrae una muestra de 64 personas, encuentre la probabilidad de que den un valor
medio en el tiempo de espera de menos de 12 minutos.
µ = β = 17 ; σ = β = 17
σX =
σ
n
=
17
= 2.125
64
⎡12 − 17 ⎤
P ( X < 12) ≈ Φ ⎢
⎥ = Φ[− 2.35] = 0.0094
⎣ 2.125 ⎦
3