Este documento describe 5 prácticas relacionadas con el cálculo de integrales dobles y triples. La primera práctica involucra calcular una integral doble sobre una región del plano definida por curvas. La segunda y tercera prácticas calculan volúmenes mediante integrales dobles, cambiando una de ellas a coordenadas polares. Las prácticas cuarta y quinta calculan integrales triples sobre un recinto en el espacio, convirtiéndolas en integrales dobles.
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo integrales dobles y triples. Discute aplicaciones geométricas como el cálculo del área de una figura plana y volúmenes de sólidos. También cubre aplicaciones físicas como el cálculo de masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo del área de diferentes regiones usando integrales dobles.
Este documento presenta el capítulo 3 sobre la integral definida. Introduce la definición de integral definida como el límite de la suma de Riemann al dividir el área bajo una curva en rectángulos e ir sumando sus áreas. También expone el teorema de integrabilidad para determinar cuándo una función es integrable, y proporciona un ejemplo de cálculo de área bajo una curva.
Este documento explica las definiciones de preimágenes e imágenes de una función, y cómo calcularlas. Define que las preimágenes son los elementos del dominio y las imágenes son los elementos del codominio. Explica que para calcular la imagen de un elemento del dominio se sustituye en el criterio de la función, y para calcular la preimagen se iguala el criterio a la imagen dada y se resuelve. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los procedimientos.
1. El documento explica cómo calcular integrales dobles e integrales iteradas de funciones de dos variables sobre un rectángulo. 2. Las integrales dobles representan el volumen bajo una superficie y sobre un rectángulo, y se calculan como un límite de sumas dobles de Riemann. 3. El Teorema de Fubini permite calcular una integral doble como una integral iterada, integrando primero respecto a una variable y luego a la otra, o viceversa.
El documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini que permiten evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de cálculo de integrales dobles. El objetivo general es enseñar a los estudiantes a calcular integrales dobles y aplicar los conceptos a problemas de volúmenes, áreas y cambio de variables.
1) Los vectores en R3 se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos con una magnitud, dirección y sentido.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial.
3) El producto escalar mide la proyección de un vector sobre otro, mientras que el producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo integrales dobles y triples. Discute aplicaciones geométricas como el cálculo del área de una figura plana y volúmenes de sólidos. También cubre aplicaciones físicas como el cálculo de masa, momentos estáticos, centros de masa y momentos de inercia. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo del área de diferentes regiones usando integrales dobles.
Este documento presenta el capítulo 3 sobre la integral definida. Introduce la definición de integral definida como el límite de la suma de Riemann al dividir el área bajo una curva en rectángulos e ir sumando sus áreas. También expone el teorema de integrabilidad para determinar cuándo una función es integrable, y proporciona un ejemplo de cálculo de área bajo una curva.
Este documento explica las definiciones de preimágenes e imágenes de una función, y cómo calcularlas. Define que las preimágenes son los elementos del dominio y las imágenes son los elementos del codominio. Explica que para calcular la imagen de un elemento del dominio se sustituye en el criterio de la función, y para calcular la preimagen se iguala el criterio a la imagen dada y se resuelve. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los procedimientos.
1. El documento explica cómo calcular integrales dobles e integrales iteradas de funciones de dos variables sobre un rectángulo. 2. Las integrales dobles representan el volumen bajo una superficie y sobre un rectángulo, y se calculan como un límite de sumas dobles de Riemann. 3. El Teorema de Fubini permite calcular una integral doble como una integral iterada, integrando primero respecto a una variable y luego a la otra, o viceversa.
El documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini que permiten evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de cálculo de integrales dobles. El objetivo general es enseñar a los estudiantes a calcular integrales dobles y aplicar los conceptos a problemas de volúmenes, áreas y cambio de variables.
1) Los vectores en R3 se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos con una magnitud, dirección y sentido.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial.
3) El producto escalar mide la proyección de un vector sobre otro, mientras que el producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
Este documento explica los conceptos básicos de la integral indefinida, incluyendo: (1) la definición de antiderivada y cómo se relaciona con la derivada de una función; (2) que existen múltiples antiderivadas que solo difieren por una constante; (3) reglas para calcular antiderivadas de funciones de potencias y sumas de funciones; (4) la interpretación geométrica de la integral indefinida como una familia de curvas; y (5) el método de sustitución para calcular integrales más complejas.
Este documento presenta diferentes operaciones básicas sobre números reales, incluyendo potencias, radicación y potencias fraccionarias. Define formalmente cada operación y sus propiedades. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar el uso correcto de estas operaciones y propiedades. El objetivo es que los estudiantes conozcan y apliquen estas operaciones al resolver problemas matemáticos.
Este documento introduce el concepto de función matemática. Explica que una función relaciona un conjunto dominio con un conjunto rango a través de una regla de correspondencia. Se describen elementos clave como variable independiente, variable dependiente y evaluación de funciones. También se cubren temas como dominio implícito, aplicaciones de funciones y cálculo del dominio.
Este documento trata sobre las funciones exponenciales y logarítmicas. Introduce la función exponencial y sus propiedades gráficas, así como ejemplos y ejercicios de su representación. Luego define la función logarítmica, analiza sus propiedades y gráficas, y presenta ejemplos y ejercicios sobre esta función. Finalmente, explica las propiedades de los logaritmos y resuelve ejercicios aplicando dichas propiedades.
Este documento presenta una introducción a los números, incluyendo su clasificación, propiedades y operaciones. Se divide los números en enteros, racionales, irracionales y reales. Explica cómo convertir números decimales periódicos a fracciones y representar números reales en una recta numérica. También describe las propiedades de las operaciones de suma, multiplicación, y define qué es una operación binaria.
Este documento trata sobre desigualdades lineales, cuadráticas y con fracciones. Explica las leyes de las desigualdades y cómo resolver este tipo de ecuaciones mediante la factorización y el uso de la recta numérica para determinar los intervalos de solución. También incluye ejemplos resueltos paso a paso.
Este documento presenta la resolución de un problema de una viga empotrada en un extremo y sometida a carga axial mediante el método de los elementos finitos. Se discretiza la viga usando dos elementos lineales y un elemento cuadrático, y se obtienen las matrices de rigidez y vectores de fuerzas para cada caso. Finalmente, se calculan los desplazamientos en los nodos para comparar los resultados de las diferentes discretizaciones.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones polinomiales. Define una función polinomial como aquella cuya regla de correspondencia es un polinomio. Explica que el dominio de toda función polinomial son los números reales, mientras que su rango depende del grado del polinomio. También introduce teoremas como el del residuo, factor y fundamental del álgebra, así como conceptos como ceros de la función y multiplicidad de raíces.
Problemas resueltos integrales dobles y triplesortari2014
Este documento presenta 30 problemas resueltos y 30 problemas propuestos sobre integración múltiple. La primera parte explica métodos y soluciones de problemas tipo sobre este tema, mientras que la segunda parte incluye problemas para que el lector pruebe sus conocimientos y algunas soluciones. El documento está dirigido a estudiantes de cálculo en varias variables pero puede ser útil para cualquier persona interesada en el tema.
El documento presenta el capítulo 2 sobre la integral definida. Introduce las sumas con notación sigma y define la integral definida como el límite de la suma de Riemann de una función cuando el número de rectángulos tiende a infinito. Explica propiedades como la linealidad y aditividad de la integral definida y concluye calculando un ejemplo de área bajo una curva.
Este documento presenta un resumen de los conceptos clave del capítulo 3 sobre funciones de varias variables. Introduce las funciones vectoriales, escalares y curvas, y describe el dominio, conjunto de niveles y límites de funciones de varias variables. Explica conceptos como bola abierta y punto interior para generalizar la definición de límite a funciones de varias variables. El objetivo es conceptualizar funciones vectoriales, escalares y curvas, y establecer límites, continuidad y derivadas de funciones de dos variables.
1. El documento presenta apuntes sobre la integral indefinida. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas F(x)+K, donde K es una constante arbitraria. También resume algunas propiedades, métodos como el cambio de variable e integración por partes, y cómo calcular integrales de funciones racionales.
Este documento trata sobre integrales dobles. Explica la definición de integral dobles como la suma del área de particiones infinitesimales de una región rectangular. También presenta el teorema de integrabilidad, el cual establece que una función es integrable si es continua excepto en un número finito de curvas, y el teorema de Fubini, el cual permite calcular una integral doble invirtiendo el orden de integración. El objetivo es aprender a calcular integrales dobles y volúmenes usando estas herramientas.
Este documento explica las definiciones de preimágenes e imágenes de una función, y cómo calcular ambas. Define preimágenes como los elementos del dominio y las imágenes como los elementos del codominio. Explica que para calcular la imagen de un elemento del dominio se sustituye en el criterio de la función, mientras que para calcular la preimagen se iguala el criterio a la imagen dada y se resuelve. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe varios métodos para calcularlas. Primero, presenta ejemplos motivadores de problemas de ciencias que involucran integrales definidas. Luego, define formalmente la integral definida y describe métodos para calcularlas exactamente mediante el uso de primitivas. Finalmente, discute métodos para aproximar numéricamente el valor de integrales definidas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre relaciones y funciones matemáticas. Explica pares ordenados, producto cartesiano, relaciones, dominio e imagen, y define funciones. El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir estas nociones y aplicar diagramas de flechas para clasificar y representar diferentes tipos de relaciones y funciones.
Este documento introduce los conceptos de predicados, conjuntos de verdad, cuantificadores y razonamientos lógicos. Define predicados como expresiones que al reemplazar una variable por elementos de un conjunto referencial se convierten en proposiciones verdaderas o falsas. Explica cómo formar predicados compuestos usando operadores lógicos y cómo los cuantificadores universal y existencial convierten predicados en proposiciones. El objetivo es que los estudiantes comprendan y apliquen estas nociones lógicas.
Este documento describe el cálculo de integrales definidas e indefinidas utilizando el programa DERIVE. Explica los conceptos de integral inferior y superior de Riemann y cómo aproximar el área bajo una curva mediante rectángulos. Incluye ejemplos de cálculo de áreas delimitadas por curvas, funciones integrales y el cálculo de integrales indefinidas dependientes de parámetros.
Este documento trata sobre el cálculo de áreas y volúmenes mediante la integral definida. Explica cómo calcular el área entre dos curvas utilizando sumas de Riemann y presenta la fórmula general para este cálculo. También introduce conceptos sobre volúmenes de cuerpos con sección transversal conocida y volúmenes de sólidos de revolución. Incluye ejemplos y actividades para practicar el cálculo de áreas.
1. El documento contiene varios ejercicios y problemas relacionados con funciones, límites, derivadas y funciones trigonométricas.
2. Se piden resolver ecuaciones de círculos dados sus centros y radios, hallar límites de funciones, derivar funciones y encontrar puntos donde la derivada es igual a la función.
3. También incluye hallar incrementos de funciones, derivar funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y exponenciales.
Este documento explica los conceptos básicos de la integral indefinida, incluyendo: (1) la definición de antiderivada y cómo se relaciona con la derivada de una función; (2) que existen múltiples antiderivadas que solo difieren por una constante; (3) reglas para calcular antiderivadas de funciones de potencias y sumas de funciones; (4) la interpretación geométrica de la integral indefinida como una familia de curvas; y (5) el método de sustitución para calcular integrales más complejas.
Este documento presenta diferentes operaciones básicas sobre números reales, incluyendo potencias, radicación y potencias fraccionarias. Define formalmente cada operación y sus propiedades. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar el uso correcto de estas operaciones y propiedades. El objetivo es que los estudiantes conozcan y apliquen estas operaciones al resolver problemas matemáticos.
Este documento introduce el concepto de función matemática. Explica que una función relaciona un conjunto dominio con un conjunto rango a través de una regla de correspondencia. Se describen elementos clave como variable independiente, variable dependiente y evaluación de funciones. También se cubren temas como dominio implícito, aplicaciones de funciones y cálculo del dominio.
Este documento trata sobre las funciones exponenciales y logarítmicas. Introduce la función exponencial y sus propiedades gráficas, así como ejemplos y ejercicios de su representación. Luego define la función logarítmica, analiza sus propiedades y gráficas, y presenta ejemplos y ejercicios sobre esta función. Finalmente, explica las propiedades de los logaritmos y resuelve ejercicios aplicando dichas propiedades.
Este documento presenta una introducción a los números, incluyendo su clasificación, propiedades y operaciones. Se divide los números en enteros, racionales, irracionales y reales. Explica cómo convertir números decimales periódicos a fracciones y representar números reales en una recta numérica. También describe las propiedades de las operaciones de suma, multiplicación, y define qué es una operación binaria.
Este documento trata sobre desigualdades lineales, cuadráticas y con fracciones. Explica las leyes de las desigualdades y cómo resolver este tipo de ecuaciones mediante la factorización y el uso de la recta numérica para determinar los intervalos de solución. También incluye ejemplos resueltos paso a paso.
Este documento presenta la resolución de un problema de una viga empotrada en un extremo y sometida a carga axial mediante el método de los elementos finitos. Se discretiza la viga usando dos elementos lineales y un elemento cuadrático, y se obtienen las matrices de rigidez y vectores de fuerzas para cada caso. Finalmente, se calculan los desplazamientos en los nodos para comparar los resultados de las diferentes discretizaciones.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones polinomiales. Define una función polinomial como aquella cuya regla de correspondencia es un polinomio. Explica que el dominio de toda función polinomial son los números reales, mientras que su rango depende del grado del polinomio. También introduce teoremas como el del residuo, factor y fundamental del álgebra, así como conceptos como ceros de la función y multiplicidad de raíces.
Problemas resueltos integrales dobles y triplesortari2014
Este documento presenta 30 problemas resueltos y 30 problemas propuestos sobre integración múltiple. La primera parte explica métodos y soluciones de problemas tipo sobre este tema, mientras que la segunda parte incluye problemas para que el lector pruebe sus conocimientos y algunas soluciones. El documento está dirigido a estudiantes de cálculo en varias variables pero puede ser útil para cualquier persona interesada en el tema.
El documento presenta el capítulo 2 sobre la integral definida. Introduce las sumas con notación sigma y define la integral definida como el límite de la suma de Riemann de una función cuando el número de rectángulos tiende a infinito. Explica propiedades como la linealidad y aditividad de la integral definida y concluye calculando un ejemplo de área bajo una curva.
Este documento presenta un resumen de los conceptos clave del capítulo 3 sobre funciones de varias variables. Introduce las funciones vectoriales, escalares y curvas, y describe el dominio, conjunto de niveles y límites de funciones de varias variables. Explica conceptos como bola abierta y punto interior para generalizar la definición de límite a funciones de varias variables. El objetivo es conceptualizar funciones vectoriales, escalares y curvas, y establecer límites, continuidad y derivadas de funciones de dos variables.
1. El documento presenta apuntes sobre la integral indefinida. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas F(x)+K, donde K es una constante arbitraria. También resume algunas propiedades, métodos como el cambio de variable e integración por partes, y cómo calcular integrales de funciones racionales.
Este documento trata sobre integrales dobles. Explica la definición de integral dobles como la suma del área de particiones infinitesimales de una región rectangular. También presenta el teorema de integrabilidad, el cual establece que una función es integrable si es continua excepto en un número finito de curvas, y el teorema de Fubini, el cual permite calcular una integral doble invirtiendo el orden de integración. El objetivo es aprender a calcular integrales dobles y volúmenes usando estas herramientas.
Este documento explica las definiciones de preimágenes e imágenes de una función, y cómo calcular ambas. Define preimágenes como los elementos del dominio y las imágenes como los elementos del codominio. Explica que para calcular la imagen de un elemento del dominio se sustituye en el criterio de la función, mientras que para calcular la preimagen se iguala el criterio a la imagen dada y se resuelve. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe varios métodos para calcularlas. Primero, presenta ejemplos motivadores de problemas de ciencias que involucran integrales definidas. Luego, define formalmente la integral definida y describe métodos para calcularlas exactamente mediante el uso de primitivas. Finalmente, discute métodos para aproximar numéricamente el valor de integrales definidas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre relaciones y funciones matemáticas. Explica pares ordenados, producto cartesiano, relaciones, dominio e imagen, y define funciones. El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir estas nociones y aplicar diagramas de flechas para clasificar y representar diferentes tipos de relaciones y funciones.
Este documento introduce los conceptos de predicados, conjuntos de verdad, cuantificadores y razonamientos lógicos. Define predicados como expresiones que al reemplazar una variable por elementos de un conjunto referencial se convierten en proposiciones verdaderas o falsas. Explica cómo formar predicados compuestos usando operadores lógicos y cómo los cuantificadores universal y existencial convierten predicados en proposiciones. El objetivo es que los estudiantes comprendan y apliquen estas nociones lógicas.
Este documento describe el cálculo de integrales definidas e indefinidas utilizando el programa DERIVE. Explica los conceptos de integral inferior y superior de Riemann y cómo aproximar el área bajo una curva mediante rectángulos. Incluye ejemplos de cálculo de áreas delimitadas por curvas, funciones integrales y el cálculo de integrales indefinidas dependientes de parámetros.
Este documento trata sobre el cálculo de áreas y volúmenes mediante la integral definida. Explica cómo calcular el área entre dos curvas utilizando sumas de Riemann y presenta la fórmula general para este cálculo. También introduce conceptos sobre volúmenes de cuerpos con sección transversal conocida y volúmenes de sólidos de revolución. Incluye ejemplos y actividades para practicar el cálculo de áreas.
1. El documento contiene varios ejercicios y problemas relacionados con funciones, límites, derivadas y funciones trigonométricas.
2. Se piden resolver ecuaciones de círculos dados sus centros y radios, hallar límites de funciones, derivar funciones y encontrar puntos donde la derivada es igual a la función.
3. También incluye hallar incrementos de funciones, derivar funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y exponenciales.
El documento explica los conceptos básicos de funciones, incluyendo la definición de función, dominio de una función y cómo determinar el dominio cuando la función tiene denominador o raíces cuadradas. Se proporcionan ejemplos detallados de cómo calcular el dominio en diferentes casos.
Este documento presenta una guía sobre cálculo integral. Explica que la integración se define como encontrar el área de una región limitada por curvas mediante conocimientos geométricos y físicos. Describe los tipos de integral, indefinida y definida, y cómo se relacionan con la derivada a través del teorema fundamental del cálculo. Proporciona ejemplos de cómo calcular diferentes integrales indefinidas y definidas.
Este documento presenta los conceptos básicos de las integrales dobles e integrales triples. Introduce la definición de integral doble y los teoremas de integrabilidad y Fubini para evaluar integrales dobles como integrales iteradas. Explica cómo calcular integrales dobles sobre regiones generales y presenta ejemplos resueltos de evaluación de integrales dobles.
El documento resume tres ejemplos de cálculo de áreas bajo curvas. El primer ejemplo calcula el área acotada por tres curvas. El segundo ejemplo encuentra el área entre dos curvas, expresándola como la suma de dos integrales. El tercer ejemplo calcula la longitud de arco de una curva.
Este documento presenta los criterios y propiedades para calcular integrales impropias. Explica que existen integrales impropias de primera y segunda especie dependiendo del intervalo de integración o si la función es no acotada. Proporciona ejemplos de cómo aplicar los criterios de convergencia como el teorema de comparación o el criterio del cociente. Luego, resuelve un ejercicio calculando la integral impropia dada mediante el uso de integración por partes y cambios de variable.
La guía semestral de cálculo integral introduce los conceptos básicos de integración como encontrar el área de una región limitada por curvas y la relación entre derivada e integral. Explica los tipos de integrales indefinidas y definidas, y cómo calcularlas usando reglas básicas de integración y el teorema de Newton-Leibniz. Incluye ejemplos de cómo resolver integrales indefinidas y definidas, identificar áreas bajo curvas, y aplicar los conceptos a problemas físicos.
La guía semestral de cálculo integral introduce los conceptos básicos de integración como encontrar el área de una región limitada por curvas y la relación entre derivada e integral. Explica los tipos de integrales indefinidas y definidas, y cómo calcularlas usando reglas básicas de integración y el teorema de Newton-Leibniz. Incluye ejemplos de cómo resolver integrales indefinidas y definidas, identificar áreas en gráficas, y aplicar la integración en problemas de física.
La guía semestral de cálculo integral introduce los conceptos fundamentales de integración como encontrar el área de una región limitada por curvas y la relación entre derivada e integral. Explica los tipos de integrales indefinidas y definidas, y cómo calcularlas usando reglas básicas de integración y el teorema de Newton-Leibniz. Proporciona ejemplos para que el alumno practique el cálculo de integrales indefinidas y definidas.
Ejercicios detallados del obj 5 mat ii 178 179-Jonathan Mejías
El documento presenta dos ejercicios de cálculo de derivadas para resolver problemas de optimización. En el primer ejercicio, se determinan los puntos de inflexión, intervalos de concavidad y convexidad, y se grafica una función. En el segundo ejercicio, se calcula en qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento de un estudiante, cuando es nulo, y cuándo es máximo. El tercer ejercicio busca las dimensiones óptimas de una caja abierta de base cuadrada para que su volumen sea máximo.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones de dos variables, incluyendo: (1) sus gráficas y cómo representan superficies tridimensionales; (2) curvas de nivel obtenidas al cortar la gráfica con planos horizontales; y (3) secciones con planos verticales. También incluye ejemplos ilustrativos como funciones polinómicas, exponenciales y la "silla de montar". El objetivo es desarrollar habilidades para visualizar y describir características geométricas de gráficas de func
El documento presenta 5 ejercicios de matemáticas. El primer ejercicio pide graficar una curva, calcular un volumen de revolución y aproximarlo numéricamente. El segundo ejercicio trata sobre la diagonalización de matrices y la resolución de sistemas lineales. El tercer ejercicio usa desarrollos de Taylor. Los últimos dos ejercicios incluyen cálculos de integrales, ecuaciones diferenciales, gradientes y límites.
CALCULO VECTORIAL Guia unidad4 cvectorial-p44Juan Miguel
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre integrales múltiples. Explica los objetivos de la unidad que son interpretar y evaluar integrales dobles y triples. También incluye los prerequisitos, material de apoyo, actividades específicas y metodología. Por último, revisa conceptos clave como las definiciones de integrales dobles e iteradas y métodos para evaluarlas.
Este documento presenta los métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuación de Bernoulli. Explica que para resolver ecuaciones lineales se utiliza el método de separación de variables o el factor integrante. También cubre la existencia y unicidad de soluciones y proporciona ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
El documento describe la matriz jacobiana, que consiste en las derivadas parciales de primer orden de una función. Se usa para aproximar linealmente una función multivariable en un punto y representa su derivada. El determinante jacobiano indica si una función es localmente invertible. Se proveen ejemplos de cálculo de matrices y determinantes jacobianos.
Este documento describe el movimiento parabólico y cómo realizar un experimento para estudiarlo. Explica las ecuaciones teóricas que describen la trayectoria parabólica y cómo medir el ángulo de lanzamiento y la velocidad inicial mediante regresión lineal y cuadrática de los datos experimentales. También propone un modelo de tabla para registrar los datos del experimento.
Este documento presenta 7 ejemplos de cálculo integral resueltos usando diferentes técnicas como sustitución de variables, completar cuadrado, integración trigonométrica, fracciones impropias, separación de fracciones, multiplicación por una forma de uno, y eliminación de raíces cuadradas. Los ejemplos ilustran cómo aplicar estas técnicas para evaluar integrales definidas.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre funciones reales de variable real. Incluye cálculos de dominios de definición de funciones, operaciones con funciones como suma, producto, cociente y composición, y caracterización de gráficas de funciones en términos de monotonicidad y convexidad.
Este documento define las señales como cualquier fenómeno físico que varíe en el tiempo y se pueda usar para transmitir información. Explica que las señales se pueden clasificar como de tiempo continuo o discreto, y de valores continuos o discretos. Proporciona ejemplos de señales modernas como voltajes en cables telefónicos y campos electromagnéticos, y ofrece gráficos de señales de valores continuos y de valores continuos con tiempo discreto.
El documento describe la convolución y la modulación. La convolución se define como la integral del producto de dos funciones después de que una sea invertida y desplazada. La modulación consiste en modificar las características de una señal portadora de acuerdo a las características de una señal moduladora.
El documento presenta una introducción a los sistemas de control, clasificando los sistemas de lazo cerrado en causales y no causales, y mostrando esquemáticamente cada uno.
Una función de transferencia es un modelo matemático que relaciona la respuesta de un sistema a una señal de entrada mediante un cociente. Laplace fue uno de los primeros en describir estos modelos matemáticamente. La función de transferencia se puede determinar como la transformada de Laplace de la respuesta dividida por la transformada de Laplace de la señal de entrada, y representa la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso.
El documento define la convolución como la integral del producto de dos funciones después de que una es invertida y desplazada una distancia τ. Explica que para funciones discretas se usa una forma discreta de la convolución y describe la convolución circular y discreta. Luego enumera propiedades como la asociatividad, conmutatividad y distribución de la convolución. Finalmente define la modulación como la modificación de las características de una señal portadora de acuerdo a otra señal moduladora, y menciona diferentes tipos de modulación
Grupo 3 Presentación Series Y Transformadas De Fourier Y LaplaceGrupo03senales
El grupo 3 está compuesto por 4 estudiantes: Eduardo Sánchez, Wilfredo Carrillo, Leonardo Colmenares y Luz Mendoza. Juntos estudian series y transformadas de Fourier en la sección G-005N.
Este documento proporciona una guía básica de los comandos de MATLAB para definir y manipular vectores, matrices y realizar operaciones de álgebra lineal. Explica cómo definir vectores y matrices, crear matrices especiales como identidades y ceros, y realizar operaciones como multiplicación, inversión y factorización de matrices. También cubre la creación y uso de archivos .m para funciones y scripts en MATLAB.
Este documento describe 5 prácticas relacionadas con el cálculo de integrales dobles y triples. La primera práctica involucra calcular una integral doble sobre una región del plano definida por curvas. La segunda y tercera prácticas calculan volúmenes mediante integrales dobles, cambiando una de ellas a coordenadas polares. Las prácticas cuarta y quinta calculan integrales triples sobre un recinto en el espacio, convirtiéndolas en integrales dobles.
El documento introduce conceptos básicos de magnitudes eléctricas como corriente continua, corriente alterna y desfase. Describe la corriente continua como aquella cuya tensión y corriente no varían con el tiempo, mientras que la corriente alterna varía su amplitud periódicamente de forma sinusoidal. Explica cómo medir el desfase entre dos señales alternas usando el osciloscopio y figuras de Lissajous. Además, define valores como el valor medio, de pico y pico-pico de una señal.
Este documento introduce varios temas relacionados con la ingeniería de software. Explica conceptos como programación modular, ciclo de vida del software y diferentes modelos como el modelo en cascada y el modelo contractual. También introduce el concepto de punteros en programación, describiendo que un puntero es una referencia a una ubicación de memoria y cómo permiten crear estructuras de datos dinámicas.
1. 1
Descripci´n de las pr´cticas.
o a
Las pr´cticas siguientes corresponden todas ellas al tema cinco del programa de la
a
asignatura: “Integrales dobles y triples”. Est´n organizadas del modo siguiente,
a
• Las tres primeras estan incluidas en el apartado de “integrales doble” y tratan
respectivamente,
Pr´ctica primera. De la integral doble de una funci´n dada f (x, y) en una
a o
regi´n Ω del plano oxy descrita por las curvas que forman su contorno.
o
Pr´ctica segunda. Del c´lculo del volumen de un recinto R del espacio,
a a
definido por el conjunto de superficies que lo limitan, hallando el valor de la
integral doble de cierta funci´n en la regi´n Ω en que se proyecta R sobre el
o o
plano oxy.
Pr´ctica tercera. Tambi´n del c´lculo de un volumen en la misma forma que
a e a
la pr´ctica anterior pero efectuando en la integral doble, una vez planteada,
a
un cambio a las coordenadas polares.
• Las dos pr´cticas siguientes tratan, por su parte, de la integraci´n triple. Con-
a o
sisten en
Pr´ctica cuarta. Se pide integrar una funci´n f (x, y, z) en un recinto R
a o
dado en el espacio. Se convierte la integral triple en una doble (como la de
la pr´ctica primera) sobre la proyecci´n de R en el plano oxy.
a o
Pr´ctica quinta. Finalmente, la pr´ctica quinta tiene el mismo planteamien-
a a
to y desarrollo que la anterior pero la integral doble que resulta se ejecuta
en coordenadas polares.
2. 2
Ejercicio del aula de inform´tica. No 1.
a
Ejercicio. Calcular la integral doble de la funci´n
o
f (x, y) = 1 − x2
en la regi´n del plano Ω limitada por la curva y = x4 y la par´bola y = 2 − x2 .
o a
Soluci´n:
o
Representaci´n de Ω. Dibujemos ante todo la regi´n Ω para lo cual basta escribir,
o o
[> with(plots):
[> curva:=plot(xˆ4, x=-1..1):
[> parabola:=plot(2-xˆ2, x=-1..1):
[> display(curva,parabola,scaling=constrained);
Planteamiento de la integral. La integral doble
1 − x2 dx dy
Ω
se plantea hallando previamente los l´
ımites de la regi´n Ω de integraci´n. Si barremos
o o
dicha regi´n verticalmente, ser´ una integral de la forma
o a
b y2 (x)
1 − x2 dy dx.
a y1 (x)
1. Primera integraci´n. Observemos que la regi´n est´ limitada,
o o a
(a) Inferiormente por la curva y = x4 .
(b) Superiormenente por la par´bola y = 2 − x2 .
a
Como consecuencia la primera integral es
2−x2
1 − x2 dy.
x4
3. 3
2. Segunda integraci´n. Para hallar los l´
o ımites de la segunda integral calculemos los
puntos de intersecci´n de la curva y = x4 y la par´bola y = 2 − x2 para lo cual
o a
ponemos,
[> solve({y=xˆ4, y=2-xˆ2});
El resultado obtenido nos permite decir que Ω tambi´n est´ limitada,
e a
(a) Por la izquierda por el valor x = −1.
(b) Por la derecha por el x = 1.
De este modo la segunda integral tiene como l´
ımites −1 y 1 y la integral doble
queda planteada as´
ı:
1 2−x2
1 − x2 dy dx.
−1 x4
C´lculo de las integrales.
a
2−x2
1. Primera integraci´n. La integral
o 1 − x2 dy podemos hacerla en Maple
x4
de dos formas distintas.
(a) De modo directo como una integral definida. Para ello se escribe,
[> integral1:=int(1-xˆ2, y=xˆ4..2-xˆ2);
[> simplify(%);
(b) O bien de forma indirecta calculando en primer lugar la integral indefinida
1 − x2 dy y sustituyendo luego los l´
ımites de integraci´n. As´
o ı:
[> IntIndef:=int(1-xˆ2, y);
[> integral1:=subs(y=2-xˆ2,IntIndef )-subs(y=xˆ4,IntIndef );
[> simplify(%);
4. 4
2. Segunda integraci´n. El resultado obtenido tras la primera integraci´n, que es
o o
el que hemos llamado “integral1” se integra ahora entre x = −1 y x = 1 (lo
hacemos ya de forma directa como integral definida) de la siguiente manera (El
resultado es ya el valor de la integral doble planteada),
[> int(integral1, x=-1..1);
Nota importante. Existe en Maple una forma de hallar una integral doble sin dividirla
en las dos integrales reiteradas usuales, es decir hall´ndola de una sola vez. Es preciso
a
para ello importar el paquete student y emplear las ´rdenes Doubleint y value. En
o
el caso del ejercicio anterior esto se har´ como sigue,
ıa
[> with(student):
[> Doubleint(1-xˆ2, y=xˆ4..2-xˆ2, x=-1..1);
[> value(%);
5. 5
Ejercicio del aula de inform´tica. No 2.
a
Ejercicio. Calcular el volumen limitado en el semiespacio y ≥ 0 por las
y
superficies z = , z = 0, x2 + y 2 = 1.
1 + x2
Soluci´n:
o
Representaci´n del recinto. Vamos a representar el recinto que limitan las superficies
o
dadas en el semiespacio indicado:
1. La m´s sencilla de representar, como superficie expl´
a ıcita, es el plano z = 0,
[> with(plots):
[> plano:=plot3d(0, x=-1..1, y=0..1):
y
2. Tambi´n como superficie expl´
e ıcita representamos la superficie z = ,
1 + x2
[> superficie:=plot3d(y/(1+xˆ2), x=-1..1, y=0..1):
3. Y finalmente representamos el cilindro usando sus ecuaciones param´tricas x =
e
cos u, y = senu, z = v. Tambi´n representamos todas las superficies conjunta-
e
mente
[> cilindro:=plot3d([cos(u),sin(u),v], u=0..Pi, v=0..1):
[> display(plano,superficie,cilindro);
Planteamiento. Calcularemos el volumen propuesto proyectando sobre el plano oxy.
El recinto del enunciado est´ limitado,
a
1. Inferiormente por el plano z = 0.
y
2. Superiormenente por la superficie z = 1+x2
.
Por lo tanto dicho volumen se obtiene como la integral doble
y
−0 dx dy.
Ω 1 + x2
donde el integrando es la diferencia de los valores de z en las superficies que limitan el
recinto superior e inferiormente y Ω es la regi´n del plano oxy encerrada por las curvas
o
siguientes:
6. 6
1. La base del cilindro x2 + y 2 = 1.
y
2. La proyecci´n sobre el plano oxy de la intersecci´n de las superficies z =
o o 1+x2
y
z = 0 (la cual es obviamente la recta y = 0).
(Bien entendido que de ambas curvas solo puede tomarse la parte del semiplano y ≥ 0
debido a la limitaci´n del enunciado).
o
[> ejeox:=plot(0, x=-1..1, thickness=4):
[> semicircunferencia:=plot([cos(u),sin(u),u=0..Pi], thickness=4):
[> display(ejeox,semicircunferencia,scaling=constrained);
A la vista de su representaci´n geom´trica y si la barremos verticalmente, Ω est´
o e a
limitada,
1. Superiormente por la semicircunferencia superior de x2 + y 2 = 1 que es, despe-
√
jando y, y = 1 − x2 .
2. Inferiormente por el eje ox, de ecuaci´n expl´
o ıcita en y, y = 0.
3. Por la izquierda por el valor x = −1.
4. Y por la derecha por el x = 1.
En virtud de todo esto el volumen se plantea as´
ı:
√
1 1−x2 y
V = dy dx.
−1 0 1 + x2
C´lculo de las integrales.
a
√
1−x2 y
1. Primera integraci´n. La integral
o dy se obtiene poniendo
0 1 + x2
[> integral1:=int(y/(1+xˆ2), y=0..sqrt(1-xˆ2));
[> convert(%,parfrac,x);
Obs´rvese el resultado de la orden “convert” (descompone la fracci´n para poder
e o
integrarla).
7. 7
2. Segunda integraci´n. El resultado de la primera integraci´n se integra ahora entre
o o
x = −1 y x = 1.
[> V:=int(integral1, x=-1..1);
Para efectuar la integral doble de una sola vez se tiene que escribir
[> with(student):
[> Doubleint(y/(1+xˆ2), y=0..sqrt(1-xˆ2), x=-1..1);
[> V:=value(%);
8. 8
Ejercicio del aula de inform´tica. No 3.
a
Ejercicio. Calcular el volumen limitado en el primer octante por el cilindro
x2 + y 2 = x y el paraboloide el´
ıptico z = 1 − x2 − y 2 .
Soluci´n:
o
Representaci´n del recinto. La representaci´n del recinto descrito es la siguiente
o o
1. Como el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 tiene v´rtice (0, 0, 1), semiejes a = 1 y
e
b = 1 y concavidad negativa se parametriza en la forma x = v cos u, y = v senu,
z = 1 − v 2 y se representa como,
[> with(plots):
[> paraboloide:=plot3d([v*cos(u),v*sin(u),1-vˆ2], u=0..Pi/2,
v=0..1):
2. Por su parte el cilindro x2 + y 2 = x es vertical y su base es la circunferencia de
centro (1, 0, 0) y radio 1 y por ello se representa poniendo,
[> cilindro:=plot3d([1/2+cos(u)/2,sin(u)/2,v], u=0..Pi, v=0..1):
3. Por otra parte los planos coordenados oxy y oyz, que delimitan tambi´n este
e
recinto, quedan,
[> planooxy:=plot3d([x,y,0], x=0..1, y=0..1):
[> planooyz:=plot3d([0,y,z], y=0..1, z=0..1):
4. Y todas las superficies conjuntamente,
[> display(paraboloide,cilindro,planooxy,planooyz);
Planteamiento. Calcularemos el volumen propuesto proyectando sobre el plano oxy.
El recinto tiene superior e inferiormente los siguientes l´
ımites,
1. Inferiormente, el plano z = 0.
2. Superiormenente, el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 .
9. 9
Por lo tanto el volumen vale,
V = 1 − x2 − y 2 dx dy
Ω
donde:
1. El integrando, 1 − x2 − y 2 , es la diferencia de los valores de z en las superficies
que cubren el recinto por encima, z = 1 − x2 − y 2 , y por debajo, z = 0.
2. Ω es la regi´n del plano oxy encerrada por las curvas,
o
(a) x2 + y 2 = 1 que es el corte del paraboloide con el plano z = 0.
(b) x2 + y 2 = x, que es la circunferencia base del cilindro.
(c) Y por eje oy que es el corte del plano oyz con el z = 0.
[> circulo1:=plot([cos(u),sin(u),u=0..Pi/2],thickness=4):
[> circulo2:=plot([1/2+cos(u)/2,sin(u)/2,u=0..Pi],thickness=4):
[> ejeoy:=plot([0,y,y=0..1],thickness=4):
[> display(circulo1,circulo2,ejeoy,scaling=constrained);
A la vista de su representaci´n geom´trica calcularemos la integral cambiando a las
o e
variables polares, es decir barriendo Ω radialmente. En esta forma los l´
ımites de Ω son:
1. Para el ´ngulo polar θ los valores θ = 0 y θ = π .
a 2
2. Y para el radio polar ρ los siguientes:
(a) El valor de ρ en la circunferencia x2 + y 2 = x que se obtiene sustituyendo
en esta ecuaci´n x = ρ cos θ, y = ρ senθ, y despejando ρ,
o
[> subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), xˆ2+yˆ2=x);
[> solve(%,rho);
[> simplify(%[2]);
(b) Y el valor de ρ en la circunferencia x2 + y 2 = 1 que se obtiene de la misma
manera
10. 10
[> subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), xˆ2+yˆ2=1);
[> solve(%,rho);
Adem´s el integrando original 1 − x2 − y 2 debe ser sustituido por el producto del
a
Jacobiano ρ del cambio de variables por el que se obtiene pasando ´quel a polares, es
a
decir
[> rho*subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), 1-xˆ2-yˆ2);
[> simplify(%);
En virtud de todo esto el volumen se plantea as´
ı:
π π
2
1 2
1
V = ρ 1 − ρ2 dρ dθ = ρ − ρ3 dρ dθ.
0 cos θ 0 cos θ
C´lculo de las integrales.
a
1
1. Primera integraci´n. La integral
o ρ − ρ3 dρ vale
cos θ
[> integral1:=int(rho*(1-rhoˆ2), rho=cos(theta)..1);
2. Segunda integraci´n. El resultado de la primera integraci´n se integra entre θ = 0
o o
y θ = π.
2
[> V:=int(integral1, theta=0.. Pi/2);
La integral doble se har´ as´
ıa ı:
[> with(student):
[> Doubleint(rho-rhoˆ3, rho=cos(theta)..1, theta=0.. Pi/2);
[> value(%);
11. 11
Ejercicio del aula de inform´tica. No 4.
a
Ejercicio. Calcular la integral triple de la funci´n
o
1
f (x, y, z) =
x2 + y2
ıptico z = x2 + y 2 ,
en el recinto R del espacio limitado por el paraboloide el´
el cilindro parab´lico y = 1 − x2 y los plano y = 0 y z = 0.
o
Soluci´n:
o
Representaci´n de R. Representemos en primer lugar el recinto R,
o
1. Paraboloide. El paraboloide z = x2 + y 2 tiene como v´rtice el origen de coor-
e
denadas, semiejes a = 1 y b = 1 y concavidad positiva. Por eso sus ecuaciones
param´tricas son,
e
x = v cos u, y = v senu, z = v2,
y estas ecuaciones son las que usamos para representarlo,
[> with(plots):
[> paraboloide:=plot3d([v*cos(u),v*sin(u),vˆ2], u=0..2*Pi,
v=0..1):
2. Cilindro y planos. Tanto el cilindro parab´lico como los dos planos coordenados
o
que se dan est´n en forma expl´
a ıcita, luego se representan as´
ı,
[> cilindro:=plot3d([x,1-xˆ2,z], x=-1..1, z=0..1):
[> planooxy:=plot3d([x,y,0], x=-1..1, y=0..1):
[> planoozx:=plot3d([x,0,z], x=-1..1, z=0..1):
3. Todas las superficies citadas dan, representadas conjuntamente, el recinto descrito
en el enunciado,
[> display(paraboloide,cilindro,planooxy,planoozx);
Planteamiento.
Vamos a hacer este ejercicio reduciendo la integral triple a una doble mediante proyec-
ci´n sobre el plano oxy. Para ello tengamos en cuenta que,
o
12. 12
1. El recinto est´ cubierto superiormente por el paraboloide z = x2 + y 2 .
a
2. E inferiormente por el plano z = 0.
Esto significa que la integral triple se reduce a una doble usando la identidad,
1
dx dy dz = f (x, y) dx dy
R x2 + y2 Ω
donde,
1
1. Integrando. f (x, y) es la funci´n que resulta de integrar
o x2 +y 2
respecto de z
entre el valor de z en la superficie que limita R superiormente, z = x2 + y 2 e
inferiormente, z = 0. Es decir que
x2 +y 2 1
f (x, y) = dz
0 x2 + y2
y vale
[> integral1:=int(1/(xˆ2+yˆ2), z=0..xˆ2+yˆ2);
2. Regi´n de integraci´n. Ω est´ limitada por la parab´la y = 1 − x2 y el eje ox,
o o a o
[> parabola:=plot(1-xˆ2, x=-1..1, thickness=4):
[> ejeox:=plot(0, x=-1..1, thickness=4):
[> display(parabola,ejeox,scaling=constrained);
Esto significa que los l´
ımites de Ω son
0 ≤ y ≤ 1 − x2 ,
−1 ≤ x ≤ 1.
Como consecuencia de todo esto la integral triple queda:
1 1 1−x2
2 + y2
dx dy dz = f (x, y) dx dy = 1 dx dy
R x Ω −1 0
y se obtiene del modo siguiente
13. 13
[> integral2:=int(integral1, y=0..1-xˆ2);
[> integraltriple:=int(integral2, x=-1..1);
Si la integral doble se hace de una sola vez el proceso completo de c´lculo de la
a
integral triple por reducci´n a una simple y una doble hubiese sido,
o
[> with(student):
[> integral1:=int(1/(xˆ2+yˆ2), z=0..xˆ2+yˆ2);
[> integraltriple:=Doubleint(integral1, y=0..1-xˆ2, x=-1..1);
[> value(%);
Observaci´n. Igual que es posible calcular una integral doble en un solo paso
o
tambi´n podemos calcular de este modo una integral triple. La orden correspon-
e
diente es Tripleint y en el presente ejercicio se pondr´ (n´tese que se agrupan
ıa o
en una sola las integraciones simple y doble hechas antes),
[> integraltriple:=Tripleint(1/(xˆ2+yˆ2), z=0..xˆ2+yˆ2, y=0..1-
xˆ2, x=-1..1);
[> value(%);
14. 14
Ejercicio del aula de inform´tica. No 5.
a
Ejercicio. Calcular, usando coordenadas cil´
ındricas, la integral triple
2xz
dx dy dz
R x2 + y 2
extendida al recinto del semiespacio z ≥ 0 encerrado por los planos y = 0,
z = 0, la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2 y el cilindro parab´lico y = x2 .
o
Soluci´n:
o
Representaci´n de R. El recinto del enunciado se representa del siguiente modo,
o
1. Esfera. Representamos la esfera utilizando sus ecuaciones param´tricas (limita-
e
mos las variaciones de sus par´metros u y v para la parte del espacio en que
a
y ≥ 0, z ≥ 0).
[> with(plots):
[> esfera:=plot3d([cos(u)*cos(v),cos(u)*sin(v),sin(u)],
u=0..Pi/2, v=0..Pi):
2. Cilindro y planos. El cilindro parab´lico y = x2 y los planos y = 0 y z = 0 se
o
representan, a su vez, como sigue
[> cilindro:=plot3d([x,xˆ2,z], x=-1..1, z=0..1):
[> planooxy:=plot3d([x,y,0], x=-1..1, y=0..1):
[> planoozx:=plot3d([x,0,z], x=-1..1, z=0..1):
3. Todas estas superficies dan el recinto descrito en el enunciado,
[> display(esfera,cilindro,planooxy,planoozx);
Planteamiento.
Reduzcamos la integral triple a una doble proyectando sobre el plano oxy. Puesto que,
√
1. El recinto est´ cubierto superiormente por la semiesfera z =
a 2 − x2 − y 2 ,
2. E inferiormente por el plano z = 0,
15. 15
dicha reducci´n queda as´
o ı,
2xz
dx dy dz = f (x, y) dx dy
R x2 + y2 Ω
siendo,
2xz
1. Integrando. f (x, y) es la funci´n que resulta integrando x2 +y2 respecto de z entre
o
√
el valor de z en el plano, z = 0, y la esfera, z = 2 − x2 − y 2 ,
√
2−x2 −y 2 2xz
f (x, y) = 2 + y2
dz.
0 x
Esta integral vale
[> integral1:=int(2*x*z/(xˆ2+yˆ2), z=0..sqrt(2-xˆ2-yˆ2));
2. Regi´n de integraci´n. Ω est´ limitada por la parab´la y = 1 − x2 , el eje ox y la
o o a o
√
semicircunferencia y = 2 − x2 en que la esfera corta al plano oxy,
[> parabola:=plot(xˆ2, x=-1..1, thickness=4):
[> circunferencia:=plot(sqrt(2-xˆ2), x=-sqrt(2)..sqrt(2), thick-
ness=4):
[> ejeox:=plot(0, x=-sqrt(2)..sqrt(2), thickness=4):
[> display(parabola, circunferencia,ejeox,scaling=constrained);
Como consecuencia de todo esto la integral triple queda:
1 x (2 − x2 − y 2 )
dx dy dz = dx dy
R x2 + y 2 Ω x2 + y 2
pero teniendo en cuenta que tanto la regi´n de integraci´n como el integrando son
o o
sim´tricos respecto del plano x = 0 (porque al cambiar x por −x en las curvas que
e
limitan Ω o en el integrando ni unas ni el otro cambian) podemos usar esta simetr´ y
ıa
poner,
1 x (2 − x2 − y 2 )
2 + y2
dx dy dz = 2 dx dy
R x Ω x2 + y 2
donde Ω es la mitad de Ω situada en el primer cuadrante.
16. 16
C´lculo de la integral. Atendiendo a lo que se nos pide en el enunciado vamos a hallar
a
el valor de la integral doble haciendo un cambio a las coordenadas polares. En este
sentido los l´
ımites de Ω son,
1. Para θ, θ = 0 y su valor en el punto de intersecci´n de la circunferencia x2 +y 2 = 2
o
y la par´bola y = x2 , lo cual se hace resolviendo el sistema {x2 + y 2 = 2, y = x2 },
a
[> solve(xˆ2+yˆ2=2, y=xˆ2);
o ımite superior de θ es π .
Y como el punto de intersecci´n resulta ser el (1, 1) el l´ 4
2. Y para ρ, su valor en la par´bola, que se obtiene pasando la ecuaci´n de ´sta a
a o e
coordenadas polares y despejando ρ,
[> subs(x=rho*cos(theta),y=rho*sin(theta), y=xˆ2);
[> solve(%,rho);
y su valor en la circunferencia x2 + y 2 = 2 que se halla del mismo modo,
[> subs(x=rho*cos(theta),y=rho*sin(theta), xˆ2+yˆ2=2);
[> solve(%,rho);
x (2 − x2 − y 2 )
Adem´s el integrando
a queda, despu´s de convertirlo a polares y multi-
e
x2 + y 2
plicar por el jacobiano del cambio de variables,
[> rho*subs(x=rho*cos(theta), y=rho*sin(theta), x*(2-xˆ2-yˆ2)/
(xˆ2+yˆ2));
[> integrando:=simplify(%);
De acuerdo con todo lo anterior la integral
x (2 − x2 − y 2 )
dx dy
Ω x2 + y 2
17. 17
se convierte en coordenadas polares en
π
√
x (2 − x2 − y 2 ) 4
2
dx dy = 2 − ρ2 cos θ dθ dθ
Ω x2 + y 2 0 sen θ
cos2 θ
y se obtiene del siguiente modo,
[> integral2:=int(integrando, rho=sin(theta)/cos(theta)ˆ2..sqrt(2));
[> integraltriple:=2*int(integral2, theta=0..Pi/4);
Si la integral doble se hace de una sola vez se pone
[> with(student):
[> integraltriple:=2*Doubleint(integrando,
rho=sin(theta)/cos(theta)ˆ2..sqrt(2), theta=0..Pi/4);
[> value(%);