El documento presenta la demostración de la fórmula para calcular la longitud de arco de una curva. Resuelve dos ejercicios aplicando la fórmula a curvas dadas y calcula la longitud del arco en cada caso. También explica cómo calcular la longitud del perímetro de una elipse usando la integral elíptica completa de segunda especie.

2. DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE LA LONGITUD DE
ARCO:
𝐿 =
𝑎
𝑏
1 + 𝑓´(𝑥 2 𝑑𝑥

3. ∆𝐿2 = ∆𝑥2 + ∆𝑦2
∆𝐿2
∆𝑥2
= 1 +
∆𝑦2
∆𝑥2
∆𝐿
∆𝑥
= 1 + (∆𝑦/∆𝑥 2
lim
∆𝑥→0
∆𝐿
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
1 + (∆𝑦/∆𝑥 2
𝑑𝐿
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
1 + lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
2

4. En función de x
En función de y
𝑑𝐿
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
1 + lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
2
𝑑𝐿
𝑑𝑥
= 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝐿 = 1 + 𝑓´ 𝑥 2 𝑑𝑥
L= 𝑎
𝑏
𝑑𝑙
L= 𝑎
𝑏
1 + 𝑓´ 𝑥 2 𝑑𝑥
L= 𝑐
𝑑
1 + 𝑓´ 𝑦 2 𝑑𝑦

5. EJERCICIO 1.-
DETERMINE LA LONGITUD DE LA
𝒚 =
𝟒 𝟐
𝟑
𝒙
𝟑
𝟐 − 𝟏 , 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏

6. FÓRMULA APLICAR:
𝐿 = 𝑎
𝑏
1 + 𝑓´(𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑏
1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥

7. Solución: utilizamos la ecuación con a =0, b =1
𝑦 =
4 2
3
𝑥
3
2 − 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4 2
3
.
3
2
𝑥
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 2𝑥
1
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (2 2𝑥
1
2 2 = 8𝑥
𝐿 =
𝑎
𝑏
1 + 𝑓´(𝑥 2 𝑑𝑥

8. La longitud de la curva a lo largo de x=o hasta x=1 es
𝐿 =
0
1
1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
𝐿 =
0
1
1 + 8𝑥 𝑑𝑥
𝐿 =
2
3
.
1
8
(1 + 8𝑥
3
2]0
1
𝐿 =
13
6
≈ 2.17

9. EJERCICIO 2.-
HALLAR LA LONGITUD DEL ARCO DE LA CURVA Y=𝟑𝒙 𝟑/𝟐
DESDE
X=0 HASTA X=4
y=3𝑥3/2 ; (0,4)
L= 𝑎
𝑏
1 + 𝑓´ 𝑥 2 𝑑𝑥
f(x)= 3𝑥3/2
= 𝑓´ 𝑥 = 3(3/2) 𝑥
3
2
−1
𝑓´ 𝑥 = 9/2𝑥
1
24

10. L= 0
4
1 + (9/2𝑥
1
2 2 𝑑𝑥
L= 0
4
1 + 81/4𝑥𝑑𝑥
L= 0
4 4+81𝑥
4
𝑑𝑥
L=
1
2 0
4
4 + 81𝑥𝑑𝑥
1
2 0
4
4 + 81𝑥 1/2 𝑑𝑥

11. u= 4 + 81𝑥 ; du= 81dx; dx=
𝑑𝑢
81
L=
1
2 𝑎
𝑏
u1/2 𝑑𝑢
81
1
162
u3/2
3/2
] 𝑎
𝑏
2
3 ∗ 162
u3/2] 𝑎
𝑏
1
243
((4 + 81x 3/2]0
4
1
243
((4 + 81 ∗ 4
3
2 -
1
243
((4 + 81 ∗ 0
3
2
L= 24.44 - 0.03
L= 24.41

12. Ejercicio 3.-
UNA ELIPSE ESTÁ CARACTERIZADA POR SU SEMIEJE
MAYOR A Y SU SEMIEJE MENOR B.

13. La ecuación de una elipse es
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
La longitud de un pequeño arco de una curva es,
𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 = 1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2 𝑑𝑥
La longitud del perímetro de la elipse es cuatro veces la
longitud de la parte de la elipse comprendida en un
cuadrante.
𝐿 = 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥 = 4
0
𝑎
1 +
𝑏2 𝑥2
𝑎2 𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥
=
4
𝑎 0
𝑎
𝑎4 − 𝑎2 𝑥2 + 𝑏2 𝑥2
𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥

14. Haciendo el cambio de variable x=asenθ, dx=acosθ·dθ
𝐿 =
4
𝑎 0
𝑎
𝑎4 − 𝑎2 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2∅ + 𝑏2 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2∅
𝑎2 − 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2∅
𝑎𝑐𝑜𝑠∅𝑑∅
𝐿 =
4
𝑎 0
𝑎
𝑎2 𝑎2 − 𝑠𝑖𝑛2∅ 𝑎2 − 𝑏2
𝑎2 𝑐𝑜𝑠2∅
𝑎𝑐𝑜𝑠∅𝑑∅
𝐿 =
4
𝑎 0
𝜋
2
𝑎4 − 𝑎2(𝑎2 − 𝑏2 𝑠𝑖𝑛2∅𝑑∅
= 4𝑎
0
𝜋
2
1 − 𝑒2 𝑠𝑖𝑛2∅𝑑∅

15. Donde e se denomina excentricidad de la elipse. A esta integral se la denomina integral
elíptica completa de segunda especie.
𝑒 =
𝑎2 − 𝑏2
𝑎
=
𝑐
𝑎
c es la semidistancia focal
Una fórmula aproximada de la longitud de la elipse es
𝐿 ≈ 𝜋 (3(𝑎 + 𝑏 − (3𝑎 + 𝑏 (𝑎 + 3𝑏