La derivada direccional de una función de varias variables representa la tasa de cambio de la función en una dirección dada. Se define como el límite de la variación de la función dividida por el cambio en la dirección. El gradiente de una función es un vector que apunta en la dirección de mayor aumento y su magnitud es igual a la derivada direccional máxima.

1. Derivada direccional Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario Denotada por: se define como siempre que ese límite exista.

2. Interpretación geométrica de la derivada direccional

3. Interpretación geométrica de la derivada direccional (a, b) (x, y) f (x, y) t

4. Interpretación geométrica de la derivada direccional (a, b) (x, y) f (x, y) t

5. Interpretación geométrica de la derivada direccional

6. Derivada direccional Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario es:

7. Demostración de la forma de cálculo de la derivada direccional Fijado un punto (a, b) y sea Por ser f una función diferenciable de x e y, podemos aplicar la regla de la cadena. Si t=0

8. Demostración de la forma de cálculo de la derivada direccional Por otro lado Por lo tanto

9. Gradiente de una función de dos variables Sea z= f (x, y) una función de x e y, tal que f x y f y existen. Se llama gradiente de f , al vector Se “lee delta de f ” Otra notación Es un vector del plano xy

10. Forma alternativa de la derivada direccional Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario es:

11. Propiedades del Gradiente Sea z= f (x, y) una función diferenciable en el punto ( x, y)

12. Propiedades del Gradiente entonces es normal a la curva de nivel que pasa por ( x 0 , y 0 ) Sea z= f (x, y) una función diferenciable en el punto ( x 0 , y 0 ) y

13. Derivada direccional máxima

14. Derivada direccional para funciones de tres variables Si f es una función diferenciable de x, y, z su derivada direccional en la dirección del vector unitario es:

15. Gradiente de una función de tres variables Sea w = f (x, y, z) una función de x, y, y z tal que f x, , f y y f z existen. Se llama gradiente de f , al vector La derivada direccional en términos del gradiente

16. Propiedades del gradiente de una función de tres variables entonces es normal a la superficie de nivel que pasa por ( x 0 , y 0 ,z 0 ) Sea u= f (x, y,z) una función diferenciable en el punto ( x 0 , y 0 ,z 0 ) y