Este documento contiene 17 proyectos de álgebra que incluyen ecuaciones polinomiales, expresiones algebraicas, áreas de figuras geométricas y sistemas de ecuaciones. Cada proyecto presenta un problema matemático con su correspondiente solución paso a paso utilizando símbolos y notación algebraica.

1. MATEMÁTICA
PRÁCTICA CALIFICADA Nº 16
IIº AÑO DE SECUNDARIA “…..” __________________________________
III BIMESTRE FIRMA DEL PADRE O APODERADO
31 DE AGOSTO DE 2017 NOMBRE: ………………..………………………………
NOTA: Deberás escribir las respuestas con lapicero.
PROYECTO Nº 1. Dados los polinomios:
P = x2
– x + 2; Q = 3x2
– x – 1 y R = 2x2
+ 2x – 3
Hallar: S = P (Q + R).
Solución
    
  
2 2 2
2 2
4 3 2
– 2 3 – –1 2 +2 – 3
– 2 5 – 4
5 4 5 6 8
x x x x x x
x x x x
x x x x
S P Q R    
 
    

PROYECTO Nº 2. (x2
+ x + 1)(x2
– x + 1); equivale a:
Solución
   4 3 2
3 2
2 2
2
4 2
1 – 1
1
1
x x x
x x x
x x
x x x
x x
x   
 
 

 


PROYECTO Nº 3. Dadas las siguientes expresiones algebraicas:
A = 8x3
y2
+ 6x2
y2
+ 3x2
y3
B = 4y2
x2
+ 5x3
y2
+ 2x2
y3
Hallar: [2A -3B]2
Solución
  3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 6 422 3 22
2 3 1216 12 6 15 6x y x y x y y x x y x yA B yy xx            
PROYECTO Nº 4. ¿Qué expresión hay que agregar a (3x+2)2
para que sea igual a (3x + 5) (3x + 7)?
Solución
     
2 2
2
9 12 4
3 2 3 5 3
9 36 3
7
5 4 32 1
x E
x x E x x E
x
x
x
       
  

 
PROYECTO Nº 5. ¿Qué expresión hay que restarle a (6x + 5)2
para que sea igual a (9x + 5) (4x - 3)?
Solución
     
2
2
2
6 5 9 5 4 3
36 60 25 36 7 15
67 40
E
x x E x
E
x
x
x
x x 
     

 


PROYECTO Nº 6. Efectuar: (a + b)x + (b + c)y –[(a - b)x – (b - c)y] -2b(x + y)
Solución
         – –
2 2
2
0
a b x b c y a b x b c y b
ax bx by cy ax bx
x
by cy bx by
y  
    
      
    


2. PROYECTO Nº 7. En la figura mostrada, ABCD es un rectángulo y PQRC es un cuadrado, ¿calcular el
área de la región sombreada?
Solución
    
2
2 2
2
4 3 7 2 2
28 29 6 4 4
27 25 2
sombreada ABCD QRCPA A A
x x x
x x x x
x x
 
    
     
  
PROYECTO Nº 8. En la figura mostrada: ABCD es un rectángulo y BAM es un triángulo, ¿calcular el
área de la región sombreada?
Solución
  
  
2 2
2
2 4 2 4
2 4 3 5
2
6 22 20 2 8 8
4 14 12
sombreada ABCD MABA A A
x x
x x
x x x x
x x
 
 
   
     
  
PROYECTO Nº 9. ¿Qué expresión hay que sumar al producto de:
{x(x + y) – x(x - y)}[2(x2
+ y2
) -3(x2
– y2
)] para obtener: 2x3
y + 3xy3
?
Solución
        
 
 
2 2 2 2 3 3
2 2
3 3
2 2 2 2 3 3
2 2 3 3
3 3
3 3
– 2 3 – + 2 3
– 2 2 +33 + 2 3
2 5 + 2 3
10 2 2
4 7
3
x x y x x y x y x y E x y xy
x xy x xy x y x y E x y xy
xy y x E x y
xy x
xy
y E
E
x y xy
x y xy
 
 
  
     
     
    
  
 

PROYECTO Nº 10. Hallar: “A – B + C”, si:
A = (2x2
-3)(3x2
-2x + 5) B = (3x2
- 2)(2x2
+ 3x - 5)
C = 13x3
– 20x2
– 11x + 25
Solución
     
4 3 2
2 2 2 2 3 2
3
2
2
2
4 3 2
2 3 3 2 5 3 2 2 3 5 13 – 20 – 11
6 4 10 9 6 15
6 9 15 4
25
13 – 20 – 11 2
6 0
5
1
A B C
A B C x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x
x
    
       
     
   

  

PROYECTO Nº 11. Dados los polinomios:
A = 3x2
+ 5xy – 2y2
; B = 3y2
-4xy + 5x2
C = xy + 5y2
+ 8x2
Hallar: E = A (B + 1) + B (1 - A) – C
Solución
   
2 2 2 2 2 2
2
3 5 – 2 3 4
1
5 5 8
– 4
1
x xy y y xy
E A B B A C
A
x x
C
y x
B
y
y
    
  
   

   
A
B C
D
P
(3x + 1)
(4x + 3)
(7x + 2)
R
Q
A
B C
D
(2x + 4)
(3x + 5)
M

3. PROYECTO Nº 12. Al efectuar:
E = (mx + n) (x2
+ x + 1), se obtiene 4x3
+ Ax2
+Bx + 5, entonces: “A + B + m + n”, es igual a:
Solución
   
   
2 3 2
3 2 3 2
1 4 5
4 5
4 5
9
9 9 4 5 27
mx n x x x Ax Bx
mx m n x m n x n x Ax Bx
m n
A B m n
A B m n
     
       
   
   
        


PROYECTO Nº 13. Al efectuar:
R = (ax + b) (x2
+ x + 1), se obtiene: 7x3
- mx2
+nx + 4, entonces: “a + b + m + n”, es igual a:
Solución
   
   
2 3 2
3 2 3 2
1 7 4
7 4
7 4 11 11
11
ax b x x x mx nx
ax b a x a b x b x mx nx
a b m n
a b m n
     
        
       
    

PROYECTO Nº 14. Efectuar:    131313 44
T
Solución
          4 4 4 4
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2T              
PROYECTO Nº 15. Si: x2
+ y2
= 26; x.y = 5; (x>y). hallar el valor de:
2
"" yx 
Solución
   
 
2 2 2
2
2 26 2 5 16
4
16 4 2
2 2
x y x y xy
x y
x y x y
      

       
PROYECTO Nº 16. Si: x + y = 5; x2
+ y2
= 11. Calcular x3
+ y3
Solución
 
  
2 2
3 3
3 3 3 3
3 3
2 25 11 2 25 7
3 125
3 7 5 125 105 125
20
x xy y xy xy
x y xy x y
x y x y
x y
       
   
      
 
PROYECTO Nº 17. Si: x + y = 2, …(1) x.y = 2, …(2)
Calcular: 22
33
yx
yx
R



Solución
   
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3
2 2
2 2 4 2 2 4 0
0
x y x y xy x y x y
x y x y
R No se puede determinar
x y
            
 
   


4. PROYECTO Nº 18. Si, (x + a)(x - 2) = x2
+ bx + 6. Calcular “a – b”
Solución
 2 2
2 2 6
2 6 3
2 5
x a x a x bx
a a
a b b
     
     
    
Luego, 3 5 2a b    
PROYECTO Nº 19. Si, x + y representa el lado de un cuadrado, “x – y” el lado de otro cuadrado, calcular
la suma de áreas de dichos cuadrados.
Solución
     2 2 2 2
2x y x y x y    
PROYECTO Nº 20. Si: x + y =
)2...(4.
)1...(62
yx
Calcular “x – y”
Solución
   
   
22 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 6 2 24 8 24 16
2 16 2 4 8
8 2 2
x y x xy y x y x y
x y x y xy
x y
            
      
     
PROYECTO Nº 21. Si, 3
1

x
x . Halle: 2
2 1
x
x  ; x > 1
Solución
2 2
2 2
2 2 2
1 1 1
3 2 9 7
1 1
2 7 2 5
x x x
x x x
x E x E E E
x x
        
          
Luego,
2
2
1 1 1
3 5x x x
x x x
  
      
  
PROYECTO Nº 22. Si se cumple: x2
+ y2
= 3xy, Reducir:
   
   22
22
yxyx
yxyx
R



Solución
   
       
2 2
2 2 2 2
4 2 2
3 32
x y x y xy xy
R
xyx yx y x y
  
   
  
PROYECTO Nº 23. Si: x4
+ y6
= 4. Halle el valor de de:
   
   
2 22 3 2 3
2 22 2 2 2
x y x y
T
x x x x 
  

  
Solución
   
   
 
2 22 3 2 3 4 6 4 6
2 22 2 2 2
2 4
2
4 2 2
x y x y x y x y
T
x x x x 
    
    
  

5. PROYECTO Nº 24. Si: 1
2

x
x . Halle el valor de R : (x - 3)(x + 2)(x - 4)(x + 3)
Solución
    
  
    
2 2
2 2
2
1 2 2
3 2 4 3
6 12
2 6 2 12 8 14 112
x x x x x
x
R x x x x
x x x x
        
    
    
      
PROYECTO Nº 25. Reducir:   


  41122
5
P
Solución
     
  
  
  
 
5 2 3
3 2
2 2 1 41 2 2 1 2 1 41
2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 1 41
2 3 2 2 2 2 6 3 2 1 41
2 3 2 2 5 2 7 41
2 15 2 21 20 14 2 41
2 29 2 29 2 58
P          
      
       
  
      
 
    
 
      
    
PROYECTO Nº 26. Si: x + x-1
= 222  . Halle el valor de: x4
+ x-4
Solución
 
   
1
21
2 2
2 2
222 2
4 4
4 4
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 8
6
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x







  
  
   
 
 
  
 
PROYECTO Nº 27. Dar el valor de: M = (x + 5)(x + 4)(x2
- 9)(x - 2)(x - 1)
Sabiendo que: x2
+ 2x + 9
Solución
     
      
      
   
       
2
2 2 2
5 4 9 2 1
5 4 3 3 2 1
5 3 4 2 3 1
2 15 2 8 2 3
9 15 9 8 9 33 6 1 6 6
M x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
     
      
      
      
      
PROYECTO Nº 28. Calcular el valor reducido de:    62532235 E
Solución
  
 
2
5 3 2 2 3 5 2 6
2 3 5 2 6
2 2 6 3 5 2 6
0
E      
   
    


6. PROYECTO Nº 29. El área de un cuadrado de lado “(x + y)” es 8 veces el área de un triángulo de base “x”
y altura “y”, calcular el valor de:
   
222222
44
)2()2( yxyx
yxyx
Q



Solución
 
 
2 2 2
22 2
8 2 4
2
2 0 0
xy
x y x xy y xy
x xy y x y x y
     
       
Luego,
     
4 4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4
2 16
2
(2 ) (2 ) (3 ) ( ) 9
x x x x x x
Q
x x x x x x x x
  
   
    
PROYECTO Nº 30. Reducir:
4 632
1)1)(1)(1)(1(  aaaaaM
Solución
2 3 64
3 3 64
6 64
124
3
( 1)( 1)( 1)( 1) 1
( 1)( 1)( 1) 1
( 1)( 1) 1
1 1
M a a a a a
a a a
a a
a
a
      
    
   
  
